Giải hệ phương trình ôn thi vào 10

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ƠN THI VÀO 10
Dạng 1: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (PP thế, PP cộng đại số)
Phương pháp
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ phương trình có dạng

(trong đó a1, b1, c1, a2, b2, c2 là các hệ số thực; x và y là ẩn)
+ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng PP thế ta làm như sau
- B1: Nếu a1 ≠ 0 ta rút x từ phương trình (1) rồi thế vào phương trình (2) được phương
trình một ẩn y
- B2: Giải phương trình ẩn y để tìm y
- B3: Thay y tìm được vào phương trình (1) tìm x
-B4: Kết luận nghiệm của hệ phương trình
Chú ý: - Ta có thể rút y từ phương trình (1) để thế vào phương trình (2)
- Có thể rút x hoặc y từ phương trình (2) rồi thế vào phương trình (1)
+ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng PP cộng đại số ta làm như sau
- B1: Nhân hai vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số
của cùng một ẩn ( x hoặc y) của hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau
-B2: Cộng vế với vế hoặc trừ vế với vế của hai phương ta được phương trình một ẩn
- B3: Giải phương trình một ẩn thu được ở B2 rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
Ví dụ : Giải hệ phương trình
Giải
Cách 1: PP cộng đại số
Ta có

Lấy (1) –(2) ta được:
Thay

vào (1):

Vậy nghiệm của hệ phương trình là
Cách 2: PP thế

Từ (1)⇒y= 2x-7 (*), thế vào (2) ta được:


Thay

vào (*):

Vậy nghiệm của hệ phương trình là
Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
Phương pháp
Để giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ ta làm như sau:
-B1: Đặt điều kiện cho các phương trình của hệ(nếu có)
-B2: Biến đổi hệ đã cho (nếu cần), đặt ẩn phụ và đưa ra điều kiện cho ẩn phụ
Đưa hệ đã cho về hệ mới theo ẩn phụ
-B3: Giải hệ mới tìm ẩn phụ
-B4: Thay giá trị của ẩn phụ vào biểu thức đặt ẩn phụ ở B2 để tìm ẩn ban đầu
- B5: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện sau đó kết luận
Ví dụ: Giải hệ phương trình:

Giải
a. ĐKXĐ:
Đặt

(a ≥ 0) và

, ta có hệ phương trình

Ta thấy a = 1, b = -4 thỏa mãn điều kiện của ẩn phụ
Với a = 1, b = -4

(thỏa mãn điều kiện của hệ)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (4;-1).
b. Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0
Đặt
(*)
Hệ phương trình đã cho tương đương với
Ta có:

Thay
‘

vào (*) ta có

(thỏa mãn)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá
Phương pháp
-B1: Đặt điều kiện cho ẩn (nếu có)
- B2: Đánh giá giá trị hai vế của một hoặc hai phương trình của hệ nhờ đó ta có
thể thu hẹp được miền giá trị của các ẩn tạo điều kiện cho ta chỉ ra nghiệm của hệ
hoặc chứng minh được hệ vô nghiệm
-B3: Kết luận
Chú ý : Với phương pháp này đòi hỏi người làm phải nắm vững kiến thức về
bất đẳng thức, các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất


Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
Giải

Giả sử hệ có nghiệm, khi đó phương trình thứ hai của hệ có nghiệm
Ta biến đổi phương trình
(1)
Ta coi (1) là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x
Vì phương trình có nghiệm nên Δ ≥ 0

Ta biến đổi phương trình
(2)
Ta coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y có
Vì phương trình có nghiệm nên Δ ≥ 0

Ta có

Vậy phương trình thứ nhất vơ nghiệm ( mâu thuẫn với giả sử ban đầu)
Vậy hệ vơ nghiệm
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

Dạng 4: Giải hệ phương trình nâng cao: đối xứng loại I, đối xứng loại II, đẳng
cấp
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
a. Dạng của hệ phương trình


- Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn x, y mà khi thay x bởi y và thay y bởi x thì mỗi
phương trình của hệ khơng thay đổi
- Ví dụ: Hệ phương trình

Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì được hệ

Ta thấy mỗi phương trình của hệ khơng thay đổi nên hệ đã cho là hệ đối xứng

loại 1
b. Cách giải
B1: Biến đổi biểu thức ở hai phương trình của hệ theo tổng và tích của x, y
B2: Đặt
với điều kiện (S2 ≥ 4P)
B3: Tìm S, P thỏa mãn điều kiện (S 2 ≥ 4P). Khi đó x, y là nghiệm của
phương trình t2 – St + P = 0
B4: Kết luận
Ví dụ: Giải hệ phương trình
(I)
Giải
Hệ
Đặt

với điều kiện (S2 ≥ 4P)
Khi đó hệ phương trình trở thành

Từ S + P = 5 ⇒P = 5 – S. Thế vào phương trình S2 + S -2P = 8 ta được

*Với S = 3 P = 5 – 3 = 2 thỏa mãn điều kiện (S 2 ≥ 4P)


Ta có
, theo Vi-et x, y là nghiệm của phương trình:
t2 – 3t + 2 = 0
Suy ra hệ có hai nghiệm: x = 1 và y = 2, x =2 và y = 1
* Với S = -6 ⇒P = 5 – (-6) = 11 không thỏa mãn điều kiện (S2 ≥ 4P) nên loại
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: x = 1 và y = 2, x =2 và y = 1
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2
a. Dạng của hệ phương trình

- Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn x, y mà khi thay x bởi y và thay y bởi x thì
phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại nhưng hệ khơng thay đổi
- Ví dụ: Hệ phương trình
Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì được hệ
Ta thấy phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại nhưng hệ
không thay đổi nên hệ đã cho là hệ phương trình đối xứng loại 2
b. Cách giải
- B1: Trừ vế với vế của hai phương trình cho nhau ta được phương trình dạng

-B2: Kết hợp (*) với 1 phương trình của hệ, kết hợp (**) với 1 phương trình của hệ ta
được hai hệ phương trình. Giải hai hệ phương trình đó
-B3: Kết luận
- Ví dụ: Giải hệ phương trình
Giải
Lấy (1) – (2) ta được: x2 – y2 = 3x + 2y – 3y – 2x


Kết hợp x – y = 0 với phương trình (1) ta có hệ:

Với x = 0 thì y = x = 0
Với x = 5 thì y = x = 5
Kết hợp x + y - 1 = 0 với phương trình (1) ta có hệ:

Với x = -1 thì y = 1 – x = 1 + 1 = 2
Với x = 2 thì y = 1 – x = 1 - 2 = -1
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm : (0;0), (5;5), (-1;2), (2;-1)
3. Hệ phương trình đẳng cấp
a. Dạng hệ phương trình đẳng cấp
Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn mà ở mỗi phương trình bậc
của mỗi ẩn bằng nhau

Dạng là

với f, g là các hàm số với hai biến x, y có bậc bằng nhau

Ví dụ:
Tất cả các số hạng trong hai phương trình( x 3, y3, x2y, 2xy2) đều có bậc là 3 nên là hệ
phương trình đẳng cấp bậc 3


b. Cách giải
Để giải hệ phương trình đẳng cấp này, ta thực hiện các bước sau:
Hệ phương trình

+ Bước 1: Nhân phương trình (1) với a 2 và phương trình (2) với a 1 rồi trừ hai phương
trình để làm mất hệ số tự do
+ Bước 2: Phương trình có hai ẩn x và y. Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: x = 0 hoặc y = 0 thay vào phương trình để tìm ra y hoặc x. Thử lại kết
quả vừa tìm được bằng cách thay vào hệ phương trình
- Trường hợp 2: x khác 0 hoặc y khác 0, chia cả hai vế của phương trình cho bậc cao
nhất của ẩn x hoặc y
+ Bước 3: Giải phương trình với ẩn
hoặc
rồi sau đó tìm được nghiệm của hệ
phương trình
Ví dụ: Giải hệ phương trình:

Lời giải:
Có

Lấy (1) – (2) ta có:

Trường hợp 1: với y = 0, thay vào phương trình (3) có x = 0. Với x = 0, y = 0 thay vào
phương trình (1) có 0 = 2 (vô lý). Vậy x = 0, y = 0 không là nghiệm của hệ
Trường hợp 2: với y khác 0, chia cả hai vế của phương trình (3) cho y 3 ta được:

Đặt
Phương trình trở thành:

Với ,

thay vào phương trình (1) có:


Với

, thay vào phương trình (2) có:
(vơ lý)

Với

, thay vào phương trình (2) có:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

Dạng 5: Giải và biện luận số nghiệm của của hệ phương trình chứa tham số m
Phương pháp
Cho hệ phương trình :

-Từ hệ phương trình : dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số để có phương trình
một ẩn x hoặc ẩn y
Giả sử phương trình ẩn x có dạng ax= b (1)

-Số nghiệm của PT(1) chính là số nghiệm của HPT(I)
Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của HPT(I)
+Nếu a=0 thì PT (1) trở thành 0x =b
- Nếu b = 0 thì PT(1) có vơ số nghiệm ⇒HPT có vơ số nghiệm
- Nếu b0 thì PT(1) vơ nghiệm ⇒HPT vơ nghiệm
+Nếu a 0 thì PT(1) có nghiệm duy nhất ⇒HPT có nghiệm duy nhất
Biểu diễn nghiệm duy nhất( x,y) theo tham số
Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình:

Giải
Từ (1)⇒ x = m + 1 - my, thay vào (2) ta được:
m(m + 1 - my) + y = 3m - 1
⇔(m - 1)(m + 1)y = (m – 1)2
(3)
*Nếu ⇔(m - 1)(m + 1) ≠0 hay m ≠ ±1 thì PT(3) có nghiệm duy nhất ⇒HPT có nghiệm
duy nhất


Khi đó
.
Hệ có nghiệm duy nhất:

* Nếu m = 1 thì thì PT(3) có vơ số nghiệm ⇒HPT có vơ số nghiệm
* Nếu m = -1 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm
*Kết luận
- Nếu m ≠ ±1 thì hệ có nghiệm duy nhất:

- Nếu m = 1 thì hệ có vơ số nghiệm
- Nếu m = -1 thì hệ vơ nghiệm
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn

yêu cầu cho trước
Phương pháp
Muốn tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu
cho trước ta làm như sau
+ B1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm theo tham số m
+ B2: Thay nghiệm vừa tìm được vào điều kiện
+ B3: Giải điều kiện tìm m
+ B4: Kết luận
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình

Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x = 3y + 1
Giải
Ta có

Theo giả thiết x = 3y + 1 ⇒m = 3(m + 1) + 1⇔ m = 3m + 4m = -2
Vậy với m = -2 thì hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x = 3y + 1


Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:

( a là tham số)

Tìm các số ngun a để hệ phương trình có một nghiệm nguyên
Giải
Từ PT (1) ta có:
(3),
thế vào PT(2) ta được:

Với a ≠ 0, phương trình (4) có nghiệm duy nhất

Thay vào ta (3)có:

Suy ra khi a ≠ 0 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Hệ phương trình có nghiệm nguyên:

Điều kiện cần:

Điều kiện đủ:

Vậy a = ± 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm ngun.
Bài tập áp dụng


Bài 1: Giải các hệ phương trình

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

Bài 4: xác định m và n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2;-1).

Bài 5: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m =

.


b) Giải và biện luận hệ theo m.
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x > 0, y >

0.
d) Với giá trị ngun nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương.
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho S = x 2 – y2 đạt giá trị nhỏ nhất. (câu
hỏi tương tự với S = xy).
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thì điểm M(x;y) luôn nằm trên một
đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 6: Cho hệ phương trình:

a) Giải và biện luận hệ theo m.
b) Với các giá trị ngun nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x > 0, y <
0.
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn x 2 + 2y = 0. (Hoặc: sao cho M
(x;y) nằm trên parabol y = - 0,5x2).
e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thì điểm D(x;y) ln ln nằm trên
một đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 7: Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình trên khi m = 2.
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x > 0 và y < 0.
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x, y là các số ngun.
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x – y đạt giá trị lớn nhất.
Bài 12: Cho hệ phương trình
(m là tham số) .
a) Giải hệ phương trình khi m = 1.
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x + y = -3.
Bài 13: Cho hệ phương trình:


Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn:

Bài 14: Cho hệ phương trình :

a) Giải hệ phương trình với a = 1
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 16: Giải hệ phương trình

Bài 17: Giải hệ phương trình

Bài 18: Giải hệ phương trình

Bài 19: Giải hệ phương trình

Bài 20: Giải hệ phương trình