Khóa luận tốt nghiệp toán học: Dạy học giải toán tổ hợp - xác suất theo hướng phân dạng bài tập cho học sinh THPT

Lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, chúng tôi xin
chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý –
Tin đặc biệt là thầy giáo – T.S Nguyễn Triệu Sơn đã tận tình giúp đỡ và
hướng dẫn tôi trong quá trình làm khóa luận. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới cán
bộ phòng quản lý khoa học và quan hệ quốc tế, thư viện trường đại học Tây
Bắc, các em học sinh và giáo viên hai trường THPT Mường Bi – Tân Lạc,
THPT Phan Đình Giót – TP Điện Biên đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình thực hiện khóa luận.
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, do thời gian và kinh nghiệm hạn
chế nên khóa luận không thể tránh khổi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận
được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Từ Thị Mai Hương

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

Chữ viết tắt
Chữ đầy đủ
CĐ
Cao đẳng
ĐH
Đại học
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
NXB
Nhà xuất bản
SGK
Sách giáo khoa
TB
Trung bình
TG
Tác giả
THPT
Trung học phổ thông
TP
Thành Phố

DANH MỤC BẢNG BIỂU
Tên bảng
Nội dung bảng
Trang
Bảng 1
Bảng điều tra GV trường THPT Mường Bi
13
Bảng 2
Bảng điều tra GV trường THPT Phan Đình Giót –
TP Điện Biên
13
Bảng 3
Bảng điều tra học sinh lớp 11 trường THPT
Mường Bi
14
Bảng 4
Bảng điều tra học sinh lớp 1 trường THPT Phan
Đình Giót- TP Điện Biên
14
Bảng 5
Bảng điều tra khả năng nhận thức, mức độ kiến
thức, tính hứng thú học tập kiến thức tổ hợp xác

suất của học sinh lớp 11 trường THPT Mường Bi
15
Bảng 6
Bảng điều tra khả năng nhận thức, mức độ kiến
thức, tính hứng thú học tập kiến thức tổ hợp xác
suất của học sinh lớp 11 trường THPT Phan Đình
Giót – TP Điên Biên
15












MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
I. Lý do chọn đề tài 1
II. Mục đích nghiên cứu 1
1. Mục đích nghiên cứu 1
2. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
III. Phương pháp nghiên cứu 2
IV. Cấu trúc đề tài 2
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1. Cơ sở lí luận 3
1.1. Vị trí chức năng của bài tập toán học 3
1.2. Yêu cầu đối với lời giải 4
1.3. Phương pháp tìm lời giải bài tập toán học 5
1.4. Dạy học mạch toán ứng dụng tổ hợp – xác suất 7
1.5. Nội dung chương trình và kiến thức cơ bản về tổ hợp – xác suất trong trình
toán THPT 8
1.5.1. Nội dung chương trình tổ hợp – xác suất trong chương trình toán THPT 8
1.5.2. Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp – xác suất 8
2. Thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường trung học
phổ thông miền núi 14
2.1. Khảo sát thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường
THPT miền núi 14
Chương II: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT 21
2.1. Dạy học giải bài tập toán tổ hợp trong chương trình toán THPT 21
2.1.1. Dạng 1: Đếm số phần tử của tập hợp 21
2.1.2. Dạng 2: Bài toán xếp các phần tử và bài toán chọn các phần tử 22
2.1.3. Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 24
2.1.4. Dạng 4: Chứng minh một đẳng thức và bất đẳng thức 27
2.1.5. Dạng 5: Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton 29
2.2. Một số dạng bài tập xác suất 35
2.2.1. Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản 35
2.2.3. Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân 41
Chương III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 49
3.1. Mục đích thực nghiệm 49
3.2. Phương pháp thực nghiệm 49
3.3. Nội dung thực hiện 49
3.4. Tổ chức thực nghiệm 49
3.5. Phương pháp thực nghiệm. 49
3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm 50

3.6.1. Biện pháp 50
3.6.2. Phân tích kết quả 50
KẾT LUẬN 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

1
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Môn “giải tích tổ hợp xác suất” là một phần của “đại số và giải tích” lớp
11 và có trong cấu trúc các đề thi toán và cao đẳng và đại học, là một mảng toán
khó, nhiều học sinh không phân biệt được khi nào dùng “tổ hợp” khi nào dùng
“chỉnh hợp”, không giải được các bài toán về “nhị thứ Newton”, về phần xác
suất học sinh cũng vấp phải các bài toán về tính xác suất các biến cố, biến cố có
điều kiện nhất là các câu trong đề thi cao đẳng và đại học. Bài toán về giải tích
tổ hợp xác suất rất đa dạng và phong phú và cũng là nội dung rất phức tạp trong
chương trình toán THPT. Mặc dù đã đưa ra các giải tổng quát cho một số dạng
toán cụ thể có phương pháp giải rõ ràng song còn nhiều bài toán giải tích tổ hợp
xác suất chúng ta chưa có cách giải cụ thể, khi đi sâu vào nghiên cứu tổ hợp -
xác suất tìm hiểu các khái niệm trong các kiến thức này cho ta thấy các khái
niệm đều được xây dựng bằng ngôn ngữ ánh xạ các kiến thức của nó rất cơ bản
và liên quan mật thiết với nhau.
Để hiểu rõ lý thuyết cần phải tìm hiểu và làm nhiều bài tập, học sinh muốn
nắm vững nội dung bài học thì phải dạy cho học sinh cách học cách làm bài tập
một cách có hệ thống có phương pháp giải cụ thể cho từng dạng từ đó học sinh
có thể tự mình làm được các bài tập. Hệ thống các bài tập trong SGK, sách bài
tập được chọn lọc cận thận và đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố lý
thuyết, song để đáp ứng yêu cầu nâng cao, mở rộng đào sâu kiến thức thì hệ
thống bài tập đó chưa đủ và chưa phân dạng được các dạng bài tập. Như vậy học
sinh khó nắm bắt hệ thống bài tập, khi gặp các dạng bài tập tổ hợp - xác suất
khác với các bài tập học sinh đã quen giải, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong

việc tìm lời giải. Vì vậy, việc nghiên cứu tìm tòi hệ thống các phương pháp giải
toán tổ hợp - xác suất là cần thiết và hữu ích cho học sinh, sinh viên sư phạm
toán và giáo viên toán các trường THPT.
Với lí do trên, tôi chọn và nghiên cứu đề tài “Dạy học giải toán tổ hợp -
xác suất theo hướng phân dạng bài tập cho học sinh THPT” nhằm cung cấp
thêm cho học sinh một số phương pháp để giải các bài toán tổ hợp - xác suất từ
đó nâng cao khả năng giải toán, khả năng tư duy và hứng thú học tập cho học
sinh.
II. Mục đích nghiên cứu
1. Mục đích nghiên cứu

2
Cung cấp hệ thống một số phương pháp bài toán về tổ hợp - xác suất từ
đó giúp cho học sinh hạn chế được những khó khăn khi giải những bài toán tổ
hợp - xác suất có dạng đặc biệt, đồng thời giúp các em hình thành tư duy toán
học trong quá trình làm các bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Giới thiệu cho học sinh có cách nhìn nhận chính xác về một số bài toán
tổ hợp xác suất trong chương trình toán THPT.
- Cung cấp cho học sinh phương pháp giải một số dạng toán tổ hợp xác
suất cụ thể phức tạp hơn những dạng thông thường.
III. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
IV. Cấu trúc đề tài
- Mở đầu
Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương II: Một số phương pháp giải toán tổ hợp xác suất
Chương III: Thực nghiệm sư phạm

- Kết luận
- Tài liệu tham khảo











3
Chương I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1. Cơ sở lí luận
Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc những con người lao động
tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp qua đó góp
phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã
hội công bằng, dân chủ, văn minh.
Về phương pháp giáo dục: phải khuyến khích tự học, phải ứng dụng
những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh những năng
lực tư duy, sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.
Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một
chiều rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điều kiện và thời
gian tự học và tự nghiên cứu cho học sinh.
Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ

động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn
nhằm tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.
Tóm lại: Cốt lõi của việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở
trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động chống lại thói quen
thụ động. Quan điểm chung của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường
THPT là tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động
với tinh thần tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo.
1.1. Vị trí chức năng của bài tập toán học
Bài tập có vai trò quan trọng trong bộ môn toán và điều căn bản là mang
lại hoạt động cho học sinh. Thông qua việc giải bài tập học sinh phải thực hiện
những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí
… Những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong
toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt
động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy
học. Vì vậy, vai trò của bài tập toán thể hiện trên ba bình diện sau:
 Bình diện mục tiêu dạy học
Bài tập toán học ở trường THPT là mang lại những giá trị hoạt động mà
việc thực hiện những hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác,

4
những bài tập cũng thể hiện những khả năng khác nhau hướng đến mục tiêu dạy
học môn toán cụ thể:
+ Hình thành củng cố tri thức kĩ năng kĩ xảo ở những khâu khác nhau
của quá trình dạy học kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
+ Phát triển kỹ năng trí tuệ.
+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật.
 Bình diện nội dung
Những bài tập toán học là mang lại những hoạt động liên hệ với những
nội dung hoạt động nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh

hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.
 Bình diện phương pháp
Bài tập toán học là mang lại giá trị hoạt động để người học kiến tạo tri
thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện mục tiêu giáo dục khác nhau. Khai
thác tốt các bài tập đó góp phần tổ chức cho học sinh trong hoạt động tự giác
tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập trong giao lưu.
1.2. Yêu cầu đối với lời giải
Trước hết ta cần nắm vững yêu cầu của lời giải: Lời giải phải đúng và tốt,
trình bày vắn tắt. Nó bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng không quá cô đọng. Để
thuận tiện cho việc thực hiện yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và
đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu đương nhiên phải chấp nhận các
yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:
* Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian.
* Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng một biểu thức, một hàm số,
một hình vẽ … thỏa mãn các yêu cầu bài ra. Kết quả các bước trung gian cũng
phải đúng.
Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm trong tính toán, hình vẽ
biến đổi biểu thức.
* Lập luận chặt chẽ.
- Lập để phải nhất quán.
- Luận cứ phải đúng.
- Luận chứng phải hợp logic.


5
* Lời giải đầy đủ.
Lời giả không thể bỏ sót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào. Ví dụ:
khi giải phương trình không được thiếu nghiệm hoặc khi phân chia các trường
hợp không được thiếu khả năng nào …
* Ngôn ngữ chính xác.

* Trình bày rõ ràng, đảm bảo thẩm mỹ.
Yêu cầu này đặt ra với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu
tố trong lời giải.
* Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn hợp lý nhất.
Trong quá trình dạy học cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải
trong một bài toán, hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh để tìm ra lời giải ngắn
gọn, hợp lý nhất. Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề.
1.3. Phương pháp tìm lời giải bài tập toán học
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải một
bài toán. Nhưng đó là một tham vọng không tưởng. Ngay cả đối với những lớp
bài toán riêng biệt cũng không thể có chung thuật giải.
Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung gợi ý các suy nghĩ tìm tòi,
phát hiện cách giải bài toán là điều có thể và rất cần thiết. Dựa trên những tư
tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Pôlya về cách thức giải bài
toán đã được kiểm nghiệm trong thực tế dạy học, có thể tổng kết phương pháp
chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
Để tìm hiểu nội dung đề bài ta cần thực hiện các thao tác sau:
- Phát biểu nội dung đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ
nội dung bài toán.
- Phân biệt cái đã cho cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Khi hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung đề bài giáo viên thường đặt ra
những câu hỏi phát vấn dạng:
- Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thỏa mãn điều kiện cho
trước hay không?

6
- Hãy vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp.

- Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện
đó bằng công thức hay không?
Bước 2: Tìm lời giải.
Tìm cách giải bài tập toán học hay ta đi thực hiện các hoạt động sau:
- Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài
toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng của bài toán
tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương
pháp đặc thù với từng dạng toán cụ thể như: Chứng minh phản chứng, quy nạp,
dựng hình, quỹ tích …
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa
kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả tìm được với một số tri thức liên quan.
- Tìm những cách giải khác, so sánh chúng để tìm được cách giải hợp lý nhất.
- Trong quá trình đi tìm lời giải cần đặt những câu hỏi dạng:
+ Đã gặp bài toán này hay chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng hơi khác
hay chưa?
+ Hãy xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng
yếu tố chưa biết hay yếu tố đã biết tuơng tự.
+ Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn có lần giải rồi? Có cần
phải đưa thêm yếu tố phụ thì mới áp dụng được bài toán đó?
+ Có thể phát biểu bài toán dưới dạng khác không?
+ Hãy giải một phần của bài toán.
+ Có thể thay thế bằng điều kiện khác để xác định cái phải tìm hay
không? Có thể thay thế cái phải tìm hay cái đã cho hay cả hai nếu cần thiết sao
cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn?
+ Đã sử dụng hết cái đã cho hay chưa?
+ Đã để ý một khái niệm trong bài toán hay chưa?
+ Kiểm tra lại kết quả? Kiểm tra từng bước? Kiểm tra lại toàn bộ quá trình
giải toán?
+ Có thể tìm được kết quả theo một cách khác hay không? Có thể thay thế

trực tiếp kết quả không?

7
+ Hãy so sánh các giải để tìm ra cách giải tối ưu nhất.
Bước 3: Trình bày cách giải.
Từ cách giải đã được phát hiện sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Để có một lời giải chặt chẽ ta cần thực hiện theo các bước sau:
- Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ ở bước hai.
- Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán phát hiện,
những yếu tố lệch lạc nhất thời và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết.
Bước 4: nghiên cứu sâu lời giải.
Nghiên cứu sâu lời giải nghĩa là nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả
của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, những bài toán liên quan,
mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Có thể dung kết quả đó hay phương pháp đó cho một bài toán tương tự,
một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác.
Kết luận: Phương pháp chung để giải một bài toán không phải là thuật giải
để giải bài toán là những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi phát hiện.
Nói chung cách thức dạy học sinh phương pháp chung để giải toán như sau:
- Thông qua việc giải toán cần nhấn mạnh để học sinh nắm được phương
pháp chung có bốn bước và có ý thức vận dụng.
- Cần đặt cho học sinh câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần biết
sử dụng những câu hỏi này như công cụ kích thích sự tìm tòi, phát hiện để thực
hiện từng bước của phương pháp chung giải toán.
1.4. Dạy học mạch toán ứng dụng tổ hợp – xác suất
Kiến thức tổ hợp xác suất là những yếu tố mới được đưa vào chương trình
toán THPT. Trong khi dạy những yếu tố này, giáo viên cần nắm vững và thể
hiện những tinh thần sau:
Thứ nhất là việc dạy những yếu tố về tổ hợp. Những yếu tố này rất cần

thiết cho nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đặc biệt, chúng còn phục vụ cho việc
giải toán xác suất. Những bài toán về tổ hợp thường đòi hỏi học sinh phân tích
kĩ lưỡng tình huống thực tế, xem xét thấu đáo và hợp lí các trường hợp, không
bỏ sót và không để trùng lặp.


8
Khi dạy học một số yếu tố về tổ hợp ở lớp 11, cần nhấn mạnh, hướng dẫn
kĩ lưỡng về “bài toán chọn và quy tắc nhân” và “sơ đồ cây” biểu thị trực quan
nguyên tắc chọn đó.
Theo quan điểm toán học ứng dụng, cần lưu ý học sinh đến sự kiện là số
tổ hợp chỉnh hợp chập k của n phần tử tăng nhanh khi n tăng.
Thứ hai là việc dạy học một số yếu tố của lý thuyết xác suất. Dựa vào các
công thức về hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp, nhi thức newtơn, ở một số ban của
trường THPT phân ban, người ta trình bày một số kiến thức về xác suất như
những ứng dụng của tổ hợp và mang tính cách là những kiến thức thực hành.
1.5. Nội dung chương trình và kiến thức cơ bản về tổ hợp – xác suất
trong trình toán THPT
1.5.1. Nội dung chương trình tổ hợp – xác suất trong chương trình toán THPT
Trong chương trình môn toán ở trường THPT, kiến thức tổ hợp – xác suất
được tìm hiểu ở chương trình toán lớp 11 và nội dung kiến thức bao gồm các
vấn đề sau:
- Những khái niệm ban đầu về đại số tổ hợp – xác suất.
- Các quy tắc đếm
- Các khái niệm và tính chất của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
- Nhị thức newtơn và các dạng toán liên quan.
- Các khái niệm quan trọng ban đầu của xác suất: Phép thử, kết qủ của
phép thử và không gian mẫu.
- Khái niệm của xác suất của biến cố và biết cách tính xác suất của biến cố
Theo Phân phối chương trình của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo phần tổ hợp –

xác suất được dạy trong 13 tiết cụ thể như sau:
- Bài 1: Quy tắc đếm (3 tiết)
- Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp (5 tiết)
- Bài 3: Nhị thức Newtơn (1 tiết)
- Bài 4: Phép thử và biến cố (2 tiết)
- Bài 5: Xác suất của biến cố (2 tiết)

1.5.2. Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp – xác suất

9
1.5.2.1. Kiến thức cần nhớ về tổ hợp
1.5.2.1.1. Quy tắc đếm
a) Quy tắc cộng.
Ví dụ: Trong một trường THPT khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học
sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinhđi dự đại hội?
Giải: Số cách chọn một học sinh đi dự đại hội là
280 325 605
cách.
 Ta có quy tắc cộng: Giả sử có một công việc có thể thực hiện theo
phương án A hoặc theo phương án B.
Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Do
vậy công việc đó có thể thực hiện bởi
nm
cách.
 Quy tắc cho công việc với nhiều phương án:
Giải sử có một công việc có thể được thực hiện một trong k phương án
1 2 k
A ,A , ,A
. Có
i

n
cách thực hiện phương án khi đó công việc đó có thể thực
hiện bởi
1 2 k
n n n  
cách.
Số phần tử của tập hợp hữu hạn X được kí hiệu là
X
khi đó quy tắc cộng
được phát biểu dưới dạng sau:
Nếu A và B là hai tập hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của
AB
bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B, tức là:
A B A B  

b) Quy tắc nhân
Ví dụ: An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà
An đến nhà Bình có 4 con đường, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường.
Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?
Giải: Với mỗi cách đi từ nhà An đến nhà Cường có 6 cách đi tiếp từ nhà
Bình đến nhà Cường. Vì có 4 cách đi từ nhà An đến nhà Bình nên có tất cả
4.6 24
cách đi từ nhà An đến nhà Cường.
 Ta có quy tắc nhân: Giải sử một công việc nào đó gồm hai công đoạn
A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn
A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện
theo
n.m
cách.
 Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn:

10
Giải sử một công việc nào đó gồm k công đoạn
1 2 k
A ,A , ,A .
Công đoạn
i
A
có thể làm theo
i
n
 
i 1,k
cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo
1 2 k
n .n n
cách.
1.5.2.1.2. Hoán vị -chỉnh hợp – tổ hợp
a) Hoán vị
* Hoán vị là gì?
Ví dụ: Ba vận động viên An, Bình, Châu chạy thi. Nếu không kể trường
hợp có hai hay ba vận động viên cùng về đích một lúc thì mọi khả năng đều có
thể xảy ra.
Kết quả của cuộc thi là một danh sách gồm 3 người theo thứ tự nhất, nhì,
ba. Danh sách này là hoán vị của tập hợp {An, Bình, Châu} nếu kí hiệu
tập{An, Bình, Châu} là {a, b, c}thì tập hợp này có tất cả 6 hoán vị
           
a,b,c , a,c,b , c,a,b , c,b,a , b,c,a , b,a,c .

Một cách tổng quát ta có: Cho tập hợp A có n phần tử

 
n0
. Khi đó sắp
xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được 1 hoán vị các phần tử của tập A.
* Số các hoán vị
Định lí: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:
n
P n!

b) Chỉnh hợp
* Chỉnh hợp là gì?
Một cách tổng quát: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k. Khi lấy ra
k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k
của n phần tử của A.
* Số các chỉnh hợp
Định lí: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần
tử
 
k 1,n
là:
   
 
k
n
n!
A n n 1 n k 1
n k !
    


  
0! 1 *

Ta quy ước:
0
1
A1
do đó công thức
 
*
đúng với mọi số nguyên k thỏa
mãn
0 k n.

Chú ý: Một hoán vị của một tập n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n
của tập hợp đó nên:
n
nn
A P n!


11
c) Tổ hợp là gì?
* Định nghĩa
Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với
1 k n.
Mỗi tập con của A có
k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là tổ hợp chập k
của A).
Như vậy, lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A mà

không quan tâm đến thứ tự.
Ví dụ: Cho tập hợp
 
A a,b,c
. Các tổ hợp chập hai của A là:
     
a,b , a,c , b,c .

* Số các tổ hợp
Định lí: Số các tổ hợp k của một tập hợp có n phần tử
 
1 k n
là:
   
 
k
k
n
n
n n 1 n k 1
A n!
C
k! k! k! n k !
  
  

(**)
Với quy ước:
0
n

C1
thì (**) cũng đúng với mọi số nguyên k thỏa
mãn
0 k n.

Hai công thức cơ bản về tổ hợp
k n k
nn
CC


Với mọi số nguyên n và k thỏa mãn
0 k n.

k k k 1
n 1 n n
C C C



Với mọi số nguyên n và k thỏa mãn
0 k n.

1.5.2.1.3. Công thức nhị thức newton
a) Công thức nhị thức newton:
 
n
0 n 1 n 1 n k n k k n n
n n n n
n

k n k k
n
k0
a b C a C a b C a b C b
C a b



      


(0.1)
Từ công thức (1.1) ta có:
1. Số các số hạng là
n 1.

2. Số mũ của a giảm dần đồng thời số mũ của b tăng dần và tổng số mũ
của a và b là n.
3. Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thi bằng
nhau (do
k k n
nn
CC


).

12
4. Số hạng tổng quát trong khai triển là
k n k k

k 1 n
T C a b




5. Từ công thức (1.1) cho
a b 1

Suy ra
n 0 1 2 k n
n n n n n
2 C C C C C      

Từ công thức (1.1) cho
a 1,b 1  

Suy ra
   
kn
0 1 2 3 k n
n n n n n n
0 C C C C 1 C 1 C         

b) Tam giác Pascal
Ta có thể tìm các hệ số có mặt trong khai triể nhị thức Newton theo bảng
số dưới đây gọi là tam giác Pascal, do nhà toán học ngườ Pháp Pascal thiết lập
vào năm 165:

Tam giác Pascal được thiết lập như sau:
- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.
- Nếu biết hàng thứ n
 
n0
thì hàng thứ
n1
tiếp theo được thiết lập
bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả đó vào hàng dưới
ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng. Cụ thể:
Các số ở hàng thứ n là dãy gồm
n1
số sau:
0 1 n
n n n
C ,C , ,C

1.5.1.2. Kiến thức cần nhớ về xác suất
1.5.1.2.1 Biến cố và phép thử biến cố
 Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết
quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó.
 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là
không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là
.

1
11
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1


13
 Biến cố là một tập con của không gian mẫu
Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa
A,B,C
và cho dưới dạng
mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:
Tập

được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không).
Tập

được gọi là biến cố chắc chắn.
 Phép toán trên biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và
các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
Tập
\A
được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là
A.
Và

A
xảy ra
khi và chỉ khi
A
không xảy ra.
Tập
AB
được gọi là hợp của các biến cố
A
và
B.

Tập
AB
được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là
A.B

Nếu
AB 
thì ta nói Avà B là xung khắc.
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay
không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy ra của
biến cố kia.
1.5.1.2.2. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử
A
là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết
quả đồng khả năng xuất hiện.
Ta gọi tỉ số
 

 
nA
n 
là xác suất của biến cố A, kí hiệu là
 
PA
và
 
 
 
nA
PA
n



1.5.1.2.3. Tính chất của xác suất:
a) Tính chất cơ bản:
 
P0

 
P1

 
0 P A 1
, với mọi biến cố A.

14
 

 
P A 1 P A

b) Quy tắc cộng xác suất
Nếu A và B xung khắc thì:
     
P A B P A P B  

Nếu
AB 
thì
     
P A B P A P B  

Thật vậy, ta có
       
n A B n A n B n A B    

Chia cả hai vế cho
 
n 
ta được:
       
P A B P A P B P AB   

Nếu A và B xung khắc thì
AB 
nên
 
P AB 0

khi đó:
     
P A B P A P B  

Do đó, với mọi biến cố A và B bất kì ta có:
       
P A B P A P B P AB   

c) Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi
     
P A B P A P B .

2. Thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trường
trung học phổ thông miền núi
2.1. Khảo sát thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số
trường THPT miền núi
2.1.1. Mục đích yêu cầu
Việc điều tra nhằm mục đích thu thập thông tin từ đó biết được khả năng
chuyên môn nghiệp vụ của giáo viên và kết quả học tập của học sinh. Qua đó
nhận xét được trình độ chuyên môn, khả năng tiếp thu của học sinh qua việc học
môn toán nói chung và môn đại số giải tích nói riêng, qua đó biết được thực
trạng dạy và học ở trường THPT giúp cho việc tạo cơ sở thực tiễn nhằm đề suất
các giải pháp sư phạm, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học các kiến thức
tổ hợp xác suất.
2.1.2. Đối tượng điều tra

15
Giáo viên toán ở hai trường: THPT Mường Bi – Tân lạc, THPT Phan Đình
Giót – TP Điện Biên Phủ.

Học sinh lớp 11 ở hai trường: THPT Mường Bi – Tân Lạc, THPT Phan
Đình Giót – TP Điện Biên Phủ.
2.1.3. Hình thức và nội dung kiểm
a. Hình thức điều tra: Chủ yếu dùng phương pháp thu thập số liệu kết quả
dạy đối với giáo viên và trực tiếp dự giờ kiểm tra, đánh giá đối với học sinh.
Cụ thể dùng:
+ Phiếu thăm dò.
+ Dự giờ giảng dạy của giáo viên.
+ Giảng dạy ở lớp thực nghiệm.
+ Kiểm tra mức độ nhận thức môn toán của học sinh qua bài kiểm tra một tiết.
b. Nội dung điều tra:
- Giáo viên điều tra về tuổi nghề, hệ đào tạo, chất lượng giảng dạy.
- Đối với học sinh:
+ Điều tra học lực của học sinh.
+ Điều tra độ yêu thích bộ môn đại số và giải tích lớp 11.
+ Điều tra khả năng tiếp thu và hiểu bài của học sinh lớp 11 trong khi học
môn toán lớp 11.
2.1.4. Một số kết quả điều tra về thực trạng dạy và học kiến thứ đại số tổ
hợp ở một số trường THPT miền núi
a) Kết quả điều tra đối tượng là giáo viên









16

Bảng 1: Trường THPT Mường Bi
TT
Họ và tên
Tuổi nghề
(năm)
Hệ
đào tạo
Chất lượng giảng dạy
Giỏi
Khá
TB
1
Quách Thị Huệ
8
ĐH
X


2
Đinh Thái Hà
13
ĐH
X


3
Nguyễn Quốc Huy
10
ĐH

X

4
Nguyễn Mai Phương
9
ĐH
X


5
Cao Mạnh Tuấn
6
ĐH
X


6
Nguyễn Ngọc Sáng
2
ĐH

X

7
Nguyễn Thị Mơ
2
ĐH

X

Bảng 2: Trường THPT Phan Đình Giót – TP Điện Biên Phủ
TT
Họ và tên
Tuổi nghề
(năm)
Hệ
Đào tạo
Chất lượng giàng dạy
Giỏi
Khá
TB
1
Nguyễn Thị Hiến
25
ĐH
X


2
Hoàng Thế Cường
20
ĐH
X


3
Lê Thị Hằng
19
ĐH

X

4
Trần Trường Sinh
8
ĐH
X


5
Phạm Duy Thắng
14
ĐH
X


6
Trần Thị Trang
14
ĐH
X


7
Nguyễn Hồng Nhung
7
ĐH

X

8
Ngô Hải Hà
7
ĐH

X



17
 Qua điều tra cho thấy:
Một số giáo viên đã có thâm niêm công tác lâu năm nên có nhiều kinh
nghiệm trong công tác giảng dạy. Do đó trình tự các bước lên lớp và phương
pháp giảng dạy bộ môn đều nắm vững. Tuy nhiên, cũng có một phần không nhỏ
là hệ thống giáo viên trẻ tuổi mới bước vào nghề chưa có nhiều kinh nghiệm, do
đó đây cũng là một điểm hạn chế.
Về trình độ giáo viên: Đều được đào tạo hệ đại học chính quy.
Về chất lượng giảng dạy đa số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại
khá, đặc biệt cũng có một số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại giỏi và đạt
danh hiệu dạy giỏi các cấp, tuy nhiên số lượng chưa nhiều nhưng nó cũng đóng
vai trò tích cực trong việc cổ vũ, động viên các nhà giáo không ngừng học hỏi
để nâng cao tay nghề.
b) Kết quả điều tra học sinh
Bảng 3: Bảng điểu tra học sinh lớp 11 THPT Mường Bi
Lớp
Tổng số
học sinh
Thành phần dân tộc
Xếp loại học lực kỳ I môn toán

Mường
Kinh
Thái
TB
Khá
Giỏi
Yếu
11A1
42
32
10
0
17
22
3
0
11A2
41
35
6
0
20
18
1
2

Bảng 4: Bảng điều tra học sinh lớp 11 trường THPT Phan Đình Giót –
TP Điện Biên
Lớp
Tổng số

học sinh
Thành phần dân tộc
Xếp loại học lực kỳ I môn toán
,
H
Mông
Kinh
Thái
TB
Khá
Giỏi
Yếu
11A1
47
0
34
3
19
23
5
0
11A2
46
0
6
40
13
5
0
28

18
Bảng 5: Bảng điều tra khả năng nhận thức, mức độ kiến thức, tính hứng
thú học tập kiến thức đại số tổ hợp của học sinh lớp 11
trường THPT Mường Bi.
Lớp
Mức độ kiến thức của lớp
dưới
Khả năng nhân thức
Tính hứng thú học
tập môn toán
Nắm
chắc
kiến
thức
Nắm
kiến
thưc
khá
Nắm
kiến
thức
trung
bình
Hổng
kiến
thức

Tốt
Khá
TB
Yếu
Hứng
thú
học
tập
Bình
thường
Bắt
buộc
11A1
3
23
14
2
18
13
9
2
22
15
5
11A2
1
19
15
6
13

12
7
9
19
17
7


Bảng 6: Bảng điều tra khả năng nhận thức, mức độ kiến thức, tính hứng
thú học tập kiến thức đại số tổ hợp của học sinh lớp 11 trường
THPT Phan Đình Giót – TP Điện Biên Phủ.


Lớp
Mức độ kiến thức của lớp
dưới
Khả năng nhân thức
Tính hứng thú học
tập môn toán
Nắm
chắc
kiến
thức
Nắm
kiến
thưc
khá
Nắm
kiến
thức

trung
bình
Hổng
kiến
thức
Tốt
Khá
TB
Yếu
Hứng
thú
học
tập
Bình
thường
Bắt
buộc
11A1
3
17
27
0
12
30
5
0
8
22
1
11A2

0
5
11
30
7
10
11
18
2
19
25




19
 Qua bảng số liệu điều tra về học sinh lớp 11 ta có nhận xét:
Trong mỗi lớp điều có sự phân bố đa dạng về thành phần dân tộc, về học
lực, về khả năng nhận thức, về mức độ nắm bắt kiến thức, tính hứng thú trong
học tập môn toán của các em học sinh, tính đa dạng thể hiện ở các khía cạnh:
Về thành phần dân tộc: Có sự phân bố tương đối rộng về thành phần dân
tộc, trong một lớp có nhiều thành phần dân tộc, mỗi thành phần dân tộc chiếm tỷ
lệ không nhỏ trong lớp.
Về học lực: Trong một lớp học lực của các em không đều nhau, có cả học
sinh có học lực giỏi, song vẫn có học sinh có học lực kém. Học sinh có học lực
trung bình chiếm tỷ lệ cao so với các học sinh có học lực giỏi, khá, yếu, kém.
Về mức độ nắm bắt kiến thức ở lớp dưới: Đa phần học sinh nắm bắt kiến
thức ở các lớp dưới một cách mơ màng, số học sinh nắm chắc kiến thức không
cao và vẫn có học sinh hổng kiến thức một cách nguy hiểm.
Khả năng nhận thức: Trong lớp có sự phân bố khả năng nhận thức khá đa

dạng, Khả năng nhận thức tốt chiếm tỷ lệ chưa cao, khả năng nhận thức trung
bình chiếm tỷ lệ đa số.
Qua nhận xét trên ta có nhận xét về thuận lợi và khó khăn khi các bạn học
sinh tham gia học tập:
Thuận lợi: Trong mỗi lớp đều có bạn có học lực khá giỏi về mỗi môn nên
việc hỗ trợ giưa các bạn học khá và các bạn có học lực trung bình giúp cho các
em học tập tốt hơn.
Trong tập thể lớp về thành phần dân tộc tương đối đa dạng, đoa cũng là cơ
hội tốt giúp cho các bạn vùng sâu vùng xa hòa đồng vươn lên trong học tập.
Khó khăn: Đa phần các bạn có học lực trung bình nên tính sáng tạo nhanh
nhạy trong tiếp thu bài giảng chưa cao.
Mức độ nắm bắt kiến thức từ các lớp dưới còn ở mức độ trung bình, gây
khó khăn khi tiếp thu bài mới.
Tính hứng thú khi các em học môn này chưa cao, gây cản trở cho các em
khi học bài mới.
2.1.5. Đề xuất giải pháp sư phạm để nâng cao chất lượng dạy học kiến
thức đại số tổ hợp của giáo viên và học tập của học sinh

20
Giáo viên cần giới thiệu nhiều phương pháp cho học sinh giải bài tập mà
các em đã học nhằm khơi dậy, tái hiện kiến thức cũ giúp các em vận dụng giải
quyết các bài bài tập một cách nhanh chóng và đạt hiệu quả cao.
Cần đưa thêm các phương pháp ứng dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp,
tổ hợp… đưa các bài toán về biến số tự nhiên quen thuộc để giải bài toán được
dễ dàng.
Nội dung sách giáo khoa bám sát chương trình và đảm bảo nguyên tắc kế
thừa. Thực tế giảng dạy cho thấy các bài toán tổ hợp xác suất luôn là một dạng
toán khó đối với học sinh, đặc biệt học sinh rất lung túng không biết khi nào
dùng chỉnh hợp khi nào dùng tổ hợp, khi đó sách giáo khoa đã cố gắng trình bày
nội dung này cho thật sinh động gần với thực tiễn. Trong bài có nhiều ví dụ về

các tình huống khác nhau để học sinh có cơ hội thực hành.