Một số phương pháp giải phương trình đại số trong chương trình Toán Trung học phổ thông.

BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ
NẴNGKHOATOÁN

ĐỀTÀI
Một số phương pháp giải phương trình đại
sốtrongchươngtrìnhTốnTrunghọcphổthơng.

Giảng viên hướng dẫn :ThS. Ngơ Thị Bích
ThủySinhviênthựchiện :Đặng Phan Hạnh
NhânLớp
:1 8 S T

ĐàNẵng, tháng 1năm2022


Khóaluậntốtnghiệp

GVHD: ThS.NgơThị Bích Thủy

LỜICẢM ƠN

Tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cơ trong khoa Tốn - Trường
ĐạihọcSưphạm–ĐạihọcĐàNẵngđãtậntìnhgiảngdạyvàtạođiềukiệnđểtơihồnthành khóa luận tốt nghiệp.
Đặc biệt, cho phép tơi được gởi lời cảm ơn sâu sắc đếncơ Ngơ Thị Bích Thủy,
người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiêncứu.Cuốicùng,tơixingởilờicảmơn
nhữngýkiếnqbáu,sựđộngviên,giúpđỡnhiệttìnhcủagiađình,ngườithân,bạnbè,nhấtlàcácbạnlớp18STtrongqtrìnhtơi
làmkhóa luậntốtnghiệpnày.
XINCHÂNTHÀNH CẢMƠN!

ĐàNẵng,tháng1năm2022Sinh

viên

ĐặngPhanHạnhNhân

SVTH:Đặng PhanHạnhNhân

Trang1


MỤCLỤC

LỜICẢMƠN............................................................................................................1
MỤCLỤC.................................................................................................................2
CÁCCHỮVÀKÝHIỆUVIẾT TẮT.........................................................................5
MỞĐẦU....................................................................................................................6
1. Lý dochọnđềtài....................................................................................................6
2. Mụcđíchnghiêncứu..............................................................................................6
3. Nhiệmvụ nghiêncứu.............................................................................................6
4. Phươngphápnghiêncứu........................................................................................7
5. Bố cụckhóaluận...................................................................................................7
CHƯƠNG1. CƠ SỞLÝLUẬN................................................................................9
1.1. Kháiniệmphươngtrình....................................................................................9
1.2. Phươngtrìnhtươngđương................................................................................9
1.2.1. Phương trìnhtươngđương.......................................................................9
1.2.2. Phépbiếnđổitươngđương.........................................................................9
1.3. Phươngtrìnhhệquả........................................................................................10
1.4. Phươngtrìnhnhiều ẩn....................................................................................10
1.5. Giảivà biệnluậnphươngtrìnhbậcnhất............................................................11
1.6. Giảivà biệnluậnphươngtrìnhbậchai..............................................................11
1.6.1. Giải vàbiệnluậnphươngtrìnhbậchai......................................................12

1.6.2. Định lý vi-ét –địnhlývi-étđảo.................................................................12
1.7. Phươngtrìnhquyvềphươngtrìnhbậcnhất,bậchai............................................13
1.7.1. Phương trìnhchứadấugiátrị tuyệtđối....................................................13
1.7.2. Phương trìnhchứaẩntrongdấucăn.........................................................15


CHƯƠNG2.MỘTSỐPHƯƠNGPHÁPGIẢIPHƯƠNGTRÌNHĐẠI SỐ
TRONGCHƯƠNGTRÌNH TỐNTRUNGHỌCPHỔTHƠNG........................17
2.1. Dạng1.Phương phápđặt mộtẩnphụ...............................................................17
2.1.1. Phươngphápgiải....................................................................................17
2.1.2. Ví dụ1....................................................................................................17
2.2. Dạng2.Phươngphápđặthaiẩnphụ..................................................................18
2.2.1. Phươngphápgiải....................................................................................18
2.2.2. Ví dụ2....................................................................................................18
2.3. Dạng3.Phương phápđặtẩnphụkhơnghồntồn..............................................19
2.3.1. Phươngphápgiải....................................................................................19
2.3.2. Ví dụ3....................................................................................................19
2.4. Dạng4.Phươngphápđặtẩnphụgiảiphương trìnhchứadấugiátrị tuyệtđối......20
2.4.1. Phươngphápgiải....................................................................................20
2.4.2. Ví dụ4....................................................................................................20
2.5. Dạng5. Phươngphápnâng lênlũythừa...........................................................21
2.5.1. Phươngphápgiải....................................................................................21
2.5.2. Ví dụ5....................................................................................................22
2.6. Dạng6.Phươngphápbiếnđổi vềphương trình tích..........................................22
2.6.1. Phươngphápgiải....................................................................................22
2.6.2. Ví dụ6....................................................................................................23
2.7. Dạng7.Phươngphápdùnghằng đẳng thức.....................................................24
2.7.1. Phươngphápgiải....................................................................................24
2.7.2. Ví dụ7....................................................................................................24
2.8. Dạng8.Phương phápnhân liên hợp...............................................................25

2.8.1. Phươngphápgiải....................................................................................25
2.8.2. Ví dụ8....................................................................................................26
KẾTLUẬN.............................................................................................................28
TÀILIỆUTHAMKHẢO........................................................................................29


CÁCCHỮVÀ KÝHIỆUVIẾTTẮT

GV: Giáo
viên.HS:
Họcsinh.
SGK:Sáchgiáokhoa.


MỞĐẦU

1. Lýdo chọnđềtài
PhươngtrìnhđạisốlàmộtnộidungcổđiểnvàquantrọngcủaTốnhọc.Ngaytừđầu,sựrađời
vàpháttriểncủaphươngtrìnhđạisốđãđặtdấuấnquantrọngtrongTốnhọc.Chúngcósứchútmạn
hmẽđốivớinhữngngườiuTốn,lnthơithúcngườilàmTốnphảitìmtịi,sángtạo.Bêncạnhđ
ó,cácbàitốnvềphươngtrìnhđạisố thường xun xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, Olympic cũng như kỳ
thituyển sinh Đại học, Cao đẳng. Phương trình được đánh giá là bài tốn phân loại
họcsinhkhágiỏi,nóđịihỏi kỹthuậtxửlýnhanhvàchínhxác nhất.
Làsinhviênsưphạm,vớimongmuốntrangbịkiếnthứcvữngchắcvềphươngtrình đại số và các
phươngphápgiảichobảnthânnóiriêngvàsinhviênkhoaTốnsắp ra trường nói chung, tơi chọn đề tài
nghiên cứu:"
Một số phương pháp giảiphương trìnhđại sốtrong chươngtrình
TốnTrunghọcphổthơng"
.
2. Mụcđíchnghiêncứu

ĐưaramộtsốphươngphápgiảiphươngtrìnhđạisốtrongchươngtrìnhTốnTHPTnhằ
mgiúpHSlĩnhhộivàsángtạocác trithứcTốn mộtcáchtốtnhất.
3. Nhiệmvụ nghiêncứu
- Nghiên cứu cơsởlýluận.
- Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình đại số trong chương
trìnhTốnTHPT.


4. Phươngphápnghiêncứu
-Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu, sách tham khảo có liên
quantớiphươngphápgiảiphươngtrìnhđạisốtrongchươngtrìnhTốnTHPT,nhằmhiểurõnhững
cơsởlýthuyết đểtừđóxâydựngphươngphápgiảiđạthiệuquả.
- Nghiêncứuthựctế:TraođổivớimộtsốgiáoviênTHPTdạychươngPhươngtrình–
Đạisốlớp10(SGKhiệnhành)đểthamkhảocáckinhnghiệmkhihướngdẫnhọcsinhgiảicácphư
ơngtrìnhđạisố.
5. Bốcụckhóa luận
Khóaluậngồmcó2chươngsau:
Chương1.Cơ sởlý luận
1.1.

Kháiniệmphươngtrình

1.2.

Phươngtrình tươngđương

1.3.

Phươngtrìnhhệquả

1.4.

Phươngtrình nhiềuẩn

1.5.

Giảivàbiện luận phương trìnhbậcnhất

1.6.

Giảivàbiện luậnphương trìnhbậchai

1.7.

Phươngtrình quyvềphươngtrìnhbậcnhất,bậchai

Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình đại số trong chương
trìnhTốnTrunghọcphổthơng.
2.1.

Dạng1.Phươngpháp đặt mộtẩnphụ

2.2.

Dạng2.Phương phápđặthai ẩnphụ

2.3.

Dạng3.Phươngphápđặt ẩnphụkhơnghồntồn

2.4.

Dạng 4. Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa dấu giá

trịtuyệtđối
2.5.

Dạng5.Phươngphápnânglênlũythừa


2.6.

Dạng6.Phươngphápbiến đổivềphươngtrình tích

2.7.

Dạng7.Phương phápdùnghằng đẳng thức

2.8.

Dạng8.Phương phápnhân liên hợp


CHƯƠNG 1.

1.1.

CƠSỞLÝLUẬN

Kháiniệmphươngtrình

Phươngtrìnhẩnx l à m ệ n h đ ề chứabiếncó dạng

f(x)g(x)

trongđó f(x) vàg(x)là nhữngbiểuthứccủax .Tagọi

f(x) làvếtrái,

(1)
g(x) l à vế

phảicủaphương trình (1).
Điềukiệnxácđịnhcủaphươngtrình(gọitắtlàđiềukiệncủaphươngtrình)lànhữngđiềuki
ệncủaẩnx đ ể các biểuthức trongphươngtrìnhđềucónghĩa.
Nếu f x0 g x0

thìsốthực x0đượcgọilàmộtnghiệmcủaphươngtrình

(1).
Giảiphươngtrình(1)làtìmtấtcảcácnghiệmcủanó(nghĩalàtìmtậpnghiệm).
Nếuphươngtrìnhkhơngcónghiệmnàothìtanóiphươngtrìnhvơnghiệm
(hoặcnóitậpnghiệmcủanólà rỗng).
1.2.

Phươngtrìnhtươngđương

1.2.1. Phươngtrìnhtươngđương
Haiphươngtrình

f(x)g (x)

x)
(1) và f(x)g(
1
1

(2) được gọilà

tươngđương nếu chúng có cùngtậpnghiệm(cóthểrỗng).
Kíhiệu ( 1 ) (2).
1.2.2. Phép biếnđổi tươngđương
Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là
phépbiếnđổi tươngđương.Tacómột sốphépbiếnđổitương đươngđã biết sau
- Cộnghoặc trừcảhaivếvớicùng mộtsốhoặc biểuthức.
- Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số hoặc biểu
thứckhác0.


Chú ý.Các phép biến đổi trên không làm thay đổi điều kiện của
phươngtrìnhthìmớiđượcphươngtrìnhtươngđương.
1.3.

Phươngtrìnhhệquả
Mỗi nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của phương trình (2) thì

tanóiphươngtrình (2) làphương trìnhhệquảcủaphương trình (1).
Kíhiệu:(1) ( 2 ) .
Chúý.
- Phép bình phương hai vế một phương trình khơng phải là phép biến
đổitươngđươngmà chỉ là phépbiếnđổi hệquả.

- Khi hai vế của phương trình đều khơng âm, bình phương hai vế của
phươngtrìnhtađược mộtphươngtrìnhtươngđương.
Cơngthức
A

B0
B A
 

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm khơng phải là nghiệm
củaphươngtrìnhbanđầu.Tagọiđólànghiệmngoại lai.
Khi giải phương trình, khơng phải lúc nào ta cũng áp dụng được phép
biếnđổitươngđương,trongnhiềutrườnghợptaphảithựchiệncácphépbiếnđổiđưatớiphươngtrìnhhệquả,chẳnghạnbình
phươnghaivế,nhânhaivếcủaphươngtrình với một đa thức. Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai,
ta phải thử lại các nghiệmtìmđược.
1.4.

Phươngtrìnhnhiềuẩn
Ngồi cácphương trình mộtẩn,tacịngăpnhữngphương trìnhcó nhiềuẩn

số.Nghiêmcủamơtphươngtrìnhhaiẩnx,ylàmộtcặpsốthực  x0;y0

thỏamãn


phương trìnhđó,cịnnghiệmcủa mộtphươngtrình ba ẩnx,y,zlà một bộ sốthực

x ;y ;z 
0

0

0

thỏamãnphươngtrìnhđó.

Ví dụ1.Chophương trình

2
3x2yx 2xy8

(1)



2
2
2
4x xy2z 3z 2xzy

(2)

Phươngtrình(1)làphươngtrìnhhaiẩn( xv à y ),cịn(2) là phươngtrìnhba
ẩn( x,yv à

z).

Khi x2,y1thìhaivếcủaphươngtrình(1)cógiá trịbằngnhau, tanói
cặp( x;y)(2;1)l à mộtnghiệmcủaphươngtrình(1).
Tươngtự,bộbasố ( x;y;z)(1;1;2)

1.5.

làmộtnghiệmcủa phươngtrình(2 ) .

Giảivà biệnluậnphươngtrìnhbậcnhất
Phươngtrìnhbậc nhất ẩnx l à phươngtrìnhcódạng

axb0,(a0)
Phươngtrình(1) x 

(1)

b.
a
x 

Vậyphươngtrình(1)có nghiệmduynhấtlà
Nhậnxét.Trongtrườnghợptổngqt.Xétphươngtrình
- Phươngtrìnhcó nghiệmduynhất
- Phươngtrìnhnghiệmđúngvớimọi

a

axb0,tacó

a0.
x

 0
- Phươngtrình vơ nghiệm a

b0
 .

- Phươngtrìnhcónghiệm

b.

a0
 ab0.


ab0.


1.6.

Giảivà biệnluậnphươngtrìnhbậchai


1.6.1. Giảivàbiệnluậnphươngtrìnhbậchai
Phươngtrìnhbậc haiẩnx l à p h ư ơ n g trình códạng

2
ax bxc0 với a0

b.
2

'b'
acv

ớ
i
b
'
Tacó:
Đặt
2
b 4ach o ặ c
2

(2)

- Nếu 0  '0,phươngtrình(2) cóhainghiệmphânbiệt
b' '
.
2a
a
2a
a
b
b'
- Nếu 0  '0,phươngtrình(2)cónghiệmképx  x    .
1
2
2a
x1 

b





b'

'

2

,x

b





- Nếu 0  '0  ,phươngtrình(2) vơnghiệm.
Nhậnxét.Xétphươngtrình


2
ax bxc0

- Phươngtrìnhcó2nghiệmphânbiệt
- Phươngtrình cóđúng mộtnghiệm
- Phươngtrình vơ nghiệm

trongtrươnghợp tổngqt,tacó
a

 0
 0.

a0vàb0
 a0và0.
.


ab0vàc 0
 a0và0.


abc0
a0vàb0

 a0và0.

- Phươngtrìnhcónghiệm
1.6.2. Địnhlývi-ét–địnhlývi-ét đảo
Nếuphươngtrình bậchai
S x x b
1
2

a.

Px x c


2

ax bxc0

cóhainghiệm

x1,x2t h ì

a




1

2

a

Chohaisốu, vthỏamãnu vS,uvP.Khiđóu,vtồntạilànghiệmcủa
phươngtrình


2
x SxP0.

Lư.Phươngtrình

2

ax



bxc0

- Cóhainghiệmtráidấunhau ac0.

- Cóhainghiệmnghiệmphânbiệtcùngdấu
a0
 0

S 0
 P0

- Cóhainghiệmdươngphânbiệt

a0

 0

 P0

a0
- Cóhainghiệmâmphânbiệt

1.7.

0
 S0
 P0

Phươngtrìnhquyvềphươngtrìnhbậcnhất,bậchai

1.7.1. Phươngtrìnhchứadấugiá trịtuyệt đối
AnếuA0.
(1) Địnhnghĩa|A| 
AnếuA0


(2) Tínhchất|A|0và|A|A.


B0

(3)| A|B AB
AB
 A B
(4)|A||B| 
AB


Vídụ2.Giảiphươngtrình:|3x2|32x.
Lời giải.

 Cách 1:
|3x2|32x
32x0

 3x232x

3x22x3

 x 32

x 1

x1

 x1

Vậyphươngtrìnhcónghiệmlà

x1.

 Cách2:(sửdụngđịnhnghĩaGTTD)
2.
+Với3 x20x 
3

Phươngtrìnhtươngđươngvới3 x232x5x5x 1(thỏa mãn).
2.
+Với3 x20x 
3
Phương trình tương đương

(3x2)32xx 1( t h ỏ a mãn).

vớiVậyphươngtrìnhcónghiệmlà x1.
Vídụ3.Giảiphươngtrình|2x1|



2
x 3x4.

Lời giải.
Phươngtrìnhđãchotươngđương

2

2x1x 3x
 4  x  x2
5x50

2
2
2x1  x 3x4
x30

x

5 45
1 2

.









x

 13
2

1 13
5 45
và
.
2
2

Vậyphươngtrìnhcónghiệmlàx 

1.7.2. Phươngtrìnhchứaẩntrongdấucăn
(1) A BB0
A
 
A
cB0
(2) A  B  A0hoặ
B


Ví dụ4.Giảiphươngtrình:

x 2  4x  3 2x5

(*)

Lời giải.
 x 5

2x50
(*)
x

2





2

4x3(2x5)



2

2




 x 2

5x 24x280

Vậynghiệmcủa phương trìnhlà
Ví dụ5.Giảiphươngtrình:

x

 x 5
2

14
x 


x 14
5


14.
5

x2  2x  4  2  x

(**)

Lời giải.
0 42x
2x
2x2x

(**) 


x2
  x 2 3x20


Vậynghiệmcủa phương trìnhlà

x1,x2.

x2
 x 1

 x 1  x2


 x 2

5


CHƯƠNG 2.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠISỐTRONGCHƯƠNG TRÌNHTỐNTRUNG HỌCPHỔTHƠNG.

2.1.

Dạng1.Phươngphápđặtmộtẩnphụ

2.1.1. Phươngphápgiải

- Nếucó

f (x) vàf (x) thìđặtt 

- Nếucó

f (x)  g(x) và f (x).g(x) thìđặtt 

f(x).
f (x)  g(x) .

2.1.2. Vídụ1
a) Giảiphươngtrình
Lời giải.
Điềukiệnxácđịnh:

x



2

3x

x2  3x  6 0.



2

x



2

3x60.Đặtt 


 2
2
2
2
Khiđót x 3x6t 6x 3x.

x

3x6,t 0.

t2(nhận)

Thayvàophươngtrìnhtađượct 2 t60
t3(loại).


Với t2



x1(nhận)
2
x2  3x  6 2x 3x20

x2(nhận).


Vậyphươngtrìnhcónghiệm
b) Giảiphươngtrình:

.

x1;x2.

3x2 2x2  5x  3
2x  3  x  1
16

(*)

(TríchđềĐạihọcMỏ-Địa Chấtnăm1999)
Lời giải.
2x30
- Điềukiện: x10
2x2 5x3(x1)(2x3)0


x1.

-Đặtt 

2

2x  3  x1,
2

2

(t0)t  3x422 x 5x3.

2

(*)tt 416t t200t5(Nhận)t4(Loại)
- Với t5253x42

2x2  5x  3 2 2x 2  5x  3 213x.


0
213x2
 4  2x 5x3(213x)





- So vớiđiềukiện,phươngtrìnhcó nghiệmduynhất
2.2.

x 7

 x
x 3
 3
x 143



7
 x 
2
  x 146x4290

x3.

Dạng2.Phươngpháp đặthaiẩnphụ
2.2.1. Phươngphápgiải

Nếucódạng


n

a  f (x) 

m

u

n a  f (x)
b  f (x) cthìđặt 
vm b  f (x)

2.2.2. Vídụ2
Giảiphương trình:2

3x  7

Lời giải.
- Điềukiện: x 

x

5 64
3

(*)

7.
3



2
2
u
u 3x7
3x  7 0 u 3x7






- Đặt 
3
3
3v 3x18
v x6
 v 3 x  6



2



u 3v

3



25

(*)2u5v4

(2)



u2 3v3 25


(1),(2) 2u5v4

- Với




5v
u4
 3 2
12v25v

v2

v2
.

 v 1 2017

24


2

40v840

(1)



2x68x14.
x6

3
- Với v 1 2017  3 x  6  1 2017 x 1 2017  6.
24
24
24


12017 x  12017 3 6.
- Với v 12017 


3 x  6 
24
24

24

 1 20173

- So vớiđiềukiện,nghiệmcủaphươngtrìnhlà
x14;x
6.
24



3

2.3.

Dạng3.Phươngphápđặtẩnphụkhơng hồntồn
2.3.1. Phươngphápgiải
Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một phương trình

vớimộtẩnphụnhưngcác hệsốvẫncịnchứax .
Phương pháp: Ta lưu ý có những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho
mộtbiểu thức thì các biểu thức cịn lại khơng biểu diễn được triệt tiêu để qua ẩn
phụ đóhoặcnếubiểudiễnđượcthìcơngthứcbiểudiễnlạiqphứctạp.Khiđótachọnlựamộttronghaihướngsau:
- Hướng1: Lựachọnphươngpháp khác.
- Hướng 2: Thử để phương trình ở dạng "chứa ẩn phụ nhưng hệ số vẫn
chứaẩnxban đầu". Trong hướng này ta thường được một phương trình bậc hai theo
ẩnphụ (hoặc vẫn theo ẩnxban đầu) có biệt sốlà một số chính phương (hoặc
bìnhphương của biểuthức).
2.3.2. Vídụ3
Giảiphươngtrình

(4x1) x3 1

Lời giải.



3

2x

2x 1.

Điềukiện x1.
Đặtt 

 3

3
2
x 1,t0.Tacót x 1.

Khiđóphươngtrìnhcódạng


2
2t (4x1)t 2x10.


Tacó (4x1)2 8(2x1)(4x3)2.Dođóphươngtrìnhcónghiệm
4x 1(4x3)
t

4



t 2x 1
1

t

2

1
x


2x1


2x
2
x2
  10


3
2
x
3

1
x
0

Khiđótacó
 
 x 1(2x1)  


3
x3 1
x2
x  3
 x3 11


1

2

4

4

3
x3
4



Kết hợp vớiđiềukiện,phươngtrình đã chocóhai nghiệmphânbiệt
3
x3
.
4
2.4.

x2;

Dạng 4. Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa dấu giá

trịtuyệtđối
2.4.1. Phươngphápgiải
Trườnghợpnếubiếnđổiđưađượcphươngtrìnhvềdạng
- Tađặtẩnphụ t  |u(x)| .(1)
- Phươngtrình trởthành

f(t)0.(2)

Giảiphươngtrình(2)tìmđượcthaytvào(1) tatìmđượcx .
2.4.2. Vídụ4
Giảiphươngtrình


2
(x1) 3|x 1|20.

f(|u(x)|)0.