Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )

Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

bài giảng đại số tuyến tính
Nhóm ngành KT và CN
TS. Nguyễn Quốc Thơ

Đơn vị công tác
Khoa Toán - Trường Sư Phạm - Trường ĐH Vinh

TS. Ngun Qc Th¬

Ch­¬ng 3.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Nội dung

1

Giới thiệu môn học

2

Tài liệu tham khảo

3

Chương 3. Không gian vectơ

TS. Nguyễn Quốc Th¬

Ch­¬ng 3.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

Giới thiệu môn học

ã Kiến thức:

Trang bị cho người học các kiến thức về: Ma trận,

định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, ánh xạ
tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian
vetơ Euclid và bài toán phân loại các đường, mặt bậc hai.

ã Kỹ năng: 1. Thực hiện thành thạo các phép toán trên ma trận,
tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo, tìm hạng của ma trận.
2. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính.
3. Giải các bài toán liên quan đến không gian vectơ, như:
+) Chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến
tính, hệ sinh.

+) Kiểm tra một không gian vectơ con, tìm cơ sở, số chiều của
không gian vectơ con.
+) Tìm tọa độ vectơ, đổi cơ sở.
TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

Giới thiệu môn học

4. Kiểm tra một ánh xạ tuyến tính, xét tính đơn cấu, toàn cấu và
đẳng cấu của một ánh xạ tuyến tính. Xác đinh ma trận và biểu
thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.Tìm giá trị riêng, vectơ riêng.
5. Biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc, kiểm tra dạng
toàn phương xác định dương, âm hay không xác định.

ã

Thái độ: Bồi dưỡng năng lực tư duy khoa học, t­ duy l«gÝc,

cung cÊp cho ng­êi häc cung cơ cđa toán học cao cấp để có
thể vận dụng vào giải các bài toán thực tế xà hội đặt ra. Người
học thấy được môn học cung cấp cho họ các kiến thức toán học
cao cấp cơ bản để tiếp tục học các môn toán khác hay các môn
chuyên ngành khác.

TS. Nguyễn Quèc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

Tài liệu tham khảo

[1]. Nguyễn Thành Quang, Lê Quốc Hán, Đại số tuyến tính,
NXB Hà nội 2013.
[2]. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán
cao cấp - Tập 1 - Đại số tuyến tính và Hình học giải tích, NXB
Giáo dục, Hà Nội 2004.
[3]. Phạm Huy Điển, Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học
trên MAPLE, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2002.
[4]. Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2006.
[5]. Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học
Quốc gia Hà Néi 2001.

TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

Chương 3. Không gian vectơ
Nội dung trong chương này là trình bày các khái niệm:
1. Khái niệm không gian vectơ: Định nghĩa không gian vectơ.
Các tính chất đơn giản của không gian vectơ.
2. Cơ sở - Số chiều: Định nghĩa, tính chất của một hệ vectơ
phụ thuộc tuyến tính (pttt), độc lập tuyến tính (đltt), hệ sinh. Cơ
sở, số chiều, toạ độ, ma trận toạ độ. Hạng của một hệ vectơ,
mối liên hệ hạng của hệ vectơ và hạng của ma trận toạ ®é.
3. Ma trËn chun c¬ së - PhÐp biÕn ®ỉi tọa độ: Định nghĩa
ma trận chuyển cơ sở và công thức phép biến đổi tọa độ
4. Không gian vectơ con: Định nghĩa, tính chất của không gian
vectơ con. Giao, tổng và tổng trực tiếp các không gian vectơ con.
Cơ sở và số chiều của không gian vectơ sinh bởi một hệ vectơ
và không gian nghiệm của hệ pttt thuần nhất.
TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.1. Khái niệm không gian vectơ
3.1.1. Định nghĩa. Cho

K = R

hoặc

C

và V là tập hợp khác

rỗng. Trên V trang bị hai phép toán:

ã PhÐp céng:
+ : V × V −→ V; (a, b) 7 a + b.
Nghĩa là, đặt tương ứng phần tử (a, b) V ì V với một phần tử
a + b V.
ã Phép nhân vô hướng:
. : K ì V V; (k, a) 7 ka.
Nghĩa là, đặt tương ứng mỗi phần tử k K và một phÇn tư a ∈ V
víi mét phÇn tư ka ∈ V.
Khi đó tập hợp V cùng với hai phép toán trên là một không gian
vectơ trên
8 tiên đề:
TS. Nguyễn Quốc Thơ

K (hay V là một K không gian vectơ), nếu tháa m·n


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.1. Khái niệm không gian vectơ

ã Đối với phép cộng.
1). Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c,
∀a, b, c ∈ V.
2). Giao ho¸n: a + b = b + a,
a, b V.
3). Tồn tại phần tử kh«ng: ∃θV ∈ V : a + θV = θV + a = a, a V.
4). Tồn tại phần tử đối: Mỗi a V, b V : a + b = b + a = θV .
Ký hiệu b := a V.
ã Đối với phép nhân với vô hướng.
5). Phân phối 1: (a + b) = αa + αb, ∀α ∈ K; ∀a, b ∈ V.
6). Ph©n phèi 2: (α + β)a = αa + β b, ∀α, β ∈ K; ∀a ∈ V.
7). T­¬ng thÝch: (αβ)a = α(β a) = β(αa), ∀α, β ∈ K, a V.
8). Tiên đề Unita: 1.a = a, a V, và 1 là đơn vị của K.

TS. Nguyễn Quèc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.1. Khái niệm không gian vectơ
Chú ý. 1. Cho V là một không gian vectơ trên trường

K

Cho V là một K không gian vectơ.
Cho K không gian vectơ V.
2. Giả sử V là K không gian vectơ (K kgvt). Khi đó:
ã Mỗi phần tử của V được gọi là một vectơ.
ã Mỗi phần tử của K được gọi là một vô hướng .
ã Phần tử V trong Tiên đề 3 gọi là vectơ không của V.
ã Phần tử b := a trong Tiên đề 4 gọi là vectơ đối của a V.
ã Phép trừ hai vectơ được định nghĩa bởi:
a − b = a + (−b), ∀a, b ∈ V.
3. Không gian vectơ trên trường số thực R gọi là không gian
vectơ thực. Không gian vectơ trên trường số phức C gọi là không
gian vectơ phức.
TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.1. Khái niệm không gian vectơ
3.1.2. Ví dụ.
Ví dụ 1. Cho
V

= Mmìn (R) = {A = [aij ]m×n | aij ∈ R}
K = R (trường

là tập hợp các ma trận cỡ m ì n, phần tử thực và

số thực).

Định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng trên Mmìn (R) như
sau:
+) Phép cộng: Là phép cộng hai ma trận.
+) Phép nhân vô hướng: Là phép nhân một số thực với một ma
trận.
Khi đó Mmìn (R) lập thành một kgvt thực, với phép toán định
nghĩa ở trên. Ta gọi không gian này là kgvt các ma trận cỡ m ì n

trên trường số thực.
TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.1. Khái niệm không gian vectơ

Trong kgvt thực Mmìn (R) ta có:


+) Mỗi ma trận A

...
...

a1n

.
.
.

.
.
.

.
.
.

am2

...

a11

a12

a21

= .
..

a22

am1

là một vectơ



a2n


amn






Mmìn (R) gọi

mì n

+) Vectơ không của Mmìn (R) là ma trận không.

+) Hai vectơ trong kgvt thực Mmìn (R) bằng nhau khi vµ chØ khi
hai ma trËn b»ng nhau.

TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.1. Khái niệm không gian vectơ

N và K = R. Ký hiệu:
n
V = R × . . . × R = R = {a = (a1 , a2 , . . . , an )|a1 , a2 , . . . , an R}
n
Định nghĩa phép cộng và phép nhân vô h­íng trªn R nh­ sau:
n
+) PhÐp céng: ∀a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ) ∈ R , ta cã:
a + b := (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn )
n
+) Phép nhân vô hướng: R, a = (a1 , . . . , an ) ∈ R , ta cã:
λa := (λa1 , λa2 , . . . , an ).
n
n
Khi đó R là một kgvt trên R (hay còn gọi là kgvt thực R .)
n
Trong kgvt thực R ta có:
n
+) Mỗi phần tử a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ R gọi là một vectơ.
n
+) Vectơ không của R là θ = (0, 0, . . . , 0).
n
+) Víi hai vect¬ a = (a1 , a2 , . . . , an ), b = (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ R .
Khi ®ã:
a = b ⇔ ai = bi , ∀1 = 1, n.
VÝ dơ 2. Cho n

TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.1. Khái niệm không gian vectơ

N và K = R (trường số thùc). Ký hiÖu:
n
P
Rn [x] = {f(x) = ai xi | ai ∈ R, deg(f(x)) ≤ n}

VÝ dơ 3. Cho n

i=0

lµ tập hợp các đa thức một ẩn, hệ số thực, bậc
Định nghĩa phép toán trên

n

Rn [x] như sau:

+) Phép cộng: Là phép cộng hai đa thức.
+) Phép nhân vô hướng: Là phép nhân một số thực với một đa

thức.
Khi đó

Rn [x] là một không gian vectơ thực với hai phép toán định

nghĩa ở trên.

Rn [x] ta có:
n
P
i
+) Mỗi phần tử f(x) =
ai x Rn [x] gọi là một vectơ.

Trong kgvt thực

+) Vectơ không của
TS. Nguyễn Quốc Thơ

i= 0

Rn [x] là đa thức không.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

3.1. Khái niệm không gian vectơ

3.1.3. Mệnh đề.

K kgvt. Khi đó a, b V và , K, ta có:
1). Vectơ không cđa V (ký hiƯu lµ θV ) lµ duy nhÊt.
2). Mỗi a V. Vectơ đối a của a là duy nhÊt.
3). α(a − b) = αa − αb
4). (α − β)a = αa − β a.
5). α.a = θV ⇔ α = 0 hc a = θV .
6). (−1)a = a.
Cho V là

TS. Nguyễn Quốc Thơ

Chương 3.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.2. Cơ sở - Số chiều
3.2.1. Định nghĩa. Cho V là

K

kgvt và A

một hệ gồm n vectơ trong V.

ã

= {a1 , a2 , . . . , an }

là

Tổ hơp tuyến tính: Tổ hơp tuyến tính (thtt) của hệ vectơ A là

một vectơ trong V cã d¹ng

λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an =

n
P

λi ai ,

i= 1

∀λi ∈ K.

ã Biểu thị tuyến tính: Vectơ v V được gọi là biểu thị tuyến tính
1 , 2 , . . . , αn ∈ K sao cho
n
P
αi ai .
v = α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an =

(bttt) qua hƯ vect¬ A nÕu

αi , i = 1, n
qua hệ vectơ A.
Khi đó

i=1

được gọi là các hệ số trong sự bttt vectơ v

Vậy, vectơ v bttt qua hệ vectơ A
TS. Nguyễn Quốc Thơ

v là mét thtt cña A.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.2. Cơ sở - Số chiều

ã Hệ sinh: Hệ vetơ A được gọi là hệ sinh của V, nếu v V đều
bttt được qua hệ vectơ A tức là v V, ∃α1 , α2 , . . . , αn ∈ K sao
cho
v

= α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an =

n
P
i=1

αi ai .

• Phơ thc tun tính: Hệ vectơ A được gọi là phụ thuộc tuyến tÝnh
(pttt) trong V, nÕu ∃α1 , α2 , . . . , n K không đồng thời bằng
không, sao cho

α1 a1 + α2 a2 + · · · + n an =

n
P
i=1

i ai = V .

ã Độc lập tuyến tính:Nếu A không pttt trong V thì ta nói A là hệ
độc lập tuyến tính (đltt). Tức là, với 1 , α2 , . . . , αn ∈ K th×
α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an = θV ⇔ α1 = α2 = · · · = αn = 0.
TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.2. Cơ sở - Số chiều

ã

Độc lập tuyến tính tối đại: Hệ vectơ A được gọi là độc lập

tuyến tính tối đại trong V, nếu A đltt trong V và nếu bổ sung bất
kỳ vectơ nào của V vào hệ vectơ A, thì hệ vectơ mới thu được là
hệ pttt trong V.
Ví dụ 1. Trong kgvt thùc R
Chøng minh r»ng:

3

= {a = (a1 , a2 , a3 ) | ai ∈ R, i = 1, 3}.

= (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 là một thtt của hệ vectơ
A = {a1 = (1, 0, 0), a2 = (0, 1, 0), a3 = (0, 0, 1)}.
3
Lời giải. Theo định nghĩa phép công trên R ta cã:
x = (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , 0, 0) + (0, x2 , 0) + (0, 0, x3 )
= x1 (1, 0, 0) + x2 (0, 1, 0) + x3 (0, 0, 1) = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3
VËy x = (x1 , x2 , x3 ) = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 , ∀x1 , x2 , x3 R.
Do đó vectơ x là một thtt của hƯ vect¬ A.

a. Vect¬ x

TS. Ngun Qc Th¬

Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.2. Cơ sở - Sè chiỊu

= (6, 3, 2) ∈ R3 lµ mét thtt cđa hƯ vect¬
B = {b1 = (1, 1, 1), b2 = (1, 1, 0), b3 = (1, 0, 0)}.
Lêi gi¶i. Gi¶ sư ∃t1 , t2 , t3 ∈ R sao cho: x = t1 b1 + t2 b2 + t3 b3
⇒ x = (6, 3, 2) = t1 (1, 1, 1) + t2 (1, 1, 0) + t3 (1, 0, 0)
⇒ x = (6, 3, 2) = (t1 , t1 , t1 ) + (t2 , t2 , 0) + (t3 , 0, 0)
⇒
x = (6, 3, 2) = (t1 + t2 + t3 , t1 + t2 , t1 )

t1 + t2 + t3 = 6
t1 = 2


⇒ t1 + t2 = 3
⇒ t2 = 1 .




t1 = 2
t3 = 3
b. Vect¬ x

VËy
x

= (6, 3, 2) = 2(1, 1, 1) + (1, 1, 0) + 3(1, 0, 0) = 2b1 + b2 + 3b3 .
= (6, 3, 2) là một thtt của hệ vectơ B.

Do đó x

TS. Nguyễn Quèc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.2. Cơ sở - Sè chiỊu

R3 cho vÝ dơ vỊ mét thtt cđa hƯ vect¬
U = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (0, 1, 1)}.
Lời giải. Gợi ý, vÝ dơ nh­ vect¬ p = (1, −3, 0). Khi ®ã:

VÝ dơ 2. Trong kgvt thùc

p

= (1, −3, 0) = −(1, 1, 0) + 2(1, 0, 1) − 2(0, 1, 1)
= −u1 + 2u2 − 2u3 .

VËy vect¬ p là một thtt của hệ vectơ U.

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.2. Cơ sở - Sè chiỊu

R3 chøng minh hƯ vect¬
B = {b1 = (1, 1, 1), b2 = (1, 1, 0), b3 = (1, 0, 0)}

Ví dụ 3. Trong kgvt thực
là môt hệ sinh.
Lêi gi¶i. ThËt vËy,

∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 .

Gi¶ sư

∃ti ∈ R, i = 1, 3

sao cho:

= t1 b1 + t2 b2 + t3 b3
⇒ (x1 , x2 , x3 ) = t1 (1, 1, 1) + t2 (1, 1, 0) + t3 (1, 0, 0)

⇒ (x1 , x2 , x3 )= (t1 + t2 + t3 , t1 + t2 , t
1 ).


t1 + t2 + t3 = x1
t1 = x3
Khi ®ã ta cã
⇔ t2 = x2 − x3
t1 + t2 = x2




t1 = x3
t3 = x1 − x2
Do ®ã x = x3 (1, 1, 1) + (x2 − x3 )(1, 1, 0) + (x1 − x2 )(1, 0, 0). Hay
3
3
mäi vect¬ trong R ®Ịu bttt qua B. VËy B lµ mét hƯ sinh cđa R .

x

TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.2. Cơ sở - Sè chiÒu

= {b1 = (1, 1, 1), b2 = (1, 1, 0), b3 = (1, 0, 0)}.
R3 .
3
hiƯu vect¬ không của R là = (0, 0, 0). Giả sử

Ví dụ 4. Cho B

Chứng minh B là hệ vectơ ®ltt trong kgvt thùc
Lêi gi¶i. Ký

∃t1 , t2 , t3 ∈ R sao cho:
t1 b1

+ t2 b2 + t3 b3 = θ ⇔

t1 (1, 1, 1)

+ t2 (1, 1, 0) + t3 (1, 0, 0) = θ

⇔ (t1 , t1 , t1 ) + (t2 , t2 , 0) + (t3 , 0, 0) = θ
⇔ (t1 + t2 + t3 , t1 + t2 , t1 ) = (0, 0, 0)


t1 + t2 + t3 = 0
⇔
t1 + t2 = 0

t1 = 0

Vậy B đltt.
TS. Nguyễn Quốc Thơ

t1

= t2 = t3 = 0.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.2. Cơ sở - Sè chiỊu
VÝ dơ 5. Chøng minh hƯ vect¬

= {p1 = (1, 2, 3), p2 = (0, 1, 0), p3 = (1, 3, 3)}
R3 .
3
Lời giải. Ký hiệu vectơ không của R là = (0, 0, 0). Giả
k1 , k2 , k3 ∈ R sao cho:
k1 p1 + k2 p2 + k3 p3 = θ
⇔ k1 (1, 2, 3) + k2 (0, 1, 0) + k3 (1, 3, 3) = (0, 0, 0)
⇔ (k1 + k3 , 2k1 + k2 + 3k3 , 3k
1 + 3k3 ) = (0, 0, 0)



k1 + k3 = 0
k1 = −α
⇒ 2k1 + k2 + 3k3 = 0 ⇒ k2 = −α , ∀α ∈ R.




3k1 + 3k3 = 0
k3 = α
VËy tån tại các ki R, i = 1, 3 không ®ång thêi b»ng kh«ng
k1 p1 + k2 p2 + k3 p3 = . Do đó hệ vectơ P pttt.
P

pttt trong kgvt thực

TS. Nguyễn Quốc Thơ

sử

để


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

3.2. Cơ sở - Số chiều

3.2.2. Tính chất.

vectơ đó là vectơ không.
= {a} pttt a = V .
Do đó: Hệ vectơ A = {a} ®ltt ⇔ a 6= θV .
1). HƯ chØ một vectơ là pttt

Nghĩa là, hệ A

2). Một hệ vectơ chứa một hệ con pttt thì hệ đó pttt.
Nghĩa là, Nếu A

A và A pttt thì A pttt.

3). Trong một hệ vectơ nếu chứa vectơ không thì hệ đó pttt.
Nghĩa là, Nếu

V A thì A pttt.

4). Mọi hệ vectơ con của hệ vectơ đltt là hệ đltt.
Nghĩa là, giả sử A đltt và A

TS. Nguyễn Quốc Thơ

A. Khi đó A đltt.

Chương 3.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.2. Cơ sở - Sè chiÒu

3.2.2. TÝnh chÊt (tiÕp).

= {a1 , a2 , . . . , an } pttt ⇔ trong A tồn tại ít
nhất một vectơ aj bttt qua n 1 vectơ còn lại của hệ A.
6). Cho hệ vectơ A = {a1 , a2 , . . . , an } đltt trong V và v V. Khi
đó hƯ vect¬ A = {a1 , a2 , . . . , an , v} pttt khi vµ chØ khi vect¬ v bttt
qua n− vect¬ cđa hƯ A.

5). HƯ n− vectơ A

3.2.3. Định nghĩa. Một hệ vectơ E của V được gọi là một cơ sở
của V, nếu E vừa ®éc lËp tun tÝnh võa lµ hƯ sinh cđa V.

Rn có một cơ sở là hệ n vectơ
E = {e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)}
VÝ dụ 6. Không gian vectơ thực

và E được gọi là cơ sở chính tắc (hay còn gọi là cơ sở đơn vị).

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 3.

3.2. Cơ sở - Số chiều
Từ Ví dụ 6 trên ta có:

ã Cơ sở chính tắc của không gian vectơ thực R2 là
E = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}.
ã Cơ sở chính tắc của không gian vectơ thực R3 là
E = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}.
3.2.4. Định lý

= {e1 , e2 , . . . , en } lµ mét c¬ së gåm cã n− vect¬ cđa
K− kgvt V. Khi ®ã, mäi vect¬ v ∈ V ®Ịu biĨu diƠn mét cách duy

Cho E

nhất dưới dạng
v

= k1 e1 + k2 e2 + · · · + kn en ,
∈ K.

trong ®ã k1 , k2 , . . . , kn

TS. NguyÔn Quèc Th¬