Slides9 CHƯƠNG V Biến Đổi Z và Áp dụng cho Biểu Diễn và Phân Tích Hệ Thống Rời Rạc

CHƯƠNG V
Biến Đổi Z và Áp dụng
cho Biểu Diễn và Phân Tích
Hệ Thống Rời Rạc
Trần Đức Tân
Khoa Điện- Điện tử, Trường Đại học Phenikaa

2021
Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

1 / 29


Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc

Biến đổi Z hai phía

Biến đổi Z hai phía của một tín hiệu rời rạc x[n]
được định nghĩa như sau:
X (z) = Z(x[n]) =

+∞
X

x[n]z −n

n=−∞

trong đó, z là một biến phức → biến đổi Z biến
một tín hiệu từ miền thời gian rời rạc sang miền
phức (mặt phẳng Z).
Biến đổi Z của x[n] tồn tại nếu chuỗi của biến
đổi hội tụ.
Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

2 / 29


Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc

Biến đổi Z một phía

Biến đổi Z một phía của một tín hiệu rời rạc x[n]
được định nghĩa như sau:
1

1

X (z) = Z (x[n]) =

+∞
X

x[n]z −n

n=0

Biến đổi một phía và hai phía của tín hiệu nhân
quả là đồng nhất.

Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

3 / 29


Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc

Miền hội tụ của biến đổi Z

Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Z là tập hợp tất
cả các giá trị của z làm cho chuỗi biến đổi
P
x[n]z −n hội tụ.
Điều kiện hội tụ của biến đổi Z được xác định từ
điều kiện Cauchy sau đây:
1/n

lim |x[n]|

n→∞

Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

< 1 ⇐⇒

+∞
X

x[n] < ∞

n=0

Tín hiệu và Hệ thống

2021

4 / 29


Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc

Miền hội tụ của biến đổi Z

Các điều kiện hội tụ sau cho biến đổi Z có được
từ việc sử dụng điều kiện Cauchy:
Rx− < |z| < Rx+
trong đó:
Rx− = lim |x[n]|1/n
n→∞

Rx+ = 1/ lim |x(−n)|1/n
n→∞

ROC của biến đổi Z là miền nằm trong giới hạn
bởi hai đường trong đồng tâm tại gốc và có bán
kính lần lượt là Rx− và Rx+ trong mặt phẳng Z.
Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

5 / 29


Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc

Miền hội tụ của biến đổi Z

ROC của biến đổi Z cho một số dạng tín hiệu:
Tín hiệu nhân quả có độ dài hữu hạn: ROC là toàn
bộ mặt phẳng Z trừ điểm gốc (Rx− = 0, Rx+ = ∞).
Tín hiệu nhân quả có độ dài vơ hạn: ROC là tồn bộ
phần mặt phẳng Z nằm bên ngồi đường trịn bán
kính Rx− (Rx+ = ∞).
Tín hiệu phản nhân quả có độ dài hữu hạn: ROC là
toàn bộ mặt phẳng Z (Rx+ = ∞, Rx− khơng tồn tại).
Tín hiệu phản nhân quả có độ dài vơ hạn: ROC là
tồn bộ phần mặt phẳng Z nằm bên trong đường

trịn bán kính Rx+ (Rx− khơng tồn tại).

ROC của biến đổi Z một phía giống như ROC
của biến đổi Z hai phía cho tín hiệu nhân quả.
Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

6 / 29


Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc

Tính chất của biến đổi Z

Tuyến tính:
Z(αx1 [n] + βx2 [n]) = αZ(x1 [n]) + βZ(x2 [n])
Dịch thời gian:
Z(x[n − n0 ]) = z −n0 X (z)
Co giãn trong mặt phẳng Z :
Z(an x[n]) = X (a−1 z)
với ROC là |a|Rx− < |z| < |a|Rx+ .
Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

7 / 29


Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc

Tính chất của biến đổi Z

Lật:
Z(x[−n]) = X (z −1 )
với ROC là 1/Rx+ < |z| < 1/Rx− .
Đạo hàm trong miền Z:
Z(nx[n]) = −z

dX (z)
dz

Tích chập:
Z(x1 [n] ∗ x2 [n]) = X1 (z)X2 (z)
Tương quan:
Z(rx1 x2 [n]) = X1 (z)X2 (z −1 )
Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

8 / 29


Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc

Tính chất của biến đổi Z một phía

Trễ:
1

Z (x[n−k ]) = z

−k

1

X (z)+

k
X

x[−m]z m−k (k > 0)

m=1

Tiến:
1

k

1

Z (x[n + k ]) = z X (z) −

k −1
X

x[m]z −m (k > 0)

m=0

Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

9 / 29


Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc

Tính chất của biến đổi Z một phía

Định lý giá trị cuối:
lim x[n] = lim (z − 1)X 1 (z)

n→∞

z→1

nếu ROC của (z − 1)X 1 (z) chứa đường tròn
đơn vị trong mặt phẳng Z.

Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

10 / 29


Biến đổi Z nghịch

Phương pháp tính tích phân

Định lý tích phân Cauchy:

I
1
1
n−1
z dz =

j2π C
0

(n = 0)
(n 6= 0)

trong đó, C là một chu tuyến (đường bao kín) có
chiều dương (ngược chiều quay của kim đồng
hồ) bao quanh gốc của mặt phẳng Z.

Công thức sau đây cho biến đổi Z nghịch có
được dựa trên định lý tích phân Cauchy:
I
1
X (z)z n−1 dz
x[n] =
j2π C
Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

11 / 29


Biến đổi Z nghịch

Phương pháp sử dụng định lý phần dư (residue) Cauchy

Gọi {zpk } là các trị cực của X (z)z n−1 nằm bên
trong một chu tuyến C, khi đó:
X
x[n] =
Res[X (z)z n−1 |z=zpk ]
k

Nếu trị cực zpk là trị cực đơn, phần dư được tính
như sau:
Res[X (z)z n−1 |z=zpk ] = (z − zpk )X (z)z n−1 |z=zpk

Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

12 / 29


Biến đổi Z nghịch

Phương pháp sử dụng định lý phần dư (residue) Cauchy

Nếu trị cực zpk là trị cực bội sk , phần dư được
tính như sau:
Res[X (z)z n−1 |z=zpk ] =
d sk −1
1
[(z − zpk )sk X (z)z n−1 ]|z=zpk
s
−1
k
(sk − 1)! dz

Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

13 / 29


Biến đổi Z nghịch

Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa

Nếu X (z) có thể khai triển thành một chuỗi lũy
thừa của z −1 sao cho:
X (z) =

+∞
X

αn z −n

n=−∞

thì chúng ta có x[n] = αn .
Phương pháp: dùng phép chia đa thức.
Chú ý: ROC của X (z) quyết định dạng của
chuỗi lũy thừa.

Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

14 / 29


Biến đổi Z nghịch

Phương pháp khai triển phân thức tối giản

Không giảm tổng quát, giả thiết X (z) được biểu
diễn dưới dạng phân thức hữu tỉ N(z)/D(z)
(N(z) và D(z) là các đa thức và bậc của N(z)
nhỏ hơn bậc của D(z)).
Gọi {zpk } là các trị cực của X (z): {zpk } là
nghiệm của phương trình D(z) = 0.

Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

15 / 29


Biến đổi Z nghịch

Phương pháp khai triển phân thức tối giản

Nếu tất cả các trị cực {zpk } đều là trị cực đơn,
X (z) được khai triển như sau:
X (z) =

X
k

Ak
z − zpk

trong đó, các hệ số {Ak } được tính bởi cơng
thức:
Ak = (z − zpk )X (z)|z=zpk

Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

16 / 29


Biến đổi Z nghịch

Phương pháp khai triển phân thức tối giản

Trong trường hợp X (z) có trị cực bội, gọi sk là
giá trị bội của trị cực zpk , khi đó cơng thức khai
triển X (z) như sau:
X (z) =

sk

XX
k

s=1

Aks
(z − zpk )s

trong đó, các hệ số {Aks } được tính bằng cơng
thức:


d sk −s (z − zpk )sk X (z)


1
Ak s =


(sk − s)!
dz sk −s
z=zp
k

Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

17 / 29


Biến đổi Z nghịch

Phương pháp khai triển phân thức tối giản

Biến đổi Z nghịch của các phân thức tối giản (1)

Z

−1

Z −1





z
z −α



1
z −α



=

Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

=




αn u[n]

(|z| > |α|)


−αn u[−n − 1] (|z| < |α|)
 n−1
 α u[n − 1] (|z| > |α|)


−αn−1 u[−n]

Tín hiệu và Hệ thống

(|z| < |α|)

2021

18 / 29


Biến đổi Z nghịch

Phương pháp khai triển phân thức tối giản

Biến đổi Z nghịch của các phân thức tối giản (2)
Z

−1




z
=
(z − α)m+1




n(n−1)...(n−m+1) n−m
α
u[n]
m!

(|z| > |α|)



− n(n−1)...(n−m+1)
αn−m u[−n − 1]
m!

(|z| < |α|)

Chú ý: việc sử dụng phương pháp này thường sẽ dễ
dàng hơn nếu khai triển X (z)/z thay vì khai triển
X (z).
Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

19 / 29


Quan hệ với biến đổi Fourier

Tính biến đổi Fourier qua biến đổi Z

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc x[n] là biến
đổi Z trên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z
→ biến đổi Fourier x[n] tồn tại nếu ROC của
biến đổi Z chứa đường tròn đơn vị.
Ứng dụng: tính biến đổi Fourier thuận và nghịch
của tín hiệu rời rạc qua biến đổi Z thuận và
nghịch.

Trần Đức Tân (PHENIKAA UNI)

Tín hiệu và Hệ thống

2021

20 / 29