Khóa Luận Phân Tích Nguyên Sơ Của Iđêan Đơn Thức.pdf

Mửc lửc
M Ưu

0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7

Sỹ cƯn thiát cừa à ti . . . . . .
Mửc ẵch nghiản cựu . . . . . . .
ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu
Nởi dung nghiản cựu . . . . . . .
Phữỡng phĂp nghiản cựu . . . . .
Kát quÊ Ôt ữủc . . . . . . . . .
CĐu tróc · t i . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

1 Kián thực chuân b

1.1 Vnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 I¶an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan tờng quĂt
2.1 PhƠn tẵch nguyản sỡ . . . .
2.1.1 Iảan nguyản sỡ . . .
2.1.2 PhƠn tẵch nguyản sỡ
2.2 Iảan nguyản tố liản kát . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

3 PhƠn tẵch nguyản sỡ cõa i¶an ìn thùc v  i¶an trong v nh Z

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

3

3
3
3
3
3
3
4

5

5
6

10

10
10
12
14

16

3.1 I¶an ìn thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Kát luên

25

1


Lới cÊm ỡn
Khõa luên ny ữủc hon thnh dữợi sỹ dăn dưt v ch bÊo tên tẳnh cừa TS. Lả
XuƠn Dụng. Em xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh nhĐt án thƯy. ThƯy  tên tẳnh

hữợng dăn, hát lỏng giúp ù em trong suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu  hon
thnh khõa luên.
Em xin trƠn trồng cÊm ỡn cĂc thƯy cổ giĂo trong Tờ Bở mổn Ôi Số - Khoa Khoa

hồc tỹ nhiản - Trữớng Ôi Hồc Hỗng ực, Ban chừ nhiằm Khoa KHTN Â tÔo mồi
iÃu kiằn thuên lủi cho em trong quĂ trẳnh hồc têp, thỹc hiằn v hon thnh khõa
luên.
Dũ rĐt cố gưng, xong khõa luên cụng khổng trĂnh khọi nhỳng hÔn chá v thiáu sõt.
Em rĐt mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa thƯy cổ v cĂc bÔn.

TĂc giÊ

Trnh Quốc TuĐn

2


M Ưu
0.1 Sỹ cƯn thiát cừa à ti

Iảan l mởt kh¡i ni»m cì b£n v  quan trång cõa c§u tróc vnh. Trong chữỡng trẳnh
Ôi số Ôi cữỡng, sinh viản  ữủc tiáp cên vợi mởt số loÔi iảan c biằt nhữ: iảan
nguyản tố, iảan cỹc Ôi,... Ngoi cĂc loÔi iảan nõi trản, cỏn cõ mởt số loÔi iảan khĂc
cụng ữủc nhiÃu nh toĂn hồc quan tƠm, nghiản cựu, trong õ cõ iảan nguyản tố liản
kát. Em chồn à ti "PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan ỡn thực" vợi mửc tiảu chẵnh l
tẳm hiu khĂi niằm cừa iảan nguyản tố liản kát qua viằc tẵnh toĂn cử th trản mởt số
lợp iảan trong vnh a thực.

0.2 Mửc ẵch nghiản cựu

- PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa mởt iảan bĐt kẳ trong vnh Noether.
- PhƠn tẵch mởt số lợp iảan cử th trong vnh a thực.

0.3 ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu

- ối tữủng: Iảan, vnh.
- PhÔm vi: Ôi số giao hoĂn

0.4 Nởi dung nghiản cựu

PhƠn tẵch iảan I bĐt kẳ thnh giao cõa c¡c th nh ph¦n nguy»n sì trong v nh giao
ho¡n, tứ õ xĂc nh têp iảan nguyản tố liản kát tữỡng ựng cừa I .

0.5 Phữỡng phĂp nghiản cựu

PhƠn tẵch v tờng hủp lỵ thuyát dỹa trản bián ời iảan sinh bi mởt têp hỳu hÔn
cĂc phƯn tỷ trong vnh giao hoĂn.

0.6 Kát quÊ Ôt ữủc

1. i) Giợi thiằu lÔi phƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan.
3


ii) Giợi thiằu khĂi niằm têp iảan nguyản tố liản kát.
2. PhƠn tẵch mởt số lợp iảan cử th trong v nh a thùc v  v nh Z.

0.7 C§u tróc · t i

Ngo i phƯn m Ưu v kát luên, tiu luên ữủc chia lm 3 chữỡng.
Chữỡng 1: Kián thực chuân b.
Chữỡng 2: PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan tờng quĂt.
Chữỡng 3: PhƠn tẵch nguy¶n sì cõa i¶an ìn thùc v  i¶an trong v nh Z.

4

Chữỡng 1
Kián thực chuân b
Chữỡng ny trẳnh by mởt số kh¡i ni»m v· v nh, i¶an, v nh Noether v  v nh a
thùc  chuân b cho cĂc chữỡng sau. (Xem [1] v [2]).

1.1 Vnh

nh nghắa 1.1.1. Vnh l mởt têp hủp R 6= ∅ ÷đc trang bà ph²p to¡n ”+” : (a, b) 7→

v  ph²p to¡n nh¥n”.” : (a, b) 7→ a.b thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau:
i) Php cổng cõ cĂc tẵnh chĐt sau:
ã Tẵnh chĐt kát hủp, tực l vợi måi a, b, c ∈ R sao cho
a+b

a + (b + c) = (a + b) + c.
ã
ã

Cõ phƯn tỷ 0, tùc l  vỵi måi a ∈ R sao cho 0 + a = a + 0 = a.
Câ ph¦n tû èi, tùc l  èi vỵi méi a ∈ R, tỗn tÔi phƯn tỷ a0 R sao cho
a + a0 = a0 + a = 0(a0 = −a)‘

ii) Ph²p nhƠn cõ tẵnh chĐt kát hủp, tực l vợi mồi a, b, c ∈ R sao cho

(1.1)
(1.2)

(1.3)

iii) Ph²p nh¥n câ tẵnh chĐt phƠn phối dối vợi php cởng, tực l vỵi måi a, b, c ∈ R sao
cho a.(b + c) = a.b + a.c v  (b + c).a = b.a + c.a.
Náu php nhƠn . cõ phƯn tỷ ỡn và th¼ (R, +, .) gåi l  v nh câ ìn v.
Náu php nhƠn . cõ tẵnh chĐt giao hoĂn thẳ (R, +, .) gåi l  v nh giao ho¡n.
a.(b.c) = (a.b).c

V½ dử 1.1.1.

i) Têp số nguyản Z, số thỹc R, số phực C vợi cĂc php cởng v php nhƠn thổng thữớng
lêp thnh cĂc vnh. Tuy nhiản têp N khổng phÊi l  v nh.
ii) Cho n ≥ 2 l  sè tü nhi¶n. Ta biát rơng mởt lợp thng dữ theo modun n l têp cĂc số
nguyản khi chia cho n cõ cũng số dữ. Náu a Z thẳ ta kỵ hiằu a l lợp thng dữ chựa
số a. Têp cĂc lợp thng dữ ny ữủc kẵ hiằu l Zn. Ta cõ th nh nghắa tờng v tẵch
cừa a v b tữỡng ùng l  a + b v  ab. Khi â Zn lêp thnh mởt vnh giao hoĂn vợi ỡn
v 1.
5


nh nghắa 1.1.2. Cho A l mởt têp con ờn nh ối vợi php cởng v php nhƠn cừa

vnh R. Náu A cũng vợi cĂc php toĂn cÊm sinh l mởt vnh thẳ A ữủc gồi l mởt
vnh con cừa v nh R.
M»nh · 1.1.1. Cho R l  v nh. Tªp con A còa v nh R l  v nh con khi v  ch¿ khi A
thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:
i) 0 ∈ A.
ii) Náu a, b A thẳ a b A v  ab ∈ A.
Chùng minh. Thªt vªy, tªp con A cõa v nh R l  ên ành èi vỵi ph²p to¡n nh¥n khi
v  ch¿ khi a, b ∈ A k²o theo ab A. ỗng thới têp con A ối vỵi nhâm con theo ph²p
to¡n cëng khi v  ch¿ khi nõ thọa mÂn i) v phƯn cỏn lÔi cừa ii). Luêt phƠn phối trong
A suy ra luêt phƠn phối trong R.

1.2 Iảan

nh nghắa 1.2.1. Vnh con I cừa vnh R ữủc gồi l iảan trĂi (phÊi) náu xa

vợi mồi a ∈ I, x ∈ R. N¸u I vøa l  iảan trĂi v vứa l iảan phÊi thẳ I ữủc
gồi l mởt iảan cừa R.
I(ax I)

Vẵ dử 1.2.1.

i) Mồi vnh R Ãu chựa iảan tƯm thữớng I 6= v chẵnh nõ I = R.
ii) Têp con cĂc hm liản tửc trản [a, b] v triằt tiảu tÔi x0, a ≤ x0 ≤ b, l  i¶an cõa v nh
C[a, b].
M»nh · 1.2.1. Cho R l  mët v nh. Tªp con I 6= ∅ cõa R. Khi â c¡c i·u ki»n sau
l  tữỡng ữỡng
i) I l iảan cừa R
ii) Vợi mồi a ∈ I v  x ∈ R th¼ a − b I v xa I(ax I).
Chựng minh. Trữợc hát ta thĐy rơng iÃu kiằn a b I vợi mồi a, b I tữỡng ữỡng
vợi khng nh rơng I l mởt nhõm con ối vợi php cởng. Tứ õ, hin nhiản i) ii).
Ngữủc lÔi náu xa ∈ I(ax ∈ I) vỵi måi a ∈ I, x R thẳ ta suy ra I õng kẵn ối vợi
php nhƠn khi ta lĐy x I , do â I l  v nh con cõa R v  do â ii) ⇒ i).
ành ngh¾a 1.2.2. Cho A l  mët têp hủp cừa vnh R. Giao cừa hồ tĐt cÊ c¡c i¶an
cõa R chùa A l  mët i¶an cõa R chựa A. Iảan ny ữủc gồi l iảan sinh bi têp A
(kỵ hiằu l < A >). A ữủc gồi l  tªp sinh tèi tiºu (cán gåi l  h» sinh tèi tiºu, cì sð
tèi tiºu) cõa I n¸u A l  tªp sinh cõa I v  khỉng chùa thüc sü mët têp sinh khĂc cừa
I . Ta nõi iảan l hỳu hÔn sinh náu nõ cõ mởt hằ sinh hỳu hÔn.

Vẵ dư 1.2.2.

i) Måi i¶an trong v nh Z ·u sinh bði mởt phƯn tỷ.
ii) Mởt iảan cõ th cõ nhiÃu têp sinh tối tiu khĂc nhau. Chng hÔn {1}, {2, 3}, {6, 10, 15}
l cĂc têp sinh tối tiu cừa iảan Z trong v nh Z.
6


Bê · 1.2.1. Cho R l  mët v nh v  A 6= ∅. Khi â, tªp hđp
{r1 a1 + ... + rn an |n ∈ N ; r1 , .., rn ∈ R; a1 , ..., an ∈ A}

(1.4)

l  i¶an b² nhĐt chựa A.
nh nghắa 1.2.3. (Iảan bĐt khÊ quy) Cho I l  mët i¶an cõa v nh giao ho¡n R v 
I khờng th biu th bi giao cĂc iảan lợn hỡn R, iảan I õ ữủc gồi l khổng khÊ
quy. Nghắa l, I l bĐt khÊ quy v ch khi náu I ⊂ R v  I = I1 ∩ I2 vỵi I1, I2 l iảan
cừa R thẳ I = I1 hoc I = I2.
ành ngh¾a 1.2.4. (V nh Noether) V nh giao ho¡n cõ ỡn v ữủc gồi l Vnh Noether
náu mồi iảan cừa nõ Ãu l hỳu hÔn sinh, tực l tỗn tÔi mởt têp sinh hỳu hÔn phƯn
tỷ.
Mằnh à 1.2.2. Cho R l  v nh Noether giao ho¡n. Méi i¶an thüc sü cõa R câ thº
biºu thà bði giao cõa c¡c i¶an hỳu hÔn bĐt khÊ quy cừa R.
P
Chựng minh. Kẵ hiằu l têp hủp tĐt cÊ cĂc iảan thỹc sỹ cừa RP
, biu th ữủc bi
giao hỳu hÔn nhiÃu iảan khổng
khÊ quy cừa R. CƯn chựng minh = . Thêt vêy,
P
ta cõ R l vnh Noether.
l
mởt

phƯn tỷ cỹc Ôi. Do I khổng bĐt khÊ quy nản
P
I = I1 I2 v I ∈
/ . I l  i¶an
P thüc sü, I = I1 I2 vợi I1 , I2 l iảan cừa R. Bði vªy
I ⊂ I1 v  I ⊂ I2 . Chồn Ii
vợi i = 1, 2. Do hai iảanI1, I2 l iảan thỹc sỹ biu
th
bi
giao
hỳu
hÔn
nhiÃu
iảan
bĐt khÊ quy cừa R nản I = I1 I2 (mƠu thuăn). Vêy
P
= .
nh nghắa 1.2.5. (Iảan cỹc Ôi) Iảan thỹc sỹ cừa vnh R ữủc gồi l cỹc Ôi(tối
Ôi) náu nõ khổng thỹc sỹ chựa mởt iảan thỹc sỹ khĂc cừa R.
Vẵ dử 1.2.3. 5Z l mởt iảan cỹc Ôi cừa Z.
Bờ Ã 1.2.2. Cho I l  i¶an thüc sü cõa R. Khi õ I l iảan cỹc Ôi khi v ch khi
R/I l trữớng.
Chựng minh. GiÊ sỷ I l iảan cỹc Ôi trong v nh R, gi£ sû u ∈ R/I, u 6= 0. Thá thẳ
tỗn tÔi r R/I sao cho
(1.5)
u=r =R+I
Khi â I + rR = R, do â:
1 = y + rx, y ∈ I, x ∈ R
(1.6)
Tø â

1 = 0 + rx
(1.7)
nghắa l r cõ nghch Êo.Vêy R/I l mởt trữớng.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ R/I l mởt trữớng. Thá thẳ R/I khổng cõ iảan thỹc sỹ. Khi õ
náu B l mởt iảan cừa R sao cho
IBR
(1.8)
thẳ B/I l iảan cõa R/I . Do trong R/I l  khỉng câ i¶an thüc sü n¶n B/I = 0 ho°c
B/I = R/I , ngh¾a l  B = I ho°c B = R. i·u ny chựng tọ I l iảan tối Ôi trong
R.

7


Bê · 1.2.3. (Bê · Zorn) Mët tªp s­p thù tỹ cĂc bở phên khĂc rộng V cõ tẵnh chĐt

"mồi têp con ữủc sưp thự tỹ ton phƯn Ãu cõ chn trản thuởc V " thẳ V cõ ẵt nhĐt
mởt phƯn tỷ cỹc Ôi.
Mằnh à 1.2.3. Mởt vnh khổng tƯm thữớng Ãu chựa ẵt nhĐt mởt iảan cỹc Ôi.
Chựng minh. Vẳ R 6= 0 nản 0 l iảan thỹc sỹ cừa R v têp cĂc iảan thỹc sỹ cừa
R kh¡c réng. Quan h» bao h m thùc ⊆ l  mët thự tỹ cĂc bở phên trản . Iảan cỹc
Ôi cừa R chẵnh l phƯn tỷ cỹc Ôi cừa theo quan
6  l 
S h» thù tü n y. Gi£ sû 4 =
mởt têp con cừa ữủc sưp hon ton. t J = I∈4 I .
Ta câ J l  mët i¶an. Náu J = R thẳ 1 J v tỗn tÔi I 4  1 I . Suy ra
I = R,vổ lẵ. Vêy J . iÃu õ chựng tọ têp 4 b chn trản bi J . Theo bờ Ã Zorn,
phÊi cõ phƯn tỷ cỹc Ôi.
Mằnh · 1.2.4. Cho I l  mët i¶an thüc sü cõa vnh R. Khi õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt
iảan cỹc Ôi cừa R chựa I .

Hằ quÊ 1.2.1. PhƯn tỷ a ∈ R l  ph¦n tû ìn và khi v  ch khi nõ khổng nơm trong
mởt iảan cỹc Ôi cừa R.
nh nghắa 1.2.6. (Iảan nguyản tố) Iảan P cừa R ữủc gồi l iảan nguyản tố náu
P 6= R v tø ab ∈ R suy ra a ∈ P ho°c b P vợi mồi a, b R.
Vẵ dử 1.2.4. Cho q l  sè nguy¶n tè cõa Z. Khi â qZ l  i¶an nguy¶n tè cõa v nh
(Z, +, .)

Chùng minh. Gi£ sû xy ∈ Zq. Khi â xy...q. V¼ q l  sè nguy¶n tè n¶n suy ra x...q ho°c
.
y ..q . Hay x ∈ Zq ho°c y ∈ qZ. Vêy qZ l iảan nguyản tố.
Mằnh à 1.2.5. Cho I l  i¶an thüc sü cõa R. Khi â I l  i¶an nguy¶n tè khi v 
ch¿ khi R/I l  mi·n nguy¶n.
Chùng minh. ” ⇒ ” Gi£ sû I l  i¶an nguy¶n tè cõa R. Khi â, R/I = {x+I|x ∈ R} l
vnh thữỡng cừa R trản I . Vẳ I l i¶an nguy¶n tè n¶n I 6= R v  R/I câ nhi·u hìn mët
ph¦n tû. Ph¦n tû ìn và cõa R/I l  1 + I . Do R/I l  v nh giao ho¡n n¶n R/I l  v nh
giao ho¡n. Gi£ sû x + I, y + I ∈ R/I m  (x + I)(y + I) = 0 + I , do â xy + I = 0 + I ,
suy ra xy ∈ I . Do I nguy¶n tè n¶n x ∈ I ho°c y ∈ I . Suy ra x + I = I, y + I = I . Vẳ
vêy, R/I l vnh giao hoĂn khổng cõ ữợc cừa 0 hay R/I l  mi·n nguy¶n.
” ⇐ ” Gi£ sû R/I l  miÃn nguyản, khi õ R/I cõ nhiÃu hỡn mởt phƯn tû suy ra
R 6= I . Gi£ sû x, y ∈ R v  xy ∈ I suy ra xy + I = I hay (x + I)(y + I) = I = 0 + I .Vẳ
R/I khổng cõ ữợc cừa 0 n¶n x + I = I ho°c y + I = I , do â x ∈ I ho°c y I . Vêy I
l iảan nguyản tố.

Chú ỵ 1.2.1.

i) Mội trữớng l miÃn nguyản nản mội iảan cỹc Ôi l iảan nguyản tố.
ii) Iảan nguyản tố chữa hn l cỹc Ôi. Xt trong vnh Z, ta cõ iảan 0 cừa Z nguyản
tố vẳ 0 2Z Z.
8

ành ngh¾a 1.2.7. (V nh a thùc) Cho R l  mët v nh v  x , ..., x (n ≥ 1) l  c¡c
1

n

bi¸n. Ta gåi ìn thùc l  mët biºu thùc câ dÔng xa1 ...xan , trong õ (a1, ..., an) N ữủc
gồi l bở số mụ cừa ỡn thực. Náu a1 = ... = an = 0, th¼ ìn thùc ữủc kẵ hiằu l 1.
Php nhƠn trản têp cĂc ỡn thực ữủc nh nghắa nhữ sau
a +b
(1.9)
...xan +b .
(xa1 ...xan )(xb1 ...xba
n ) = x1
Tứ l biu thực cõ dÔng αxa1 ...xan , trong â α ∈ R ÷đc gåi l  h» sè cõa tø.
a
K½ hi»u x = (x1, ..., xn), a = (a1, ..., an) ∈ Nn v  xa = xa1 ...x
Xn . a thùc n bi¸n
x1 , ..., xn trản vnh R l mởt tờng hẳnh thực cừa c¡c tø f (x) =
αa xa , trong â ch¿
1

1

1

n

1

n

1

n

1

n

n

n

1

n

a∈Nn

câ mët sè húu han h» sè αa 6= 0. Tø ax vợi a 6= 0 ữủc gồi l tứ cừa a thùc f (x)
vỵi xa l  ìn thùc cõa fX
(x).
X
Hai a thùc f (x) = αaxa, g(x) = βaxa ÷đc xem l bơng nhau náu a = a
a

aNn

aNn

vợi mồi a Nn.
Php cởng a thực ữủc nh nghắa nhữ sau
(

X

a xa ) + (

a∈Nn

X

βa xa ) =

a∈Nn

trong â
γa =

X

X

γa xa ,

(1.10)

aNn

b c .

(1.11)

b,cNn ,b+c=a

Nhên xt rơng a 6= 0 ch khi tỗn tÔi b v c vợi b 6= 0, βc 6= 0 º a = b + c. Do vêy ch
cõ mởt số hỳu hÔn hằ số a 6= 0 v php nhƠn a thực trản l ho n to n x¡c ành.
Vỵi hai ph²p to¡n cëng a thùc v nhƠn a thực nảu trản, cõ th kim tra tĐt cÊ cĂc
a thực lêp thnh vnh giao hoĂn vợi phƯn tỷ ỡn v l ỡn thực 1. Têp ny k½ hi»u l 
R[x1 , ..., xn ] hay R[x].
V nh R[x1, ..., xn] ữủc xƠy dỹng nhữ trản ữủc gồi l vnh a thực n bián trản vnh
R.

9


Chữỡng 2
PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan tờng
quĂt
Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by và phƠn tẵch iảan trong vnh Noether v
khĂi niằm iảan nguyản tố liản kát dỹa trản ti liằu [1] v [4, Chapter 4].

2.1 PhƠn tẵch nguyản sỡ
2.1.1 Iảan nguyản sỡ
nh nghắa 2.1.1. Cho Q l iảan trong v nh giao ho¡n R. Chóng ta gåi Q l  iảan
nguyản sỡ cừa R náu:
i) Q l iảan thỹc sỹ cõa R.
ii) Vỵi måi a, b ∈ R sao cho ab Q, a / Q thẳ tỗn tÔi n N sao bn Q.
Nhên xt 2.1.1. Mồi iảan nguy¶n tè ·u l  i¶an nguy¶n sì.

Chùng minh. Gi£ sû P l  i¶an nguy¶n tè cõa v nh R. Khi â vỵi a, b ∈ R v  ab ∈
P, a ∈
/ P suy ra b P . Nghắa l tỗn tÔi n = 1  b1 P . Vêy P l  i¶an nguy¶n sì.
Bê · 2.1.1. Cho Q l  i¶an trong v nh giao ho¡n R. Q l  nguy¶n sì náu v ch náu
vnh R/Q l vnh khổng tƯm thữớng v cõ tẵnh chĐt: mồi ữợc cừa 0 l phƯn tỷ lụy
linh.
Chựng minh.
Vẳ Q l iảan nguyản sì n¶n Q 6= R, do â R/Q l  v nh khổng tƯm thữớng.
GiÊ sỷ x R/Q l ữợc cừa 0 cõa v nh R/Q. Khi â x 6= 0 v  tỗn tÔi y R/Q, y 6= 0
sao cho xy = 0. Ta câ x = a + Q, y = b + Q vỵi a, b ∈ R; a, b ∈/ Q v  (a + Q)(b + Q) = 0
suy ra ab + Q = 0. Do â, ab Q.
Do b / Q nản tỗn tÔi n N ∗ sao cho an ∈ Q suy ra (a + Q)n = 0. Do â, xn = 0.
Vªy x lụy linh. Nhữ vêy mồi ữợc cừa khổng cừa vnh R/Q ·u lơy linh.
” ⇐ ” V¼ R/Q l  v nh khổng tƯm thữớng nản Q 6= R
Vợi mồi a, b ∈ R m  ab ∈ Q, a ∈/ Q.
N¸u b ∈ Q th¼ ∃n = 1 º b1 ∈ Q.
10


Náu b / Q thẳ b + Q 6= 0, ta công câ a + Q 6= 0.
Ta câ (a + Q)(b + Q) = ab + Q = 0(v¼ ab Q). Vêy b + Q l ữợc cừa khỉng
trong v nh R/Q, do â theo gi£ thi¸t b + Q lơy linh, ngh¾a l  ∃n ∈ N ∗ sao cho
(b + Q)n = 0 ⇒ bn + Q = 0 bn Q. Vêy vợi mồi a, b ∈ R m  ab ∈ Q, a ∈
/ Q luæn
∗
n
∃n ∈ N sao cho b ∈ Q, do â Q l  i¶an nguy¶n sì cõa R.
M»nh · 2.1.1. R l  vnh Noether giao hoĂn v I l iảan bĐt khÊ quy cừa R thẳ
nguyản sỡ.
Chựng minh. Tứ nh nghắa, iảan b§t kh£ quy I ⊂ R. Gi£ sû a, b ∈ R sao cho ab ∈ I

v  b ∈ I . Ta câ
(I : a) ⊆ (I : a2 ) ⊆ ... ⊆ (I : at ) ⊆ ...
(2.1)
l  d¢y xẵch tông cừa iảan sao cho R l Noether nản tỗn tÔi n N sao cho
(I : an ) = (I : an+1 )
(2.2)
vợi n N. Ta thĐy I = (I : Ran) ∩ (I + Rb). Rã r ng I ⊆ (I : Ran) ∩ (I + Rb). L§y
r ∈ (I : Ran ) ∩ (I + Rb). Gi£ sû r = g + can = h + db vỵi g, h ∈ I, cd ∈ R. Suy ra
ra = ga + can+1 = ha + dab vỵi a, b, g, h ∈ I . Ta câ can+1 = ha + dab − ga ∈ I . Do â,
c ∈ (I : an+1 ) = (I : an ) sao cho r = g + can ∈ I , tø â I = (I + Ran ) ∩ (I + Rb) m  I
b§t kh£ quy, I ⊂ I + Rb vẳ b I . Bi vêy I = I + Ran. Do â an ∈ I . N¶n I l  i¶an
nguy¶n sì cõa R.
M»nh · 2.1.2. Cho Q l  i¶an nguy¶n sì trong v nh giao ho¡n R. Khi â, P := √Q
l  i¶an nguy¶n tè trong R.
√
Chùng minh. V¼ P := Q = {a ∈ R|∃n ∈ N∗ : an ∈ Q}. Suy ra P 6= R (vẳ náu P = R
thẳ 1 P suy ra 1 ∈ Q suy ra Q = R, ¥y l  iÃu vổ lỵ. Vợi a, b R m ab P, a / P ,
khi õ ta cõ tỗn tÔi n N  (ab)n = anbn Q. Vªy anbn ∈ Q, an ∈/ Q m  Q l  iảan
nguyản sỡ nản suy ra tỗn tÔi m N º (bn)m = bn.m ∈ Q, tø â b ∈ Q. Tø â suy ra,
vỵi måi a, b ∈ R m  ab ∈ P, a ∈/ P ta câ a ∈ P . Do â P l  i¶an nguy¶n tè cõa R. Ta
câ i·u ph£i chùng minh.
I¶an nguy¶n sì Q thọa mÂn iÃu kiằn nhữ trong mằnh à trản ữủc gåi l 
i¶an P-nguy¶n sì.
M»nh · 2.1.3. Cho Q l  P -nguyản sỡ cừa vnh R, a R. Ta kỵ hi»u
(Q : a) = {r ∈ R|ar ∈ Q}.
(2.3)
Khi â
i) a ∈ Q khi v  ch¿ khi (Q : a) = R.
ii) a ∈/ Q khi v  ch¿ khi (Q : a) l  P -nguy¶n sì.
iii) a ∈/ P khi v  ch¿ khi (Q : a) = Q.

Chùng minh.
i) ” Hin nhiản (Q : a) R. Vợi måi r ∈ R th¼ ar ∈ Q( do a Q) nản r (Q : a).
Vêy ta cõ (Q : a) = R.
” ⇐ ” N¸u (Q : a) = R th¼ 1 ∈ (Q : a) suy ra 1.a ∈ Q. Do â a ∈ Q.
11


ii)

I=

r
\

Qi

i=1
p
√
√
” ⇒ ” Ta c¦n chùng minh (Q; a) = Q = P . Ta câ vỵi x ∈ Q; a suy ra ∃n ∈ N∗
º xn ∈ (Q : a). Do â ax√n ∈ Q. V¼ a ∈/ Q m Q liảan nguyản sỡ nản tỗn tÔi m N∗
º (xn)m ∈ Q suy ra x ∈ Q. Ng÷đc lÔi, vợi x Q, tỗn tÔi n N º xn ∈ Q, suy ra
p
axn ∈ Q ⇒ xn ∈ (Q : a) ⇒ x ∈ Q : a
(2.4)
√
√
√
√

Vªy Q ⊂ Q : a. Do â Q : a = Q = P hay (Q : a) l  P -nguyản sỡ.
Náu (Q : a) l P -nguyản sỡ thẳ (Q : a) 6= R do õ theo i) ta câ a ∈
/ Q.
√
iii) ” ⇒ ” Vợi x (Q : a) thẳ ax Q. V¼ a ∈/ P = Q suy ra ∀n ∈ N∗ : an ∈/ Q
Do â tø ax ∈ Q√ suy ra x Q (vẳ náu x / Q thẳ phÊi tỗn tÔi n N  an Q,
mƠu thuăn vợi a Q). Vêy (Q : a) Q.
Ngữủc lÔi, vợi mồi x Q suy ra ax ∈ Q. Do â x ∈ (Q : a), tø â Q ⊂ (Q : a).
Vªy Q = (Q : a).
√
” ⇐ ” Gi£ sû a ∈ P = Q thẳ tỗn tÔi n N : an Q. Ta câ

(2.5)
a.an−2 ∈ Q ⇒ an−2 ∈ (Q : a) = Q
(2.6)
...
(2.7)
Lp lÔi quĂ trẳnh trản cuối cũng ta ÷đc a ∈ (Q : a) = Q. Tø â theo i) ta câ
Q = (Q : a) = R, mƠu thuăn. Vêy náu cõ Q = (Q : a) th¼ a ∈
/ P.
a.an−1 ∈ Q ⇒ an−1 ∈ (Q : a) = Q

2.1.2 PhƠn tẵch nguyản sỡ
nh nghắa 2.1.2. Cho I l  i¶an thüc sü cõa v nh R. Ta nõi

i) I l phƠn tẵch nguyản sỡ náu I viát ữủc dữợi dÔng I = Q1 ... Qn vợi Qi =
Pi , i = 1, n.
ii) PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa I tối giÊn (khổng rút gồn ữủc) náu I 6= Q1 ... Qcj ...Qn,
vợi mồi j = 1, n, trong õ Qcj l kẵ hiằu bọ iảan ny ra khọi giao.
iii) PhƠn tẵch nguyản sỡ I ữủc gåi l  cüc tiºu khi

a) P1, ..., Pn l  n i¶an nguy¶n tè kh¡c nhau cõa R.
b) ∀j = 1, n ta câ
n
\
Qj +
Qi .
(2.8)
i=1,i6=j

V½ dư 2.1.1.

a) 12Z = 3Z ∩ 22Z.
b) X²t v nh a thùc K[x, y]. Ta câ (x2, xy2) = (x) ∩ (x2, y2) = (x) ∩ (x2, xny, y2) trong
dõ n > 1 tũy ỵ. Ơy l phƠn tẵch nguyản sỡ tối tiu. Nhữ vêy trong trữớng hủp ny cõ
vổ số phƠn tẵch nguyản sỡ tối tiºu.

12


nh
lỵ 2.1.1. Cho I l iảan thỹc sỹ cừa vnh giao hoĂn R v I

l phƠn tẵch nguyản sỡ tối gi£n cõa I, P

Qi = Pi , ∀i = 1, n

vợi
Spec R. CĂc mằnh Ã
=

Tn

i=1

Qi

sau tữỡng ữỡng
i) Tỗn tÔi i 6 n  P = Pi.
ii) Tỗn tÔi a ∈ R sao cho I√: a = P -nguy¶n sì.
iii) Tỗn tÔi a R sao cho I : a = P .
Chùng minh.
√
• ”i) ⇒ ii)”. Gi£ sû P = Pi . Tø Q1 ∩ ... ∩ Qn ⊆ Qi vỵi Qi = Pi , ∀i = 1, n l
phƠn tẵch nguyản sỡ tối giÊn cừa I. Do õ, ta câ{P1, ..., Pn} = {P10 , ..., Pn0 }. L§y a ∈
Q2 ∩ ... ∩ Qn Q1 . Khi â
I : a = (Q1 : a) ∩ (Q2 ∩ ... ∩ Qn : a) = Q1 : a.
(2.9)
V¼ a ∈/ Q1 n¶n theo m»nh · 2.2.ii), ta câ (Qj : a) = R vỵi i 6= j(1 ≤ j ≤ n). Suy ra
(Qi : a) l  Pi - nguy¶n sì. Do P = P1 n¶n (Q : a) l  P-nguyản sỡ nản I : a l P-nguyản
sỡ.
ã ii) iii). Theo nh nghắa iảan nguyản sỡ, ta cõ I : a l  i¶an nguy¶n sì n¶n
P = I : a cụng l nguyản sỡ.

ã iii) ii). GiÊ sỷ tỗn tÔi a R sao cho P = I : a, ta câ
I:a=(

n
\

Qi : a) =

i=1

Suy ra

n
\

(2.10)

(Qi : a).

i=1

v
v
u n
un
n
\
\
p
√
u
u\
t
t
P = I : a = ( Qi : a) =
(Qi : a) = ( (Qi : a).
i=1

i=1

i=1

p döng M»nh · 2.2, l§y a ∈/ Q, Q : a l  nguy¶n sì. Suy ra
Tø â
n
n
√

I:a=

√

Q:a=P

l  nguy¶n tè.
(2.12)

\p
\
( (Qi : a) = (Pi ) = P
i=1

(2.11)

i=1

Do P l  i¶an thüc sü cừa R nản P = Pj .

nh lỵ 2.1.2. (Tẵnh duy nhĐt thự nhĐt cừa phƠn tẵch nguyản
sỡ) Cho I l iảan
thỹc sỹ cừa vnh giaophoĂn R, têp I = Q1 ∩ ... ∩ Qn vỵi Qi = Pi, ∀i = 1, n v 
I = Q01 ∩ ... ∩ Q0n vỵi Q0i = Pi0 , ∀i = 1, n0 l hai phƠn tẵch nguyản sỡ tối giÊn
I.
p cừa

0
0
0
0
Náu n = n ta câ {P1, ..., Pn} = {P1, ..., Pn}. Sau khi êi ch¿ sè th¼ Qi = Qi vỵi
i = 1, n.
Chùng minh. Do√I = Q1 ∩ ... Qn l phƠn tẵch nguyản sỡ tối giÊn cừa I nản tỗn tÔi
0
0
a R sao
cho I : a = Pi v 0 I = Q1 ∩ ... ∩ Qn l phƠn tẵch nguyản sỡ tối giÊn
khĂc vợi Qi = Pi , ∀i = 1, n . Theo ành l½ 2.1.1 suy ra Pi = Pi . Tø â, ta câ
{P1 , ..., Pn } = {P10 , ..., Pn0 }. Vẳ khổng cõ hai iảan nguyản tố no trong mội têp hủp
trũng nhau nản n = n0.
0

0

0

13

2.2 Iảan nguyản tố liản kát

nh nghắa 2.2.1. Cho I l  i¶an nguy¶n tè cõa R v  I = Q

√
∩ ... ∩ Qn vỵi Qi =
Pi , ∀i = 1, n l phƠn tẵch nguyản sỡ tối giÊn cừa I. Têp n phƯn tỷ {P1 , ..., Pn } l ỉi
mët kh¡c nhau. Ta gåi Pi vỵi i = 1, n l cĂc iảan nguyản tố liản kát cừa I v  k½ hi»u
l  Ass(I) ho°c AssR (I).
AssR (I) = {P1 , ..., Pn }.
(2.13)
1

Iảan Qi ữủc gồi l thnh phƯn nguyản sỡ tữỡng ựng vợi Pi. Trong trữớng hủp cho
trữợc v nh R, º cho ìn gi£n ta vi¸t AssR (I) := Ass(IQ).

Chú ỵ 2.2.1.

i) I l iảan thỹc sỹ cừa v nh giao ho¡n R, P ∈ Spec(R). P ∈ AssR (I) khi v ch
khi tỗn tÔi a R sao cho I : a = P -nguy¶n sì khi v  ch khi tỗn tÔi b R sao cho

I : b = P.
ii) Cho I l  i¶an thüc sü cõa R. Tỗn tÔi J l iảan thỹc sỹ cừa R sao cho J ⊇ I khi
v  ch¿ khi J/I l  i¶an thüc sü cõa R/I . Khi â
AssR (J/I) = {P/I : P ∈ AssR (J)}.
(2.14)
M»nh · 2.2.1. Cho I l  i¶an thüc sü cõa v nh giao ho¡n R v  têp P Spec(R).
P l phƯn tỷ cỹc tiu cừa têp Var(I) cừa tĐt cÊ cĂc iảan nguyản tố cừa R chùa I khi
v  ch¿ khi P l  ph¦n tû cüc tiºu cõa Ass(I).
°c bi»t, i¶an nguy¶n tè cüc tiºu cừa I Ass(I) vợi I l têp hỳu hÔn cĂc iảan

nguyản tố cỹc tiu v náu Pi Spec(R) vợi Pi I thẳ tỗn tÔi P2 Ass(I) vỵi Pi ⊇ P2.
√
Chùng minh. ” ⇒ ”I = Q1 ∩ ... ∩ Qn vỵi Qi = Pi, ∀i = 1, n l phƠn tẵch nguyản sỡ
tối giÊn cừa I . Ta câ
p
√
Pi ⊇ I ⇔ P1 = Pi ⊇ I.
(2.15)
M 
n
n
\
\
p
√
I = ( Qi = (Pi ).
(2.16)
i=1

i=1

Do â Pi ⊇ Pj vỵi mët sè j n o â n 6 j 6 1. M°t kh¡c {P1, ..., Pn} ∈ AssR (I). Nản
P1 P2 vợi P2 Ass(I).
Theo giÊ thiát, P l  i¶an nguy¶n tè cüc tiºu cõa I . Do P ⊇ P 0 vỵi P 0 ∈ Ass(I). M 
Ass I ∈ Var(I).Suy ra P = P 0 l  ph¦n tû cüc tiºu cõa Ass(I).
” ⇐ ” Gi£ sû P l  ph¦n tû cüc tiºu cõa Ass(I). Theo â P I v tỗn tÔi iảan
nguyản tố nhọ nhĐt P 0 cõa I sao cho P ⊇ P 0. Suy ra ∃!P ” ∈ Ass(I) : P 0 ⊇ P ”. Do
â P ⊇ P 0 ⊇ P ”. M  P l phƯn tỷ nhọ nhĐt cừa Ass(I) nản P = P 0 = P ”. Bði vªy
P = P 0 l  i¶an nguy¶n tè cüc tiºu cõa I .
ành nghắa 2.2.2. Cho I l iảan thỹc sỹ cừa vnh R

i) Ph¦n tû cüc tiºu cõa Ass(I) x¡c ành mët i¶an nguy¶n tè cüc tiºu cõa I . I¶an
nguy¶n tè õ ữủc gồi l cỹc tiu hoc nguyản tố cổ lêp cừa I .
ii) Iảan nguyản tố liản kát cừa I m khổng phÊi cỹc tiu ữủc gồi l iảan nguy¶n tè
nhóng cõa I .
14


Vẵ dử 2.2.1. Cho K l mởt trữớng v R = K[X, Y ] l  v nh a thùc tr¶n K vợi X, Y

bĐt ký trản R. Têp M = (X, Y ); P = (Y ); Q = (X, Y 2) v I = (XY, Y 2).
(Chú ỵ: M l iảan cỹc Ôi cừa R; P l iảan nguyản tố cõa R; Q l  M -i¶an nguy¶n
sì cõa R v  Q 6= M 2). Ta câ I = Q ∩ P v  I = M 2 = P l  hai phƠn tẵch nguyản sỡ
cừa I vợi iÃu kiằn M -nguyản sì.
Chùng minh. Ta câ I ⊆ P v  I ⊆ M 2 ⊆ Q. Bði vªy I ⊆ M 2 ∩ P ⊆ Q ∩ P . L§y
f ∈ Q ∩ P ⇒ f ∈ P (vỵi f l  ìn thùc). Suy ra f ⊇ Y .
Cëng t§t c£ c¡c ỡn thực lÔi, ta ữủc a thực dÔng g(cõ bêc nhä nh§t), g ∈ I . Sao cho
f − g = cY vỵi c ∈ K[X, Y ]. Gi£ sû c 6= 0. Ta câ Y = c−1 cY (Q ∩ P ) + I = Q ∩ P ⊆ Q
vỵi Y = hX + eY 2 vỵi h, e ∈ R. (Vỉ l½). Suy ra f = g ∈ I v  I = M 2 ∩ P = Q P l
hai phƠn tẵch nguyản sỡ cừa I . Vẳ P Spec(R), M 2 l M -nguyản sỡ.
M X 2 ∈ M 2 \ P, X 2 ∈ Q \ P, Y ∈ P \ Q, Y ∈ P \ M 2. Vêy hai phƠn tẵch nguyản
sỡ l cỹc tiu.
nh lỵ 2.2.1. (Tẵnh duy nhĐt thự hai cừa phƠn tẵch nguyản sỡ).Cho I l mởt iảan
phƠntẵch ữủc cừa v nh giao ho¡n R v  tªp p
Ass(I) = {P1 , ..., Pn }. Cho I = Q1 ∩...∩Qn
vỵi Qi, ∀i = 1, n v  I = Q01 ∩ ... ∩ Q0n vợi Q0i, i = 1, n0 l hai phƠn tẵch nguyản sỡ
cỹc tiu thuởc I . Sau õ vợi méi i, 1 6 i 6 n. Ta câ Qi = Q0i.
Chùng minh. N¸u n = 1 (ln óng).
X²t n > 1. LĐy Pi l iảan nguyản tố nhọ nhĐt thuởc I . Suy ra tỗn tÔi a sao cho
a

n
\

Pj \ P i .

(2.17)

i=1

Nâi c¡ch kh¡c, Pj ⊂ Pi vỵi i ∈ N, 1 ≤ j ≤ n, j 6= i. Ngữủc lÔi, Pi l iảan thuởc I vợi
j = 1, n, j 6= i thẳ tỗn tÔi hi N sao cho ahj ∈ Qj .
L§y t ∈ N sao cho t ≥ max{hi, ..., hi−1, hi+1, ..., hn v  at ∈/ Pi, theo â
(I : a) = (

n
\

t

Qj : a ) =

j=1

n
\

(Qj : at ) = Qi .

j=1

M  Qi l Pi-nguyản sỡ. Do õ, ta thĐy Q0i = (I : a). Tø â suy ra Qi = Q0i.

15

(2.18)


Chữỡng 3
PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan ỡn
thực v iảan trong vnh Z
3.1 Iảan ỡn thực

CĂc khĂi niằm v tẵnh chĐt trong mửc ny ữủc trẳnh by trong trong [3, Chapter
1] v [1, Chữỡng 3].
nh nghắa 3.1.1. Iảan I K[x] ữủc gồi l iảan
ỡn thực náu nõ sinh bi cĂc ỡn
thực. Nhữ vêy mởt iảan ỡn thực cõ dÔng I = (xa | a ∈A), trong â A ⊆ Nn.
Vẵ dử 3.1.1. Cho I1, I2, I3 l cĂc iảan cõa v nh K[x1, x2] vỵi
I1 = (x1 , x2 ) = {x1 f + x2 g|f, g ∈ K[x]},
I2 = (x21 , x2 ) = {x21 f + x2 g|f, g ∈ K[x]},
I3 = (x1 , x22 ) = {x1 f + x22 g|f, g ∈ K[x]}

l  c¡c i¶an ìn thùc v  I2 ⊆ I1, I3 ⊆ I1 v¼ måi ph¦n tû sinh cõa I2, I3 ·u thuëc I1.
Bêb · 3.1.1. Cho I = (xa|a ∈a A) l  i¶an ìn thùc. ìn thùc xb ∈ I khi v  ch¿ khi
x chia hát cho mởt ỡn thực x vợi a A n o â.
Chùng minh.
” ⇐ ” N¸u xb chia h¸t cho mởt ỡn thực xa vợi a A) nghắa l  xb = f.na . Do â, ta
câ xb ∈ I .
s
X

Náu xb I thẳ tỗn tÔi h1 K[x] v a(i) A, i=1,...,s sao cho xb =
(hi .xa(i) ).
i=1

Xem h1 nhữ tờng hỳu hÔn cõa c¡c tø v  khai triºn v¸ ph£i cõa ¯ng thực trản ta thĐy
mội tứ cừa nõ phÊi chia hát cho xa(i) no õ. Sau khi giÊn ữợc, mởt trong số tứ õ cỏn
lÔi v phÊi bơng xb. Vêy xb phai cõ tẵnh chĐt cừa nhỳng tứ õ, tực l chia hát chia hát
cho xa(i) no õ. Ta nhên ữủc i·u ph£i chùng minh.
Bê · 3.1.2. Cho I l  i¶an ìn thùc v  f ∈ K[x]. C¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng
i) f ∈ I .
16


ii) Måi tø cõa f thuëc I.
iii) f l  tê hủp tuyán tẵnh trản K cừa cĂc ỡn thực thuởc I.
Chựng minh. i) ii). Vẳ f I nản tỗn tÔi h1 K[x] v a(i) A, i = 1, ..., s sao
cho
s
X
X
b
ab x = f =
hi xa(i) .
(3.1)
i=1

Xem hi nhữ tờng hỳu hÔn cừa cĂc tứ v khai trin vá phÊi cừa ng thực trản ta thĐy
mói tø cõa nâ ph£iPchia h¸t cho xa(i) n o â. Sau khi giÊn ữợc, mởt
P trong số tứ õ cỏn
lÔi v phÊi bơng abxb. ỗng nhĐt thực hai vá thẳ cĂc tø cõa abxb ph£i chia h¸t

cho xa(i) n o â. Theo bê · 3.1.2, ta câ måi tø cõa f ·u thuởc I. Ta nhên ữủc iÃu
phÊi chựng minh.
ii) iii). Hiºn nhi¶n.
”iii) ⇒ i)”. Theo bê · 1.2.1, ta câ i·u ph£i chùng minh.
H» qu£ 3.1.1. Hai i¶an ìn thùc trong mởt vnh a thực bơng nhau náu chúng chựa
cũng mët tªp ìn thùc.
Bê · 3.1.3. Gi£ sû m, n l  hai ìn thùc khỉng chùa bi¸n chung v  m1, ...mr l  c¡c
ìn thùc. Khi â
(m1 , ..., mr , mn) = (m1 , ..., mr , m) ∩ (m1 , ..., mr , n).
(3.2)
Chùng minh. Ch¿ c¦n chùng minh (m1, ..., mr , mn) ⊇ (m1, ..., mr , m) ∩ (m1, ..., mr , n).
N¸u ìn thùc u ∈ (m1, ..., mr , m) ∩ (m1, ..., mr , n) chia h¸t cho mi n o â, i 6 r th¼
u ∈ (m1 , ..., mr , mn). Trong trữớng hủp ngữủc lÔi, vẳ u (m1 , ..., mr , mn), n¶n theo Bê
· 3.1.2, ph£i câ m|u. Tữỡng tỹ n|u. Vẳ m, n khổng chựa bián chung n¶n mn|u. Do â
u ∈ (m1 , ..., mr , mn).

V½ dư 3.1.2.

I = (x31 x42 , x1 x43 , x2 x23 , x21 x22 x3 )
= (x1 , x2 x23 ) ∩ (x33 , x31 x42 , x2 x23 , x21 x22 x3 )
= (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x33 , x23 , x31 x42 , x21 x22 x3 )
= (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x23 , x31 x42 , x21 x22 x3 )
= (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x23 , x31 x42 , x3 ) ∩ (x23 , x31 x42 , x21 x22 )
= (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x31 x42 , x3 ) ∩ (x23 , x21 x22 )
= (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x31 , x3 ) ∩ (x42 , x3 ) ∩ (x23 , x21 ) ∩ (x23 , x22 )
= (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x31 , x3 ) ∩ (x42 , x3 ) ∩ (x23 , x22 )
= (x1 , x2 ) ∩ [(x21 , x23 ) ∩ (x31 , x3 )] ∩ [(x2 , x33 ) ∩ (x22 , x23 ) ∩ (x42 , x3 )].

nh lỵ 3.1.1.
T [3, Chapter 1, Theorem 1.3.1] Cho I ⊂ S = K[x , ..., x ] l iảan ỡn

thực, vợi I =

n
i=1

Qi ,

1

n

trong õ Qi = (xal , ..., xal ). Hìn núa, biºu di¹n n y l  duy nh§t.
1
1

k
k

17


Chùng minh. Cho G(I) = (u1, ..., ur ) v  giÊ sỷ tỗn tÔi ui l thnh phƯn khổng thuƯn
túy. Khi â u1 = vw vỵi U CLN (u, v) = 1, v 6= 1, w 6= 1.
(vw, u2 , ..., ur ) = (v, u2 , ..., ur ) ∩ (w, u2 , ..., ur ).
(3.3)
Hay I = I1 ∩ I2. Suy ra I ⊂ I1, I ⊂ I2, do â I ⊂ I1 ∩ I2.
I1 ∩ I2 = (a1 |a2 = BCN N (bi , cj ), i 6= j, bi ∈ G(I1 ), cj ∈ G(I2 ), j = 2, r.
(3.4)
X²t b1 = v, suy ra BCN N (v, cj ) = vw, BCN N (v, uj ) = vuj , j = 2, r.
b2 = u2 , suy ra BCN N (u2 , w) = u2 w, BCN N (u2 , uj ) = u2 uj , j = 2, r.

.......................
br = ur , suy ra BCN N (ur , w) = ur w, BCN N (ur , uj ) = ur uj , j = 2, r.
Suy ra U CLN (ui, ui) = ui. N¸u b = U CLN (ui, uj ) = ui m  chia hát cho uj thẳ vợi
mồi j ta bọ U CLN (ui, uj ). Do â h» sinh < I1 ∩ I2 >=< vw, u2, ..., ur >.
Cho Q1 ∩ ... ∩ Qr = Q01 ∩ ... ∩ Q0r , vợi i1, r tỗn tÔi j 1, s sao cho Q1 ⊂ Q0k .
Câ ngh¾a l  r = s v  {Q1 ∩ ... ∩ Qr } = {Q01 ∩ ... ∩ Q0r }. Thªt vªy i ∈ 1, r Gi£ sû
b
Qi = (xai , ..., xai ), Qj 6= Q0j , vỵi måi j ∈ 1, s. Khi â vợi mội j tỗn tÔi xl Q0j /Qi .
T
Khi â li * 1, k ho°c bj ⊂ al . Cho u = U CLN {xbl , ..., xbl },ta cõ u sj=1 Q0j Qj .
Do õ tỗn tÔi i 1, k sao cho xal |u m i·u n y l  khỉng thº.
1
1

j

k
k

j

1
1

j

s
s

i

H» qu£ 3.1.2.

i) I¶an ìn thùc b§t kh£ quy khi v  ch¿ khi nâ sinh bði lụy thứa cĂc bián.
ii) Iảan ỡn thực bĐt khÊ quy l  i¶an nguy¶n sì.
Chùng minh.
i) Cho Q = (xal , ..., xal ) = IT∩ J , trong âTQ ⊂ I, J .
Theo nh lỵ 3.1.1,TI = ri=1 Qi, J = sj=1 Q0j , trong â Qi, Q0j l  c¡c lụy thứa thuƯn
túy cừa cĂc bián,Q = ri=1 Qi Qj .Bơng cĂch bọ qua cĂc iảan phũ hủp giao nhau
vá phÊi ta cõ biu diạn rút gồn cừa Q.
Theo tẵnh chĐt duy nhĐt cừa nh lỵ 3.1.1, nghắa l  Q = Qi ho°c Q = Qj . i·u
n y l mƠu thuăn.
Ngữủc lÔi G(Q) chựa mởt ỡn thực u = vw vỵi U CLN (u, w), u 6= 1, w 6= 1. Khi õ
theo nh lỵ 3.1.1 ta cõ i·u ph£i chùng minh.
ii) Tø i) ta câ i¶an sinh bi lụy thứa cừa cĂc bián l iảan bĐt khÊ quy. Kát hủp vợi
Mằnh à 1.2.2, ta nhên ữủc cõ iảan sinh bi lụy thứa cừa cĂc bián l iảan nguyản
sỡ.
nh lỵ 3.1.2. Mồi iảan ỡn thực Ãu phƠn tẵch ữủc thnh giao cừa cĂc thnh phƯn
bĐt khÊ quy.
Chựng minh. Tứ nh lỵ 3.1.1 kát hủp vợi Hằ quÊ 3.1.2.ii), ta thĐy mồi iảan ỡn thực
Ãu phƠn tẵch ữủc thnh giao cừa cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy.
1
1

k
k

18

3.2 B i tªp

B i 3.2.1. Cho v nh a thùc K[x, y, z], trong õ K l mởt trữớng. PhƠn tẵch I thnh
cĂc thnh phƯn nguyản sỡ.Tứ õ tẳm têp Ass(I) v tẳm cĂc iảan nguyản tố cổ lêp,
iảan nguyản tố nhúng.
i) I = (zx3, zxy2, zy3).
ii) I = (x2y2, xy2, x2y).
B i l m.
i) Cho I = (zx3, zxy2, zy3). Ta câ
I = (zx3 , zxy 2 , zy 3 )
= (z) ∩ (x3 , xy 2 , y 3 )
= (z) ∩ (x3 , y 2 ) ∩ (x, y 3 )
= (z) ∩ (x3 , y 2 ) ∩ (x, y 3 ) ∩ (x3 , xy, y 3 ).

Trong b i toĂn ny, dỏng cuối cũng ta cõ phƠn tẵch nguyản sỡ khổng tối gian, vẳ
(x3 , y 2 ) ∩ (x, y 3 ) ⊂ (x3 , xy, y 3 ). TÔi dỏng thự 2, ta cõ phƠn tẵch nguyản sỡ tối giÊn
những chữa tối tiu. V dỏng Ưu tiản, l mởt phƠn tẵch nguyản sỡ tối tiu.
Mt kh¡c, ta
(z), Q2 = (x3 ,√
y 2 ), Q3 = (x, y 3 ) l cĂc thnh phƯn nguyản sỡ
°t Q1 =√
cõa I. Ta th§y Q1 = (z), Q2 = (x, y), Q3 = (x, y). Do â Ass(I) = {(z), (x, y)}, (z)
l iảan nguyản tố cổ lêp v  (x, y) l  i¶an nguy¶n tè nhóng.
ii) Cho I = (x2y2, xy2, x2y). Ta câ
I = (x2 y 2 , xy 2 , x2 y)
= (x2 , xy 2 , x2 y) ∩ (y 2 , xy 2 , x2 y)
= [(x, x2 y) ∩ (x2 , y 2 , x2 y)] ∩ [(y 2 , x2 y) ∩ (y 2 , x, x2 y)]
= [(x) ∩ (x, y) ∩ (y 2 , x2 ) ∩ (x2 , y)] ∩ [(y) ∩ (y 2 , x2 ) ∩ (y 2 , x) ∩ (x, y)]
= (x) ∩ (y) ∩ (x, y) ∩ (x2 , y) ∩ (x, y 2 )

°t Q1 = (x), Q2 = (y), √Q3 = (x, y),Q4 = (x2,y), Q5 = (x, y2)l cĂc thnh phƯn
nguyản sì cõa I. Ta th§y Q1 = (x), Q2 = (y), Q3 = Q4 = Q5 = (x, y). Ta câ
Ass(I) = {(x), (y), (x, y)}. Do â, (x), (y) l cĂc iảan nguyản tố cổ lêp, (x, y) l i¶an
nguy¶n tè nhóng.
B i 3.2.2. Cho v nh a thùc K[x, y, z], trong õ K l mởt trữớng. PhƠn tẵch I thnh
cĂc thnh phƯn nguyản sỡ. Tứ õ tẳm têp Ass(I), cĂc iảan nguyản tố cổ lêp v cĂc
iảan nguyản tố nhóng.
i) I = (x21, x22, x1x2x3).
ii) I = (x21, x1x2, x1x3, x22).
B i l m.
i) Cho I = (x21, x22, x1x2x3). Ta câ
I = (x21 , x22 , x1 x2 x3 ) = (x21 , x22 , x1 ) ∩ (x21 , x22 , x2 ) ∩ (x21 , x22 , x3 ).
(3.5)

19


2
2
M°t kh¡c ta °t Q1√= (x1, x22), Q2 =√(x21, x2), Q3 = (x
√ 1 , x2 , x3 ) l  cĂc thnh phƯn nguyản
sỡ cừa I. Ta thĐy Q1 = (x1, x2), Q2 = (x1, x2), Q3 = (x1, x2, x3).
Khi â Ass(I) = {(x1, x2); ((x1, x2, x3)}. Do õ (x1, x2) l iảan nguyản tố cổ lêp
v (x1, x2, x3) l  i¶an nguy¶n tè nhóng.
ii) I = (x21, x1x2, x1x3, x22). Ta câ

I = (x21 , x1 x2 , x1 x3 , x22 )
= (x1 , x22 ) ∩ (x21 , x2 , x3 ).

Ta

°t Q1
√

= (x1 , x22 ), Q2 = (x21 , x2 , x3 ) l cĂc thnh phƯn nguyản sỡ cừa I. Ta

Q1 = (x1 , x2 ), Q2 = (x1 , x2 , x3 ). Khi â, Ass(I) = {(x1 , x2 ), (x1 , x2 , x3 )}. Ð
(x1 , x2 ) l iảan nguyản tố cổ lêp, cỏn (x1 , x2 , x3 ) l iảan nguyản tố nhúng.

thĐy
Ơy,

Bi 3.2.3. Cho v nh a thùc K[x, y, z, t], trong â K l mởt trữớng. PhƠn tẵch I thnh

cĂc thnh phƯn nguyản sỡ. Tứ õ, tẳm têp Ass(I). XĂc nh nguyản tố cổ lêp v nguyản
tố nhúng.
i) I = (x2, y2, z2, xyzt).
ii) I = (x3, y2, z, xyzt).
B i l m.
i) Ta câ
I = (x2 , y 2 , z 2 , xyzt)
= ((x2 , y 2 , z 2 , x) ∩ (x2 , y 2 , z 2 , y) ∩ (x2 , y 2 , z 2 , z) ∩ (x2 , y 2 , z 2 , t).

M°t kh¡c, ta °t Q1 = (x, y2, z2), Q2 = (x2, y,√z 2), Q3 = (x2, y√2, z), Q4 = (x2, y2, z2, t)
l cĂc thnh
phƯn nguyản sỡ cừa I . Ta th§y Q1 = (x, y, z), Q2 = (x, y, z), Q3 =
(x, y, z), Q4 = (x, y, z, t). Khi â Ass(I) = {(x, y, z), (x, y, z, t)}. Trong â (x, y, z) l 
nguy¶n tố cổ lêp v (x, y, z, t) l nguyản tè nhóng.
ii) Ta câ:
I = (x3 , y 2 , z, xyzt)
= (x3 , y 2 , z, x) ∩ (x3 , y 2 , z, y) ∩ (x3 , y 2 , z, z) ∩ (x3 , y 2 , z, t)

= (x, y 2 , z) ∩ (x3 , y, z) ∩ (x3 , y 2 , z) ∩ (x3 , y 2 , z, t).

Tªp Ass(I) = {(x, y, z), (x, y, z, t)}. Trong â, (x, y, z) l nguyản tố cổ lêp v (x, y, z, t)
l  nguy¶n tè nhóng.
B i 3.2.4. Cho v nh a thùc K[x, y, z], trong õ K l mởt trữớng. PhƠn tẵch I thnh
cĂc thnh phƯn nguyản sỡ. Tứ õ, tẳm têp Ass(I). XĂc nh cĂc nguyản tố cổ lêp v
nguyản tè nhóng.
i) I = (x3y, xyz2, x).
ii) I = (x2, xy, y9).
B i l m.

20


i) Ta câ

I = (x3 y, xyz 2 , x)
= (xyz 2 , x) ∩ (y, xyz 2 , x)
= (x) ∩ (x, y) ∩ (x, z 2 ) ∩ (y, x) ∩ (z 2 , x)
= (x) ∩ (x, y) ∩ (x, z 2 ).

Ta °t√ Q1 = (x),√Q2 = (x, y), √Q3 = (x, z2) l  c¡c th nh phƯn nguyản sỡ cừa I . Ta
thĐy Q1 = (x), Q2 = (x, y), Q3 = (x, z). Khi â tªp Ass(I) = {(x), (x, y), (x, z)}.
Trong â, (x) l nguyản tố cổ lêp, cỏn (x, y), (x, z) l  c¡c nguy¶n tè nhóng.
ii) Ta câ
I = (x2 , xy, y 9 )
= (x, y 9 ) ∩ (x2 , y).

Tªp Ass(I) = {(x, y)}.
B i 3.2.5. Cho v nh a thực K[x, y, z], trong õ K l mởt trữớng.PhƠn tẵch I thnh

cĂc thnh phƯn nguyản sỡ. Tứ õ, tẳm tªp Ass(I).
i) I = (xyz, y2z, xz3).
ii) I = (x4y3z2, xyz2, xy3).
B i l m.
i) Ta câ
I = (xyz, y 2 z, xz 3 )
= (xyz, y 2 z, x) ∩ (xyz, y 2 z, z 3 )
= [(xyz, y 2 , x) ∩ (xyz, z, x)] ∩ [((xyz, y 2 , z 3 ) ∩ (xyz, z)]
= [(x, y 2 ) ∩ (x, y) ∩ (x, y 2 , z) ∩ (x, z) ∩ (x, y, z)] ∩ [(x, y 2 , z 3 ) ∩ (x, z 3 ) ∩ (z, y 2 ) ∩ (z) ∩ (z, y)]
= (z) ∩ (x, y) ∩ (x, z) ∩ (y, z) ∩ (x, y 2 ) ∩ (z, y 2 ) ∩ (y, z 3 ) ∩ (x, y 2 , z 3 ) ∩ (x, y, z)

Tªp Ass(I) = {(z), (x, y), (x, z), (y, z), (x, y, z)}.
ii) Ta câ
I = (x4 y 3 z 2 , xyz 2 , xy 3 )
= ((x4 y 3 z 2 , xyz 2 , x) ∩ (x4 y 3 z 2 , xyz 2 , y 3 )
= [(x, xyz 2 ) ∩ (y 3 , xyz 2 , x) ∩ (z 2 , xyz 2 , x)] ∩ [(x4 , xyz 2 , y 3 ) ∩ (y 3 , xyz 2 ) ∩ (z 2 , xyz 2 , y 3 )]
= [(x) ∩ (y 3 , x) ∩ (x, y) ∩ (y 3 , z 2 , x) ∩ (z 2 , x) ∩ (z 2 , y, x)]
∩ [(x4 , y) ∩ (x4 , z 2 , y 3 ) ∩ (y) ∩ (y 3 , z 2 ) ∩ (z 2 , y)]
= (x) ∩ (y) ∩ (x, y) ∩ (x, z 2 ) ∩ (x, y 3 ) ∩ (x4 , y) ∩ (y, z 2 ) ∩ (y 3 , z 2 ) ∩ (x, y 3 , z 2 ) ∩ (x4 , y 3 , z 2 )

Tªp Ass(I) = {(x), (y), (x, y), (x, z), (y, z), (x, y, z)}.
B i 3.2.6. Cho v nh a thùc K , trong â K l  mët trữớng.PhƠn tẵch I thnh cĂc thnh
phƯn nguyản sỡ. Tứ õ, tẳm têp Ass(I).
i) I = (x21x52x73, x43x54, x2x93).

21


ii)

I = (x31 x52 x53 , x21 x63 , x32 x73 ).

B i l m.
i) Ta câ

I = (x21 x52 x73 , x43 x54 , x2 x93 )
= (x21 , x43 x54 , x2 x93 ) ∩ (x52 , x43 x54 , x2 x93 ) ∩ (x73 , x43 x54 , x2 x93 )
= [(x21 , x43 , x2 x93 ) ∩ (x21 , x54 , x2 x93 )] ∩ (x52 , x43 x54 , x2 x93 ) ∩ (x73 , x43 x54 , x2 x93 )
= [(x21 , x43 , x2 ) ∩ (x21 , x43 ) ∩ (x21 , x2 , x54 ) ∩ (x21 , x93 , x54 )] ∩ (x52 , x43 x54 , x2 x93 ) ∩ (x73 , x43 x54 , x2 x93 )
= [(x21 , x43 , x2 ) ∩ (x21 , x43 ) ∩ (x21 , x2 , x54 ) ∩ (x21 , x93 , x54 )]
∩ [, x43 , x2 ) ∩ (x2 , x54 ) ∩ (x52 , x43 , x54 )] ∩ (x73 , x43 x54 , x2 x93 )
= (x21 , x43 ) ∩ (x2 , x54 ) ∩ (x2 , x43 )
∩ (x21 , x2 , x43 ) ∩ (x21 , x2 , x54 ) ∩ (x21 , x93 , x54 ) ∩ (x52 , x43 , x54 ) ∩ (x73 , x43 x54 , x2 x93 )
= (x21 , x43 ) ∩ (x2 , x54 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x21 , x2 , x43 ) ∩ (x21 , x2 , x54 ) ∩ (x21 , x93 , x54 ) ∩ (x52 , x43 , x54 )
∩ [(x33 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x33 , x54 ) ∩ (x2 , x73 , x54 )].

Tªp Ass(I) = {(x3), (x1, x3), (x2, x3), (x2, x4), (x3, x4), (x1, x2, x3), (x1, x2, x4), (x1, x3, x4), (x2, x3, x4
ii) Ta câ
I = (x31 x52 x53 , x21 x63 , x32 x73 )
= (x31 , x21 x63 , x32 x73 ) ∩ (x52 , x21 x63 , x32 x73 ) ∩ (x53 , x21 x63 , x32 x73 )
= [(x21 , x32 x73 ) ∩ (x31 , x63 , x32 x73 )] ∩ (x52 , x21 x63 , x32 x73 ) ∩ (x53 , x21 x63 , x32 x73 )
= [(x21 , x32 ) ∩ (x21 , x73 ∩ (x31 , x63 ) ∩ (x31 , x63 , x32 )] ∩ (x52 , x21 x63 , x32 x73 ) ∩ (x53 , x21 x63 , x32 x73 )
= [(x21 , x32 ) ∩ (x21 , x73 ∩ (x31 , x63 ) ∩ (x31 , x63 , x32 )]
∩ [(x21 , x32 ) ∩ (x52 , x63 ) ∩ (x32 , x63 ) ∩ (x21 , x52 , x73 )] ∩ (x53 , x21 x63 , x32 x73 )
= (x21 , x32 ) ∩ (x21 , x73 ∩ (x31 , x63 ) ∩ (x31 , x63 , x32 ) ∩ (x52 , x63 ) ∩ (x32 , x63 ) ∩ (x21 , x52 , x73 )
∩ [(x53 ) ∩ (x21 , x53 ) ∩ (x53 , x32 ) ∩ (x53 , x21 , x32 )].

T¥p Ass(I) = {(x3), (x1, x2), (x1, x3), (x2, x3), (x1, x2, x3)}.
B i 3.2.7. Cho v nh a thùc K[x1, x2, x3, x4], trong â K l mởt trữớng. PhƠn tẵch I
thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ.Tứ õ tẳm têp Ass(I).

i) I = (x31x2x43, x32x53x24, x33x64).
ii) I = (x21x43x54, x22x73x44, x71x2).
B i l m.
i) Ta câ
I = (x31 x2 x43 , x32 x53 x24 , x33 x64 )
= (x31 , x32 x53 x24 , x33 x64 ) ∩ (x2 , x32 x53 x24 , x33 x64 ) ∩ (x43 , x32 x53 x24 , x33 x64 ).

°t I1 = (x31, x32x53x24, x33x64), I2 = (x2, x32x53x24, x33x64), I3 = (x43, x32x53x24, x33x64). Ta câ
I1 = (x31 , x32 , x33 x64 ) ∩ (x31 , x53 , x33 x64 ) ∩ (x31 , x24 , x33 x64 )
= (x31 , x32 , x33 ) ∩ (x31 , x32 , x64 ) ∩ (x31 , x53 ) ∩ (x31 , x53 , x24 ) ∩ (x31 , x33 , x24 ) ∩ (x31 , x24 )
= (x31 , x32 , x33 ) ∩ (x31 , x32 , x64 ) ∩ (x31 , x53 ) ∩ (x31 , x53 , x24 ) ∩ (x31 , x64 ).

22


I2 = (x2 , x32 x53 x24 , x33 x64 )
= (x2 , x33 x64 ) ∩ (x2 , x53 , x33 x64 ) ∩ (x2 , x24 , x33 x64 )
= (x2 , x33 ) ∩ (x2 , x64 ) ∩ (x2 , x33 ) ∩ (x2 , x53 , x64 ) ∩ (x2 , x24 , x33 ) ∩ (x2 , x24 )
= (x2 , x33 ) ∩ (x2 , x64 ) ∩ (x2 , x53 , x64 ).
I3 = (x43 , x32 x53 x24 , x33 x64 )
= (x43 , x32 , x33 x64 ) ∩ (x43 , x33 x64 ) ∩ (x43 , x24 , x33 x64 )
= (x32 , x33 ) ∩ (x32 , x43 , x64 ) ∩ (x33 ) ∩ (x43 , x64 ) ∩ (x33 , x24 ) ∩ (x43 , x24 )
= (x32 , x33 ) ∩ (x32 , x43 , x64 ) ∩ (x33 ) ∩ (x43 , x64 ).

Ta câ

I = I1 ∩ I2 ∩ I3
= (x3 )3 ∩ (x31 , x53 ) ∩ (x31 , x64 ) ∩ (x32 , x33 ) ∩ (x2 , x64 ) ∩ (x43 , x64 )
∩ (x31 , x32 , x33 ) ∩ (x31 , x32 , x64 ) ∩ (x31 , x53 , x24 ) ∩ (x32 , x43 , x64 ).

Tªp Ass(I) = {(x3), (x1, x3), (x1, x4), (x2, x3), (x2, x4), (x3, x4), (x1, x2, x3), (x1, x2, x4), (x1, x3, x4)}.
ii) Ta câ
I = (x21 x43 x54 , x22 x73 x44 , x71 x2 )
= (x21 , x22 x73 x44 , x71 x2 ) ∩ (x43 , x22 x73 x44 , x71 x2 ) ∩ (x54 , x22 x73 x44 , x71 x2 ).

°t I1 = (x21, x22x73x44, x71x2), I2 = (x43, x22x73x44, x71x2), I3 = (x54, x22x73x44, x71x2).
Ta câ
I1 = (x21 , x22 x73 x44 , x71 x2 )
= (x21 , x22 , x71 x2 ) ∩ (x21 , x73 , x71 x2 ) ∩ (x21 , x44 , x71 x2 )
= (x21 , x22 ) ∩ (x21 , x2 ) ∩ (x21 , x73 ) ∩ (x21 , x2 , x73 ) ∩ (x21 , x44 ) ∩ (x21 , x2 , x44 )
= (x21 , x22 ) ∩ (x21 , x73 ) ∩ (x21 , x2 , x73 ) ∩ (x21 , x44 ) ∩ (x21 , x2 , x44 ).
I2 = (x43 , x22 x73 x44 , x71 x2 )
= (x43 , x22 , x71 x2 ) ∩ (x43 , x1 x2 ) ∩ (x43 , x44 , x71 x2 )
= (x71 , x22 , x43 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x1 , x43 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x71 , x43 , x44 ) ∩ (x2 , x43 , x44 )
= (x71 , x22 , x43 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x1 , x43 )) ∩ (x71 , x43 , x44 ) ∩ (x2 , x43 , x44 ).
I3 = (x54 , x22 x73 x44 , x71 x2 )
= (x54 , x22 , x71 x2 ) ∩ (x54 , x73 , x71 x2 ) ∩ (x54 , x44 , x71 x2 )
= (x54 , x22 , x71 ) ∩ (x54 , x2 ) ∩ (x54 , x73 , x71 ) ∩ (x54 , x73 , x2 ) ∩ (x44 , x71 ) ∩ (x44 , x2 )
= (x54 , x22 , x71 ) ∩ (x54 , x2 ) ∩ (x54 , x73 , x71 ) ∩ (x54 , x73 , x2 ) ∩ (x44 , x71 ).

Ta câ
I = I1 ∩ I2 ∩ I3
= (x21 , x22 ) ∩ (x21 , x73 ) ∩ (x71 , x44 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x2 , x54 )
∩ [(x21 , x2 , x73 ) ∩ (x71 , x22 , x43 )] ∩ (x71 , x22 , x54 ) ∩ (x71 , x73 , x54 ) ∩ (x2 , x73 , x54 ).

Tªp Ass I = {(x1, x2), (x1, x3), (x1, x4), (x2, x3), (x2, x4), (x1, x2, x3), (x1, x2, x4), (x2, x3, x4)}.

23

Bi 3.2.8. PhƠn tẵch thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ. Tứ õ tẳm têp Ass(I).

i) I = 30Z.
ii) I = 55Z.
B i l m.
i) Ta câ I = 30Z = 2Z ∩ 3Z ∩ 5Z.
Tªp Ass(I) = {2Z, 3Z, 5Z}.
ii) Ta câ I = 55Z = 5Z ∩ 11Z.
Tªp Ass(I) = {5Z, 11Z}.
Bi 3.2.9. PhƠn tẵch thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ. Tứ õ tẳm têp Ass(I).
i) I = 2018Z.
ii) I = 2020Z.
B i l m.
i) Ta câ I = 2018Z = 2Z ∩ 1009Z.
Tªp Ass(I) = {2Z, 1009Z}.
ii) Ta câ I = 2020Z = 22Z ∩ 5Z ∩ 101Z.
Tªp Ass(I) = {2Z, 5Z, 101Z}.
Bi 3.2.10. PhƠn tẵch thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ. Tứ õ tẳm têp Ass(I).
i) I = 10000Z.
ii) I = 22500Z.
B i l m.
i) Ta câ I = 10000Z = 24.54Z = 24Z ∩ 54Z.
Tªp Ass(I) = {2Z, 5Z}.
ii) Ta câ I = 22500Z = 22Z ∩ 32Z ∩ 54Z.
Tªp Ass(I) = {2Z, 3Z, 5Z}.

24


Kát luên

sau

à ti "PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan ỡn thực"  trẳnh by ữủc cĂc kát quÊ
1. Giợi thiằu lÔi phƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan.
2. Giợi thiằu khĂi niằm têp iảan nguyản tố liản kát.
3. Tẵnh toĂn cử thº tr¶n v nh a thùc v  v nh Z.

25