Áp dụng phương pháp dạy học tích cực vào dạy học chủ đề phương trình và bất phương trình ở trung học phổ thông luận văn thạc sỹ giáo dục học

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ MINH

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ
ĐỀ TÀI:

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH
CỰC VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở THPT
CHUN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN
MÃ SỐ : 60.14.10

Người hướng dẫn khoa học : TS. TRẦN ANH TUẤN

VINH – 2011.


2

Lời cảm ơn

Trớc hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ. Trần Anh
Tuấn, ngời thầy đà nhiệt tình hớng dẫn tôi hoàn thành luận văn này
trong thời gian qua.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, ban chủ
nhiệm khoa sau Đại học trờng Đại học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo đÃ
tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn

thành các chuyên đề thạc sĩ khoá 17, nghành Toán trờng Đại học Vinh.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán
trờng THPT Nguyễn Xuân Ôn, Diễn Châu, Nghệ An - nơi tôi đang công
tác giảng dạy, đà giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tôi tiến
hành thực nghiệm s phạm.
Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý
báu của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phơng pháp
giảng dạy bộ môn Toán.
Cuối cùng, tôi xin đợc gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng
nghiệp - những ngời luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành tốt Luận
văn này.
Tuy đà có nhiều cố gắng, Luận văn chắc
chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần
đợc góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận đợc
những ý kiến đóng góp của các thầy cô
giáo và bạn đọc.
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả


3


4

QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt
BPT
HĐHT

HS
GV
PT
PPDH
SGK
THPT

Viết đầy đủ

:
:
:
:
:
:
:
:

Bất phương trình
Hoạt động học tập
Học sinh
Giáo viên
Phương trình
Phương pháp dạy học
Sách giáo khoa
Trung học phổ thơng


5

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC LÀ GÌ ?
1.1.1. Khái niệm về phương pháp dạy học.
1.1.2. Phương pháp dạy học tích cực.
1.1.3. Những dấu hiệu đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực.
1.2. HOẠT ĐỘNG DẠY- HOẠT ĐỘNG HỌC.
1.2.1. Quan điểm về hoạt động trong Tâm lý học hiện đại
1.2.2. Tiếp cận khoa học luận về giáo dục Toán học.
1.2.3. Hoạt động dạy học.
1.2.4. Hoạt động học
1.2.5. Hoạt động toán học của học sinh.

1
1
3
3
3
4
4
5

6
6
6
6
10
13
13
14
16
17
17

1.3. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC CẦN PHÁT
TRIỂN Ở TRƯỜNG THPT TRONG DẠY HỌC TOÁN.
1.3.1.. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.3.2. Dạy và học theo lý thuyết kiến tạo.
1.3.3. Phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm
1.3.4. Phương pháp tìm tịi, khám phá.
1.3.5. Phương pháp tự học.
1.3.6. Dạy học theo dự án.
1.4. THỰC TRẠNG VỀ DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT

18
18
21
28
31
33
36

PHƯƠNG TRÌNH Ở THPT
1.4.1. Thuận lợi.
1.4.2. Khó khăn.
1.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
CHƯƠNG 2

46
46
47
48

ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH Ở THPT

49


6

2.1. NỘI DUNG CHỦ ĐỀ PT VÀ BPT TRONG CHƯƠNG TRÌNH

49

MƠN TỐN Ở THPT.
2.1.1. Vai trị, vị trí của PT, BPT, hệ PT
2.1.2. Nội dung kiến thức PT, BPT, hệ PT trong mơn Tốn ở trường

49

THPT.
2.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO DẠY

49

HỌC CHỦ ĐỀ PT VÀ BPT Ở THPT
2.2.1. Nguyên tắc xây dựng các HĐHT nhằm phát huy tính tích cực

54

hoạt động của học sinh
2.2.2. Các biện pháp sư phạm nhằm phát huy tính tích cực của học

54

sinh trong dạy học chủ đề PT và BPT.
2.2.3. Vận dụng phương pháp dạy học tích cực vào dạy học những

57

tình huống điển hình trong dạy học PT và BPT.
2.3. MỘT SỐ GIÁO ÁN SOẠN THEO PPDH TÍCH CỰC.
2.3.1. Việc soạn giáo án theo PPDH tích cực.
2.3.2. Hướng dẫn thiết kế bài học

63
71
71
74

2.3.3. Một số giáo án minh họa

79

2.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2.

109

CHƯƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM.

110
110

3.2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM

110

3.3. TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM.

110

3.3.1. Đối tượng thực nghiệm

110

3.3.2. Tiến trình thực nghiệm

110

3.4. ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM.

112

3.4.1. Đánh giá định tính

112

3.4.2. Đánh giá định lượng.

113

3.5. KẾT LUẬN CHUNG VỀ THỰC NGHIỆM.

115

KẾT LUẬN

116


7

TÀI LIỆU THAM KHẢO

117

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1. Sự phát triển của đất nước trong giai đoạn hiện nay, công cuộc công
nghiệp hóa, hiện đại hóa được đặc biệt quan tâm. Để đáp ứng được yêu cầu đặt ra
về nguồn nhân lực có đủ khả năng, năng lực, trình độ làm chủ công cụ lao động
trong nền sản xuất tự động hóa. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành
Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: “Mục tiêu giáo dục –
đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có
năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cực thể hiện
mục tiêu lớn của đất nước”. Trước tình hình đó, ngành giáo dục cần thay đổi
phương pháp đào tạo để phù hợp với thực tiễn. Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban
chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa VIII, 1997): “Phải đổi mới
phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư


8

duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và
phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự
nghiên cứu…”.
Luật giáo dục năm 2005 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm
của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo
nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Cho thấy việc “tích cực, chủ
động trong học tập” là rất cần thiết giúp rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn. Muốn chủ động cần phải định hướng, tìm ra phương pháp hoạt động thích
hợp để giải quyết vấn đề.
Theo A. A. Stoliar, dạy toán là dạy hoạt động Toán học, trong đó hoạt động
của học sinh chủ yếu là hoạt động giải bài tập toán. Bài tập toán mang nhiều chức
năng như: chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy,
chức năng kiểm tra và đánh giá. Vì vậy có thể nói dạy học bài tập tốn là một trong

những tình huống điển hình trong dạy học bộ mơn Tốn. Nội dung chương trình đại
số và giải tích ở trường phổ thơng là hết sức phong phú và đa dạng. Có những dạng
tốn đã có thuật giải nhưng cũng có rất nhiều bài tốn chưa có thuật giải. Đứng
trước những bài tốn chưa có thuật giải đó, giáo viên cần dẫn dắt học sinh để các
em huy động kiến thức, tìm ra lời giải phù hợp đồng thời phát triển được tư duy linh
hoạt cho các em.
Việc rèn luyện khả năng tìm lời giải bài tốn đóng vai trị quan trọng trong q
trình giải tốn. Do đó trong q trình dạy học, nếu người giáo viên thường xuyên có
ý thức trau dồi khả năng tìm lời giải các bài tốn thì sẽ có tác dụng rất tốt trong việc
phát triển tư duy linh hoạt cho các em học sinh.
1.2. Rèn luyện, phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh trong giải Tốn có vai
trò quan trọng trong việc phát triển tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích
ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết. Học sinh cũng thấy được mỗi lời giải
bài Toán là kết quả của một quá trình suy luận, tư duy, mà phương pháp giải không
chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài Tốn mà cịn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản


9

thân người giải. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài Tốn chỉ có thể được phát hiện
thơng qua q trình phân tích, tổng hợp, khái qt hố, so sánh, .... Đồng thời, qua
việc phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh trong dạy học giải Toán làm cho học
sinh biết được tính thực tiễn của Tốn học: xuất phát từ thực tiễn và quay về phục
vụ thực tiễn. Nguồn gốc sức mạnh của Tốn học là ở tính chất trừu tượng cao độ
của nó. Nhờ trừu tượng hố mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện
tượng và có ứng dụng rộng rãi. Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy
đoán và tưởng tượng của học sinh được phát triển, và có những suy đốn có thể rất
táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao
tác tư duy. Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừu tượng hoá mà tư duy độc lập, tư
duy sáng tạo, tư duy phê phán của học sinh cũng được hình thành và phát triển. Bởi

qua việc phát triển tư duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định
được phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện
kết quả đạt được của bản thân cũng như của người khác. Một mặt các em cũng phát
hiện ra được những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
Rèn luyện, phát triển tư duy linh hoạt trong dạy và học bộ mơn Tốn có vai
trị quan trọng như vậy, tuy nhiên ở trường phổ thông hiện nay, vấn đề rèn luyện và
phát triển tư duy linh hoạt chưa được quan tâm đúng mức. Nó chỉ diễn ra một cách
tự phát, chưa có sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn giáo viên thực hiện. Do đó, giáo
viên chưa thành thạo trong việc khai thác các tình huống, các nội dung dạy học
nhằm rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh.
1.3. Trong cuộc sống hiện nay có nhiều cơ hội để rèn luyện và phát triển tư
duy linh hoạt. Đặc biệt chương trình Tốn ở trường Trung học phổ thơng có nhiều
tiềm năng thuận lợi cho việc rèn luyện, phát triển tư duy linh hoạt. Bài tập Tốn có
rất nhiều dạng thuộc vào nhiều chủ đề kiến thức khác nhau. Khi giải các bài tập
Tốn địi hỏi học sinh phải biết định hướng, phải sử dụng một cách tổng hợp kiến
thức liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nhau. Hệ thống bài tập Đại số, Giải tích khá
phong phú về chủng loại với các mức độ khó khác nhau phù hợp với các đối
tượng học sinh có trình độ nhận thức khác nhau. Vì vậy đây là một lĩnh vực có


10

thể khai thác để rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình
dạy học.
1.4. Mặc dù có một số cơng trình liên quan đến rèn luyện và phát triển tư duy
linh hoạt, nhưng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy của học sinh
khi giải Toán vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả về phương diện lý luận
và triển khai trong thực tiễn dạy học.
Từ những lý do trên đây, chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu của
luận văn là: “Rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh THPT trong

quá trình dạy học giải tốn Đại số và Giải tích”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề xuất một số định hướng sư phạm rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt
trong dạy học giải bài tập toán nhằm bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh, góp
phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Trên cơ sở nội dung chương trình SGK hiện hành nếu trong dạy học toán giáo
viên chú ý rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh thì sẽ bồi dưỡng
được năng lực giải tốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường phổ
thông.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
4.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề bồi dưỡng trí tuệ và phát
triển năng lực giải toán cho học sinh.
4.2. Điều tra, đánh giá thực trạng dạy học giải bài tập Toán ở trường THPT;
lựa chọn ra một số thao tác tư duy cần rèn luyện cho học sinh trong giải Toán.
4.3. Nghiên cứu và đề xuất một số định hướng sư phạm về việc rèn luyện và
phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh nhằm nâng cao năng lực giải Toán.
4.4. Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các định hướng sư
phạm đã đề xuất.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Luận văn sử dụng các phương pháp sau đây trong quá trình nghiên cứu:
5.1. Nghiên cứu lý luận:


11

- Nghiên cứu các tài liệu về triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học
mơn Tốn.
- Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về khoa học Tốn, các cơng trình khoa
học giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài.

5.2. Điều tra quan sát:
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá
trình khai thác các bài tập ở sách giáo khoa.
5.3. Thực nghiệm sư phạm:
Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của luận
văn.
6. DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
Góp phần làm rõ một số thành phần trong năng lực giải Tốn của học sinh
thơng qua việc rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt.
Đưa ra được những định hướng sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực
giải Tốn thơng qua rèn luyện tư duy linh hoạt cho học sinh THPT trong q trình
giải Tốn.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh THPT thông qua
dạy học giải bài tập Đại số và Giải tích
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm


12

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
1.1. Một số vấn đề về tư duy
1.1.1. Khái niệm về tư duy
Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ của
cuộc sống và hoạt động thực tiễn ln địi hỏi con người phải hiểu thấu cái chưa
biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản
chất và những quy luật tác động của chúng. Q trình nhận thức đó gọi là tư duy.

Trong tâm lý học, theo X. L. Rubinstêin: "Tư duy - đó là sự khơi phục trong ý
nghĩ của chủ thể về khách thể với mức đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu
cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể".


13

Ngồi ra có một số định nghĩa khác, chẳng hạn: "Tư duy là một quá trình tâm
lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính
quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết"
[32]
Theo Từ điển Triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức
một cách đặc biệt là bộ não, là q trình phản ánh tích cực thế giới khách quan
trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động
sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp,
phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ
không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho
xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ
chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ.
Tiêu biểu cho tư duy là những q trình như trừu tượng hố, phân tích và tổng hợp,
việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất
những giả thiết, những ý niệm. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý
nghĩ nào đó".
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Trước hết, cần hiểu rằng tư duy là sản phẩm cao nhất của bộ não con người và
là một q trình phản ánh tích cực thế giới khách quan. Do đó, tư duy thuộc nấc
thang nhận thức cao nhất, đó là nhận thức lý tính. Vì vậy tư duy có những đặc điểm
mới về chất so với cảm giác và tri giác. Có thể thấy sự khác biệt đó qua những đặc
điểm cơ bản sau:
Điều kiện nảy sinh tư duy: tư duy chỉ nảy sinh khi con người đứng trước

những hồn cảnh có vấn đề. Khơng phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh cũng
đều gây ra tư duy. Trên thực tế tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hồn cảnh có vấn
đề mà bằng vốn hiểu biết cũ ta không thể giải quyết được nó. Để nhận thức con
người phải vượt qua khỏi phạm vi những hiểu biết tri thức cũ và đi tìm cái mới đạt
mục đích mới. Những hồn cảnh như thế gọi là hồn cảnh có vấn đề. Theo thuật
ngữ lý thuyết tình huống thì đó là sự mất cân bằng. Hồn cảnh có vấn đề sẽ kích
thích con người tư duy. Muốn vậy con người phải nhận thức được, ý thức được


14

hồn cảnh có vấn đề, nhận thức được mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề, chủ thể
phải có nhu cầu, nhu cầu nhận thức và đương nhiên phải có những tri thức cần thiết
có liên quan đến vấn đề, chỉ trên cơ sở đó thì tư duy mới nảy sinh và diễn biến. Một
trong những người có cơng trình nghiên cứu nhiều nhất về tư duy là X. L.
Rubinstein. Ông đã nhấn mạnh rằng “tư duy sáng tạo luôn được bắt đầu từ một
hồn cảnh có vấn đề”.
Tư duy có tính khái quát: khác với nhận thức cảm tính, tư duy có khả năng đi
sâu vào sự vật, hiện tượng nhằm vạch ra những thuộc tính chung những mối liên hệ,
quan hệ có tính quy luật giữa chúng. Vì thế tư duy có tính khái qt.
Nhờ phản ánh khái qt, các quy luật mà tư duy giúp con người không chỉ
nhận thức thế giới mà c̣ịn có khả năng cải tạo thế giới.
Tư duy có tính gián tiếp: ở mức độ nhận thức cảm tính, con người phản ánh
trực tiếp sự vật, hiện tượng bằng giác quan của mình trên cơ sở đó cho ta hình ảnh
cảm tính về sự vật và hiện tượng đến tư duy, con người không nhận thức thế giới
một cách trực tiếp mà có khả năng nhận thức thế giới một cách gián tiếp - nhận thức
bằng ngôn ngữ, nhờ phương tiện ngôn ngữ và khả năng phản ánh khái quát; con
người có khả năng vạch ra các thuộc tính bản chất, các mối quan hệ có tính quy
luật. Dự đốn được chiều hướng phát triển và diễn biến của chúng để nhận thức và
cải tạo chúng.

Quan hệ giữa tư duy với ngôn ngữ: “Tư duy và ngơn ngữ có quan hệ chặt chẽ
với nhau không tách rời nhau, nhưng cũng không đồng nhất với nhau. Sự thống
nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư
duy” [29, tr.9].
Theo quan điểm của duy vật biện chứng thì tư duy và ngơn ngữ có quan hệ
chặt chẽ với nhau nhưng không đồng nhất với nhau. Nhờ có tư duy mà ngơn ngữ
phát triển; ngược lại ngơn ngữ là công cụ thúc đẩy tư duy phát triển.
Nét nổi bật của tư duy là quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp
nhau đó là từ nhận thức vấn đề đến xuất hiện các liên tưởng và qua quá trình tư duy
bộ não sàng lọc các liên tưởng đó để hình thành nên các giả thuyết từ đó kiểm tra
giả thuyết để chính xác hố nhằm phủ định hay khẳng định vấn đề đó là đi đến bác


15

bỏ hay chấp nhận giả thuyết. Trong tất cả các bước trên tư duy ln ln xuất hiện
khi gặp hồn cảnh có vấn đề, và tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính.
Theo X. L. Rubinstêin khẳng định: “nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy
trừu tượng, tựa hồ như làm chỗ dựa cho tư duy”. Điều đó cũng cho ta nhận thấy
rằng q trình tư duy ln là một hoạt động của trí tuệ và diễn ra bằng cách chủ thể
tiến hành qua những thao tác nhất định và các thao tác đó tham gia vào một q
trình cụ thể như: phân tích, tổng hợp, so sánh, ...
Như vậy, qua vấn đề nêu trên ta nhận thấy tư duy có tác dụng hết sức to lớn
trong đời sống xã hội của con người. Chúng ta dựa vào tư duy để hiểu, nhận thức
các quy luật khách quan của tự nhiên và xã hội và lợi dụng nó để phát triển xã hội.
Nói như thế có nghĩa là nhờ có tư duy mà xã hội lồi người phát triển ngày một cao.
Có những hiện tượng trước đây con người khơng thể giải thích được khi tư duy
chưa phát triển, cho đến bây giờ tư duy càng phát triển sự giải thích ấy càng ngày,
càng được sáng tỏ.
Nhà Tốn học Liên xơ cũ K. K. Plantônôv đã nêu lên các giai đoạn của tư duy

bằng sơ đồ sau đây:


16

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hoá

Khẳng định

Phủ định
Hoạt động tư duy mới

Giải quyết vấn đề
Sơ đồ 1.1 (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận [29], tr. 10)
1.1.3. Sự phân loại tư duy
Có nhiều cách phân loại tư duy.
Theo Phạm Minh Hạc, ...Sácđacơp M. N có 3 loại tư duy sau đây:
a) Tư duy trực quan hành động: đó là loại tư duy bằng các thao tác cụ thể tay
chân hướng vào việc giải quyết một vấn đề cụ thể, trực quan.
b) Tư duy trực quan hình tượng: là loại tư duy phát triển ở mức độ cao hơn, ra
đời muộn hơn so với tư duy trực quan hành động, chỉ có ở người, đó là loại tư duy
mà việc giải quyết vấn đề dựa vào hình ảnh sự vật, hiện tượng.

c) Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, lôgic): là loại tư duy phát triển ở mức
độ cao nhất, chỉ có ở người, đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các
khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm
phương tiện [29, tr.11].


17

Vì tư duy là một hình thức phản ánh gián tiếp nên nó gắn bó với ngơn ngữ
một cách hữu cơ và khơng có ngơn ngữ thì khơng có tư duy.
Theo A. V. Pêtrơvxki và L. B. Itenxơn, có 4 loại tư duy đó là: tư duy hình
tượng, tư duy thực hành, tư duy khoa học và tư duy lôgic. Việc phát triển tư duy
lôgic bao giờ cũng được coi là một nhiệm vụ quan trọng đặt lên hàng đầu trong q
trình dạy học Tốn. Nói đến tư duy lơgic người ta nhấn mạnh tư duy biện chứng
nghiên cứu tư duy dưới góc độ cách thức nhận thức sự phát triển và biến đổi của các
sự vật hiện tượng.
Như vậy, dựa trên cách chia đó ta thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa các loại tư
duy là có một mối quan hệ biện chứng lẫn nhau đi từ thấp đến cao từ cái đơn giản
đến phức tạp, từ những điều trơng thấy đến những vấn đề cần có tư duy cao độ. Mối
quan hệ đó có một ý nghĩa hết sức quan trọng trong sự phát triển xã hội loài người.
Sự phát triển từ thấp đến cao đó là một quá trình nhận thức của con người phản ánh
một cách biện chứng thế giới khách quan. Quá trình nhận thức bằng tư duy diễn ra
không đơn giản, thụ động, máy móc… Mà đó là một q trình phản ánh hiện thực
khách quan vào bộ óc con người năng động sáng tạo, biện chứng. Đó là q trình đi
từ cái chưa biết, chưa sâu sắc, từ cái biết ít đến cái biết nhiều, từ nhận thức cảm tính
đến nhận thức lý tính. Vì vậy, q trình tư duy của con người nói chung diễn ra ở
hai giai đoạn nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính. Q trình đó trải qua khi gặp
tình huống có vấn đề. Đó là hai giai đoạn khác nhau về chất, có đặc điểm và vai trò
khác nhau về việc nhận thức sự vật khách quan. Nhận thức cảm tính là phản ánh
trực tiếp, cụ thể, sinh động sự vật, cịn nhận thức lý tính là phản ánh gián tiếp, mang

tính trừu tượng khái quát. Nhận thức cảm tính đem lại những hình ảnh bề ngồi,
chưa thật sâu sắc về sự vật; cịn nhận thức lý tính phản ánh được mối quan hệ bên
trong, bản chất, phổ biến, tất yếu của sự vật. Do đó nhận thức lý tính phản ánh sự
vật sâu sắc hơn đầy đủ hơn.
Tuy nhiên, nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính lại thống nhất biện chứng
với nhau, liên hệ, tác động lẫn nhau, bổ sung, hỗ trợ cho nhau, không tách rời nhau.
Chúng đều cùng phản ánh thế giới vật chất, có cùng một cơ sở sinh lý duy nhất là
hệ thần kinh của con người và đều cùng chịu sự chi phối của thực tiễn lịch sử - xã


18

hội. Nhận thức cảm tính là cơ sở của nhận thức lý tính, khơng có nhận thức cảm
tính thì khơng có nhận thức lý tính. Trái lại, nhận thức cảm tính mà khơng có nhận
thức lý tính thì khơng thể nắm bắt được bản chất và quy luật của sự vật, hiện tượng.
Trên thực tế, chúng thường diễn ra đan xen vào nhau trong mỗi quá trình nhận thức.
Phép biện chứng khách quan của thế giới xung quanh ta được phản ánh vào phép
biện chứng chủ quan đây là vấn đề có tính chất nền tảng.
1.1.4. Tư duy tốn học
Cụm từ “tư duy toán học” đã được sử dụng một cách rất phổ biến, trong dạy
học, trong đánh giá kết quả học tập...Tuy nhiên khái niệm này chưa được định nghĩa
một cách tường minh mà thường sử dụng theo những khía cạnh của nó trong dạy
học Tốn. Dường như mọi người cũng chỉ dựa vào khả năng toán học, sức học toán
để rồi đánh giá về tư duy toán học. Đành rằng một học sinh yếu về Tốn thì khơng
thể là tốt về tư duy toán học nhưng một học sinh có kĩ năng giải Tốn tốt chưa hẳn
đã là có tư duy tốn học tốt. Cho đến nay có rất nhiều tài liệu nghiên cứu về tư duy
toán học. Tuy nhiên trong một số tài liệu có nói đến thì cũng chỉ nói chung chung
cịn ở một mức độ nhất định, và có nói kĩ thì cũng chỉ nói về một loại hình tư duy cụ
thể nào đó mà thơi. Cũng từ điều đó thì “tư duy tốn học được hiểu, thứ nhất là hình
thức biểu lộ tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học tốn

học hay trong q trình áp dụng Tốn học vào các khoa học khác như kỹ thuật, kinh
tế. Thứ hai, tư duy tốn học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của
khoa học toán học bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện
tượng thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà
nó sử dụng. Nội dung của tư duy tốn học là những tư tưởng phản ánh hình dạng
khơng gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực” [5, tr.5 ]. Điều đó
cho ta thấy rằng tư duy biện chứng là một loại hình tư duy quan trọng thể hiện trong
tư duy toán học, ta cũng cần hiểu tư duy biện chứng là như thế nào? Thuật ngữ tư
duy biện chứng xuất hiện nhiều lần trên các sách báo tạp chí và ấn phẩm khoa học,
tuy nhiên hầu như chưa có một tài liệu nào đưa ra một định nghĩa tường minh về
loại hình tư duy này. Có tài liệu thay vì định nghĩa tư duy biện chứng thì lại nhấn
mạnh vai trị của nó; có tài liệu khơng định nghĩa tư duy biện chứng mà chỉ nói rằng


19

tư duy biện chứng dựa vào lôgic biện chứng, thực ra chẳng riêng gì tư duy biện
chứng mới dựa vào lơgic biện chứng mà nói như Ilencơ “Tư duy tốn học đáng giá
nhất thiết phải là tư duy biện chứng”. Câu này có thể hiểu như sau mọi loại hình tư
duy tốn học trong mình nó đều có hàm lượng của tư duy biện chứng, tuy nhiên
hàm lượng ấy chỗ này chỗ kia có thể khác nhau và cũng khơng nên hiểu rằng tư duy
biện chứng đủ để bao quát tất cả các tình huống Tốn học mặc dù nó là cần thiết.
“Nhà sư phạm xô viết A. X. Macarencô đã từng chỉ ra rằng trong dạy học và
giáo dục chúng ta phải theo kịp những yêu cầu mà xã hội chúng ta sẽ đề ra cho con
người trong một tương lai không xa. Để giáo dục được con người lao động sáng tạo
có năng lực trí tuệ cao cần phải vận dụng những phương pháp dạy học tích cực nhằm
phát triển những năng lực tư duy một cách biện chứng, năng lực xem xét các đối
tượng và hiện tượng trong mối quan hệ qua lại, trong quá trình vận động biến đổi,
mâu thuẫn và phát triển của chúng.” [1, tr.65].
1.2. Nhiệm vụ phát triển tư duy cho học sinh THPT trong dạy học mơn tốn

Chúng ta biết rằng, hoạt động nhận thức hay hẹp hơn hoạt động tư duy chỉ
diễn ra trong tình huống có vấn đề. Vấn đề là khái niệm mà ta thường dùng để chỉ
các mâu thuẫn nảy sinh trong thực tiễn hay xét trong dạy học Toán ta thường gọi là
bài toán. Bài toán bao gồm hai hệ thống thông tin, hai bộ phận luôn mâu thuẫn với
nhau nhưng ln có những liên hệ gắn bó với nhau. Bộ phận thứ nhất là “điều
kiện” bao gồm tất thảy những thông tin đã cho một cách tường minh hoặc tiềm ẩn.
Tức là điều kiện có liên quan đến bài Toán sẽ biểu hiện sau những biến đổi nhất
định. Bộ phận thứ hai là “yêu cầu” gồm những thơng tin mà bài tốn địi hỏi phải
tìm. Q trình giải bài tốn là hoạt động trí óc gồm những thao tác đa dạng, phức
tạp nhưng xét đến cùng ln là sự phân tích, tổng hợp, so sánh, đối chiếu các điều
kiện với các yêu cầu của bài toán; phân tích, lý giải các mối liên hệ đã có để giải
quyết những mâu thuận giữa điều kiện và yêu cầu. Q trình phân tích, lý giải này
sẽ dẫn tư duy đến những mối liên hệ mới. Cứ như thế mà dần dần làm sáng tỏ yêu
cầu cần đạt của bài Tốn.
Thơng tin cần cho việc giải bài Tốn cịn ở dạng tiềm ẩn, cho nên, việc lý giải
thông qua các thao tác tư duy, mối liên hệ giữa tập hợp các điều kiện tường minh


20

hay tiềm ẩn với các yêu cầu của bài Toán. Việc khám phá dần dần các điều kiện
tiềm ẩn cũng chính là q trình chứng minh, bổ sung hồn chỉnh hoặc bác bỏ giả
thuyết ban đầu, bởi vì nhờ các hoạt động đó mà tư duy có thể nhìn thấy rõ hơn mối
liên hệ thực giữa điều kiện và yêu cầu. Nó sẽ giúp ta thấy được con đường đi tới
mục đích mà yêu cầu đặt ra là đúng hướng.
“Tiêu biểu cho tư duy là q trình phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, ... việc
nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những
giả thuyết, những ý niệm,... kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ
nào đó. Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của tư duy được biểu hiện ở
khả năng suy lý, kết luận lôgic chứng minh của con người”. Hoạt động tư duy của

con người luôn hướng vào giải quyết một vấn đề, hoặc làm sáng tỏ điều nào đó mà
họ có mong muốn cần hiểu biết.
1.2.1. Rèn luyện các thao tác tư duy
Trong quá trình dạy học, việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh cần
tập trung chú ý tới việc rèn luyện một số thao tác tư duy cơ bản. Đó là những hoạt
động trí tuệ thường gặp trong dạy học Toán ở nhà trường phổ thông.
Xuất phát từ yêu cầu thời gian và phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi đi
sâu vào việc tìm hiểu việc rèn luyện một số thao tác tư duy cơ bản sau:
1.2.1.1. Thao tác phân tích và tổng hợp
Theo tâm lí học các q trình phân tích và tổng hợp là những thao tác tư duy
cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng khác nhau
của các q trình đó. Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua bộ mơn Tốn,
giáo viên cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích và tổng
hợp.
Theo Nguyễn Cảnh Tồn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ
phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là nhìn bao quát lên
một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh
thể và của chính chỉnh thể đó với mơi trường xung quanh. Theo ơng, phân tích tạo
điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân tích tiếp theo
[30, tr. 122].


21

Hồng Chúng cho rằng: Trong mọi khâu của q trình học tập Tốn học của học
sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm
vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo [5, tr.15].
Theo M. N. Sácđacốp thì: Phân tích là một q trình nhằm tách các bộ phận
của những sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của
chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định.

Theo ơng, thì q trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu
sắc hơn, và chính như vậy mới nhận thức được một cách trọn vẹn các sự vật và hiện
tượng. Tổng hợp (cộng) là sự tổng hợp sơ đẳng, nhờ đó mà các bộ phận của một
toàn thể kết hợp với nhau làm thành một tổng số của các bộ phận đó. Ơng cho rằng :
sự tổng hợp chân chính khơng phải là sự liên kết máy móc các bộ phận thành một
chỉnh thể, không phải đơn thuần là sự tổng cộng các bộ phận của một toàn thể. Sự
tổng hợp chân chính là một hoạt động tư duy xác định, đặc biệt đem lại kết quả mới
về chất, cung cấp một sự hiểu biết mới nào đó về hiện thực.
Như vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhưng lại là
hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ bản của q
trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng của phân tích
và tổng hợp. Có thể nói khơng một vấn đề tổng hợp (không tầm thường) nào lại
chẳng cần dùng đến phân tích trong q trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
Phân tích và tổng hợp khơng bao giờ tồn tại tách rời nhau. Chúng là hai mặt
đối lập của một q trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân
tích cái tồn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó. Vì phân tích cái tồn thể ra
từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái
tồn thể ấy. Phân tích một cái tồn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu
sắc hơn. Sự thống nhất của q trình phân tích- tổng hợp cịn được thể hiện ở chỗ:
Cái tồn thể ban đầu (tổng hợp 1) định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích
mặt nào, khía cạnh nào, kết quả của phân tích là cái tồn thể ban đầu được nhận
thức sâu sắc hơn (tổng hợp 2). Như vậy, phân tích và tổng hợp theo con đường:
tổng hợp 1 - phân tích - tổng hợp 2. Các thao tác phân tích - tổng hợp có mặt trong
mọi hành động trí tuệ của con người.


22

Trong giải toán, học sinh thường phải thực hiện các thao tác phân tích, tổng
hợp xen kẽ với nhau. Bằng gợi ý của G. Pôlya viết trong tác phẩm “Giải bài tốn

như thế nào” đã đưa ra quy trình 4 bước để giải bài toán. Trong mỗi bước tác giả đã
đưa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau
để thực hiện được 4 bước của q trình giải tốn. Có thể thấy trong giải tốn, các
thao tác phân tích và tổng hợp thường gắn bó khăng khít với nhau. Trong phân tích
có sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần) và trong q trình tổng hợp phải có sự phân
tích (Để đảm bảo tính lơgic và tính định hướng của quá trình tổng hợp). Một điều
hiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cần phải giải chỉ có hữu hạn các phương
pháp giải, các phương pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có của
học sinh vì thế bản chất của thao tác giải một bài tập toán của học sinh thường là:
Nội dung và hình thức của bài
tốn

Vốn kiến thức Tốn học, kĩ năng
và kinh nghiệm giải Tốn

Định hướng tìm tịi
lời giải bài tập

Hướng 1

Nhận thức đề→Phân tích
1→ chọn lựa hoặc bác bỏ

Hướng 2

Nhận thức đề→Phân tích
2→ chọn lựa hoặc bác bỏ

Hướng thứ n

Nhận thức đề→Phân tích
n→ chọn lựa hoặc bác bỏ

Chọn lựa được hướng giải thích hợp

Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa ra
lời giải của bài tập

Sơ đồ 1.2


23

Do vậy việc rèn luyện tư duy linh hoạt cho học sinh qua việc giải bài tập nhất
thiết phải được tiến hành thông qua sự phân loại học sinh. Không có một cách “rèn
luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng, thậm chí có những q trình phân tích tổng hợp khi giải một bài tập là có kết quả đối với học sinh này nhưng lại “vô
nghĩa” với học sinh khác. Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tượng, nghiên cứu kĩ bài tập định
truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ một bài tập trước khi hướng dẫn cho học
sinh q trình phân tích - tổng hợp khi giải bài tập toán là rất quan trọng. Dưới đây
là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.1. Giải phương trình:

(1 + sin 2 x)cos x + (1 + cos 2 x)sin x = 1 + sin 2 x (1)
(Đề thi Đại học khối A, 2007)
-

Hoạt động phân tích:
VP=1 + sin 2 x = sin 2 x + cos 2 x + 2sin x.cos x = (sin x + cos x) 2 ,
Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức :

sin 2 x + cos 2 x = 1 và 2 sin x. cos x = sin 2 x

VT là biểu thức đối xứng đối với sinx và cosx nên có thể phân tích được
qua sin x + cos x .

VT = (sin x + cos x)(1 + sin x cos x)
- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải: Vì vậy phương trình (1) có thể biến đổi
về phương trình tích với một thừa số sin x + cos x .
(1)

⇔ (sin x + cos x)(1 + sin x cos x) = (sin x + cos x) 2
⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x)(1 + sin x) = 0
π

x = − 4 + kπ
sin x + cos x = 0

π

⇔ 1 − sin x = 0
⇔x = + k 2π


2

1
+
sin
x
=

0


π
x = − + k 2π

2



24

Theo G. Pơlya: “Phân tích và tổng hợp là 2 động tác quan trọng của trí óc. Nếu
đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy. Những chi tiết quá nhiều và quá nhỏ mọn
làm cản trở ý nghĩ, khơng tập trung vào điểm căn bản. Đó là trường hợp của một
người chỉ thấy cây mà không thấy rừng. Trước hết, phải hiểu bài tốn như một cái
tồn bộ. Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xem xét những điểm chi tiết
nào là căn bản. Ta phải nghiên cứu thật sát và phân chia bài tốn thành từng bước
và chú ý, khơng đi quá xa khi chưa cần thiết” [21, tr.74].
Khi bài toán cần giải đã được hiểu trên toàn bộ (theo nghĩa xác định rõ giả
thiết kết luận), đã tìm hiểu được mục đích, ý chủ đạo, thì cần phải đi vào chi tiết.
Đặc biệt nếu bài tốn khá khó khăn thì đôi khi cần thiết phải thực hiện xa hơn nữa
việc phân chia và khảo sát chi tiết nhỏ hơn.
Ví dụ 1.2. Giải phương trình:

2(4 x + 4− x ) − 3(2 x + 2− x ) − 1 = 0 (1)
Đây là bài tốn giải phương trình khơng dễ dàng với học sinh mới học, mà nó
địi hỏi một khả năng vận dụng thành thạo kỹ năng phân tích để có thể đi tới đích
bằng cách dùng nhiều lần phép rút gọn. Bên cạnh đó nó cịn địi hỏi học sinh phải
có kiến thức về một số dạng phương trình đơn giản, một suy nghĩ đúng hướng thì

x
x 2
−x
−x 2
mới phát hiện ra: 4 = (2 ) và 4 = (2 ) .
x
Từ đó cho phép ta đặt: 2 = y,( y > 0) ta được phương trình mới theo y.

2( y 2 +

1
1
) − 3( y + ) − 1 = 0 (2)
2
y
y

Rõ ràng phương trình (2) đơn giản hơn phương trình (1).
2
Tiếp tục phân tích: y +

1
1
1
= ( y + ) 2 − 2 gợi cho ta nghĩ tới đặt: z = y + ,
2
y
y
y

(z ≥ 2) ta có: 2z 2 − 3z − 5 = 0 (3)
Phép phân tích chấm dứt ở đây; với cơ sở là học sinh đã biết giải phương trình
bậc 2.


25

Nếu chúng ta phân tích mối quan hệ giữa 4 x + 4− x và 2 x + 2− x ta có phép
phân tích : 4 x + 4− x = (2 x + 2− x ) 2 − 2 , điều này gợi cho ta nghĩ tới đặt:
2
z = 2 x + 2− x , z ≥ 2 . Ta có phương trình : 2z − 3z − 5 = 0 .

Như vậy tùy vào việc lựa chọn cách phân tích mà chúng ta thu được các lời
giải khác nhau của bài toán.
Sau khi đã phân chia bài toán, ta cố gắng tổ hợp lại một cách khác các yếu tố
của nó. Chẳng hạn, ta có thể tạo nên một bài toán mới, dễ hơn mà trong trường hợp
cần thiết có thể dùng như một bài tốn phụ.
Đối với một bài tốn trong đó có giả thiết và kết luận thì sự phân tích phải
hướng vào mục đích tìm cho ra các mắt xích lơgic nối giả thiết với kết luận. Trong
Toán học, thường được sử dụng hai phép phân tích:
* Phép phân tích đi lên (suy ngược lùi)
* Phép phân tích đi xuống (suy ngược tiến)
Trong q trình dạy học giáo viên cần hướng dẫn học sinh dùng phép suy
ngược để tìm lời giải, dùng phép suy xi để trình bày lời giải.
Ví dụ 1.3. CMR: a3 + b3 > a2b +ab2 với a, b > 0 và a ≠ b.
Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a3 + b3 suy ra nó
lớn hơn a2b + ab2 là điều khơng dễ. Do đó giáo viên có thể hướng dẫn học sinh kết
hợp với phép phân tích để tìm lời giải:
Ta có: a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab +b2)
a2b +ab2 = ab(a + b)

Do đó: a3 + b3 > a2b +ab2 ⇐ a2 - ab +b2> ab ⇐ (a –b)2 >0 (a ≠ b)
Trên cơ sở phân tích cùng với phép tổng hợp ta có lời giải:
Vì a, b > 0 và a ≠ b nên a + b >0, (a –b)2 >0.
a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab +b2) = (a+b)[(a - b)2 + ab]
= (a+b)(a - b)2 + (a+b)ab> (a+b)ab = a2b +ab2. (ĐPCM)
Khi giải Toán trước tiên phải nhìn bao qt xem bài tốn thuộc loại gì, phải
phân tích cái đã cho, cái phải tìm. Đó là việc xem xét, nghiên cứu bài toán đã cho.
Mấu chốt vấn đề ở đây là cách nhìn bài tốn. Phải biết cách nhìn bài tốn dưới dạng