Giáo trình Đại số Đại cương nâng cao.

VĂN NAM - PHAN VĂN THIỆN
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
NÂNG CAO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUẾ
Huế, tháng 05, năm 2012.
Giáo trình này được viết bởi Văn Nam và Phan văn
Thiện, giảng viên Khoa Toán, Trường ĐHSP - Đại
học Huế. Giáo trình này được dùng để giảng dạy
và học tập học phần đại số đại cương nâng cao mã
số: TOAN4423 (theo mã học phần) .
CÁC KÝ HIỆU THÔNG DỤNG
Ký hiệu Nghĩa ký hiệu
N Tập hợp các số tự nhiên
Z Tập hợp các số nguyên
Q Tập hợp các số hữu tỷ
R Tập hợp các số thực
C Tập hợp các số phức
≡ (mod n) Đồng dư theo môđulô n
Z
n
Vành các lớp thặng dư theo môđulô n
Z
∗
n
Nhóm các lớp khả nghịch của vành Z
n
Z
p
Trường các lớp thặng dư theo môđulô p (p nguyên tố)
G
s

Nhóm đẳng hướng của phần tử s trong G
Gs Quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G
Z(G) Tâm của nhóm G
Card S Bản số của tập S
cấp G Cấp của nhóm G
(G : H) Chỉ số của nhóm con H trong nhóm G
✁ Nhóm con chuẩn tắc
C
x
Cái chuẩn tắc hóa của x
SL(n, F ) Nhóm các ma trận vuông cấp n trên trường F với định thức bằng 1
⊕ Tổng trực tiếp
R
op
Vành đối của vành R
[P ] Môđun con sinh bởi bộ phận P
[x
1
, . . . , x
n
] Môđun con sinh bởi x
1
, . . . , x
n
[x] Môđun con cyclic sinh bởi x
T or(M) Bộ phận gồm các phần tử xoắn của môđun M
M/M

Môđun thương của môđun M trên môđun con M


Im h Ảnh của đồng cấu môđun (đại số) h
Ker h Hạt nhân của đồng cấu môđun (đại số) h
Coim h Đối ảnh của đồng cấu môđun (đại số) h
ii
Coker h Đối hạt nhân của đồng cấu môđun (đại số) h
S
n
Nhóm đối xứng cấp n
A
n
Nhóm thay phiên cấp n
Hom
R
(M, N) Tập các đồng cấu R−môđun từ M vào N
End
R
(M) Tập các tự đồng cấu R−môđun của M
GL
R
(M) Nhóm tuyến tính tổng quát

i∈I
M
i
Tích của họ R−môđun (M
i
)
i∈I

i∈I

M
i
Đối tích của họ R−môđun (M
i
)
i∈I
⊗ Tích tenxơ
Z(A) Tâm của K−đại số A
A/I Đại số thương của K−đại số A trên iđêan I
iii
LỜI NÓI ĐẦU
Học phần Đại số đại cương nâng cao đã được Trường Đại học Sư phạm-Đại
học Huế đưa vào chương trình đào tạo, theo học chế tín chỉ, của Khoa Toán
từ năm 2008−2009. Đây là học phần đòi hỏi sinh viên phải nắm chắc các kiến
thức trong các học phần Đại số tuyến tính, Đại số đại cương.
Giáo trình này viết trung thành với nội dung và tinh thần trong Đề cương
chi tiết, theo học chế tín chỉ, của học phần này, do Khoa Toán của Trường Đại
học Sư phạm Huế biên soạn. Các khái niệm cơ bản về nhóm Aben, về môđun
và đại số, được trình bày chính xác với các thí dụ minh họa. Hầu hết các định
lý được chứng minh đầy đủ. Giảng viên, tùy theo quỹ thời gian, có thể hướng
dẫn cho sinh viên tự đọc và thuyết trình trên lớp một số phần, một số chứng
minh. Cuối mỗi chương, đều có phần tóm tắt với các định nghĩa chính, các
định lý và các công thức chủ yếu. Và phần bài tập đã được chọn lọc kỹ, kèm
đáp số và hướng dẫn.
Giáo trình gồm ba chương. Trong chương 1, trình bày tác động của nhóm
trên tập và từ đó khảo sát nhóm con Sylow, nhóm Aben tự do, nhóm Aben
hữu hạn sinh. Trong chương 2, trình bày các kiến thức cơ bản có liên quan
đến môđun. Trong chương 3, trình bày các kiến thức cơ bản về đại số và một
số kiểu đại số.
Viết giáo trình này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng

nghiệp đã giảng dạy học các học phần có liên quan đến học phần Đại số đại
cương nâng cao. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các giảng viên đã đọc bản
thảo và đóng góp nhiều ý kiến xác đáng.
Cuối cùng, chúng tôi rất mong được bạn đọc vui lòng chỉ cho những thiếu
sót của cuốn sách để góp phần xây dựng giáo trình Đại số đại cương nâng cao
này được tốt hơn.
Huế, ngày 10 tháng 02 năm 2011.
Văn Nam - Phan văn Thiện
iv
MỤC LỤC
CÁC KÝ HIỆU THÔNG DỤNG ii
LỜI NÓI ĐẦU iv
1 Nhóm Aben 1
1 Tác động của nhóm trên tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Nhóm con Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Nhóm Aben tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Nhóm Aben hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Tóm tắt chương 1 21
Hướng dẫn giải bài tập chương 1 23
Bài tập tổng hợp chương 1 28
2 Môđun 31
1 Môđun và môđun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Các cấu trúc trên tập hợp các đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Tích và tổng của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Tích tenxơ của môđun trên vành giao hoán . . . . . . . . . . . . 63
7 Song môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tóm tắt chương 2 74
v

Hướng dẫn giải bài tập chương 2 82
Bài tập tổng hợp chương 2 96
3 Đại số 103
1 Đại số và đại số con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2 Đồng cấu đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3 Một số kiểu đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Tóm tắt chương 3 129
Hướng dẫn giải bài tập chương 3 132
Bài tập tổng hợp chương 3 138
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Chỉ mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
vi
Chương 1
Nhóm Aben
§ 1 TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM TRÊN TẬP
Định nghĩa 1.1. Cho G là một nhóm và S là một tập. Khi đó, tác động của
nhóm G trên tập S là một ánh xạ
f : G ×S → S
(x, s) → f(x, s)
k/h
= xs,
sao cho với mọi x, y ∈ G, với mọi s ∈ S,
(xy)s = x(ys) và 1
G
s = s.
Thí dụ 1.2.
i) Liên hợp: Cho G là một nhóm; khi đó
f : G ×G → G
(x, y) → f(x, y) = xyx
−1

là một tác động của G trên chính nó, được gọi là tác động liên hợp.
ii) Tịnh tiến: Cho G là một nhóm; khi đó
f : G ×G → G
(x, y) → f(x, y) = xy
là một tác động của G trên chính nó, được gọi là tác động tịnh tiến.
1
2 Chương 1. Nhóm Aben
iii) Cho G là một nhóm, S
1
là tập tất cả các nhóm con của G, S
2
là tập tất
cả các tập con của G. Khi đó, ta có các tác động của G trên S
1
, S
2
là
f
1
: G ×S
1
→ S
1
(x, H) → f
1
(x, H) = xHx
−1
,
f
2

: G ×S
2
→ S
2
(x, A) → f
2
(x, A) = xAx
−1
,
lần lượt được gọi là tác động liên hợp của nhóm G trên tập các nhóm
con của G, và tác động liên hợp của nhóm G trên tập các tập con của
G.
iv) Cho G là một nhóm, H là nhóm con của G, và tập G/H = { xH |x ∈ G }.
Khi đó, ta có tác động của G trên G/H là
f : G ×(G/H) → G/H
(x, yH) → f(x, yH) = (xy)H.
Lưu ý 1.3.
i) Nếu có một tác động của G trên S thì S được gọi là một G− tập.
ii) Cho S là một G− tập; khi đó với mỗi x ∈ G, ánh xạ
T
x
: S → S
s → T
x
(s) = xs
là một song ánh, với ánh xạ ngược là T
x
−1
. Và x → T
x

là một đồng cấu
từ nhóm G đến nhóm các phép thế của tập S.
iii) Cho G tác động liên hợp trên chính nó; khi đó với mỗi x ∈ G, ánh xạ
σ
x
: G → G
y → σ
x
(y) = xyx
−1
là một tự đẳng cấu của nhóm G, với σ
−1
x
= σ
x
−1
. Và x → σ
x
là một đồng
cấu từ nhóm G đến nhóm các tự đẳng cấu của G.
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§1. Tác động của nhóm trên tập 3
Định nghĩa 1.4. Cho S là một G−tập. Khi đó, với s ∈ S,
G
s
= { x ∈ G | xs = s }
là một nhóm con của G, được gọi là nhóm đẳng hướng của phần tử s trong
G . Và
Gs = { xs | x ∈ G }
được gọi là quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G.

Thí dụ 1.5.
i) Cho nhóm G tác động liên hợp trên chính nó; khi đó với mỗi x ∈ G,
nhóm đẳng hướng của x trong G là
G
x
= { y ∈ G | yxy
−1
= x },
đó chính là cái tâm hóa C
x
của x. Và quỹ đạo của x đối với G là
Gx = { yxy
−1
| y ∈ G }.
ii) Cho nhóm G tác động liên hợp trên tập S
1
các nhóm con của G. Khi đó,
với mỗi H ∈ S
1
, nhóm đẳng hướng của H trong G là
G
H
= { x ∈ G | xHx
−1
= H },
đó chính là cái chuẩn tắc hóa N
H
của H trong G. Và quỹ đạo của H đối
với G là
GH = { xHx

−1
| x ∈ G }.
Mệnh đề 1.6. Cho S là một G−tập và s ∈ S. Khi đó
Card Gs = (G : G
s
)
Chứng minh. Xét tương ứng f : G/G
s
−→ Gs xác định bởi f(xG
s
) = xs, khi
đó f là một đơn ánh vì với mọi xG
s
, yG
s
∈ G/G
s
,
xG
s
= yG
s
⇒ x
−1
y ∈ G
s
⇒ s = (x
−1
y)s = x
−1

(ys)
⇒ xs = ys,
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
4 Chương 1. Nhóm Aben
và
f(xG
s
) = f(yG
s
) ⇒ xs = ys
⇒ s = x
−1
(ys) = (x
−1
y)s
⇒ x
−1
y ∈ G
s
⇒ xG
s
= yG
s
.
Và rõ ràng f là toàn ánh, do đó f là song ánh. Vì vậy
Card Gs = (G : G
s
)
Mệnh đề 1.7. Cho S là một G−tập. Khi đó, hai quỹ đạo đối với nhóm G
hoặc rời nhau hoặc trùng nhau.

Chứng minh. Giả sử Gs
1
, Gs
2
là hai quỹ đạo bất kỳ đối với nhóm G. Khi
đó, nếu Gs
1
∩ Gs
2
= ∅, tức tồn tại s ∈ Gs
1
∩ Gs
2
, thì s = x
1
s
1
= x
2
s
2
, với
x
1
, x
2
∈ G. Và ta có
xs
1
∈ Gs

1
⇒ xs
1
= x(x
−1
1
s)
= x(x
−1
1
(x
2
s
2
))
= (xx
−1
1
x
2
)s
2
∈ Gs
2
,
tức
Gs
1
⊂ Gs
2

. (1)
Tương tự
Gs
2
⊂ Gs
1
. (2)
Từ (1) và (2) ta có
Gs
1
= Gs
2
Mệnh đề 1.8.
i) Cho S là một G−tập. Khi đó
Card S =

i∈I
(G : G
s
i
),
trong đó S = ∪
i∈I
G
s
i
, với G
s
i
đôi một rời nhau.

✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§1. Tác động của nhóm trên tập 5
ii) Khi G tác động liên hợp trên chính nó, ta có
cấp G = cấp Z(G) +

x∈C
(G : C
x
),
trong đó C là tập các đại diện không thuộc tâm Z(G) của các lớp khác
nhau của các phần tử liên hợp, và C
x
là cái chuẩn tắc hóa của x.
Chứng minh.
i) Theo Mệnh đề 1.7, ta có
S =

i∈I
Gs
i
,
với Gs
i
đôi một rời nhau. Từ đó, theo Mệnh đề 1.6, ta có
Card S =

i∈I
Card Gs
i
=


i∈I
(G : G
s
i
).
ii) Vì nhóm đẳng hướng của x trong G là G
x
= C
x
, nên theo i), ta có
cấp G =

i∈I
(G : C
x
i
),
trong đó G = ∪
i∈I
Gs
i
, với Gs
i
đôi một rời nhau.
Ngoài ra,
x ∈ Z(G)

yxy
−1

= x, ∀y ∈ G

Gx = {x}

(G : C
x
) = 1.
Vì vậy
cấp G =

x∈Z(G)
(G : C
x
) +

x∈C
(G : C
x
)
= cấp Z(G) +

x∈C
(G : C
x
)
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
6 Chương 1. Nhóm Aben
Định nghĩa 1.9. Cho G là một nhóm. Khi đó
i) Dãy các nhóm con (lồng vào nhau)
G

m
⊂ ··· ⊂ G
2
⊂ G
1
⊂ G
0
= G (1)
được gọi là một tháp nhóm con của G
ii) Tháp nhóm con (1) được gọi là tháp chuẩn tắc nếu
G
i+1
✁ G
i
, i = 0, 1, . . . , m −1.
iii) Tháp chuẩn tắc sao cho mỗi nhóm thương G
i
/G
i+1
là Aben (t.t.t cyclic)
được gọi là tháp Aben(t.t.t tháp cyclic).
iv) Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nó có một tháp Aben mà hạng
tử cuối cùng G
m
= {1
G
}.
Thí dụ 1.10.
i) S
3

là nhóm giải được, vì S
3
có một tháp cyclic
{1
S
3
} ⊂ [(1 2 3)]
3
⊂ S
3
.
ii) Mọi nhóm Aben (t.t.t cyclic) đều giải được.
iii) Cho H ✁ G; khi đó nếu H và G/H đều giải được thì G giải được. Thật
vậy, xét phép chiếu chính tắc
p : G → G/H
x → xH.
Khi đó, vì G/H giải được nên có một tháp Aben mà hạng tử cuối cùng
G

m
= {H}:
G

m
= {H} ⊂ . . . ⊂ G

2
⊂ G

1

⊂ G

0
= G/H.
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§1. Tác động của nhóm trên tập 7
Lấy G
i
= p
−1
(G

i
); thì ta có tháp Aben
G
m
= H ⊂ . . . ⊂ G
2
⊂ G
1
⊂ G
0
= G (∗).
Ngoài ra, do H giải được nên ta có tháp Aben mà hạng tử cuối cùng
H
n
= {1
G
}:
H

n
= {1
G
} ⊂ . . . ⊂ H
2
⊂ H
1
⊂ H
0
= H (∗∗).
Từ (∗) và (∗∗) ta có tháp Aben:
{1
G
} ⊂ . . . ⊂ H
2
⊂ H
1
⊂ G
m
⊂ . . . ⊂ G
2
⊂ G
1
⊂ G,
tức G là nhóm giải được.
Định nghĩa 1.11. Cho p là một số nguyên tố. Khi đó, nhóm hữu hạn G được
gọi là một p− nhóm nếu G có cấp là một lũy thừa của p.
Định lý 1.12. Cho G là một p−nhóm. Khi đó
i) Nếu cấp G > 1 thì Z(G) = {1
G

},
ii) G giải được.
Chứng minh. i) Theo ii) Mệnh đề 1.8, ta có
cấp G = cấp Z(G) +

x∈C
(G : C
x
), (∗)
trong đó C là tập các đại diện không thuộc tâm Z(G) của các lớp khác nhau
của các phần tử liên hợp, và C
x
là cái chuẩn tắc hóa của x.
Vì x ∈ Z(G) nên (G : C
x
) = cấp Gx = 1, tức mỗi hạng tử của tổng trong (∗)
đều là bội của p. Từ đó
p | cấp Z(G) ⇒ cấp Z(G) = 1 ⇒ Z(G) = {1
G
}.
ii) Nếu cấp G = 1, thì rõ ràng G giải được. Còn nếu cấp G > 1 thì theo i),
Z(G) = {1
G
}, cho nên cấp G/Z(G) < cấp G. Từ đó, bằng quy nạp ta chứng
minh G giải được.
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
8 Chương 1. Nhóm Aben
Bài tập
Bài 1.1. Cho G là một nhóm hữu hạn cấp n, và p là ước nguyên tố bé nhất
của n, và H là một nhóm con của G sao cho (G : H) = p. Chứng minh rằng

H ✁ G.
Bài 1.2. Chứng tỏ rằng tồn tại đúng hai nhóm cấp 8 không Aben không đẳng
cấu với nhau (Một trong chúng cho bởi các phần tử sinh τ, σ và các hệ thức
σ
4
= 1, τ
2
= 1, τστ = σ
3
.
Nhóm kia là nhóm các quatecnion.)
§ 2 NHÓM CON SYLOW
Định nghĩa 2.1. Cho G là một nhóm hữu hạn, H là một nhóm con của G,
và p là một số nguyên tố. Khi đó
i) H được gọi là một p−nhóm con của G nếu H là p−nhóm.
ii) H được gọi là một p−nhóm con Sylow của G nếu H có cấp p
n
và p
n
là
lũy thừa cao nhất của p chia hết cấp của G.
Thí dụ 2.2.
i) Trong S
3
, các 2−nhóm con Sylow là
[(1 2)]
2
, [(1 3)]
2
, [(2 3)]

2
.
Và có một 3−nhóm con Sylow là
[(1 2 3)]
3
= [(1 3 2)]
3
.
ii) Trong Z
12
, có một 2−nhóm con Sylow là
[
¯
3]
4
= {
¯
0,
¯
3,
¯
6,
¯
9 }.
Và có một 3−nhóm con Sylow là
[
¯
4]
3
= {

¯
0,
¯
4,
¯
8 }.
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§2. Nhóm con Sylow 9
Bổ đề 2.3. Cho G là một nhóm Aben hữu hạn cấp m, và p là một số nguyên
tố chia hết m. Khi đó, trong G chứa một nhóm con cấp p.
Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh bằng quy nạp: nếu G có số mũ n (tức
n ∈ N
∗
sao cho a
n
= 1
G
, với mọi a ∈ G) thì cấp của nhóm G chia hết một lũy
thừa nào đó của n. Thật vậy, lấy b ∈ G, b = 1
G
và xét H = [b]; khi đó cấp
H | n vì b
n
= 1
G
. Hơn nữa, vì G là nhóm Aben nên ta có nhóm thương G/H
và n cũng là số mũ của G/H; do đó cấp (G/H) chia hết một lũy thừa nào đó
của n (theo giả thiết quy nạp). Từ đó, suy ra cấp của G chia hết một lũy thừa
nào đó của n vì
cấp G = cấp (G/H)cấp H.

Bây giờ, giả sử p | cấp G = m, khi đó theo điều vừa chứng minh, trong G tồn
tại một phần tử x có cấp là một bội khác không của p, tức ord x = ps, s = 0
(vì nếu không thì lấy số mũ n của G là bội chung nhỏ nhất của các cấp của
các phần tử của G ta sẽ thấy cấp G = m không chia hết một lũy thừa nào của
n cả). Suy ra, ord x
s
= p, và vì vậy cấp [x
s
] = p.
Định lý 2.4. Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố chia hết
cấp của G. Khi đó, trong G tồn tại một p−nhóm con Sylow.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo cấp của nhóm G. Khi cấp
G = p thì khẳng trên rõ ràng đúng. Giả sử Định lý đã được chứng minh đối
với tất cả các nhóm có cấp bé hơn cấp của G; khi đó nếu trong G có một nhóm
con thực sự H mà có chỉ số nguyên tố với p, thì p−nhóm con Sylow của H
cũng là p−nhóm con Sylow của G. Còn nếu mọi nhóm con thực sự của G đều
có chỉ số chia hết cho p, thì xét tác động liên hợp của G trên chính nó ta có
cấp G = cấp Z(G) +

x∈C
(G : C
x
),
với p | (G : C
x
). Từ đó suy ra p | Z(G), suy ra Z(G) = {1
G
}.
Theo Bổ đề 2.3, trong Z(G) tồn tại một nhóm con cyclic H sinh bởi một
phần tử cấp p. Vì H ⊂ Z(G) nên H ✁ G. Xét phép chiếu chính tắc f : G →

G/H, x → xH; khi đó nếu p
n
là lũy thừa cao nhất của p chia hết cấp của G
thì p
n−1
là lũy thừa cao nhất của p chia hết cấp của G/H, nên theo giả thiết
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
10 Chương 1. Nhóm Aben
quy nạp, tồn tại p−nhóm con Sylow K’ của G/H với cấp p
n−1
, và K

∼
=
K/H
với K = f
−1
(K

). Do đó, K là nhóm con của G với cấp p
n
, tức K là một
p−nhóm con Sylow của G.
Định lý 2.5. Đối với mọi nhóm hữu hạn G
i) Mỗi p−nhóm con được chứa trong một p−nhóm con Sylow nào đó,
ii) Tất cả các p−nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau,
iii) Số các p−nhóm con Sylow của G ≡ 1 (mod p).
Chứng minh.
i) Đặt S là tập các p−nhóm con Sylow của G, và xét tác động liên hợp của
G trên S. Lấy P là một p−nhóm con Sylow của G; khi đó nhóm đẳng hướng

G
P
chứa P, và do đó quỹ đạo GP có số phần tử nguyên tố với p (vì Card
GP = (G : G
P
)).
Giả sử H là một p−nhóm con cấp lớn hơn 1 của G; khi đó H tác động liên
hợp trên GP và GP được phân tích thành hợp của các quỹ đạo đối với H đôi
một rời nhau. Vì cấp của H là một lũy thừa của p nên chỉ số của một nhóm
con thực sự bất kỳ của nó chia hết cho p, do đó có ít nhất một trong các quỹ
đạo đối với H trong GP gồm chỉ một phần tử,tức là gồm chỉ một nhóm con
Sylow P

nào đó. Khi đó, H chứa trong cái chuẩn tắc hóa của P

và do đó
HP

là một nhóm con của G. Ngoài ra, P

✁ HP

. Vì
(HP

)/P

∼
=
H/(H ∩P


)
nên cấp của (HP

)/P

là một lũy thừa của p, suy ra cấp của HP

là lũy thừa
của p. Vì P

là p−nhóm con tối đại trong G, nên HP

= P

, và do đó H ⊂ P

.
ii) Lấy H là một p−nhóm con Sylow của G; khi đó theo chứng minh trên,
H ⊂ P

, với P

liên hợp với P. vì cấp H=cấp P

nên H = P

, tức H liên hợp
với P.
iii) Lấy H = P ; khi đó chỉ có một quỹ đạo đối với H chứa đúng một phần

tử (chính P ,) còn các quỹ đạo khác có nhiều hơn một phần tử, tức số phần tử
của các quỹ đạo đó đều chia hết cho p. Vì vậy, số số các p−nhóm con Sylow
của G ≡ 1 (mod p).
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§3. Nhóm Aben tự do 11
Bài tập
Bài 2.1. Cho G là một nhóm hữu hạn cấp n và p là một ước nguyên tố của
n, và n = mp
k
với (m, p) = 1. Chứng minh rằng số các p− nhóm con Sylow
của G là một ước của m.
Bài 2.2. Tìm số các 5−nhóm con Sylow của A
5
.
Bài 2.3. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 6 đều đẳng cấu với một trong hai
nhóm Z
6
và S
3
.
Bài 2.4. Chứng minh rằng
i) Mọi nhóm cấp pq (trong đó p, q là các số nguyên tố và p < q) hoặc là
nhóm cyclic, hoặc là nhóm không Aben với một q− nhóm con Sylow chuẩn tắc.
ii) Trường hợp sau xẩy ra khi và chỉ khi q − 1 chia hết cho p.
iii) Mọi nhóm cấp 15 đều cyclic.
Bài 2.5. Chứng minh rằng tập hợp P các ma trận
±

¯
1

¯
0
¯
0
¯
1

, ±

¯
1 −
¯
1
−
¯
1 −
¯
1

, ±

−
¯
1 −
¯
1
−
¯
1
¯

1

, ±

¯
0
¯
1
−
¯
1
¯
0

,
với các phần tử trong Z
3
là một 2−nhóm con Sylow chuẩn tắc trong SL(2, Z
3
).
Trong đó
SL(n, F ) = { A ∈ GL(n, F ) | det (A) = 1 },
với F là một trường.
§ 3 NHÓM ABEN TỰ DO
Định nghĩa 3.1. Cho S là một tập khác rỗng. Khi đó, nhóm Aben tự do trên
S là một cặp (f, F), trong đó F là một nhóm Aben và f là một ánh xạ từ S
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
12 Chương 1. Nhóm Aben
đến F, sao cho
Với mỗi cặp (g, G), trong đó G là một nhóm Aben và g là một ánh xạ từ

S đến G, tồn tại duy nhất một đồng cấu nhóm h : F → G thỏa mãn g = hf.
Định lý 3.2. Với mỗi tập S khác rỗng, nhóm Aben tự do trên S tồn tại và
duy nhất (sai khác đẳng cấu).
Chứng minh. Xét
Z
(S)
= {α : S → Z | α(x) = 0, trừ một số hữu hạn x ∈ S }.
Khi đó, trong Z
(S)
có phép toán hai ngôi như sau: Với mỗi α, β ∈ Z
(S)
,
(α + β)(x) = α(x) + β(x), ∀x ∈ S;
và dễ thấy (Z
(S)
, +) là một nhóm Aben với phần tử không là ánh xạ 0 : S → Z,
xác định bởi 0(x) = 0, với mọi x ∈ S.
Với k ∈ Z, x ∈ S, ta xét ánh xạ
k.x : S → Z
u → k.x(u) =

k, nếu u = x;
0, nếu u = x.
Khi đó, rõ ràng k.x ∈ Z
(S)
và mỗi α ∈ Z
(S)
đều có thể viết một cách duy nhất
dưới dạng
α =


x∈S
k
x
.x (∗) (tổng có giá hữu hạn),
trong đó k
x
∈ Z, x ∈ S. Thật vậy, ta có thể thấy ngay α viết được dưới dạng
(∗), với k
x
= α(x) là những giá trị khác không của α; ngoài ra
α =

x∈S
k
x
.x =

x∈S
k

x
.x
⇓
0 =

x∈S
(k
x
− k


x
).x
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§3. Nhóm Aben tự do 13
⇓
k
x
= k

x
, với mỗi x ∈ S.
Xét ánh xạ f : S → Z
(S)
, xác định bởi f(x) = 1.x, với mọi x ∈ S; khi
đó f là đơn ánh, nên ta thường đồng nhất S với ảnh f(S) ⊂ Z
(S)
. Hơn nữa,
(f, Z
(S)
) là một nhóm Aben tự do vì nếu G là một nhóm Aben và g : S → G,
thì h : Z
(S)
→ G xác định bởi
h(

x∈S
k
x
.x) =


x∈S
k
x
g(x),
là đồng cấu nhóm duy nhất thỏa mãn g = hf.
Ngoài ra, giả sử (f
1
, F
1
) và (f
2
, F
2
) là hai nhóm Aben tự do trên cùng một
tập S; khi đó tồn tại một đồng cấu nhóm h
1
: F
1
→ F
2
sao cho h
1
f
1
= f
2
và
tồn tại một đồng cấu nhóm h
2

: F
2
→ F
1
sao cho h
2
f
2
= f
1
. Từ đó
f
1
= h
2
f
2
= (h
2
h
1
)f
1
⇓
h
2
h
1
= Id
F

1
,
do (f
1
, F
1
) là nhóm Aben tự do.
Tương tự
h
1
h
2
= Id
F
2
.
Vậy h
1
là một đẳng cấu nhóm.
Định nghĩa 3.3. Nhóm G được gọi là nhóm Aben tự do nếu G
∼
=
Z
(S)
, với
một tập S nào đó. Và khi đó, S được gọi là một cơ sở của nhóm Aben tự do
G.
Quy ước: nhóm 0 được coi như là nhóm Aben tự do sinh bởi tập rỗng.
Bổ đề 3.4. Giả sử h : G → G


là một toàn cấu từ nhóm Aben G lên nhóm
Aben G

, và Ker h = H. Khi đó, nếu G

là tự do thì trong G tồn tại một nhóm
con K sao cho h
|K
là một đẳng cấu từ K lên G

và G = H ⊕ K.
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
14 Chương 1. Nhóm Aben
Chứng minh. Giả sử {x

i
}
i∈I
là một cơ sở của G

và với mỗi i ∈ I, giả sử x
i
là
một phần tử nào đó của G sao cho h(x
i
) = x

i
. Đặt K là nhóm con của G sinh
bởi tất cả các phần tử x

i
, i ∈ I. Nếu

i∈I
n
i
x
i
= 0
với n
i
là những số nguyên sao cho chỉ có một số hữu hạn khác 0, thì
0 =

i∈I
n
i
h(x
i
) =

i∈I
n
i
x

i
,
từ đó n
i

= 0, với mọi i ∈ I. Do đó, {x
i
}
i∈I
là một cơ sở của nhóm con K. Lý
luận tương tự, nếu z ∈ K và h(z) = 0 thì z = 0, và do đó H ∩ K = {0}.
Ngoài ra, với mỗi x ∈ G, vì h(x) ∈ G

nên tồn tại các số nguyên n
i
, i ∈ I
sao cho
h(x) =

i∈I
n
i
x

i
.
Suy ra
h(x −

i∈I
n
i
x
i
) = h(x) −


i∈I
n
i
x

i
= h(x) −h(x) = 0,
tức x −

i∈I
n
i
x
i
∈ H. Từ đó G = H + K, và vì vậy G = H ⊕ K.
Định lý 3.5. Cho G là một nhóm Aben tự do và H là một nhóm con của
G. Khi đó, H cũng là một nhóm Aben tự do và lực lượng của cơ sở của H bé
hơn hoặc bằng lực lượng của cơ sở của G. Hai cơ sở bất kỳ của H có cùng lực
lượng, gọi là hạng của H.
Chứng minh. Ta chỉ chứng minh bằng quy nạp theo n, trong trường hợp G
hữu hạn sinh với cơ sở {x
1
, . . . , x
n
}, n ≥ 1 (trong trường hợp G không hữu
hạn sinh, có thể lý luận tương tự bằng quy nạp siêu hạn). Thật vậy, ta có
G = Zx
1
⊕ ···⊕Zx

n
.
Xét phép chiếu p : G → Zx
1
, xác định bởi p(m
1
x
1
+ ··· + m
n
x
n
) = m
1
x
1
, và
đặt H
1
= Ker p
|H
. Khi đó H
1
chứa trong nhóm con tự do sinh bởi {x
2
, . . . , x
n
}.
Theo giả thiết quy nạp, H
1

là tự do và cơ sở có lực lượng bé hơn hoặc bằng
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§4. Nhóm Aben hữu hạn sinh 15
n − 1. Theo Bổ đề 3.4, trong H tồn tại một nhóm con K
1
đẳng cấu với một
nhóm con của Zx
1
sao cho
H = H
1
⊕ K
1
.
Vì Zx
1
là nhóm cyclic vô hạn nên K
1
hoặc bằng {0} hoặc cyclic vô hạn (tức
là nhóm Aben tự do với một phần tử sinh). Do đó, H là Aben tự do có cơ sở
S = {y
1
, . . . , y
m
}, với m ≤ n. Như vậy, ta chỉ còn cần chứng minh hai cơ sở
bất kỳ của H có cùng lực lượng.
Thật vậy, giả sử T là một cơ sở khác của H chứa ít nhất r phần tử z
1
, . . . , z
r

.
Xét p là một số nguyên tố; khi đó vì
H
∼
=
Zy
1
⊕ ···⊕Zy
m
nên
H/pH
∼
=
Z
p
y
1
⊕ ···⊕Z
p
y
m
.
Và vì T cũng là một cơ sở của H nên Z
p
z
1
⊕···⊕Z
p
z
r

đẳng cấu với một nhóm
con của H/pH có p
r
phần tử. Suy ra p
r
≤ p
m
, tức r ≤ m, và do đó số phần
tử của T bé hơn hoặc bằng m. Do vai trò của S và T như nhau, nên lý luận
tương tự ta có m bé hơn hoặc bằng số phần tử của T.
Bài tập
Bài 3.1. Nhóm cyclic có phải là nhóm Aben tự do không?
Bài 3.2. i) Chứng minh rằng nhóm (Z, +) là nhóm Aben tự do, nhưng (Q, +)
không phải là nhóm Aben tự do.
ii) (R, +) và (C, +) có phải là nhóm Aben tự do không?
§ 4 NHÓM ABEN HỮU HẠN SINH
Nhóm Aben hữu hạn sinh, tức là nhóm Aben có một tập sinh hữu hạn, là
một loại nhóm thường gặp. Trong mục này ta sẽ mô tả một cách hoàn chỉnh
cấu trúc của loại nhóm này.
Định nghĩa 4.1. Cho G là một nhóm Aben (phép toán ký hiệu +). Khi đó
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
16 Chương 1. Nhóm Aben
i) Phần tử x ∈ G được gọi là phần tử tuần hoàn nếu ord x hữu hạn.
ii) Bộ phận tất cả các phần tử tuần hoàn của nhóm G lập thành một nhóm
con của G, được gọi là nhóm con xoắn của G.
iii) Nhóm G được gọi là nhóm tuần hoàn nếu G trùng với nhóm con xoắn
của nó.
Lưu ý 4.2. i) Nếu ord x = n và ord x = m thì ord (x ± y) | mn. Và rõ
ràng mọi nhóm Aben tuần hoàn hữu hạn sinh đều hữu hạn.
ii) Với p là số nguyên tố, ta ký hiệu G(p) là bộ phận gồm các phần tử x ∈ G

sao cho ord x = p
n
, với n ∈ N nào đó. Khi đó, theo i), G(p) là một nhóm
con tuần hoàn của G; và hơn nữa G(p) là một p−nhóm nếu G(p) hữu
hạn (theo Bổ đề 2.3 của §2).
Định lý 4.3. Cho G là một nhóm Aben hữu hạn. Khi đó, G là tích trực
tiếp của các nhóm con G(p) của nó theo tất cả các số nguyên tố p sao cho
G(p) = {0}.
Chứng minh. Trước hết, nếu cấp G = n là một lũy thừa của một số nguyên
tố p, thì rõ ràng G = G(p). Còn nếu trái lại thì n = mm

, với m, m

là các
số nguyên lớn hơn 1 và (m, m

) = 1. Và theo Định lý Bezout, tồn tại r, s ∈ Z
sao cho
rm + sm

= 1.
Vì vậy, G = rmG+sm

G ⊂ mG+m

G ⊂ G, từ đó suy ra G = mG+m

G. Ngoài
ra, nếu x ∈ mG ∩m


G thì m

x = 0 và mx = 0, và từ đó x = rmx + sm

x = 0.
Như vậy, G là tích trực tiếp của hai nhóm con mG và m

G.
Hơn nữa, nếu ký hiệu G
k
là nhóm con của G gồm tất cả các x mà kx = 0, thì
G
m
= m

G và G
m

= mG. Thật vậy, rõ ràng m

G ⊂ G
m
(do mm

G = {0}); và
ngược lại nếu x ∈ G
m
thì x = rmx + sm

x = m


sx ∈ m

G. Do đó, m

G = G
m
,
và tương tự mG = G
m

. Như thế
G = G
m
× G
m

,
trong đó |G
m
| = m và |G
m

| = m

(do (|G
m
|, m

) = 1, (|G

m

|, m) = 1 và
|G
m
||G
m

| = n = mm

). Và bằng quy nạp ta có được kết luận của Định lý.
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§4. Nhóm Aben hữu hạn sinh 17
Định nghĩa 4.4. Cho G là một nhóm. Khi đó
i) G được gọi là nhóm không xoắn nếu đơn vị là phần tử duy nhất trong G
có cấp hữu hạn.
ii) Giả sử G là một p−nhóm hữu hạn và r
1
, . . . , r
s
là các số nguyên ≥ 1.
Khi đó, được gọi là nhóm kiểu (p
r
1
, . . . , p
r
s
) nếu nó đẳng cấu với tích
trực tiếp của các nhóm cyclic cấp p
r

i
, i = 1, . . . , s.
Bổ đề 4.5. Giả sử G là một p−nhóm Aben hữu hạn, a
1
∈ G là một phần tử
nào đó có ord a
1
= p
r
1
tối đại, G
1
= [a
1
], và
¯
b ∈ G/G
1
với ord
¯
b = p
r
. Khi đó
tồn tại một đại diện a của
¯
b với ord a = p
r
.
Chứng minh. Vì ord
¯

b = p
r
nên p
r
b ∈ G
1
, tức p
r
b = na
1
, n ∈ Z. Giả sử
n = p
k
m, (m, p) = 1; khi đó ma
1
cũng là phần tử sinh của G
1
, và vì vậy
ord (ma
1
) = p
r
1
. Ta có thể giả sử k ≤ r
1
, và khi đó ord (p
k
ma
1
) = p

r
1
−k
. Từ
đó suy ra
ord b = p
r+r
1
−k
.
Suy ra r + r
1
− k ≤ r
1
, và do đó r ≤ k. Điều này chứng tỏ tồn tại c ∈ G
1
sao cho p
r
b = p
r
c (do n = p
k
m và p
r
b = na
1
= p
k
ma
1

= p
r
p
k−r
ma
1
). Đặt
a = b −c, khi đó a là một đại diện của
¯
b. Vì
p
r
= ord
¯
b ≤ ord a
và p
r
a = p
r
b −p
r
c = 0, nên ord a = p
r
.
Định lý 4.6. Mọi p− nhóm Aben hữu hạn đều đẳng cấu với tích trực tiếp các
p− nhóm cyclic. Và nếu nó là nhóm kiểu (p
r
1
, . . . , p
r

s
), với r
1
≥ ··· ≥ r
s
≥ 1,
thì dãy (r
1
, . . . , r
s
) được xác định duy nhất.
Chứng minh. Giả sử G là một p−nhóm Aben hữu hạn, khi đó trước hết nếu
0 = b ∈ G, k ∈ N sao cho p
k
b = 0, và p
m
= ord (p
k
b), thì ord b = p
k+m
. Và ta
sẽ chứng minh định lý bằng quy nạp theo cấp của G. Theo giả thiết quy nạp
nhóm thương
G/G
1
= G
2
× . . . ×G
s
,

trong đó G
j
là các nhóm con cyclic cấp p
r
j
của G/G
1
, với r
2
≥ . . . r
s
.
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
18 Chương 1. Nhóm Aben
Giả sử a
j
là phần tử sinh của G
j
(j = 2, . . . , s) với ord a
j
= ord a
j
(xem
Bổ đề 4.5). Giả sử G
j
là nhóm con cyclic sinh bởi a
j
. Ta sẽ chứng minh
G = G
1

× . . . ×G
s
.
Thật vậy, với mỗi ¯x ∈ G/G
1
tồn tại các m
j
∈ Z (j = 2, . . . , s) sao cho
¯x = m
2
¯a
2
+ ···+ m
s
¯a
s
.
Suy ra x −m
2
a
2
− ···−m
s
a
s
∈ G
1
, tức tồn tại m
1
∈ Z sao cho

x = m
1
a
1
+ ···+ m
s
a
s
,
và do đó G = G
1
+ ···+ G
s
.
Ngoài ra, giả sử m
1
, . . . , m
s
là các số tự nhiên sao cho
0 = m
1
a
1
+ ···+ m
s
a
s
(∗);
khi đó, vì ord a
j

= p
r
j
nên ta có thể xem m
j
< p
r
j
. Từ (∗) ta được
¯
0 = m
2
¯a
2
+ ···+ m
s
¯a
s
.
Suy ra m
j
= 0, j = 2, . . . , s (do G/G
1
= G
2
×. . .×G
s
), và theo (∗) thì m
1
= 0.

Từ đó suy ra
(G
1
+ ···+ G
i
) ∩G
i+1
= {0}, với mỗi i ≥ 1,
tức G = G
1
× . . . ×G
s
.
Tính duy nhất của dãy (r
1
, . . . , r
s
) cũng được chứng minh bằng quy nạp.
Thật vậy, giả sử G có đồng thời các kiểu
(p
r
1
, . . . , p
r
s
) và (p
m
1
, . . . , p
m

k
),
trong đó r
1
≥ ··· ≥ r
s
≥ 1 và m
1
≥ ··· ≥ m
k
≥ 1. Khi đó, pG cũng là p−
nhóm với cấp bé hơn cấp của G và có các kiểu
(p
r
1
−1
, . . . , p
r
u
−1
) và (p
m
1
−1
, . . . , p
m
v
−1
), u ≤ s, v ≤ k.
Do đó, theo giả thiết quy nạp ta có u = v và r

i
−1 = m
i
−1, i = 1, . . . , u. Từ
đó suy ra G có các kiểu
(p
r
1
, . . . , p
r
n
, p, . . . , p
  
ν
) và (p
r
1
, . . . , p
r
n
, p, . . . , p
  
µ
).
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê