Không gian sobolev nghiệm yếu của phương trình elliptic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
HOÀNG KIM CHI
KHÔNG GIAN SOBOLEV
NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
HOÀNG KIM CHI
KHÔNG GIAN SOBOLEV
NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
LỜI CẢM ƠN 1
MỞ ĐẦU 3
1 KHÔNG GIAN SOBOLEV 4
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Không gian W
k,p
(Ω) ; W

k,p
0
(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Không gian W
k,p
(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Không gian W
k,p
0
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Đánh giá thế vị và các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . 24
2 NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 31
2.1 Khái niệm nghiệm yếu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Công thức tích phân từng phần. . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.3 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu. . . . . . . . 33
2.2 Độ trơn của nghiệm yếu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Độ trơn bên trong miền. . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Độ trơn trên toàn miền. . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 Nghiệm yếu của phương trình elliptic tổng quát. . . 42
KẾT LUẬN 44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
TÀI LIỆU THAM KHẢO 45
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và sự chỉ

bảo nghiêm khắc của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân
thành và sâu sắc đến thầy giáo.
Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến đến các thầy giáo, cô
giáo trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng như các
thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010-2012, những người
đã đem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho chúng
tôi nhiều kiến thức cơ sở.
Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường Đại học Hàng Hải nơi tôi công
tác đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt khóa học cũng
như quá trình làm luận văn. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia
đình, bạn bè thân thiết những người luôn động viên chia sẻ, giúp tôi trong
suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012.
Tác giả
Hoàng Kim Chi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Bảng kí hiệu.
N: tập số tự nhiên.
R
n
: không gian n chiều.
H: không gian Hilbert.
L: toán tử tuyến tính.
I: ánh xạ đồng nhất.
D
α
: đạo hàm bậc α.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3

MỞ ĐẦU
Một số phương trình elliptic cấp hai thường được suy ra từ các định
luật bảo toàn. Do đó, nghiệm của phương trình này có thể được mở rộng,
không nhất thiết thuộc lớp C
2
, mà chỉ cần thuộc lớp W
1,2
và thỏa mãn
một đẳng thức tích phân với mọi hàm thử v thuộc lớp W
1,2
0
.
Dựa trên các tài liệu [1], [2], luận văn đã trình bày một cách hệ thống
lý thuyết lớp nghiệm suy rộng cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai
dạng bảo toàn.
Luận văn gồm hai chương I và II. Trong chương I, luận văn trình bày
các không gian Sobolev W
k,p
(Ω) và W
k,p
0
(Ω) cùng các định lý nhúng.
Chương II là nội dung chính của luận văn, trong đó trình bày khái niệm
nghiệm yếu của phương trình, nghiệm yếu của bài toán Dirichlet và định
lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu. Luận văn cũng trình bày độ trơn
của nghiệm yếu trong đó khẳng định: khi các hệ số vế phải của phương
trình cho trước trên biên thuộc lớp C
∞
(∂Ω) thì nghiệm yếu u(x) sẽ khả
vi vô hạn trong Ω.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
KHÔNG GIAN SOBOLEV
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị.
Trong phần này ta sẽ liệt kê một số định lý và định nghĩa cần thiết:
Định lý 1.1. (Định lý Riesz) Với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn
F trong không gian Hilbert H luôn tồn tại một phần tử xác định duy nhất
f ∈ H sao cho F (x) = (x, f) với mỗi x ∈ H và F = f và đồng thời
ta cũng có:
(x, f) =
F (x)
F (f)
f
2
F  = sup
x=0
|(x, f)|
x
f
2
= (f, f) = F (f) .
Định lý 1.2. Giả sử T là ánh xạ tuyến tính compact của không gian tuyến
tính định chuẩn V vào chính nó. Khi đó hoặc:
i) phương trình thuần nhất x−T x = 0 có nghiệm không tầm thường x ∈ V
hoặc:
ii) với mọi y ∈ V phương trình x −T x = y có nghiệm được xác định duy
nhất x ∈ V .
Hơn nữa, trong trường hợp ii) toán tử (I − T)
−1

mà sự tồn tại của nó đã
được khẳng định là bị chặn.
Định lý 1.3. (Định lý Lax-Milgram) Giả sử B là dạng song tuyến tính
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
bức, bị chặn trên không gian Hilbert, tức là
i)∃M > 0 : |B (x, y)| ≤ M xy, ∀x, y ∈ H
ii)∃λ > 0 : B (x, x) ≥ λx
2
, ∀x ∈ H.
Khi đó, với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn F ∈ H
∗
, tồn tại duy nhất
một phần tử f ∈ H sao cho:
B (x, f) = F (x) với mọi x ∈ H.
Định lý 1.4. Giả sử H là không gian Hilbert và T là ánh xạ compact từ
H vào chính nó. Khi đó, tồn tại một tập đếm được Λ ⊂ R không có điểm
giới hạn trừ ra có thể λ = 0 sao cho: nếu λ = 0, λ /∈ Λ phương trình
λx − Tx = y, λx −T
∗
x = y (1.1)
có nghiệm xác định duy nhất x ∈ H với mọi y ∈ H và các ánh xạ ngược
(λI − T)
−1
, (λI − T
∗
)
−1
bị chặn. Nếu λ ∈ Λ, các không gian con không
của ánh xạ λI − T, λI − T

∗
có số chiều dương và hữu hạn, còn phương
trình (1.1) giải được nếu và chỉ nếu y trực giao với không gian con không
của λI − T
∗
trong trường hợp thứ nhất và của λI − T trong trường hợp
còn lại.
Định lý 1.5. Một dãy bị chặn trong không gian Hilbert chứa một dãy con
hội tụ yếu.
Định nghĩa 1.1. Toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp hai dạng không bảo
toàn có dạng:
Lu = a
ij
(x) D
ij
u + b
i
(x) D
i
u + c (x) u; a
ij
= a
ji
trong đó x = (x
1
, , x
n
) nằm trong miền Ω của R
n
, n ≥ 2.

L là elliptic tại điểm x ∈ Ω nếu thỏa mãn ma trận

a
ij
(x)

là xác định
dương. Vậy nếu λ (x) , ∆ (x) lần lượt là giá trị cực tiểu và cực đại của các
giá trị riêng của

a
ij
(x)

khi đó:
0 < λ (x) |ξ|
2
≤ a
ij
(x) ξ
i
ξ
j
≤ ∆ (x) |ξ|
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
với mọi ξ = ξ
1
, , ξ

n
∈ R
n
\{0}.
Nếu λ > 0 trong Ω, khi đó L là elliptic trong Ω và elliptic ngặt nếu
λ ≥ λ
0
> 0 với hằng số λ
0
> 0.
Định lý 1.6. Cho L là elliptic ngặt trong miền Ω bị chặn, với c ≤ 0, f và
các hệ số của L thuộc vào C
α

Ω

. Giả sử rằng Ω là một miền của C
2,α
và ϕ ∈ C
2,α

Ω

. Khi đó, bài toán Dirichlet
Lu = f trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω
có duy nhất nghiệm nằm trong C
2,α

Ω


.
Định lý 1.7. Cho Ω là một miền C
k+2,α
(k ≥ 0) và ϕ ∈ C
k+2,α

Ω

. Giả
sử u là một hàm thuộc C
0

Ω

∩C
2
(Ω) thỏa mãn Lu = f trong Ω. u = ϕ
trên ∂Ω, trong đó f và các hệ số của toán tử elliptic ngặt thuộc C
k,α

Ω

.
Khi đó u ∈ C
k+2,α

Ω

.
1.2 Không gian W

k,p
(Ω) ; W
k,p
0
(Ω).
Một trong những bài toán quan trọng của phương trình đạo hàm riêng là
phương trình Poisson:
∆u = f (1.2)
Nghiệm của phương trình (1.2) thỏa mãn đồng nhất thức tích phân:

Ω
DuDϕdx = −

Ω
fϕdx
trong đó
u = u (x
1
, , x
n
) là ẩn hàm,
f = f (x
1
, , x
n
) là hàm số được cho trước,
ϕ = ϕ (x
1
, , x
n

) ∈ C
1
0
(Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục và có
giá compact,
∆u =
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Du =

∂u
∂x
1
, ,
∂u
∂x
n

,
DuDϕ =

n

i=1
∂ϕ
∂x
i
.
∂u
∂x
i
.
Đặt
(u, ϕ) =

Ω
DuDϕdx. (1.3)
Để nghiên cứu nghiệm của phương trình Poisson ta xem xét một cách tiếp
cận khác đối với phương trình này.
Dạng song tuyến tính (u, ϕ) =

Ω
DuDϕdx là một tích trong của không
gian C
1
0
(Ω) và bao đóng của C
1
0
(Ω) theo metric cảm sinh bởi (1.3) là
không gian Hilbert mà người ta kí hiệu là W

1,2
0
(Ω).
Hơn nữa, phiếm hàm tuyến tính F được định nghĩa bởi:
F (ϕ) = −

Ω
fϕdx
có thể được mở rộng đến một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không
gian W
1,2
0
(Ω). Theo Định lý Riesz tồn tại một phần tử u ∈ W
1,2
0
(Ω) thỏa
mãn (u, ϕ) = F (ϕ) , ∀ϕ ∈ C
1
0
(Ω).
Do đó sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet:

∆u = f
u = 0 trên ∂Ω
thực sự được thiết lập.
Vấn đề về sự tồn tại nghiệm cổ điển được chuyển đổi tương ứng thành các
vấn đề về tính chính quy của nghiệm suy rộng theo điều kiện biên trơn
thích hợp. Định lý Lax-Milgram sẽ được áp dụng đối với phương trình
elliptic tuyến tính theo dạng bảo toàn. Tương tự như việc áp dụng Định
lý Riesz ở trên bằng các lí luận khác nhau dựa trên đồng nhất thức tích

phân, kết quả chính quy sẽ được thiết lập.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Tuy nhiên trước khi thực hiện một cách cụ thể, ta đi khảo sát lớp các không
gian Sobolev, đó là W
k,p
(Ω) và W
k,p
0
(Ω) mà W
1,2
0
(Ω) là một trường hợp
riêng.
1.2.1 Không gian W
k,p
(Ω).
Cho Ω ⊂ R
n
là miền bị chặn,
x = (x
1
, x
2
, x
3
, , x
n
) ∈ Ω.
a. Không gian L

p
(Ω);(1 ≤ p < +∞).
L
p
(Ω) là không gian Banach cổ điển gồm các hàm đo được trên Ω và p-khả
tích. Tức là:

Ω
|u (x)|
p
dx < +∞.
Chuẩn của L
p
(Ω) được định nghĩa bởi:
u
L
p
(Ω)
=



Ω
|u|
p
dx


1
/

p
,
trong đó |u (x)| là giá trị tuyệt đối hoặc mođun của u (x).
Khi p = +∞; L
∞
(Ω) là không gian Banach các hàm bị chặn trên Ω với
chuẩn:
u
∞,Ω
= u
L
∞
(Ω)
= sup
Ω
|u|. (1.4)
Khi không có sự nhập nhằng, chúng ta sẽ dùng u
p
thay cho u
L
p
(Ω)
:
Bất đẳng thức Young:
|ab| ≤
|a|
p
p
+
|b|

q
q
(1.5)
trong đó p, q ∈ R; p > 0, q > 0 thỏa mãn:
1
p
+
1
q
= 1.
Khi p = q = 2; (1.5) chính là bất đẳng thức Cauchy. Thay thế a bởi ε
1/p
a,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
b bởi ε
−1/p
b, với ε > 0 khi đó (1.5) trở thành bất đẳng thức nội suy:
|ab| ≤
ε|a|
p
p
+
ε
−q/p
|b|
q
q
≤ ε|a|
p

+ ε
−q/p
|b|
q
(1.6)
Bất đẳng thức Holder:

Ω
uvdx ≤ u
p
v
q
(1.7)
với u ∈ L
p
(Ω) , v ∈ L
q
(Ω) và
1
p
+
1
q
= 1,
(1.7) là hệ quả của bất đẳng thức Young, khi p = q = 2, bất đẳng thức
Holder trở thành bất đẳng thức Schwarz.
Bất đẳng thức Holder sử dụng trong trường hợp tổng quát đối với m hàm
u
1
, u

2
, , u
m
nằm trong không gian L
p
1
, L
p
2
, , L
p
m
như sau:

Ω
|u
1
u
2
u
m
|dx ≤ u
1

p
1
u
2

p

2
u
m

p
m
(1.8)
với
1
p
1
+
1
p
2
+ +
1
p
m
= 1.
Bất đẳng thức Holder cũng được sử dụng để nghiên cứu chuẩn trong L
p
khi coi đó là các hàm của p:
φ
p
(u) =


1
|Ω|


Ω
|u
p
|dx


1/p
. (1.9)
Với p > 0, φ
p
(u) là hàm không giảm theo p, với u cố định.
Không gian L
p
(Ω) là khả li khi p < ∞, C
0

Ω

là không gian con trù mật
trong L
p
(Ω).
Không gian đối ngẫu của L
p
(Ω) khi 1 < p < ∞ đẳng cấu với L
q
(Ω),
trong đó
1

p
+
1
q
= 1. Vì thế L
q
(Ω) khi 1 < p < +∞ được coi là liên hợp
của L
p
(Ω). Do đó, L
p
(Ω) là phản xạ khi 1 < p < ∞
Khi p = 2, L
2
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng:
(u, v) =

Ω
u (x) v (x)dx.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
(u, u) = u
2
=

Ω
|u (x)|
2
dx.
Định lý 1.8. (định lý nhúng L

p
(Ω)) Giả sử Ω là miền bị chặn và 1 ≤
p
1
< p
2
. Khi đó, L
p
2
(Ω) ⊂ L
p
1
(Ω) và ánh xạ nhúng
j : L
p
2
(Ω) → L
p
1
(Ω)
là liên tục.
Chứng minh: Giả sử u ∈ L
p
2
(Ω) ta cần chứng minh u ∈ L
p
1
(Ω) hay

Ω

|u|
p
1
dx < +∞.
Áp dụng bất đẳng thức Holder với p =
p
2
p
1
, q =
p
2
p
2
− p
1
, ta có:

Ω
|u|
p
1
dx =

Ω
|u|
p
1
.1dx ≤



Ω
|u|
p
1
p
dx

1/p
.


Ω
1
q
dx

1/q
= (mesΩ)
1/q


Ω
|u|
p
2
dx

1/p
(1.10)

Vì Ω bị chặn và u ∈ L
p
2
(Ω) nên
(mesΩ)
1/q



Ω
|u|
p
2
dx


1/p
< +∞
Vậy u ∈ L
p
1
(Ω).
Từ (1.10) ta suy ra:


Ω
|u|
p
dx


1/p
1
≤ (mesΩ)
1/qp
1
.


Ω
|u|
p
2
dx

1/pp
1
= (mesΩ)
1/qp
1


Ω
|u|
p
2
dx

1/p
2
⇔ u

L
p
1
(Ω)
≤ (mesΩ)
1/qp
1
.u
L
p
2
(Ω)
(1.11)
(1.11) chứng tỏ ánh xạ j : L
p
2
(Ω) → L
p
1
(Ω) là liên tục
và j ≤ (mesΩ)
1/qp
1
= (mesΩ)
1/p
1
−1/p
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
*Không gian L
p
loc
(Ω).
Cho Ω là tập mở trong R
n
, k là số nguyên không âm. Không gian Holder
C
k,α

Ω

C
k,α
(Ω)

được định nghĩa như một không gian con của không
gian C
k

Ω
 
C
k
(Ω)

gồm có các hàm mà đạo hàm riêng bậc k liên tục
Holder đều (liên tục Holder địa phương) với số mũ α trong Ω. Để đơn giản
ta kí hiệu:

C
0,α
(Ω) = C
α
(Ω) , C
0,α

Ω

= C
α

Ω

.
được hiểu với 0 < α < 1 mỗi khi kí hiệu này được dùng nếu không nói
ngược lại.
Hơn nữa, đặt
C
k,0
(Ω) = C
k
(Ω) , C
k,0

Ω

= C
k


Ω

.
Chúng ta có thể gộp không gian C
k
(Ω) (C
k

Ω

) vào họ các không gian
C
k
(Ω) (C
k

Ω

) với 0 ≤ α ≤ 1. Chúng ta cũng kí hiệu không gian C
k,α
0
(Ω)
của hàm trên C
k,α
(Ω) là giá compact trong Ω.
Các không gian C
k,α
(Ω) ở trên là không gian địa phương.
Cho ρ là một hàm không âm trong C
∞

(R
n
), triệt tiêu bên ngoài hình cầu
B
1
(0) và thỏa mãn

ρdx = 1. Một hàm như vậy thường được gọi là một
nhân trung bình hóa. Một ví dụ điển hình là hàm ρ được đưa ra bởi:
ρ (x) =

c exp

1
|x|
2
−1

với |x| ≤ 1
0 với |x| ≥ 1
trong đó c được chọn để

ρdx = 1 và có đồ thị là hình quả chuông quen
thuộc. Với u ∈ L
1
loc
(Ω) và h > 0, chuẩn của u biểu thị bởi u
h
, sau đó được
xác định bởi tích chập

u
h
(x) = h
−n

Ω
ρ

x − y
h

u (y) dy
với điều kiện là h < dist (x, ∂Ω). Rõ ràng là u
h
thuộc C
∞
(Ω

) với mỗi
Ω

⊂⊂ Ω với điều kiện là h < dist (Ω

, ∂Ω). Hơn nữa, nếu u thuộc L
1
(Ω),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Ω bị chặn thì u
h

nằm trong C
∞
0
(R
n
) với h > 0 tùy ý. Khi h tiến đến 0
hàm y → h
−n
ρ (x − y/h) tiến đến hàm suy rộng delta Dirac tại điểm x.
Bổ đề 1.9. Cho u ∈ C
0
(Ω). Khi đó, u
h
hội tụ đến u trên bất kì miền
Ω

⊂⊂ Ω.
Bổ đề 1.10. Cho u ∈ L
p
(Ω), p < ∞. Khi đó u
h
hội tụ đến u trong ý
nghĩa của L
p
(Ω).
*Đạo hàm yếu.
Cho u khả tích địa phương trong Ω và đa chỉ số α bất kì. Khi đó một hàm
v khả tích địa phương gọi là đạo hàm yếu bậc α của u nếu thỏa mãn

Ω

ϕvdx = (−1)
|α|

Ω
uD
α
ϕdx với mọi ϕ ∈ C
|α|
0
(Ω).
Ta kí hiệu v = D
α
u và chú ý rằng D
α
u là xác định duy nhất chính xác
đến một tập có độ đo không. Những liên hệ theo từng điểm liên quan đến
đạo hàm yếu sẽ được hiểu là thỏa mãn hầu khắp nơi. Chúng ta gọi một
hàm là khả vi yếu nếu tất cả các đạo hàm yếu bậc nhất của nó tồn tại
và với khả vi yếu bậc k, nếu tất cả các đạo hàm yếu bậc nhỏ hơn hoặc
bằng k tồn tại. Ta kí hiệu không gian tuyến tính các hàm khả vi yếu bậc
k là W
k
(Ω). Rõ ràng C
k
(Ω) ⊂ W
k
(Ω). Khái niệm đạo hàm yếu là một
mở rộng của khái niệm cổ điển mà phép lấy tích phân từng phần vẫn còn
đúng.
Bổ đề 1.11. Cho u ∈ L

1
(Ω), α là một đa chỉ số, và giả sử rằng tồn tại
D
α
u. Khi đó nếu d (x, ∂Ω) > h, ta có
D
α
u
h
(x) = (D
α
u)
h
(x) .
Định lý 1.12. Cho u và v khả tích địa phương trong Ω. Khi đó v = D
α
u
nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy hàm {u
m
} của C
∞
(Ω) hội tụ đến u trong
L
1
(Ω) mà đạo hàm D
α
u
m
hội tụ đến v trong L
1

(Ω).
b. Không gian W
k,p
(Ω) .
Không gian W
k,p
(Ω) được định nghĩa:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Với k ∈ N; 1 ≤ p < +∞, đặt
W
k,p
(Ω) =

u (x) ∈ W
k
(Ω) ; D
α
u ∈ L
p
(Ω) ∀α : |α| ≤ k

. (1.12)
Trong đó α = (α
1
, α
2
, , α
n
) ;

α
j
∈ N; |α| = α
1
+ α
2
+ + α
n
D
α
u = D
α
1
x
1
D
α
2
x
2
D
α
n
x
n
; D
x
j
=
∂

∂x
j
.
Khi đó chuẩn của u ∈ W
k,p
(Ω) được định nghĩa bởi
u
k,p;Ω
= u
W
k,p
(Ω)
=



Ω

|α|≤k
|D
α
u|
p
dx


1/p
. (1.13)
Một chuẩn tương đương là:
u

p
W
k,p
(Ω)
=

|α|≤k
D
α
u
p
L
p
(Ω)
. (1.14)
Nhận xét: Nếu k
1
< k
2
thì W
k
2
,p
⊂ W
k
1
,p
.
1.2.2 Ví dụ.
Ví dụ 1:

Cho k=0. Khi đó, ta có:
W
0,p
(Ω) = L
p
(Ω) .
Ví dụ 2:
Cho k=1. Khi đó, ta có:
W
1,p
(Ω) =

u (x) ; u (x) ∈ L
p
(Ω) ; D
x
j
u ∈ L
p
(Ω) ∀j

và
u
p
W
1,p
(Ω)
= u (x)
p
L

p
(Ω)
+
n

j=1


D
x
j
u


p
L
p
(Ω)
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Ví dụ 3:
Cho k=2. Khi đó, ta có:
W
2,p
(Ω) =

u (x) ; u (x) , D
x
j

u, D
x
j
x
k
u ∈ L
p
(Ω)

và
u
p
W
2,p
(Ω)
= u (x)
p
L
p
(Ω)
+
n

j=1


D
x
j
u



p
L
p
(Ω)
+
n

j,k=1


D
x
j
x
k
u


p
L
p
(Ω)
.
1.2.3 Không gian W
k,p
0
(Ω) .
Không gian Banach W

k,p
0
(Ω) phát sinh do việc lấy bao đóng của C
k
0
(Ω)
trong W
k,p
(Ω). W
k,p
(Ω) , W
k,p
0
(Ω) không trùng nhau đối với miền Ω bị
chặn.
Đặc biệt, p = 2, W
k,2
(Ω) , W
k,2
0
(Ω) (đôi khi kí hiệu là H
k
(Ω) , H
k
0
(Ω)) là
các không gian Hilbert với tích vô hướng:
(u, v)
k
=


Ω

|α|≤k
D
α
u
D
α
v
dx (1.15)
Các tính chất giải tích hàm của W
k,p
(Ω) , W
k,p
0
được suy ra khi xem xét
phép nhúng tự nhiên các không gian này vào trong tích của N
k
bản sao
của L
p
(Ω), trong đó, N
k
là số các chỉ số α thỏa mãn |α| ≤ k. Dùng sự
kiện tích hữu hạn và các không gian con đóng của không gian Banach tách
được (phản xạ) là các không gian Banach tách được (phản xạ) ta suy ra
không gian W
k,p
(Ω) , W

k,p
0
(Ω) là tách được với 1 ≤ p < ∞ (phản xạ nếu
1 < p < ∞).
a. Không gian C
∞
0
(Ω) .
C
∞
0
(Ω) = {u (x) ∈ C
∞
(Ω) , u (x) = 0
trong lân cận của biên ∂Ω}.
(1.16)
b. Không gian W
k,p
0
(Ω) .
W
k,p
0
(Ω) là không gian sinh bởi bao đóng của C
k
0
(Ω) trong W
k,p
(Ω).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
Kí hiệu: W
k,p
0
(Ω) = C
k
0
(Ω).
Khi đó
W
k,p
0
(Ω) =

u (x) ; u (x) ∈ W
k,p
(Ω) , D
α
u|
∂Ω
= 0, |α| ≤ k −1

. (1.17)
Trường hợp khi p = +∞, không gian Sobolev và Lipchitz có mối quan hệ
với nhau, cụ thể là:
W
k,∞
loc
(Ω) = C
k−1,1

(Ω) với Ω tùy ý
W
k,∞
(Ω) = C
k−1,1

Ω

với Ω đủ trơn
Bất đẳng thức Poincare: Giả sử Ω là miền bị chặn và p ≥ 1. Khi đó,
tồn tại số c > 0 sao cho:
u
L
p
(Ω)
≤ c.
n

j=1
D
j
u
L
p
(Ω)
∀u ∈ C
∞
0
(Ω) (1.18)
Chứng minh: Bởi vì:

L
p
(Ω) = C
∞
0
(Ω)
nên chỉ cần chứng minh (1.16) cho u ∈ C
∞
0
(Ω). Bao Ω bởi hình hộp chữ
nhật D và xem u (x) ≡ 0 ngoài Ω.
Giả sử D = {x = (x
1
, , x
n
) : a
j
≤ x
j
≤ b
j
, j = 1, 2, , n}.
Vì u(x
1
, , x
n−1
, a
n
) = 0 nên theo công thức Newton - Leibniz cho ta:
u (x

1
, x
2
, , x
n
) =
x
n

a
n
D
n
u (x
1
, , t) dt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Đặt x

= (x
1
, , x
n−1
) suy ra:
|u (x

, x
n
)| ≤

x
n

a
n
1. |D
n
u (x

, t)|dt
⇒ |u (x

, x
n
)|
p
≤


x
n

a
n
1. |D
n
u (x

, t)|dt



p
≤





x
n

a
n
|D
n
u (x

, t)|
p
dt


1/p


x
n

a
n

1
q
dt


1/q



p
= |x
n
− a
n
|
p/q
x
n

a
n
|D
n
u (x

, t)|
p
dt
≤ (b
n

− a
n
)
p/q
b
n

a
n
|D
n
u (x

, t)|
p
dt
(1.19)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Tích phân hai vế (1.18) trên D ta có:

D
|u (x

, x
n
)|
p
dx ≤


D


(b
n
− a
n
)
p/q
b
n

a
n
|D
n
u (x

, t)|
p
dt


dx
=

D




b
n

a
n
(b
n
− a
n
)
p/q
b
n

a
n
|D
n
u (x

.t)|
p
dt


dx

= (b
n
− a

n
)
p/q+1

D



b
n

a
n
|D
n
u (x

, t)|
p
dt


dx

= (b
n
− a
n
)
p/q+1


D
|D
n
u (x

, t)|
p
dx
= (b
n
− a
n
)
p/q+1

D
|D
n
u (x)|
p
dx
⇒ u
L
p
(D)
≤ (b
n
− a
n

) |D
n
u|
L
p
(D)
≤ (b
n
− a
n
)
n

j=1
D
j
u
L
p
(D)
(1.20)
Với mọi hàm u ∈ C
∞
0
(Ω) ta có |u|
L
l
(D)
= |u|
L

p
(Ω)
nên từ (1.20) ta suy ra
(1.18).
Hai chuẩn tương đương trong W
1,p
0
(Ω):
u
p
W
k,p
(Ω)
=

|α|≤k
D
α
u
p
L
p
(Ω)
(1.21)
|u|
W
k,p
(Ω)
=


|α|≤k
D
α
u
L
p
(Ω)
(1.22)
Hai chuẩn trên là tương đương tức là ∃c
1
, c
2
∈ R
∗
+
sao cho:
c
1
u ≤ |u| ≤ c
2
u (1.23)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Chứng minh: Đặt N = card {α : |α| ≤ k}, a
α
= D
α
u
L
p

(Ω)
≥ 0, ta sẽ
chứng minh rằng (1.23) được thỏa mãn với c
1
= 1, c
2
= N
(p−1)/p
.
Thực vậy, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức:

|α|≤k
a
p
α
≤



|α|≤k
a
α


p
(1.24)
(1.24) rõ ràng đúng nếu a
α
= 0 ∀α. Nếu trái lại thì vế phải (1.24) dương
và (1.24) tương đương với:


|α|≤k



a
α

|α|≤k
a
α



p
≤ 1.
Rõ ràng 0 ≤
a
α

|α|≤k
a
α
≤ 1 ∀α.
Suy ra hàm



a
α


|α|≤k
a
α



p
không tăng theo p ∀α.
Suy ra hàm f (p) =

|α|≤k



a
α

|α|≤k
a
α



p
là không tăng theo p.
Ta có với p = 1 thì f (1) =

|α|≤k




a
α

|α|≤k
a
α



= 1.
Vậy với p > 1 ta có:f (p) ≤ 1, vậy:
f (p) =

|α|≤k



a
α

|α|≤k
a
α



p
≤ 1 (∀p > 1)

và (1.24) được chứng minh. Như vậy, bất đẳng thức bên trái của (1.23)
đúng với mọi p ≥ 1 và c
1
= 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức:

|α|≤k
a
α
≤ N
(p−1)/p



|α|≤k
a
p
α


1/p
(1.25)
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:

|α|≤k
a
α
=


|α|≤k
a
α
.1 ≤ (N)
1/q
.



|α|≤k
a
p
α


1/p
trong đó
1
q
= 1 −
1
p
=
p − 1
p
. Vậy (1.25) được chứng minh.
Như vậy (1.23) đúng với c
1
= 1, c

2
= N
(p−1)/p
. Nói cách khác:



|α|≤k
a
p
α


1/p
= u ≤ |u| =

|α|≤k
a
α
≤ N
(p−1)/p



|α|≤k
a
p
α



1/p
Do đó các chuẩn . và |.| trên W
k,p
(Ω) là tương đương.
Từ đó ta có hệ quả: Hai chuẩn sau là tương đương trên W
1,p
0
(Ω):
u = u
L
p
(Ω)
+
n

j=1
D
j
u
L
p
(Ω)
|u| =
n

j=1
|D
j
u|
L

p
(Ω)
trong đó D
j
u = D
x
j
u
Chứng minh: Gọi c là hằng số trong bất đẳng thức Poicare ta có:
|u| ≤ u ≤ (c + 1) |u|
Suy ra điều phải chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
1.3 Định lý nhúng
Định lý 1.13.
W
1,p
0
(Ω) ⊂

L
np/(n−p)
(Ω) với p < n
C
0

Ω

với p > n
Hơn nữa, tồn tại một hằng số c = c (n, p) sao cho với mọi u ∈ W

1,p
0
(Ω)
thì:
u
np/(n−p)
≤ cDu
p
với p < n (1.26)
sup |u| ≤ c|Ω|
1
/
n
−
1
/
p
Du
p
với p > n
Chứng minh: Chúng ta thiết lập đánh giá (1.26) cho các hàm C
1
0
(Ω)
Trường hợp : p = 1
Rõ ràng với u bất kì thuộc C
1
0
(Ω) và i bất kì: 1 ≤ i ≤ n thì
|u (x)| ≤

x
i

−∞
|D
i
u|dx
i
.
Do đó:
|u (x)|
n
/
n−1
≤


n

i=1
+∞

−∞
|D
i
u|dx
i


1

/
n−1
. (1.27)
Bất đẳng thức (1.27) bây giờ được lấy tích phân liên tục với mỗi biến
x
i
; i = 1, , n
Sau đó áp dụng bất đẳng thức Holder tổng quát: Cho m = p
1
= =
p
m
= n −1. Cho mỗi tích phân, ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
u
n
/
n−1
≤

n

i=1

Ω
|D
i
u|dx


1
/
n
≤
1
n

Ω
n

i=1
|D
i
u|dx
≤
1
√
n
D
i
u
1
(1.28)
Do đó, bất đẳng thức (1.26) được thiết lập cho trường hợp p = 1
Các trường hợp còn lại có thể nhận được bằng cách thay thế u bằng lũy
thừa của |u| . Theo cách này chúng ta nhận được :
Với γ > 1 :
u
n
/

n−1
≤
γ
√
n

Ω
|u|
γ−1
. |Du|dx
≤
γ
√
n



|u|
γ−1



p
.Du
p
do bất đẳng thức Holder.
Bây giờ với p < n, ta có thể chọn γ thỏa mãn:
γn
n − 1
=

(γ −1) p
p − 1
tức là γ =
(n − 1) p
n − p
.
Và do vậy, ta được:
u
np/(n−p)
≤
γ
√
n
Du
p
như cần tìm.
Trường hợp: p > n
Với p > n ta viết:

u =
√
n |u|
Du
p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên