Oh2 bài giảng tự luận hệ thức lượng trong tam giác( in hs)

BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁCC LƯỢNG TRONG TAM GIÁCNG TRONG TAM GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.T LÝ THUYẾT.T.
1. Định lí cơsin: nh lí cơsin: Trong tam giác ABC với i BC a, AC b và AB c . Ta có :
a 2 b 2  c 2  2bc.cos A
A
b 2 c 2  a 2  2ca.cos B

c 2 a 2  b 2  2ab.cos C
Hệ quả: quả::
b2  c2  a 2
cos A 
2bc
2
c  a2  b2
cos B 
2ca
2
a  b2  c2
cos C 
2ab

b

c

B

a

C

2. Định lí cơsin: nh lí sin : Trong tam giác ABC với i BC a, AC b , AB c và R là bán kính đường trịn ngoại tiếpng trịn ngoại tiếpi tiếpp.
Ta có :
a
b
c


2 R
sin A sin B sin C
m,m,m
3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác dài trung tuyến: Cho tam giác n: Cho tam giác ABC với i a b c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta cón lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta cót là các trung tuyếpn kẻ từ A, B, C. Ta có từ A, B, C. Ta có A, B, C. Ta có
:
2(b 2  c 2 )  a 2
ma2 
4
2
2(a  c 2 )  b 2
mb2 
4
2
2(a  b 2 )  c 2
2
mc 
4
4. Diện tích tam giácn tích tam giác
h,h,h
Với i tam giác ABC ta kí hiệu u a b c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, dài đường tròn ngoại tiếpng cao lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta cón lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta cót tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng với i các cại tiếpnh BC, CA, AB; R,
r

a bc
p
2
lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta cón lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta cót là bán kính đường trịn ngoại tiếpng tròn ngoại tiếpi tiếpp, nộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,i tiếpp tam giác;
là nửa chu vi tam giác; S là a chu vi tam giác; S là
diệu n tích tam giác. Khi đó ta có:
1
1
1
aha  bhb  chc
2
2
S= 2
1
1
1
bc sin A  ca sin B  ab sin C
2
2
= 2
abc
= 4R
= pr
= p ( p  a )( p  b)( p  c) (công thứng với các cạnh BC, CA, AB; R,c Hê–rơng)
B - CÁC DẠNG TỐN ĐIỂN HÌNHNG TỐN ĐIỂN HÌNHN HÌNH
Dạng tốn 1ng tốn 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁCNH CÁC YẾT.U TỐ TRONG TAM GIÁC TRONG TAM GIÁC
Trang-1-


BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Gồm có 3 loại cơ bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp cơng thứcm có 3 loạng tốn 1i cơ bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứcn hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức cần áp dụng trực tiếp công thứcn áp dụng trực tiếp công thứcng trực tiếp công thứcc tiến: Cho tam giác p công thứcc
Phươ bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứcng pháp:
- Sửa chu vi tam giác; S là dụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin.ng trực tiếp định lí cosin và định lí sin.c tiếpp định lí cosin và định lí sin.nh lí cosin và định lí cosin và định lí sin.nh lí sin.
- Ch n hệu thứng với các cạnh BC, CA, AB; R,c lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta cóng thích hợt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta cóp đ i với i tam giác để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi tính m ộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,t s yếpu t trung gian c ần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta cón thi ếpt đ ể tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi thu ận lợin l ợt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta cói
cho việu c giải tốn.i tốn.
Loạng tốn 1i 1. Xác định lí cơsin: nh các yến: Cho tam giác u tố trong tam giác khi biết độ dài 3 cạnh. trong tam giác khi biến: Cho tam giác t độ dài trung tuyến: Cho tam giác dài 3 cạng toán 1nh.
Lưu ý
Câu1: Cho tam giác ABC có a 13, b 8, c 7 . Tính góc A, suy ra S, ha, R, r, ma.
- Biếpt 3 cại tiếpnh áp
Lời giải tham khảoi giải tham khảoi tham khải tham khảoo
dụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin.ng định lí cosin và định lí sin.nh lí
b2  c2  a 2
1
2
2
2
0
cosin trong tam
a b  c  2bc cos A  cos A 
  A 120
2bc
2
giác sẽ tính đượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta cóc
các góc cịn lại tiếpi
1
1
3
S  bc sin A  56.
14 3

2
2
2
1
2S 28 3
S  a.ha  ha  
2
a
13
abc
abc 7.8.13 13 3
S
 R


4R
4 S 4.14 3
3
S  p.r  r 

2S
2.14 3

 3
a  b  c 7  8  13

b2  c2 a2
57

 ma 

2
4
2
1.1. Giải tam giác ABC biết
a = 2, b = 3, c = 4
a)
.
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci
ma 2 

1.3. Cho tam giác ABC có
AB = 3, AC = 7, BC = 8 .

a) Tính diệu n tích tam giác ABC
b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếpng trịn nộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,i tiếpp, ngoại tiếpi tiếpp
tam giác
c) Tính đường trịn ngoại tiếpng đường tròn ngoại tiếpng cao kẻ từ A, B, C. Ta có từ A, B, C. Ta có đỉnh A.nh A.
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci

Trang-2-

.2. Cho tam giác ABC biếpt a 14; b 18; c 20
1

Tính góc A, B, C, suy ra S, ha, R, r, ma.
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci


BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Loạng toán 1i 2: Tính các yến: Cho tam giác u tố trong tam giác khi biết độ dài 3 cạnh. trong tam giác khi biến: Cho tam giác t độ dài trung tuyến: Cho tam giác dài 2 cạng toán 1nh và góc xen giữaa

Câu2. Cho tam giác ABC có
dài đường tròn ngoại tiếpng cao kẻ từ A, B, C. Ta có từ A, B, C. Ta có A.

AB = 4, AC = 5

và

cosA =

3
5 . Tính cại tiếpnh BC, và độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,

Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci tham khản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứco
Áp dụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin.ng định lí cosin và định lí sin.nh lí cơsin ta có
3
BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB .AC .cosA = 42 + 52 - 2.4.5. = 17
5
Suy ra

Lưu ý
Biếpt 2 cại tiếpnh và
góc xen giữa của a của a
1 tam giác để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi
tính cại tiếpnh cịn lại tiếpi
có 2 cách:
- Sd định lí cosin và định lí sin.nh lí cosin.
- Sd định lí cosin và định lí sin.nh lí sin.

BC = 17
2

2

Vì sin A + cos A = 1 nên

sin A = 1- cos2 A = 1 -

9
4
=
25 5

1
1
4
SABC = AB .AC .sin A = .4.5. = 8
2
2
5
Theo cơng thứng với các cạnh BC, CA, AB; R,c tính diệu n tích ta có
(1)
1
1
SABC = a.ha = . 17.ha
2
2
Mặt khác t khác
(2)

1
16 17
. 17.ha = 8 Þ ha =
17
Từ A, B, C. Ta có (1) và (2) suy ra 2
Vận lợiy độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, dài đường tròn ngoại tiếpng cao kẻ từ A, B, C. Ta có từ A, B, C. Ta có A là
2.1. Giải tam giác ABC biết
µ = 1100
A
.
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci

ha =

16 17
17

a = 12; c = 8,2

Trang-3-

và

2.2. Cho tam giác ABC biếpt: b 7, c 5 và
3
cos A 
5 . Tính sinA, a , suy ra S, ha, R.
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci

BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

2.3. Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = 4 và

µ = 600
A
.
a) Tính chu vi của a tam giác
b) Tính tanC
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp cơng thứci

Loạng tốn 1i 3: Tính các yến: Cho tam giác u tố trong tam giác khi biết độ dài 3 cạnh. trong tam giác biến: Cho tam giác t hai góc và độ dài trung tuyến: Cho tam giác dài cạng toán 1nh đố trong tam giác khi biết độ dài 3 cạnh.i diện tích tam giácn với góc cịn lạii góc cịn lạng tốn 1i
Câu 3. Giải tam giác ABC biết

µ = 600, B
µ = 400
A

và c = 14 .

Lời giải tham khảo

µ
µ µ
0
0
0
0
0

Ta có C = 180 - A - B = 180 - 60 - 40 = 80
Theo định lí sin ta có
c sin A
14.sin600
=
Þ a » 12,3
sinC
sin800
c sin B
14.sin400
b=
=
Þ b » 9,1
sinC
sin800
a=

3.1. Giải tam giác ABC , biết:
µ = 300;
b = 4,5;
A
Trang-4-

Lưu ý
Trong tam giác khi
biếpt hai góc và độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,
dài cại tiếpnh đ i diệu n
với i góc cịn lại tiếpi: áp
dụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin.ng định lí cosin và định lí sin.nh lí Sin
trong tam giác để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi

tính các cại tiếpnh còn
lại tiếpi.

3.2. Cho tam giác ABC cân tại tiếpi A biếpt

Cµ = 750

a  3; B C 300


BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp cơng thứci

Tính R, r, cại tiếpnh c, b, suy ra S
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp cơng thứci

µABC
0 µtiếp đường
3.3. Cho tam giác A
= 30nội
, B = 450 tròn bán
kính bằng 3, biết
. Tính độ dài
trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường trịn nội
tiếp tam giác.
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci

Loại 4: Ứng dụng vào việc đo đạc trong thực tế.
Câu 4. Để lập đường dây cao thế từ vị trí

A đến ví trí B, ta phải tránh một ngọn núi
nên người ta phải nối thẳng đường dây
từ vị trí A đến vị trí C dài 500m, rồi nối từ
vị trí C thẳng đến vị trí B dài 300m. Góc
0
^
ACB bằng 70 . Hỏi so với việc nối thẳng
từ A đến B người ta tốn thêm bao nhiêu
m dây?

Lưu ý

B
A
500m

300m

C

Lời giải tham khảo
Ta có:
AB = BC 2 + AC 2 - 2BC .AC .cos C » 487, 23(m)

Vậy cần thêm 500 + 300 – 487,23 = 312.77 (m) dây.
D

4.2. Giải tham khảo sử chúng ta

4.1. Hai chiếc tàu thuỷ

Trang-5-

A

B

C


BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai
0

hướng tạo với nhau một góc 60 . Tàu thứ nhất
chạy với tốc độ 30 km / h , tàu thứ hai chạy với
tốc độ 40 km / h . Hỏi sau 2 giời giải tham khảo hai tàu cách
nhau bao nhiêu km ?
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci

cần đo chiều cao CD của một cái tháp với C
là chân tháp, D là đỉnh tháp. Vì không để đến
chân tháp được nên từ hai điểm A, B có
khoải tham khảong cách 30m sao cho ba điểm A, B, C
thẳng hàng người giải tham khảoi ta đo được các góc



CAD
430 , CBD

760 . Hãy tính chiều cao CD
của tháp.
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp cơng thứci

Dạng tốn 1ng tốn 2. Chứcng minh quan hện tích tam giác giữaa các yến: Cho tam giác u tố trong tam giác khi biết độ dài 3 cạnh. trong tam giác
Phươ bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp cơng thứcng pháp



Để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi chứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng minh đ ng thứng với các cạnh BC, CA, AB; R,c ta sửa chu vi tam giác; S là dụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin.ng các hệu thứng với các cạnh BC, CA, AB; R,c cơng ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, bải tốn.n để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi biếpn đổi vế này thành vế kia, hai vế i vếp này thành vếp kia, hai vếp
cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng. ng mộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,t vếp hoặt khác c biếpn đổi vế này thành vế kia, hai vế i tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng đương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng về một đẳng thức đúng. mộ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,t đ ng thứng với các cạnh BC, CA, AB; R,c đúng.
Để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi chứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng minh b t đ ng thứng với các cạnh BC, CA, AB; R,c ta sửa chu vi tam giác; S là dụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin.ng các hệu thứng với các cạnh BC, CA, AB; R,c cơng ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, bải toán.n, b t đ ng thứng với các cạnh BC, CA, AB; R,c cại tiếpnh trong tam giác
và b t đ ng thứng với các cạnh BC, CA, AB; R,c cổi vế này thành vế kia, hai vế điể tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợin (Cauchy, bunhiacôpxki,…)

2
Câu 1. Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A = sin B.sinC . Chứng minh rằng
2
a) a = bc

1
2

cosA ³
b)

Lời giải tham khảo
sin A =
a) Áp dụng định lí sin ta có

a

b
c
, sin B =
,sinC =
2R
2R
2R
2

ỉa ÷
ư
b c
÷
sin A = sin B.sinC ỗ
=
.
a2 = bc
ỗ
ữ
ỗ
ố2R ữ
ứ 2R 2R
2

Suy ra
b) p dụng định lí cơsin và câu a) ta có
Trang-6-

đpcm

Lưu ý


BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

b2 + c2 - a2 b2 + c2 - bc 2bc - bc 1
cosA =
=
³
=
2bc
2bc
2bc
2 đpcm
BC = a, CA = b, AB = c 1.2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện
1.1. Tam giác ABC có
và trung tuyếpn AM = AB = c chứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng minh cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vng góc
rằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng. ng:
2
2
2
với nhau là b + c = 5a .
a) a2 = 2(b2 - c2)
b)

sin2 A = 2(sin2 B - sin2 C )

Lời giải

Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci

1.3. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta
có;
a) a = b.cosC + c.cosB
b) sin A = sin B cosC + sinC cosB
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci

1.4. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;
h = 2R sin B sinC
a) a
3
ma2 + mb2 + mc2 = (a2 + b2 + c2)
4
b)
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp cơng thứci

Dạng tốn 1ng tốn 3: Nhận dạng tam giácn dạng tốn 1ng tam giác
Câu 1. Tìm tính ch t đặt khác c biệu t của a tam giác ABC biếpt:
2a cos A b.cos C  c.cos B
Trang-7-

Lưu ý
Cách khác: Áp dụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin.ng định lí cosin và định lí sin.nh lí cosin:


BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

a 2  b2  c 2 a 2  c 2  b2

a

2a
2a
1
 cos A   A 600
2

Lời giải tham khảo

2a cos A 

Yêu cần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta cóu bài tốn tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng đương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R,ng với i:
2(2 R sin A) cos A (2 R sin B) cos C  2 R sin C cos B
 2sin A.cos A sin( B  C ) sin A

1
 cos A  (do sin A 0)  A 600
2
Nhận lợin dại tiếpng tam giác ABC nếpu ta có 1.2. Nhận lợin dại tiếpng tam
1.1.
ìï a = 2bcosC
(1)
ïï
mb2 + mc2 = 5ma2
3
3
í 2 a - b - c3
ïï a =
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp cơng thứci
(2)
a - b- c

ïỵï
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci

Câu 2. Nhận dạng tam giác ABC biết

giác

ABC

biếpt:

Lưu ý

a.sin A + bsin B + c sinC = ha + hb + hc
Lời giải tham khảo
1
1
S = bc sin A = aha
2
2
Áp dụng cơng thức diện tích ta có
suy ra

a.sin A + bsin B + c sinC = ha + hb + hc Û
a.

2S
2S
2S 2S 2S 2S
+ b.

+ c.
=
+
+
bc
ca
ab
a
b
c

Û a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
2

2

2

Û ( a - b) + ( b - c) + ( c - a) = 0

Û a =b=c
Vậy tam giác ABC đều.
2.1. Cho tam giác ABC . Chứng minh tam giác
ABC cân nếu ha = c.sin A
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci

Trang-8-

2.2. Cho tam giác ABC . Chứng minh tam giác ABC
4ma2 = b( b + 4c.cosA )

cân nếu
Lời giảii giản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thứci


BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Trang-9-