022 hh goc khoang cach lớp 11 hdg

C
H
Ư
Ơ
N

CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH

0

CẤP SỐ CỘNG – NHÂN
TỔ HỢP – XÁC SUẤT
GÓC – KHOẢNG CÁCH
GĨC – KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN

DẠNG 1. GĨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Để tính góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách
d1
d'1
O
d'2
d2

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O thường
nằm trên một trong hai đường thẳng).
'

'

d ,d
Từ O dựng các đường thẳng 1 2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai

d ', d '
đường thẳng) với d1 và d 2 . Góc giữa hai đường thẳng 1 2 chính là góc giữa hai đường thẳng
d1 , d 2 .
Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cơsin trong tam giác
cos A 

b2  c 2  a 2
2bc
.

 
u
Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương 1 , u2 của hai đường thẳng d1 , d 2
 
u1.u2
cos  d1 , d 2    
u1 u2
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 xác định bởi
.
   

uu ,u ,u
Lưu ý 2: Để tính 1 2 1 2 ta chọn ba vec tơ a, b, c khơng đồng phẳng mà có thể tính được độ
 

u
,
u
a
1

2
dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ
qua các vec tơ , b, c rồi thực hiện các
tính tốn.

DẠNG 2. GĨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và
hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P)
Gọi  là góc giữa d và mặt phẳng (P) thì 0  90
Page 676


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Đầu tiên tìm giao điểm của d và (P) gọi là điểm A.
Trên d chọn điểm B khác A, dựng BH vng góc với (P) tại H. Suy ra AH là hình chiếu vng góc
của d trên mặt phẳng (P).

Vậy góc giữa d và (P) là góc BAH
.
Nếu khi xác định góc giữa d và (P) khó q ( khơng chọn được điểm B để dựng BH vng góc với
(P)), thì ta sử dụng cơng thức sau đây. Gọi  là góc giữa d và (P) suy ra:
sin  

d  M , P 

AM
.
Ta phải chọn điểm M trên d, mà có thể tính khoảng cách được đến mặt phẳng (P). Còn A là giao
điểm của d và mặt phẳng (P).

DẠNG 3 GĨC CỦA MẶT VỚI MẶT
Q

d
A

P
d'

Để tìm góc giữa hai mặt phẳng, đầu tiên tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
Sau đó tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng cùng
vng góc với giao tuyến tại một điểm.
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vừa tìm.
Những trường hợp đặc biệt đề hay ra:
B

A

C
H
D

Trường hợp 1: Hai tam giác cân ACD và BCD có chung cạnh đáy CD.
Gọi H trung điểm của CD, thì góc giữa hai mặt phẳng
(ACD) và (BCD) là góc AHB .
A

B

D

H
C

Page 677

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Trường hợp 2: Hai tam giác ACD và BCD bằng nhau có chung cạnh CD.
Dựng AH  CD  BH  CD .
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc AHB .
Trường hợp 3: Khi xác định góc giữa hai mặt phẳng quá khó, ta nên sử dụng công thức sau:
sin  

d  A,  Q  
d  A, a 

Với  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q). A là một điểm thuộc mặt phẳng (P) và a là
giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Trường hợp 4: Có thể tìm góc giữa hai mặt phẳng bằng cơng thức S ' S .cos 
Trường hợp 5: Tìm hai đường thẳng d và d' lần lượt vng góc với mặt phẳng (P) và mặt phẳng
(Q). Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa d và d'.
Trường hợp 6: CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG BÊN VÀ MẶT PHẲNG ĐÁY
Bước 1: xác dịnh giao tuyến d của mặt bên và mặt đáy.
Bước 2: từ hình chiếu vng góc của đỉnh, dựng AH  d .

Bước 3: góc cần tìm là góc SHA .
Với S là đỉnh, A là hình chiếu vng góc của đỉnh trên mặt đáy.
Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC).Hãy xác định góc giữa mặt

bên (SBC) và mặt đáy (ABC).
S

C

A
H
B

Ta có BC là giao tuyến của mp (SBC) và (ABC).
Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A, dựng AH  BC .
 BC  SA
 BC   SAH   BC  SH

BC

AH

Vì
.

Kết luận góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SHA .
Câu 1:

Câu 38 (101-2023) Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy bằng a chiều cao bằng
mặt phẳng
A. 45 .

3a
6 .Góc giữa

 SCD  và mặt phẳng đáy bằng
B. 90 .

C. 60 .

D. 30 .

Lời giải

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 678


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH

S

A

D

a
H

O

B

C

Gọi O là tâm mặt đáy, H là trung điểm cạnh CD
SOH   CD  SHO   SCD  ,  ABCD  
Suy ra 

Câu 2:

3a
3a
a
SO
3
SO 
; OH   tan  SHO  
 6 
a
6
2
OH
3

2
Suy ra SHO 30
SCD 
ABCD  30
Vậy góc giữa mặt phẳng 
và 

là
.
Câu 31 (102-2023) Cho hình chóp đều S . ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa
hai đường thẳng SB và CD bằng
A. 30 .

Ta có CD // AB nên

B. 45 .

C. 60 .
Lời giải

D. 90 .

 , CD  SB

 SB
   , AB  SBA
.


Vì tam giác SAB là tam giác đều có tất cả cách cạnh đều bằng a nên SBA 60 .
Vậy góc giữa hai đưởng thẳng SB và CD bằng 60 .
Câu 3:

Câu 30 (103-2023) Cho hình chóp đều S . ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa
hai đường thẳng SB và CD bằng
Page 679

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
A. 60 .

B. 90 .

C. 30 .
Lời giải

D. 45 .

Ta có AB ∥ CD
 , CD  SB
 , AB
SB
Do đó
.



 




Mà SAB đều suy ra SBA 60 .
 , CD  SB
 , AB SBA


SB
60
Vậy
.



Câu 4:

 



a 3
Câu 30 (104-2023) Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 6 .
Góc giữa mặt phẳng
A. 60 .

 SCD 

và mặt phẳng đáy bằng
B. 45 .
C. 30 .
Lời giải

Gọi O là tâm của đáy ABCD

 SO   ABCD   SO 

D. 90 .

a 3
6 .

OM  CD

 
 
SCD  ,  ABCD  SMO
SM

CD

Gọi M là trung điểm CD





Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 680


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
a 3

SO
SO
3


tan SMO


 6 
 SMO
30
1
a
OM
3
CD
2
2
Trong tam giác SOM vuông tại O ta có

Câu 5:

(MĐ 101-2022) Cho lăng trụ đứng ABC .ABC  có đáy ABC là tam giác vng tại B ,
AC 2, AB  3 và AA 1 (tham khảo hình vẽ bên dưới)

 ABC ' và mặt phẳng  ABC  bằng
Góc giữa hai mặt phẳng
o
o
o

A. 30 .
B. 45 .
C. 90 .
Lời giải
Chọn B

o
D. 60 .

 AB  BC
 AB  BC '

AB

C
'
C

Ta có
.
Hai mặt phẳng

 ABC '

và

 ABC 

cắt nhau theo giao tuyến AB .

 BC '   ABC ' , BC '  AB
 

 ', BC C
 ' BC
 ABC ' ,  ABC   BC
 BC   ABC  , BC  AB
.

 





BC  AC 2  AB 2  22 

Xét tam giác C ' BC vuông tại C có CC ' 1 và
o

tam giác C ' BC vuông cân tại C suy ra C ' BC 45 .
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
Câu 6:

 ABC '

và

 ABC 

 3

2

1

. Do đó

o
bằng 45 .

(MĐ 102-2022) Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác vuông tại B ,
AC 2, AB  3 và AA 1 ( tham khảo hình bên). Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABC 
bằng
Page 681

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
A'

C'

B'

A

C

B

A. 90 .

B. 60 .

C. 30 .
Lời giải

D. 45 .

Chọn D
Ta có

 ABC    ABC   AB

 BCC B vng góc với AB
Mặt phẳng
 ABC    BCC B BC;  ABC    BCC B BC ;

  ABC  ,  ABC    BC , BC 

Suy ra

Ta có BC 1 nên tứ giác BCC B là hình vng.
 ABC  ,  ABC    BC , BC  45 .
Suy ra 
Câu 7:

(MĐ 103-2022) Cho hình lập phương ABCD. ABC D (tham khảo hình bên). Giá trị sin của

ABCD 
góc giữa đường thẳng AC  và mặt phẳng 
bằng

3
A. 3 .

6
B. 3 .

3
C. 2 .
Lời giải

2
D. 2 .

Chọn A

 AC 
AC ,  ABCD   AC , AC C
Ta có
.
a
Giả sử hình lập phương có cạnh là



 

Trong tam giác AAC ta có



sin  

CC 
a
3


2
2
AC 
3 .
2a  a

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 682


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Câu 8:

(MĐ 104-2022) Cho hình lập phương ABCD. ABC D (tham khảo hình bên). Giá trị sin của

 ABCD  bằng
góc giữa đường thẳng AC ' và mặt phẳng

3
A. 3 .

2
B. 2 .

3
C. 2 .
Lời giải

6
D. 3 .

Chọn A
- Ta có AC ' là đường chéo hình lập phương ABCD. ABC D  AC '  AB. 3
 CC '  ( ABCD)
 ' AC sin C
 ' AC  CC '  1  3
 
AC ', ( ABCD) C

AC '
3 .
3
 AC ' ( ABCD)  A
,



Câu 9:



(MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có tất
cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên).

Góc giữa hai đường thẳng
A. 30 .

AA và BC  bằng
B. 90 .

C. 45 .
Lời giải

D. 60 .

Page 683

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Ta có: AA // BB nên góc giữa hai đường thẳng

AA và BC  là góc giữa hai đường thẳng BB



và BC  và bằng góc BBC  (do BBC  nhọn).

Câu 10:

Tam giác BBC  vuông cân tại

B nên B BC  45 .

Vậy góc giữa hai đường thẳng

AA và BC  bằng 45 .

(MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có tất
cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng AA ' và B ' C bằng

0
A. 90

0
B. 45

0
C. 30

0
D. 60

Lời giải

ABC. A ' B ' C ' là hình lăng trụ đứng nên suy ra tam giác BB ' C vuông cân tại B và
 ' C 450
 AA ', B ' C   BB ', B ' C  BB
Câu 11:

(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có tất
cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên).

Góc giữa hai đường thẳng AB và CC  bằng
o
A. 45 .

o
B. 30 .

o

C. 90 .
Lời giải

o
D. 60 .

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 684

CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH

·
CC '/ / BB ' nên  A ' B, CC '  A ' B, BB '  A ' BB ' . Theo giả thiết thì lăng trụ ABC.A ' B ' C ' là
lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau nên tam giác A ' B ' B vuông cân tại B ' . Suy ra
·A ' BB ' 450
.

Câu 12:

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2020-2021) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D '
có AB  AD 2 và AA ' 2 2 (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng CA ' và mặt
phẳng

 ABCD 


A. 30 .

bằng


B. 45 .

C. 60 .
Lời giải



D. 90 .

Góc cần tìm là A¢CA = a . Vì đáy là hình vng nên AC = AB 2 = 2 2 và
AA¢
tan a =
= 1 Þ a = 45°.
AC
Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai
đường thẳng SC và AB bằng
0
A. 90 .

0
B. 60 .

0
C. 30 .

0
D. 45 .

Page 685

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH

Lời giải



 



 , AB  SC
 , CD
SC
Từ giả thiết ta có AB // CD nên
.
Mặt khác, hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau nên tam giác SCD đều.

 , AB  SC
 , CD SCD

SC
60




Suy ra
.
0

0
Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60 .

Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên).

Góc giữa đường thẳng SB và CD bằng
A. 60 .
B. 90 .

C. 45 .
Lời giải
SB, CD  SB, AB 
Ta có ABCD là hình thoi nên AB //CD nên 
.
SB, AB  60
SB, CD  60
Lại có tam giác SAB đều nên 
. Vậy 
.
Câu 15:

D. 30 .

(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh
bằng nhau. Góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 686

CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH

S

D
A
A. 90 .

C
B

B. 30 .

C. 60 .
Lời giải

D. 45 .



Ta có CD // AB nên ( SA; CD) ( SA; AB )
0



Mặt khác ta có tam giác SAB đều nên SAB 60 suy ra ( SA; AB) SAB 60

Từ, suy ra ( SA; CD ) 60 .

Câu 16:

(MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh
bằng nhau.

Góc giữa hai đường thẳng SD và AB bằng
0
0
0
0
A. 30 .
B. 90 .
C. 60 .
D. 45 .
Lời giải
Do AB song song với CD nên góc giữa SD và AB bằng góc giữa DC và SD và bằng góc
0
0


SDC
. Do tam giác SDC đều  SDC 60 nên góc giữa đường thẳng SD và AB bẳng 60 .

Câu 17:

(ĐTK BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc
với nhau và OA OB OC . Gọi M là trung điểm của BC . Góc giữa hai đường thẳng OM
và AB bằng

Page 687

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH

A.

900

0
B. 30

0
C. 60

0
D. 45

Lời giải
Chọn C

Đặt OA a suy ra OB OC a và AB BC  AC a 2
MN 

Gọi N là trung điểm AC ta có MN / / AB và

OM , AB  OM , MN  . Xét OMN
Suy ra góc
Trong tam giác OMN có

ON OM MN 

a 2
2

a 2
2 nên OMN là tam giác đều

0

OM , AB  OM , MN  600
Suy ra OMN 60 . Vậy

Câu 18:

(MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt
phẳng
bên).

 ABC  ,

SA 2a , tam giác ABC vuông cân tại B và AB  2a .(minh họa như hình vẽ

S

C

A
B

 ABC  bằng
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 688


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
A. 60 .

B. 45 .

C. 30 .
Lời giải

D. 90 .

Chọn B

S

C

A
B

Ta có:


 SC   ABC   C

 , ( ABC ) ( SC
 , AC ) SCA

 SC

 SA   ABC 





.

2
2
2
2
Mà: AC  AB  BC  2a  2a 2a SA .

Vì SAC vng cân tại A nên ta có SCA 45 .

Câu 19:

(MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B
, AB 3a , BC  3a ; SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA 2a .

S

C

A

B

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
ο
A. 60 .

Ta có

ο
B. 45 .

SA   ABC 

ο

C. 30 .
Lời giải

ο
D. 90 .


 ABC  bằng SCA
nên góc giữa SC và

.

AC  AB 2  BC 2  9a 2  3a 2 2a 3 .
SA
2a
1
tan ASC 



AC 2a 3
3  SAC
30ο .
Suy ra
Câu 20:

(ĐTK BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh
bằng a . Gọi M là trung điểm của SD . Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng

 ABCD 

bằng

Page 689

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
S

M

A

D

B

2
A. 2

C

3
B. 3

2
C. 3
Lời giải

1
D. 3

Chọn D
S
M

A

D

H
O

B

C

SO  a 2 

a2 a 2

2
2

SO   ABCD 
Gọi O là tâm của hình vng. Ta có
và
OD
MH
/
/
SO
Gọi M là trung điểm của
ta có
nên H là hình chiếu của M lên mặt phẳng

 ABCD 

1
a 2

MH  SO 
2
4 .
và


Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD ) là MBH .
a 2
MH
1

tan MBH

 4 
BH 3a 2 3
4
Khi đó ta có
.

Vậy tang của góc giữa đường thẳng BM
Câu 21:

 ABCD 
và mặt phẳng

1
bằng 3

(MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a
, SA vng góc với mặt phẳng đáy và SB 2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy

bằng
A. 60

B. 90

C. 30

D. 45

Lời giải
Chọn A
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 690


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
S

D

A
B

C



Do SA   ABCD  nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng góc SBA .

Ta có


cos SBA


AB 1


60 .
SB 2  SBA

Vậy góc giữa đường thẳng SB và và mặt phẳng đáy bằng bằng 60 .
Câu 22:

(MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a
, SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
đáy bằng
A. 45

B. 60

C. 30

D. 90

Lời giải
Chọn A

S

D

A
B

C


Do SA   ABCD  nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng góc SCA .

Ta có SA  2a , AC  2a


 tan SCA


SA

45 .
AC 1  SCA

Vậy góc giữa đường thẳng SC và và mặt phẳng đáy bằng bằng 45 .
Câu 23:

(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vng tại

C , AC a , BC  2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA a . Góc giữa đường thẳng
SB và mặt phẳng đáy bằng

A. 60

B. 90

C. 30
Lời giải

D. 45

Chọn C

Page 691

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH

SA   ABC 

Có



 ,  ABC 
 SB

 ABC  .
nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng
 , AB SBA


 SB
.

 



2
2
Mặt khác có ABC vuông tại C nên AB  AC  BC a 3 .
SA
1

 ,  ABC  30
tan SBA


SB
AB
3
Khi đó
nên
.





Câu 24:

(MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt
phẳng

 ABC  , SA 2a , tam giác

ABC vuông tại B , AB a 3 và BC a . Góc giữa đường

 ABC  bằng
thẳng SC và mặt phẳng


A. 90 .


B. 45 .

C. 30 .
Lời giải



D. 60 .

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 692

CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH





 ,  ABC  SCA

SC
ABC  AC

SC
Ta thấy hình chiếu vng góc của
lên
là
nên
.
2

2

Mà AC  AB  BC 2a nên


tan SCA


SA

1
AC
.

 ABC  bằng 45 .
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
Câu 25:

(MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt
phẳng

 ABC  ,

SA = 2a , tam giác ABC vuông tại B , AB = a , BC = a 3 . Góc giữa đường

 ABC  bằng
thẳng SC và mặt phẳng
o
A. 90 .

o
B. 30 .

o

o
D. 45 .

C. 60 .
Lời giải

Chọn D
S

C

A

B

Ta có: SA vng góc với mặt phẳng (ABC)
Þ A là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC)
Þ AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC)

Þ

·
·
é
ù ·
ëSC , ( ABC ) û= ( SC , AC ) = SCA

D ABC vng tại B Þ AC 2 = AB 2 + BC 2 = a 2 + 3a 2 = 4a 2 Þ AC = 2a
·
tan SCA
=

SA 2a
·
·

o
=
= 1 Þ SCA
= 45o Þ é
ù
ëSC , ( ABC ) û= 45 .
AC 2a

Page 693

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH
Câu 26:

(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt

 ABC  . SA 

phẳng

2a , tam giác ABC vuông cân tại B và AB a (minh họa như hình vẽ

 ABC  bằng
bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
S

C

A

B

A. 45 .

B. 60 .

C. 30 .
Lời giải

D. 90

Chọn A
2
2
Vì tam giác ABC vuông cân tại B  AC  AB  BC a 2
 , ABC SCA
SC

 
Ta có




tan SCA

Mà
Câu 27:



SA a 2

1

AC a 2
 SCA
45 .

(ĐTK BGD&ĐT NĂM 2019-2020 LẦN 01) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng
cạnh a 3 , SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 ( minh họa như hình bên). Góc

 ABCD  bằng:
giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
S

A

B

A. 45 .

B. 30 .

D

C

C. 60 .
Lời giải

D. 90 .

Chọn B
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT– BDKT Toán 10; 11; 12
Sưu tầm và biên soạn

Page 694


CHUYÊN ĐỀ VIII – LỚP 11 – CSC – CSN – TỔ HỢP – XÁC SUẤT – GÓC – KHOẢNG CÁCH

Vì

SA   ABCD 

 ABCD 
nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng

·
 ABCD  là SCA
Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

Đáy ABCD là hình vng cạnh a 3 nên: AC a 6

·

tan SCA
=
Ta có:
·
Vậy: SCA = 30° .
Câu 28:

SA a 2
1
=
=
AC a 6
3

(ĐTK BGD&ĐT NĂM 2019-2020 LẦN 02) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với
mặt phẳng

 ABC  ,

SA  2a , tam giác ABC vuông cân tại B và AC 2a (minh họa như

 ABC  bằng
hình bên). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng

o
A. 30 .

o
B. 45 .

o

C. 60 .
Lời giải

o
D. 90 .

Chọn B

Page 695

Sưu tầm và biên soạn