Ôn tập Khảo sát hàm số - LTĐH cấp tốc

Chuyên đề khảo sát hàm số
Trang 1
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
A.
ĐỒ THỊ HÀ
M SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phương pháp chung:
Để vẽ đồ thị của hàm số có mang dấu GTTĐ ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: Phá dấu GTTĐ
+ Xét dấu biểu thức chứa bên trong dấu GTTĐ.
+ Sử dụng đ/n khử dấu GTTĐ (viết hàm số cho bởi nhiều biểu thức)
Bước 2: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại (vẽ chung trên cùng một hệ trục toạ độ
2. Các k
iến thức sử dụng:
• Đ/n GTTĐ:
A 0
A A < 0
A
A
≥

=


neáu
neáu
• Một số tính chất của đồ thị:
1. Đồ thị hàm số y = f(x) và y= - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành Ox.
2. Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung Oy.
3. Đồ thị hàm số y = f(x) và y = - f(-x) đối xứng nhau qua gốc toạ độ O.

3. Bài toán tổng quát:
Từ đồ thị (C): y = f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:
(
)
( )
( )
( )
1
2
3
: ( )
:
: ( )
C y f x
C y f x
C y f x

=


=


=


• Dạng 1: Từ
đồ thị
(
)

: ( )
C y f x
= suy ra đồ thị
(
)
(
)
1
:
C y f x
=
B1: Ta có
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
1
f f 0 (1)
:
-f f < 0 (2)
x x
C y f x
x x

≥

= =




neáu
neáu
B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C
1
) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox (do 1)
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox (do 2)
- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox.
Minh hoạ
• Dạng 2: Từ đồ thị
(
)
: ( )
C y f x
= suy ra đồ thị
(
)
(
)
2
:
C y f x
=
Thầy Kìm 0902.789.015
(ít gặp)
Chuyên đề khảo sát hàm số
Trang 2
B1: Ta có

( )
( )
(
)
( )
2
f x 0 (1)
:
f x < 0 (2)
x
C y f x
x

≥

= =

−


neáu
neáu
B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C
2
) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía phải trục Oy (do 1)
- Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục tung (do 2)
- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có).
Minh hoạ
• Dạng 3: Từ đồ thị

(
)
: ( )
C y f x
= suy ra đồ thị
(
)
(
)
3
:
C y f x
=
B1: Ta có
( ) ( )
(
)
2
f 0
:
( ) (1)
( ) (2)
x
C y f x
f x
f x

≥

= =





−


B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C
3
) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox (do 1)
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (do 2)
- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox (nếu có).
Minh hoạ
3. Ví dụ:
VD1: Cho hàm số
3
3
y x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:
a)
3
3
y x x
= − + b)
3
3

y x x
= − + c)
3
3
y x x
= − +
Chuyên đề khảo sát hàm số
Trang 3
VD2: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
(1)
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
4. Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:
a)
1
1
x
y
x
+
=
−
b)

1
1
x
y
x
+
=
−
c)
1
1
x
y
x
+
=
−
d)
1
1
x
y
x
+
=
−
e)
1
1
x

y
x
+
=
−
4. Bài tập:
Bài tập 1: Cho hàm số
3 2
2 9 12 3
y x x x
= − + −
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Tìm m để phương trình
3 2
2 9 12 1
x x x m
− + + =
có 6 nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình
3 2
2x − 9x +12x − 3
m
=
có nhiều hơn 2 nghiệm
Đáp số: b)
5 6
m
< <
c)

4 5
m
≤ ≤
Bài tập 2 (Khối B - 2009) Cho hàm số
4 2
2 4
y x x
= − có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Tìm m để phương trình
2 2
2
x x m
− =
có đúng 6 nghiệm phân biệt
Đáp số:
0 1
m
< <
5. Bài tập tự luyện
Bài tập 1 (Khối A - 2006) Cho hàm số
3 2
2 9 12 4
y x x x
= − + −
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Tìm m để phương trình
3 2
2 9 12

x x x
− +
= m có 6 nghiệm phân biệt
Đáp số:
4 5
m
< <
Bài tập 2: Cho hàm số
4 2
8 10
y x x
= − + −
có đồ thị (C)
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
d) Tìm m để phương trình
4 2
8 10
x x m
− + − =
có 8 nghiệm phân biệt
Đáp số:
0 6
m
< <
Chuyên đề khảo sát hàm số
Trang 4
B. CỰC TRỊ
Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị
1. H
àm bậc ba: y=f(x) = ax

3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
y’ = f’(x) = 3ax
2
+ 2bx + c
Hàm số có cực trị
⇔
Hàm số có CĐ và CT
⇔
f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
2. Hàm trùng phương: y=f(x) = ax
4
+ bx
2
+ c
(a
≠
0)
y’ = f’(x) = 4ax
3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b)
Hàm số có đúng 1 cực trị
0
0

0
. 0
a
b
a
a b

≠



=


⇔

≠



>



; Hàm số có đúng 3 cực trị
0
. 0
a
a b
≠


⇔

<

Bài 1: Tìm
m
để hàm số
(
)
3 2
2 3 5
y m x x mx
= + + + −
có cực đại và cực tiểu
Đáp số:
2
3 1
m
m
≠ −


− < <

Bài 2 (ĐH Bách khoa HN-2000) Tìm
m
để hàm số
(
)

3 2
3 1 1
y mx mx m x
= + − − −
không có cực trị.
Đáp số:
1
0
4
m
≤ ≤
Bài 3 (ĐH cảnh sát-2000) Tìm
m
để hàm số
4 2
1 3
4 2
y x mx
= − +
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
Đáp số:
0
m
≤
Bài 4 (ĐH kiến trúc-1999) Tìm
m
để hàm số
(
)
(

)
4 2
1 1 2
y mx m x m
= − − + − có đúng một cực trị.
Đáp số:
1
0
4
m
≤ ≤
Bài 5 (ĐH khối A DB1 - 2001) Tìm
m
để hàm số
( )
3
3
y x m x
= − −
đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ
0
x
=
Đáp số:
1
m
= −
Bài 6 (ĐH khối B - 2002) Tìm
m
để hàm số

(
)
4 2 2
9 10
y mx m x
= − − +
có ba cực trị
Đ
áp số: m >3 hoặc -3 < m < 0
Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1. Phương trình đường thẳng đi qua CĐ và CT của hàm bậc ba
3 2
( ) ax
y f x bx cx d
= = + + +

* Chia f(x) cho f’(x) ta được: ( ) ( ). '( ) Ax
f x Q x f x B
= + +
* Khi đó, giả sử
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
x y x y
là các điểm cực trị thì:
(
)

( )
1 1 1
2 2 2
Ax
Ax
y f x B
y f x B

= = +


= = +


2. Tìm nhanh cực trị hàm đa thức f(x) bậc ba, bậc bốn
* Chia f(x) cho f’(x) ta được: ( ) ( ). '( ) Ax
f x Q x f x B
= + +
* G/s x
0
là hoành độ điểm cực trị khi đó tung độ điểm cực trị là
(
)
0 0 0
Ax
y f x B
= = +
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3 2
3 6 8

y x x x
= − − +

Đáp số:
6 6
y x
= − +
Bài 8 (ĐH khối A-2002) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
(
)
3 2 2 3 2
3 3 1
y x mx m x m m
= − + + − + −
Chuyên đề khảo sát hàm số
Trang 5
Đáp số:
2
2
y x m m
= − +
Bài 9: Tìm m để hàm số
(
)
(
)
3 2
2 3 1 6 2 1
y x m x m x
= + − + − −

có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song
song với đường thẳng
4 1
y x
= − +

Bài 10: Tìm m để hàm số
(
)
(
)
3 2
2 3 1 6 1 2
y x m x m m x
= + − + − có các điểm cực trị nằm trên đường thẳng
4
y x
= −

Bài 11: Tìm m để hàm số
3 2 2
3
y x x m x m
= − + +
có các điểm cực cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua
đường thẳng
1 5
2 2
y x
= −

Đáp số:
0
m
=
Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị thỏa mãn một điều kiện nào đó
Bài 12: Tìm
m
để hàm số
(
)
(
)
(
)
3 2 3
2 3 2 6 5 1 4 1
y x m x m x m
= − + + + − +
có hai điểm cực trị nhỏ hơn 2.
Đáp số:
1
0
3
m
− < <

Bài 13 (ĐH khối B DB2 - 2006) Tìm
m
để hàm số
(

)
(
)
3 2
1 2 2 2
y x m x m x m
= + − + − + +
có hai điểm cực
đại, cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Đáp số:
5 7
1;
4 5
m m
< − < <
Bài 14 (CĐ - 2009) Tìm m để hàm số
(
)
(
)
3 2
2 1 2 2
y x m x m x
= − − + − +
có cực đại và cực tiểu đồng thời
các điểm cực trị của hàm số có hoành độ dương.
Đáp số:
1
1, 0
3

m m
− < < ≠
Bài 15 (HV quan hệ quốc tế 1996) Tìm
m
để hàm số
4 2 4
2 2
y x mx m m
= − + +
có các điểm cực trị lập
thành một tam giác đều.
Đáp số:
3
3
m =
Bài 16 Tìm
m
để đồ thị hàm số
4 2
2 1
y x mx m
= − + −
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
Đáp số:
3
3
m =
Bài 17 (ĐH khối A BD1 - 2004) Tìm
m
để hàm số

4 2 2
2 1
y x m x
= − +
có ba điểm cực trị là ba đỉnh của
một tam giác vuông cân.
Bài 18 Chứng minh rằng hàm số
(
)
(
)
3 2
3 1 3 2 1
y x m x m m x
= − + + + +
luôn có cực đại, cực tiểu. Xác định
m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương .
Đáp số:
0
m
>
Bài 19 (Khối B - 2007) Tìm m để hàm số
(
)
3 2 2 2
3 3 1 3 1
y x x m x m
= − + + − − −
có cực đại và cực tiểu và
các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O Đáp số:

1
2
m
= ±
Bài 20: Tìm m để hàm số
4 2 2
2( 2) 5 5
y x m x m m
= + − + − +
có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam
giác vuông cân.
Đáp số: m = 1
Bài 21: Tìm m để hàm số
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
2 1 4 1 2 1
y x m x m m x m
= + − + − + − +
đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa mãn
( )
1 2

1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = + Đáp số:
1; 5
m m
= =
Chun đề khảo sát hàm số
Trang 6
C- PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG GIAO
1. Phư
ơng pháp chung:
• Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
(
)
(
)
(
)
1
f x g x=
• Khảo sát nghiệm của phương trình (1). Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của
(C1) và (C2).
• Chú ý: * (1) vơ nghiệm
⇔
(C
1
) và (C

2
) khơng có điểm chung
* (1) Có n nghiệm
⇔
(C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
* Nghiệm x
0
của (1) chính là hồnh độ điểm
chung của (C
1
) và (C
2
). Khi đó tung độ điểm
chung
(
)
0 0
y f x
= hoặc
(
)
0 0
y g x
=
2. Xét phương trình
(

)
3 2
ax 0
f x bx cx d
= + + + =
(1)
a) Đ/k để (1) có 1, 2, 3 nghiệm
• (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
( )



<


( ) có cực đại, cực tiểu
1
y . 0
CĐ CT
f x
y
• (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
( )



=


( ) có cực đại, cực tiểu

2
y . 0
CĐ CT
f x
y
• (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi
( )







>



( ) không có cực đại, cực tiểu
3
( ) có cực đại, cực tiểu
y . 0
CĐ CT
f x
f x
y
b. Đ/k để (1) có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng, cấp số nhân
* Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSC:
Đ/k cần:
G/s (1) có 3 nghiệm

1 2 3
, ,
x x x
lập thành CSC khi đó
2
3
b
x
a
= − thế vào (1)  giá trị của
tham số
Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành
CSC hay khơng.
* Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSN:
Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm
1 2 3
, ,
x x x
lập thành CSN khi đó
3
2
d
x
a
= −
thế vào (1)  giá trị của
tham số
Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành
CSN hay khơng.
Chú ý: Nếu a = 1

(
)
(
)
3 3
3
2 2
0 0
x d f x c b d d
⇒ = − ⇒ = ⇒ = ≠
3. Xét phương trình
(
)
4 2
ax 0
= + + =
f x bx c (2)
Đặt
2
t x
=
đ/k
0
t
≥
ta được phương
2
( ) 0
g t at bt c
= + + =

(*)
a) Đ/k để (2) vơ nghiệm, có 1,2, 3,4 nghiệm
* (2)
vơ nghiệm khi và chỉ khi (*) vơ nghiệm hoặc có nghiệm
1 2
0
t t
≤ <
* (2) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm
1
2
0
0
t
t

=


<


hoặc t = =0
2
t
1
Chuyên đề khảo sát hàm số
Trang 7
* (2) có 2 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm
1 2

0
t t
< <
* (2) có 3 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm
1
2
0
0
t
t

=


>


* (2) có 4 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm
1 2
0
t t
< <
b) Đ/k để (2) có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng
(2) có 3 nghiệm lập thành CSC
⇔
(*) có 2 nghiệm
2 1
1 2
1 2
2 1

1 2
0
9
0
. 0
9
0
t t
t t
t t
t t
t t

∆ >

=

< <
 
⇔
 
>
=

 

+ >

4. Xét phương trình
( )

ax
3
+
= +
+
b
mx n
cx d

- Đưa phương trình về dạng:
2
( ) 0
d
f x Ax Bx C x
c
 
= + + = ≠ −
 
 
(**)
(3) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 2 nghiệm phận biệt
0
0
d
d
f
c
c

∆ >


≠ − ⇔
 

− ≠
 

 

Chú ý: Trên đây chỉ là điều kiện trong trường hợp tổng quát, khi giải bài toán cụ thể ta cố gắng nhầm
nghiệm để phân tích phương trình về dạng tích khi đó điều kiện sẽ đơn giản hơn
5. Bài tập:
a) Dạng 1: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại k điểm phân biệt
Bà
i 1 (DB2 ĐH Khối D -2002) Tìm
m
để đồ thị hàm số
4 2
1
y x mx m
= − + −
cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt.
Đáp số:
1 2
m
< ≠
Bài 2 (DB1 ĐH Khối B -2003) Tìm
m
để đồ thị hàm số

(
)
(
)
2
1
y x x mx m
= − + + cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt.
Đáp số:
1
4;0
2
m m
> < ≠ −
Bài 4: Tìm
m
để đồ thị hàm số
(
)
3 2
3 3 1 1 3
y x x m x m
= − + − + + cắt trục hoành
a) tại 1 điểm
b) tại 2 điểm
c) tại 3 điểm
Đáp số:
) 1 b)m=1 c)m>1
a m

<
Bài 5: Tìm
m
để đồ thị hàm số
(
)
3 2 2
1 2
y x m x mx m
= + + + + cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ âm
Đáp số:
1
0
4
m
< <
Bài 6:Tìm
m
để đồ thị hàm số
(
)
(
)
3 2 2 2
2 2 1 1
y x mx m x m m
= − + − + − cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt có hoành độ dương
hoặc t = >0

2
t
1
Chuyên đề khảo sát hàm số
Trang 8
Đ
áp số:
2
1
3
m
< <
Bài 7: Tìm
m
để đồ thị hàm số
(
)
(
)
2
1 2 1
y x x mx m
= − − − −
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ lớn hơn -1
Đáp số:
Bài 8: Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2

18 2
y x x mx m
= − + − cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn
1 2 3
0
x x x
< < <

Đáp số:
0
m
<
b) Dạng 2: Tìm đ/k để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại k điểm phân biệt
Bài 9 (CĐ -2008) Tìm
m
để đồ thị hàm số
1
x
y
x
=
−
cắt đường thẳng
:
d y x m
= − +
tại hai điểm phân
biệt
Đáp số:
0

4
m
m

<

>

Bài 10: Cho hàm số
3 2
2 8
4
3 3
y x x x
= − − +
. Tìm m để đường thẳng
8
3
y mx
= +
cắt đồ thị hàm số tại 3
điểm phân biệt
Đáp số:
35
4
8
m
− < ≠ −
Bài 11 (DB2 ĐH Khối D -2003) Cho hàm số
3 2

2 3 1
y x x
= − −
có đồ thị (C), gọi
k
d
là đường thẳng đi
qua điểm
(
)
0; 1
M
−
và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng
k
d
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Đáp số:
9
0
8
k
− < ≠
Bài 12 (ĐH Khối D -2006) Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
= − +
có đồ thị (C), gọi
d

là đường thẳng đi qua điểm
(
)
3;20
A
và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng
d
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Đáp số:
Bài 13 (ĐH Khối D -2009) Tìm
m
để đường thẳng
1
y
= −
cắt đồ thị
(
)
m
C
của hàm số
(
)
4 2
3 2 3
y x m x m
= − + + tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
Đáp số:
1
1, 0

3
m m
− < < ≠

Bài 14: Tìm để đường thẳng
: 2
d y x m
= +
cắt đồ thị hàm số
3 1
4
x
y
x
+
=
−
tại hai điểm phân biệt A, B .
Tìm m để đoạn thẳng AB ngắn nhất.
Đáp số:
Bài 15: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).

a) Chứng minh rằng đường thẳng
: 2 0
d x y m
− + =
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên
hai nhánh của (C).
b) Tìm m để độ dài AB ngắn nhất
Chuyên đề khảo sát hàm số
Trang 9
c) Dạng 3: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại các điểm lập thành cấp số cộng, cấp số nhân
B
ài 16: Tìm
m
để đồ thị hàm số
(
)
3 2 2
3 2 4 9
y x mx m m x m m
= − + − + −
cắt trục hoành tại 3 điểm lập
thành cấp số cộng
Đáp số:
1
m
=
Bài 17: Tìm
m
để đồ thị hàm số
(

)
(
)
3 2
3 1 5 4 8
y x m x m x
= − + + + −
cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành
cấp số cộng
Đáp số:
2
m
=
Bài 18: Tìm
m
để đồ thị hàm số
(
)
4 2
2 1 2 1
y x m x m
= − + + +
cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số
cộng
Đáp số:
4
4;
9
m m
= = −

Bài 19: (ĐH Khối D -2008) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm
(
)
1;2
I
với hệ số góc
(
)
3
k k
> −
đều cắt đồ thị hàm số
3 2
3 4
y x x
= − +
tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm
của đoạn thẳng AB
Chuyên đề khảo sát hàm số
Trang 10
D- TIẾP TUYÊN
1. Viết pt tiếp tuyến của (C) tại
(
)
000
; yxM

(y
0
= f(x

0
))

2. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k
- Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: f’(x) = 0 (*)
- Giải PT (*) tìm được hoành độ tiếp điểm
⇒
tung độ tiếp điểm
⇒
bài toán trở về dạng 1
3. Chú ý :
a) Đ/k để hai đường cong
(
)
y f x
= và
(
)
y g x
= tiếp xúc nhau là hệ
(
)
(
)
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x

=



=


có nghiệm
b) Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau, vuông góc có tích các hệ số góc bằng -1
c) Hệ số góc của tiếp tuyến
0
'( ), tan
k f x k
ϕ
= = (
ϕ
là góc hợp bởi giữa tiếp tuyến và trục hoành)
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Bài 1: Tìm m a,b để đồ thị hàm số
ax
1
b
y
x
+
=
−
cắt Oy tại
(
)
0; 1
A

−
đồng thời tiếp tuyến tại A có hệ số góc
bằng 3.
Đáp số:
4, 1
a b
= − =
Bài 2: Cho hàm số
(
)
3 2
3 1
y f x x x mx
= = + + +
có đồ thị (C
m
).
a) Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng
1
y
=
tại 3 điểm phân biệt
(
)
0;1 , ,
C D E
.
b) Tìm m để các tiếp tuyến với (C

m
) tại D và E vuông góc với nhau.
Đáp số:
9 9 65
)0 )
4 8
a m b m
±
≠ < =
Bài 3 (ĐH huế khối D-1998) cho hàm số
4 2
2 2 1
y x mx m
= − + − +
có đồ thị (C). Tìm m để các tiếp tuyến
với đồ thị (C) tại
(
)
(
)
1;0 , 1;0
A B − vuông góc với nhau.
Đáp số:
5 3
;
4 4
m m
= =
Bài 4 (ĐH khối B-2004) Cho hàm số
3 2

1
2 3
3
y x x x
= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của
(C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Đáp số:
8
3
y x
= − +
Bài 5 (HV Quân Y 1997) Cho hàm số
3
1 ( 1)
y x m x
= + − +
có đồ thị (C
m
).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C
m
) tai các giao điểm của (C
m
) với Oy.
b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8.
Đáp số:
) 1 b)m=9 4 5; 7 4 3
a y mx m m= − + − ± = − ±
Bài 6: Cho hàm số

2 1
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C). Cho M bất kì trên (C) có
M
x m
=
. Tiếp tuyến của (C) tại M
cắt hai tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và
diện tích tam giác IAB không đổi.
Đáp số:
y = f’(x
0
). (x - x
0
) + y
0
Chuyên đề khảo sát hàm số
Trang 11
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
B
ài 7 (DB1 ĐH khối B-2002) Cho hàm số
( )
3 2
1 1 4

2
3 2 3
y f x x x x
= = + − −
có đồ thị (C). Viết phương tình
tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đương thẳng
: 4 2
d y x
= +

Đáp số:
Bài 8 (ĐH khối D-2005) Gọi (C
m
) là đồ thị hàm số
3 2
1 1
3 3 3
m
y x x
= − +
. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có
hoành độ x = -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song song với đường thẳng
5 0
x y
− =
.

Đáp số:
6
m
=
Bài 9: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
(
)
2
3 1
m x m m
y
x m
+ − +
=
+
(
)
0
m
≠
tại giao điểm giao
điểm của (C) với trục Ox song song với đường thẳng : 10
d y x
+ =
. Viết phương trình tiếp tuyến.
Đáp số:
1 3
;
5 5
m y x

= − = −
Bài 10: Cho hàm số
3 2
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C). Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành một
góc 45
0
.
Đáp số:
2; 6
y x y x
= − + = − +
Dạng 3: Đ/k tiếp xúc của hai đường
Bài 11 (DB1 ĐH khối D-2008) Gọi (C
m
) là đồ thị hàm số
(
)
3 2
2 1 1
y x m x m
= − − + − −
. Tìm m để đồ thị
(C

m
) tiếp xúc với đường thẳng
2 1
y mx m
= − −
Đáp số:
1
0;
2
m m
= =
Bài 12: Cho hµm sè
3
3
y x x m
= − +
. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi trôc Ox
Đáp số:
2
m
= ±
Dạng 4: Tìm điểm sao cho tiếp tuyến thoả mãn tính chất nào đó
Bài 13 (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=

−
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường
tiệm cận của (C), Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM.
Đáp số:
Bài 14 (ĐH khối D-2007) Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
+
có đồ thị (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp
tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
Đáp số:
( )
1
; 2 ; 1;1
2
M M
 
− −
 
 
Bài 15 (DB2 ĐH khối D-2007) Cho hàm số
1
x

y
x
=
−
có đồ thị (C). Viết phương trình d của (C) sao cho d
và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
Đáp số:
Bài 16 (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số
2
2 3
x
y
x
+
=
+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại
gốc toạ độ O.
Đáp số:
2
y x
= − −
BÀI TẬP RÈN LUYỆN (TIẾP TUYẾN)
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thò (C) của hàm số
y =
1
x
− 2x + 3x
3

3 2
tại điểm uốn và
chứng minh rằng
Δ
là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 2: Cho đường cong (C):
2
2
+
y
=
x
+
x
−
x
1

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
(Δ) : y = x − 2

Bài 3: Cho hàm số
1
63
2
x
+
+
x
+

y
=
x
(C)
Tìm trên đồ thò (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
(d) : y =
1
x
3
2
1
x
Bài 4: Cho đường cong (C):
y
=
x x
++
+
1

Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C).
Bài 5: Cho hàm số
1
1
2
−
x
y
=
x

+
x
−
(C)
Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thò (C) vuông góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).
Bài 6: Cho hàm số
3
1
23
y
=
1
x
3
+
m
x
2
+
(C
m
)
Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song
song với đường thẳng 5x-y=0
Bài 7: Cho đường cong (C): y = x

3
− 3x
2
+ 2
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7)
Trang 12