Bài giảng lý thuyết trường điện từ chương 4 ts nguyễn việt sơn

LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
Chương 4: Năng lượng - Điện thế
I. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường

II. Tích phân đường
III. Hiệu điện thế - Điện thế
IV. Trường thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm
V. Gradient thế
VI. Lưỡng cực

VII. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

1


Chương 4: Năng lượng - Điện thế
I. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường
 Xét một điện tích điểm Q dịch chuyển một đoạn dL dưới tác dụng của
điện trường E. Khi đó lực do điện trường tác động lên điện tích: FE = QE
 Thành phần lực điện trường theo hướng của dL: FEL = FE.aL = QE.aL

 Vậy lực cần tác dụng để dịch chuyển điện tích: Ftd = -QE.aL
 Vậy công sinh ra để dịch chuyển điện tích điểm Q trong điện trường một
đoạn dL là:

dW  QE.aL dL  QE.dL
2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

2

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
I. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường

dW  QE.dL
 Cơng dịch chuyển điện tích Q bị triệt tiêu nếu:
 Q = 0, E = 0, L = 0 hoặc
 E vng góc với dL

 Xét điện tích điểm Q đứng yên trong khơng gian có điện trường E.
 Cơng dịch chuyển điện tích Q trong một quãng đường hữu hạn:
cuoi

W  Q

 E.dL

dau

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

3


Chương 4: Năng lượng - Điện thế
I. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường
1
Ví dụ 4.1: Xét khơng gian có E  2  8 xyza x  4 x 2 za y  4 x 2 ya z V / m . Tính vi
z

phân cơng để dịch chuyển một điện tích 6nC đi quãng đường dài 2μm từ
6
3
2
điểm P(2, -2, 3) theo hướng: A   a x  a y  a z
7
7
7
Giải:
1
E P  2  8 xyza x  4 x 2 za y  4 x 2 ya z 
 10, 67a x  5,33a y  3,56a zV / m
z
P (2, 2,3)
6
3
2
 ax  ay  az
12
6
4
7
7
7
dL  dLa L  2.106
  a x  a y  a z (  m)
2
2
2
7

7
7
6 3 2


     
7 7 7
Vậy vi phân cơng dịch chuyển điện tích là:
dW  QE P .dL  6.109 (10, 67a x  5,33a y  3,56a z )(
2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

12
6
4
a x  a y  a z )  149,37 J
7
7
7
4


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
Chương 4: Năng lượng - Điện thế
I. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường

II. Tích phân đường
III. Hiệu điện thế - Điện thế
IV. Trường thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm

V. Gradient thế
VI. Lưỡng cực

VII. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

5


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
A

II. Tích phân đường

EL6

 Xét cơng dịch chuyển điện tích điểm Q từ điểm B

ΔL5

đến điểm A trong khơng gian có điện trường đều E.

 Chia B-A thành 6 đoạn: ΔL1, ΔL2, ΔL3,
ΔL4, ΔL5, ΔL6
 Ứng với mỗi đoạn có: EL1, EL2, EL3,

ΔL1
EL1

B

EL4, EL5, EL6

EL2

ΔL6

E

EL5

ΔL
EL4 4

ΔL
ΔL2 EL3 3

E

E

E

E
E

 Công dịch chuyển điện tích điểm Q từ B đến A:

W  Q( EL1L1  EL 2L2  ...  EL6L6 )
W  Q(E1  ΔL1  E2  ΔL2  ...  E6  ΔL6 )  QE  (ΔL1  ΔL2  ...  ΔL6 )

W  QE  LBA
2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

6


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
A

II. Tích phân đường

EL6
A

W  Q  E  dL
B

do E  const



A

ΔL5

 QE   dL  QE  L BA

ΔL
EL4 4

điểm phụ thuộc:
 Giá trị điện tích điểm Q

ΔL2

ΔL1
EL1

B

E

EL5

B

 Nhận xét: Cơng dịch chuyển điện tích

ΔL6

EL3 ΔL3

EL2

E

E

E

E
E

 Độ lớn của cường độ điện trường E (đều và không đều)
 Khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối LBA (không phụ thuộc vào
đường đi giữa 2 điểm B, A).
2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

7


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
II. Tích phân đường
Ví dụ 4.2: Cho khơng gian biết E = yax + xay + 2az. Xác định công dịch
chuyển điện tích điểm Q = 2C từ điểm B(1, 0, 1) đến điểm A(0,8 ; 0,6 ; 1)
theo đường cong: x2 + y2 = 1, z = 1.

Giải:

E  ya x  xa y  2a z

A



 Áp dụng công thức: W  Q E  dL trong đó:

dL  dxa x  dya y  dza z

B

A

A

B

B

W  Q  E  dL  2 ( ya x  xa y  2a z )  (dxa x  dya y  dza z )
0,8

0,6

1

W  2  ydx  2  xdy  4  dz

1

0

1

0,8

0,6

 W  2  1  x dx  2  1  y 2 dy  0
2

1

0,8

0

0,6

 W    x 1  x 2  sin 1 x    y 1  y 2  sin 1 y   0,96 J

1 
0

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

8


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
II. Tích phân đường
Ví dụ 4.2: Cho khơng gian biết E = yax + xay + 2az. Xác định công dịch
chuyển điện tích điểm Q = 2C từ điểm B(1, 0, 1) đến điểm A(0,8 ; 0,6 ; 1)
theo đường cong: x2 + y2 = 1, z = 1.
Giải:

E  ya x  xa y  2a z

A



 Áp dụng công thức: W  Q E  dL trong đó: dL  dxa x  dya y  dza z
A

B

0,8

0,6

1

1

0

1

W  Q  E  dL  2  ydx  2  xdy  4  dz
B

 Đường thẳng nối 2 điểm B – A có phương trình:

y  yB 

y A  yB
( x  xB )  y  3( x  1)
xA  xB

0,8

0,6

y

 W  6  ( x  1)dx  2  1   dy  0,96 J
3
2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn
1 Việt Sơn
0 

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

9


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
II. Tích phân đường

Cơng thức tính vi phân đường
 Hệ tọa độ Descartes:

dL  dxa x  dya y  dza z
 Hệ tọa độ trụ tròn:

dL  d  a    d a  dza z
 Hệ tọa độ cầu:

dL  dra r  rd a  r sin  da

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

10


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
II. Tích phân đường

Ví dụ 4.3: Xét điện tích đường ρL nằm trên trục z trong chân khơng. Tính
cơng di chuyển điện tích Q trên đường trịn bán kính ρ, tâm nằm trên trục z
và trên mặt phẳng song song với mặt Oxy.

z

Giải:
 Áp dụng cơng thức tính cơng:

dL

cuoi

W  Q



dau

E  E aρ 

L
aρ
2 0 

dL  d  a    d a  dza z
d  0

y

Q

E  dL trong đó:

ρL

x

dz  0

2

2
L

 W  Q 
aρ   daφ  Q  L daρ  aφ  0
2 0 
2 0
0
0

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

11


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
II. Tích phân đường
Ví dụ 4.4: Xét điện tích đường ρL nằm trên trục z trong chân khơng. Tính
cơng di chuyển điện tích Q từ ρ = a đến ρ = b.
Giải:

z

 Áp dụng cơng thức tính cơng:

Q

cuoi

W  Q

 E  dL

dau

E  E aρ 

a

trong do

L
aρ
2 0 

y

dL  d  a    d a  dza z
d  0
dz  0

dL

ρL

b

x

L
L b d 
Q L b
 W  Q 
aρ  d  a   Q


ln

2


2



2

a
0
0 a
0
a
b

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

12


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
Chương 4: Năng lượng - Điện thế
I. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường

II. Tích phân đường
III. Hiệu điện thế - Điện thế
IV. Trường thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm
V. Gradient thế
VI. Lưỡng cực

VII. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

13


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
III. Hiệu điện thế - Điện thế
 Định nghĩa: Hiệu điện thế giữa 2 điểm A và B (VAB) là công dịch chuyển
một điện tích thử 1C trong điện trường E từ điểm B đến điểm A.
A

VAB    E  dL
B

J


V
 C


 Nếu coi 1 điểm trong hệ thống có điện thế bằng 0 (điểm tham chiếu,

điểm “đất” của hệ thống) thì hiệu điện thế của điểm khác so với điểm
tham chiếu chính là điện thế (điện thế tuyệt đối) của chúng.
 Nếu biết thế VA, VB của 2 điểm A, B (chung điểm tham chiếu) thì hiệu

điện thế giữa A và B (VAB) được tính theo cơng thức:

VAB  VA  VB
2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

14


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
III. Hiệu điện thế - Điện thế
Ví dụ 4.5: Tính hiệu điện thế giữa 2 điểm A, B cùng nằm trên 1 trục xuyên
tâm có khoảng cách rA, rB đặt trong điện trường của một điện tích điểm Q.
 Chọn hệ tọa độ cầu có tâm trùng vị trí của điện tích điểm Q
 Vector cường độ điện trường do Q tạo ra: E  E aρ 

Q
4 0 r 2

ar

 Hiệu điện thế VAB là:

Q 1 1
   E  dL   
dr 
  

2
4

r
4

rB 
0
0  rA
B
rB
A

VAB

rA

Q

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

15


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
III. Hiệu điện thế - Điện thế

Ví dụ 4.6: Trong khơng gian có E = 6x2ax + 6yay + 4az V/m.
a. Tính VMN nếu M(2, 6, -1), N(-3, -3, 2)
M

M

N

N

VMN    E  dL    (6 x 2ax  6 yay  4az )  (dxax  dyay  dza z )
2

6

1

3

2

VMN  6  x dx  6  ydy  4  dz  139V
2

3

b. Tính VN nếu điểm P(1, 2, -4) có VP = 2
N

3

3

2

2

4

VN  VNP  VP  2   E  dL  2  6  x dx  6  ydy  4  dz  19V
2

P

1

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

16


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
Chương 4: Năng lượng - Điện thế
I. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường

II. Tích phân đường

III. Hiệu điện thế - Điện thế
IV. Trường thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm
V. Gradient thế
VI. Lưỡng cực

VII. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

17


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
IV. Trường thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm
1. Trường thế của điện tích điểm
 Ví dụ 4.5 đã chứng minh hiệu điện thế giữa 2 điểm A, B nằm trên trục

xuyên tâm có khoảng cách rA, rB đặt trong điện trường của điện tích
A(rA, θA, φA)

điểm Q được tính theo công thức:

VAB 

Q 1 1
  

4 0  rA rB 

E = Er.ar
rA

 Với 2 điểm A, B bất kỳ, hiệu điện

r

dL = drar + rdθaθ + rsinθdφaφ

thế để di chuyển điện tích điểm Q

từ B đến A là:

Q 1 1
   Er dr   
dr 
  
2
4

r
4

rB 
0
0  rA
rB
rB

rA

VAB

Q

rA

Q

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

rB
B(rB, θB, φB)
18


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
IV. Trường thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm
A(rA, θA, φA)

1. Trường thế của điện tích điểm
 Với 2 điểm A, B bất kỳ, hiệu điện thế
để di chuyển một điện tích điểm Q từ
B đến A là:
rA

VAB   
rB

Q
4 0 r 2

E = Er.ar
rA
r

dr 

Q 1 1
  
4 0  rA rB 

dL = drar + rdθaθ + rsinθdφaφ

rB

Q

 Hiệu điện thế giữa 2 điểm bất kỳ trong trường điện của điện

B(rB, θB, φB)

tích điểm chỉ phụ thuộc khoảng cách giữa 2 điểm đến điện
tích điểm, khơng phụ thuộc vào quãng đường nối giữa 2 điểm.
 Coi rB = ∞ và VB = 0:

V

Q
4 0 r

(Trường thế của điện tích điểm)

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

19


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
IV. Trường thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm
1. Trường thế của điện tích điểm

V

Q
4 0 r

 Trường thế của điện tích điểm cho ta biết cơng để di chuyển điện tích
thử 1C từ xa vơ cùng (điểm tham chiếu, V = 0) về điểm bất kỳ cách điện
tích điểm một khoảng r.
 Trường thế của điện tích điểm: trường vơ hướng, khơng có vector đơn vị.

 Gọi mặt đẳng thế là tập hợp tất cả các điểm có cùng điện thế  cơng

dịch chuyển điện tích trên mặt đẳng thế bằng khơng.
 Mặt đẳng thế của điện tích điểm là các mặt cầu đồng tâm, có tâm
trùng với vị trí của điện tích điểm đó.
2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

20


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
IV. Trường thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm
1. Trường thế của điện tích điểm

Ví dụ 4.7: Cho Q = 15nC ở gốc tọa độ. Tính VP nếu P(-2, 3, -1) và:
a. V = 0 tại điểm A(6, 5, 4)

VPA

Q  1 1  15.109 
1
1






 20, 68V




4 0  rP rA 
4 0  4  9  1
36  25  16 

b. V = 0 tại vô cùng

15.109
VPA 

 36,1V
4 0 rP 4 0 4  9  1
Q

c. V = 5 tại B(2, 0, 4)

15.109 
1
1

VP  VPB  VB  5 

 10,89V



4 0  4  9  1
4  0  16 

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

21


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
IV. Trường thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm
2. Trường thế của hệ điện tích điểm
 Xét khơng gian, gồm điện tích điểm Q1. Khi đó điện

Q2

Q1

r2

r1

thế tại điểm A bất kỳ sẽ được tính theo cơng thức:

V (r) 

Q1

4 0 | r  r1 |

r – r2

r - r1
A

r

Gốc tọa độ

 Nếu khơng gian có n điện tích điểm Q1, Q2, …, Qn, điện thế tại A là:
n

Qk
k 1 4 0 | r  rk |

V (r )  

 Coi Qk là một phần tử của phân bố điện tích khối liên tục ρVΔvm:

 v (rk )vk n
 (r ')dv '
V (r )  
 V (r )   v
4 0 | r  r' |
k 1 4 0 | r  rk |
V
n

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

22


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
IV. Trường thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm
2. Trường thế của hệ điện tích điểm
 Vậy trường thế của một vật mang điện:
 Có mật độ điện tích khối ρV:

V (r )  
V

 v (r ')dv '
4 0 | r  r' |

 Có mật độ tích đường ρL (dây dẫn thẳng mang điện, dài vô hạn):

V (r )  

 L (r ')dL '
4 0 | r  r' |

 Có mật độ điện tích mặt ρS (mặt tích điện, rộng vơ hạn)

V (r )  
S

 S (r ')dS '
4 0 | r  r' |

2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

23


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
z
IV. Trường thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm
(0, 0, z)
2
2
2. Trường thế của hệ điện tích điểm
r | r  r' | a  z
Ví dụ 4.8: Tính thế điểm trên trục z trong trường

ρ=a

của dây tròn ρL, bán kính a, thuộc mặt phẳng z=0
 Ta có cơng thức:

trong đó:

 (r ')dL '
V (r )   L
4 0 | r  r' |

x

dL '  ad ' ; r  za z ; r'  aaρ

2

| r  r' | a 2  z 2

V 

 Nhận xét:

 L ad '

 4
0

y

φ’ r’

0

a2  z 2

ρL



dL’=adφ’

La
2 0 a 2  z 2

 Điện thế tại 1 điểm là cơng sinh ra để đưa 1 điện tích thử từ vơ cùng về
điểm đó mà khơng phụ thuộc vào đường đi giữa chúng.

 Trường thế của một hệ nhiều điện tích điểm là tổng của các trường thế do
từng điện tích điểm tạo nên.
2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

24


C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4..22.Tai lieu. Luan 66.55.77.99. van. Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an.Tai lieu. Luan van. Luan an. Do an

Chương 4: Năng lượng - Điện thế
IV. Trường thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm
2. Trường thế của hệ điện tích điểm
 Mặt khác, điện thế của điểm A bất kỳ được tính theo cơng thức:
A

VA    E  dL


 Hiệu điện thế giữa A và B không phụ thuộc vào đường nối giữa A và B
A

VAB  VA  VB    E  dL
B

 Đối với điện trường tĩnh (vector cường độ điện trường không thay đổi
phương, hướng và độ lớn theo thời gian t):

 E  dL  0
2015 - Lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

25