Tài Liệu Phát Triển Năng Lực Vận Dụng Toán Học Vào Thực Tiễn Cho Học Sinh Lớp 12 Thông Qua Một Số Bài Toán Về Chủ Đề Tích Phân.pdf

1 of 98.

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƢỜNG THPT NGUYỄN SỸ SÁCH
----------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN CHO
HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN

Lĩnh vực: Tốn học
Tác giả: Nguyễn Quang Sáng
Tổ chun mơn: Tốn - Tin

Năm học: 2022 – 2023
SĐT liên hệ: 0972579378

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123


2 of 98.

MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 2
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu. ................................................................... 2
3.1. Khách thể nghiên cứu....................................................................................... 2
3.2. Đối tƣợng nghiên cứu....................................................................................... 2

4. Giả thuyết khoa học ............................................................................................ 2
5. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu ....................................................................... 2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu..................................................................................... 3
7. Những luận điểm cần bảo vệ của đề tài .............................................................. 3
8. Tính mới, đóng góp của đề tài............................................................................. 3
PHẦN II. NỘI DUNG ........................................................................................... 4
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................................. 4
1.1. Cơ sở lí luận ..................................................................................................... 4
1.2. Cơ sở thực tiễn và thực trạng của đề tài ........................................................... 6
II. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN
THƠNG QUA MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN .................... 7
2.1. DẠNG CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH. ....... 7
2.1.1 Dạng các bài tốn liên quan đến diện tích ..................................................... 7
2.1.2. Dạng các bài tốn liên quan đến thể tích .................................................... 14
2.2. DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG ................ 22
2.3. DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TĂNG TRƢỞNG. ................ 32
III. KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA CÁC GIẢI PHÁP
ĐỀ XUẤT ............................................................................................................. 36
3.1. Mục đích khảo sát .......................................................................................... 36
3.2. Nội dung và phƣơng pháp khảo sát................................................................ 36
3.3. Tổng hợp các đối tƣợng sau khảo sát ............................................................. 37
IV. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM.......................................................................... 42
3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm. .................................................................... 42
3.2. Đối tƣợng thực nghiệm .................................................................................. 42
3.3. Nội dung thực nghiệm .................................................................................... 42
3.4. Kết quả thực nghiệm. ..................................................................................... 42
3.5. Bài học kinh nghiệm rút ra khi tiến hành thực nghiệm.................................. 43
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .................................................. 44
1. Kết luận ............................................................................................................. 44
2. Khuyến nghị ...................................................................................................... 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 45

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


3 of 98.

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GV
HS
THPT
THPT QG
GD-ĐT
ĐGNL
PTNL

Giáo viên
Học sinh
Trung học phổ thông
Trung học phổ thông quốc gia
Giáo dục và đào tạo
Đánh giá năng lực
Phát triển năng lực

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


4 of 98.

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ

1. Lý do chọn đề tài
Tốn học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Những kiến thức và
kỹ năng toán học cơ bản đã giúp con ngƣời giải quyết các vấn đề trong thực tế
cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển.
Mơn tốn ở trƣờng phổ thơng góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học
cho học sinh, phát triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh
đƣợc vận dụng toán học vào thực tiễn, tạo lập sự kết nối giữa các ý tƣởng toán học,
giữa toán học với thực tiễn. Đặc biệt xã hội ngày càng phát triển thì con ngƣời
càng quan tâm đến mơ hình tốn ứng dụng
Trong tốn học chủ đề tích phân đƣợc ứng dụng rộng rãi trong thực tế nhƣ là
tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, cách thiết kế khúc cua của con
đƣờng, tính vận tốc, tính qng đƣờng, tính cơng sinh ra,...Vì thế mà trong các kỳ
thi THPTQG, thi học sinh giỏi các cấp đều có sự xuất hiện của tốn ứng dụng.
Hiện nay với xu hƣớng thi trắc nghiệm, thi đánh giá năng lực và thi đánh giá tƣ
duy phần tích phân cịn đƣợc yêu cầu rộng hơn và đòi hỏi học sinh phải tƣ duy linh
hoạt hơn, mặc dù đã đƣợc học kỹ các phƣơng pháp tính tích phân. Nhƣng đứng
trƣớc yêu cầu về bài tốn tính tích phân nhất là những bài toán vận dụng thực tế.
Khi xuất hiện trong đề thi thƣờng ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Đa số các
em cịn nhiều lúng túng và thậm chí là khơng định hình đƣợc lời giải, hoặc giải thì
các em cũng khơng tự tin về kết quả của mình.
Vì vậy tôi quyết định viết đề tài này nhằm hƣớng tới các mục tiêu sau:
Mục tiêu thứ nhất: Nhằm phát triển năng lực tốn học giúp các em học sinh
có cách nhìn tổng thể về mơ hình tốn ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, các
dạng tốn gặp phải trong đề thi, từ đó các em dễ tiếp cận với các câu hỏi đƣợc xem
là “hóc búa” trong đề thi. Các em sẽ tự tin dành trọn điểm cao trong các kỳ thi một
cách nhẹ nhàng.
Mục tiêu thứ hai: Đào tạo các em thành những con ngƣời năng động, tự tin,
sáng tạo, sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày. Học là phải gắn
liền với ứng dụng vào thực tế trong cuộc sống.
Mục tiêu thứ ba: Làm nguồn tài liệu giảng dạy cho bản thân và đồng nghiệp

trong q trình giảng dạy chủ đề tích phân lớp 12.
Xuất phát từ những lý do trên, với mong muốn góp phần đổi mới và nâng cao
hiệu quả dạy học mơn tốn 12, tơi quyết định làm sáng kiến kinh nghiệm với đề tài
“Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh lớp 12
thơng qua một số bài tốn về chủ đề Tích phân” để nghiên cứu, tìm hiểu và áp
dụng trong quá trình dạy học.
1

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chun ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


5 of 98.

2. Mục đích nghiên cứu
Làm rõ vấn đề mà học sinh cịn lúng túng, thậm chí là khơng có định hình về
lời giải trong việc giải các bài tốn tích phân có ứng dụng thực tiễn.
Góp phần gây hứng thú học tập chủ đề ứng dụng của tích phân trong thực
tiễn, một trong các phần đƣợc coi là hóc búa, địi hỏi tính tƣ duy cao.
Làm cho học sinh thấy đƣợc tầm quan trọng của chƣơng học, là vấn đề then
chốt cho việc tiếp nhận và ứng dụng vào thực tiễn.
Nâng cao chất lƣợng bộ mơn tốn theo từng chuyên đề khác nhau góp phần
nâng cao chất lƣợng dạy học.
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Hoạt động dạy và học mơn Tốn ở trƣờng THPT.
3.2. Đối tƣợng nghiên cứu
- Học sinh lớp 12 và giáo viên dạy mơn Tốn THPT.
- Chƣơng Ngun hàm - Tích phân và chủ yếu là ứng dụng tích phân để giải
các bài toán thực tiễn.
4. Giả thuyết khoa học

Ngun nhân dẫn đến tình trạng nhiều học sinh cịn chƣa thành thạo và ngại
giải các bài toán liên quan đến bài tốn thực tiễn thơng qua ứng dụng tích phân là
do các em chƣa đƣợc rèn luyện nhiều bài tập dạng này. Nếu đƣợc giáo viên định
hƣớng và phân các dạng tốn cụ thể thì các em sẽ biết vận dụng giải và đạt kết quả
cao trong các kỳ thi cũng nhƣ biết vận dụng vào thực tiễn trong cuộc sống.
5. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu
5.1. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu dạy học theo hƣớng phát triển năng lực cho học sinh, vận dụng
vào chủ đề ứng dụng của tích phân.
- Đề xuất phƣơng án ứng dụng tích phân vào dạy học một số dạng tốn.
- Thử nghiệm sƣ phạm để kiểm chứng các biện pháp sƣ phạm đã đề ra trong
đề tài.
5.2. Phạm vi nghiên cứu
- Về nội dung: Đề tài tập trung nghiên cứu “Phát triển năng lực vận dụng toán
học vào thực tiễn cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài tốn về chủ đề Tích
phân” áp dụng trong q trình dạy học.
- Về thời gian: Từ năm học 2020-2021 đến nay.
2

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123


6 of 98.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phƣơng pháp sau:
a. Nghiên cứu tài liệu:
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục ...có liên quan đến nội dung đề
tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.

- Tham khảo các đề minh họa, đề thi THPT- QG của Bộ Giáo dục và đề thi
thử của các trƣờng trên toàn quốc.
- Trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên dạy tốn trên tồn quốc thơng qua
các nhóm VD-VDC MƠN TỐN, Diễn đàn tốn học …
b. Nghiên cứu thực tế:
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung tích phân.
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sƣ phạm để kiểm tra tính khả thi của đề
tài.
- Nghiên cứu khả năng nắm bắt của học sinh qua từng buổi học.
- Tìm hiểu qua phiếu thăm dò của học sinh.
7. Những luận điểm cần bảo vệ của đề tài
Thứ nhất: Thay đổi cách dạy và học của học sinh theo phƣơng pháp dạy học
tích cực chú trọng vào ngƣời học.
Thứ hai: Các em biết vận dụng kiến thức vào giải toán để đạt kết quả cao
trong các kỳ thi.
Thứ ba: Học là phải gắn liền với ứng dụng vào thực tế trong cuộc sống.
8. Tính mới, đóng góp của đề tài
Đề tài giúp các em học sinh phát triển năng lực, tƣ duy giải toán, biết vận
dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề thực tiễn cũng nhƣ nhìn nhận các vấn
đề thực tiễn qua lăng kính tốn học. Xu hƣớng “gắn lý thuyết với các vấn đề thực
tiễn” đã có từ lâu ở các nền giáo dục tiên tiến và đã có ảnh hƣởng lớn trong những
lần đổi mới giáo dục gần đây của nƣớc ta. Qua đề tài cũng giúp học sinh hoàn thiện
kĩ năng sống và đảm bảo vốn kiến thức thực tế cho một con ngƣời bắt đầu bƣớc
sang giai đoạn trƣởng thành. Vì vậy chúng ta cần làm cho học sinh thấy đƣợc
không chỉ học để đi thi, mà còn để vận dụng vào đời sống hàng ngày, từ đó các em
có thêm động lực và lịng ham mê học tập.
Đề tài cũng là nguồn tài liệu tham khảo để giúp các em học và tự tin làm các
bài toán trong các kỳ thi THPTQG, kỳ thi đánh giá năng lực, đánh giá tƣ duy của
các trƣờng đại học trên tồn quốc.

Đề tài có thể là nguồn tài liệu cho đồng nghiệp trong cơng tác giảng dạy và
tích lũy chun mơn.
3

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chun ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


7 of 98.

PHẦN II. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Năng lực tốn học
Năng lực là thuộc tính cá nhân đƣợc hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có
và q trình học tập, rèn luyện, cho phép con ngƣời huy động tổng hợp các kiến
thức, kỉ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí ... thực
hiện thành công một loạt hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những
điều kiện cụ thể.
Thông qua chƣơng trình mơn Tốn, học sinh cần hình thành và phát triển
đƣợc năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính tốn. Năng lực
tốn học bao gồm các thành tố cốt lõi sau:
a) Năng lực tƣ duy và lập luận tốn học.
- So sánh, phân tích, tổng hợp, đặt biệt hóa, khái quát hóa, tƣơng tự, quy nạp,
diễn dịch.
- Chỉ ra đƣợc chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trƣớc khi kết luận.
- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phƣơng diện tốn
học.
b) Năng lực mơ hình hóa tốn học.
- Sử dụng các mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phƣơng trình, bảng biểu, đồ
thị ...) để mơ tả các tình huống đặt ra trong các bài tốn thực tế.

- Giải quyết các vấn đề toán học trong mơ hình đƣợc thiết lập.
Nhƣ vậy, thơng qua tìm hiểu, phân tích vấn đề chƣa có cách giải quyết, học
sinh tìm cách đƣa vấn đề về mơ hình tốn học đã biết cách giải quyết, qua đó học
sinh có cơ hội đƣợc phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học.
c) Năng lực giải quyết vấn đề toán học.
- Nhận biết, phát hiện đƣợc vấn đề cần giải quyết bằng toán học.
- Đề xuất, lựa chọn đƣợc cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.
- Sử dụng đƣợc các kiến thức, kĩ năng tốn học tƣơng thích (bao gồm các
cơng cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.
- Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tƣợng tự .
Thơng qua q trình phân tích, thảo luận và đƣa ra phƣơng án giải quyết của
nhóm mình, học sinh có cơ hội đƣợc phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán
học.
4

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123


8 of 98.

d) Năng lực giao tiếp toán học.
- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép đƣợc các thông tin tốn học cần thiết đƣợc
trình bày dƣới dạng văn bản tốn học hay do ngƣời khác nói hoặc viết ra.
- Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) đƣợc các nội dung, ý tƣởng, giải pháp
toán học trong sự tƣơng tác với ngƣời khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ,
chính xác).
- Sử dụng hiệu quả ngơn ngữ tốn học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ
thị, các liên kết logic...) kết hợp với ngôn ngữ thông thƣờng hoặc động tác hình thể
khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tƣởng toán học trong sự tƣơng tác (thảo
luận, tranh luận) với ngƣời khác.

Nhƣ vậy, thông qua hoạt động mua bán giả định, học sinh đƣợc cùng nhau
thảo luận, trao đổi và đƣa ra quyết định của mình đã tạo cơ hội cho học sinh đƣợc
phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực giao tiếp tốn học.
e) Năng lực sử dụng cơng cụ, phƣơng tiện toán học.
- Sử dụng thành thạo và linh hoạt các cơng cụ, phƣơng tiện tốn học, đặc biệt
phƣơng tiện khoa học cơng nghệ để tìm tịi, khám phá và giải quyết vấn đề toán
học ( phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi).
- Chỉ ra đƣợc các ƣu điểm, hạn chế của những công cụ, phƣơng tiện hỗ trợ để
có những cách sử dụng hợp lí.
1.1.2. Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn
Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh sẽ làm thay
đổi cách dạy của giáo viên và cách học của HS theo hƣớng “ Học đi đôi với hành”,
lí thuyết gắn với thực tiễn, nhà trƣờng gắn với gia đình và xã hội. Thực trạng dạy
học ở các trƣờng phổ thông hiện nay, hầu hết GV mới chỉ tập trung vào hình thành
và phát triển kiến thức cho HS mà chƣa chú trọng vào phát triển năng lực vận dụng
kiến thức vào thực tiễn cho HS. Do đó, q trình dạy học hƣớng tới giúp HS có kỷ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn rất cần thiết, đƣợc xem nhƣ mục tiêu cốt lõi
của chƣơng trình phổ thông.
1.1.3. Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn
Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn là khả năng của ngƣời học tự giải
quyết những vấn đề đặt ra một cách nhanh chóng và hiệu quả bằng cách áp dụng
các kiến thức đã lĩnh hội vào những tình huống, hoạt động thực tiễn để tìm hiểu thế
giới xung quanh và có khả năng biến đổi nó. Năng lực vận dụng kiến thức vào thực
tiễn thể hiện phẩm chất và nhân cách của con ngƣời trong quá trình hoạt động để
thỏa mãn nhu cầu chiếm lĩnh tri thức. Nhƣ vậy, có thể hiểu: Năng lực vận dụng
kiến thức vào thực tiễn là khả năng chủ thể phát hiện được vấn đề thực tiễn, huy
động được các kiến thức liên quan nhằm giải quyết các vấn đề thực tiễn hiệu quả.
5

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123

9 of 98.

1.1.4. Các thành tố cơ bản của năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn trong
nội dung bài tốn chuyển động, tính diện tích, thể tích và tăng trƣởng
Thành tố 1: HS có năng lực thu nhận thơng tin Tốn học từ tình huống thực
tế liên quan đến bài tốn chuyển động, tính diện tích, thể tích, tăng trƣởng. Thể
hiện ở khả năng HS nhận thức đƣợc các thơng tin định lƣợng về diện tích, thể tích
của các khối, các hình trong thực tế hoặc các thơng tin định tính nhƣ đặc điểm hình
dạng, tính chất của các hình, các khối, kích thƣớc, đối tƣợng...
Thành tố 2: Học sinh có năng lực thiết lập mối quan hệ giữa các kiến thức
Tốn học với các thơng tin có đƣợc từ các tình huống thực tiễn.
Thể hiện ở khả năng chuyển đổi thơng tin giữa thực tiễn và Tốn học bao
gồm: năng lực mã hóa thơng tin tốn học từ tình huống thực tiễn, năng lực giải mã
thơng tin Tốn học có đƣợc từ tình huống thực tế.
Thành tố 3: Năng lực ƣớc lƣợng, tính gần đúng của quảng đƣờng, diện tích,
thể tích của các hình, khối có trong thực tiễn. Bao gồm năng lực ƣớc lƣợng trong
tính giá trị đại lƣợng, năng lực sử dụng hợp lí các giá trị gần đúng.
Thành tố 4: Vận dụng tối ƣu ngun hàm, tích phân để tính các bài Tốn
liên quan đến vận tốc, gia tốc, quảng đƣờng, diện tích, thể tích và tăng trƣởng.
1.2. Cơ sở thực tiễn và thực trạng của đề tài
Chƣơng trình GDPT tổng thể năm 2018 đã nêu rõ nhiệm vụ dạy học của mơn
Tốn: trang bị những tri thức cơ bản cần thiết cho HS, rèn luyện kỹ năng Toán học
và kỹ năng vận dụng Tốn học vào thực tiễn, phát triển trí tuệ… chú trọng bồi
dƣỡng những HS có năng khiếu về bộ mơn Tốn. Góp phần hình thành và phát
triển các năng lực cốt lõi của năng lực toán học: năng lực tƣ duy và lập luận tốn
học; năng lực mơ hình hố toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực
giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ, phƣơng tiện học toán.
Năm học 2016 - 2017 bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của

mơn tốn từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phƣơng pháp dạy và học
cũng phải thay đổi cho phù hợp.
Trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT, đề thi THPTQG và đề thi ĐGNL của
các trƣờng Đại học trên toàn Quốc, học sinh thƣờng gặp một số câu về tính tích phân ở
mức độ 3 và mức độ 4 và đây là các bài toán vận dụng thực tế. Phần lớn các em học
sinh đều bỏ qua hoặc giải thì cũng khơng tự tin vào kết quả của mình. Vì vậy các em
phải chuyển đƣợc mơ hình bài tốn thực tế đó về bài tốn đã học, thì các em sẽ thấy
đơn giản và tự tin vào kết quả của mình và càng khơng phải lo âu sợ học tốn nữa.
Đề tài góp phần vào giải các bài toán trong thực tiễn sẽ tạo đƣợc cho các em có
thêm phƣơng pháp, linh hoạt hơn trong việc tính tích phân và nâng cao tƣ duy trong
giải toán nhằm lấy đƣợc điểm cao hơn trong bài thi.
6

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123


10 of 98.

Trƣớc khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lƣợng học tập
của học sinh trƣờng THPT Nguyễn Sỹ Sách (thông qua các lớp 12C1 và 12C2) về
các bài tốn tính tích phân có vận dụng thực tế, đã thu đƣợc kết quả nhƣ sau:
Lớp
Sĩ
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
số SL % SL %
SL

%
SL
%
SL
%
12C1

46

15

32,6

25

54,3

6

13,1

0

0

0

0

12C2

45

14

31,1

25

55,6

6

13,3

0

0

0

0

Nhƣ vậy số lƣợng học sinh nắm bắt dạng này khơng nhiều, có rất nhiều em
chƣa định hình đƣợc lời giải do chƣa có đƣợc nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết.
Từ những thực trạng nêu trên, tơi nhận thấy cần phải có giải pháp để khắc
phục, thơi thúc tơi nghiên cứu tìm tịi để đƣa ra phƣơng pháp giải các dạng toán
dạng này.
II. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN
THƠNG QUA MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN

Nhƣ đã trình bày ở lí do chọn đề tài, các bài tốn ứng dụng tích phân vào
giải các bài tốn thực tiễn liên quan đến tính quảng đƣờng, vận tốc, gia tốc, tính
diện tích, thể tích và tăng trƣởng…ln gây khó khăn cho học sinh và nhiều học
sinh e ngại hoặc bỏ qua khi gặp dạng bài tập dạng này. Để giúp học sinh có hƣớng
giải cũng nhƣ phát triển năng lực của mình khi giải quyết các bài tốn dạng này,
tơi đƣa ra một số dạng tốn đã rút ra đƣợc trong quá trình giảng dạy bao gồm :
Dạng 1: Dạng các bài toán liên quan đến diện tích và thể tích
Dạng 2: Dạng các bài tốn liên quan đến chuyển động.
Dạng 3: Dạng các bài toán liên quan đến tăng trƣởng.
Trong mỗi dạng tôi nêu kiến thức cần sử dụng và các ví dụ. Ở mỗi ví dụ đó,
tơi phân tích, định hƣớng phƣơng pháp giải cho học sinh theo hƣớng PTNL và nêu
ứng dụng của các bài toán vào thực tiễn cuộc sống.
2.1. DẠNG CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH.
2.1.1 Dạng các bài tốn liên quan đến diện tích
a. Kiến thức sử dụng:
Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f ( x) liên tục, trục hoành và hai đƣờng thẳng x  a , x  b
(hình bên) đƣợc tính theo cơng thức

b

S   f ( x) dx .
a

7

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


11 of 98.

Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f ( x) , y  g ( x) liên tục, và hai đƣờng thẳng x  a , x  b
(hình bên) đƣợc tính theo cơng thức
b

S   f ( x)  g ( x) dx .
a

b. Ví dụ áp dụng:
Trong cuộc sống chúng ta gặp một số bài toán như: Tính diện tích một bồn
hoa, một bức tranh, một sân khấu .. Từ đó để ước lượng và tính tốn chi phi cần
thiết để làm bồn hoa, bức tranh, sân khấu...Vậy, để giải quyết các bài tốn đó, tơi
đưa ra một số ví dụ sau:
Ví dụ 1. Ơng An có 1 mảnh vƣờn hình elip, có độ dài trục lớn là 16m và độ dài
trục bé là 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải đất rộng là 8m và nhận trục bé của
elip là trục đối xứng. Biết kinh phí để trồng hoa là 100000 đồng /1m2. Ông An cần
bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh đất đó? (số tiền đƣợc làm trịn đến hàng
nghìn).
A. 7862000 đồng.
B. 7653000 đồng. C. 7128000 đồng. D. 7826000 đồng.
Phân tích bài tốn:

y
(E)
-4

8m
0

4

x

- Bài tốn u cầu tính số tiền ơng An cần bỏ ra trồng hoa?
- Lúc này phải tính đƣợc diện tích đất là bao nhiêu m2?
- Diện tích đất nhân 100000 đồng /1m2 ta tính đƣợc số tiền.
- Vậy phải chuyển đƣợc về mơ hình bài tốn giải tích trên hình vẽ.
- Diện tích đất là phần gạch chéo trên hình vẽ.
- Dải đất nhận trục bé (Oy) làm trục đối xứng. Nên chỉ tính 1 phần tƣ của
phần gạch chéo (phần gạch chéo có chấm).
- Lúc này bài tốn chuyển về dạng quen thuộc.
8

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


12 of 98.

Ox
Oy

- Phần gạch chéo có chấm đƣợc giới hạn bởi 
x  4
 y  f ( x)  (E)

- Viết công thức hàm số y  f ( x)
- Kiến thức lớp 10 viết phƣơng trình đƣờng elip (E).
Lời giải:
2a  16 a  8


 phƣơng trình đƣờng (E)
2
b

10
b

5



Theo đề ta có: 

x 2 y2
x2

 1 y  5 1
64 25
64
4

Diện tích đất ơng An dùng để trồng hoa là: S  4 5 1 
0

x2
dx  số tiền ông An
64

4

x2
dùng để đầu tƣ trồng hoa là: T=100000  4  5 1  dx  7652891,82
64
0

Do số tiền làm trịn đến hàng nghìn nên chọn đáp án B.
Nhận xét:
- Bài toán giúp chúng ta giải quyết được việc tính tốn chi phí để làm được
bồn hoa chính xác nhằm phục vụ trong xây dựng và sản xuất.
- Qua ví dụ trên giúp học sinh phát triển các năng lực như: Năng lực chuyển
đổi thơng tin tốn học từ tình huống thực tế, năng lực chuyển đổi từ tình huống
thực tiễn vào tốn học, năng lực thiết lập và mơ hình tốn học của thực tiễn
Ví dụ 2. Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí nhƣ hình
MNEIF. Ở chính giữa của mặt bức tƣờng hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC =
6m, chiều dài CD = 12m( hình vẽ dƣới ), biết MNEF là hình chữ nhật. MN = 4m,
cung EIF có hình dạng là 1 phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của AB
và đi qua 2 điểm C,D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000đồng /1m2. Hỏi công ty X
cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

I

A
F
D

M

B
E

N

C

A. 20400000 đồng. B. 20600000 đồng. C. 20800000 đồng. D. 21200000 đồng.
9

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


13 of 98.

Phân tích bài tốn:
- Bài tốn u cầu tính số tiền để làm bức tranh?
- Lúc này phải tính đƣợc diện tích phần làm bức tranh? (tức phần gạch chéo)
- Số tiền làm bức tranh bằng diện tích phần làm bức tranh nhân với 900.000
đồng.
- Vậy phải chuyển đƣợc về mơ hình bài tốn giải tích.
- Gắn vào hệ trục tọa độ, có nhiều cách gắn ở bài này nên gắn I trùng với O,
và Ox trùng với AB.

12m
I=O

A

x

E

F
D

B

C

N

M
4m

- Bài tốn chuyển về dạng quen thuộc, tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các
y  f (x)

 y  g( x )
đƣờng. ( H ) 
x  a
 x  b

- y  f ( x) là đƣờng cong EF , y  g ( x) trùng với MN. Đoạn MN  4 . Vậy
M(-2;0), N(2;0). Nên a  2, b  2
Lời giải:

12m
I=O

A

x

E

F
D

B

N

M

C

4m
10

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


14 of 98.

Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ.
Gọi s là diện tích bức tƣờng tranh (là phần gạch chéo trên hình vẽ).
EF là 1 phần của parabol có đỉnh I trùng với O và đi qua 2 điểm C, D nên có
1
6

phƣơng trình y   x 2 .

MN là đƣờng thẳng song song với trục Ox có phƣơng trình y  6 (vì BC  6m )
Đoạn MN  4 .Vậy M(-2;0), N(2;0)
Khi đó diện tích S của bức tƣờng tranh là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi
1 2

y   6 x

các đƣờng  y  6
 x  2

 x  2

Do đó : S 

2

1

 ( 6 x

2

 6)dx . Vậy số tiền công ty cần bỏ ra làm bức tranh là:

2

T  900000 

2

1

 ( 6 x

2

 6) dx  20800000 .

Chọn đáp án C

2

Nhận xét: Bài toán giúp chúng ta giải quyết được việc tính tốn chi phí để
làm được bức tranh nhằm phục vụ trong lao động và sản xuất. Qua ví dụ trên giúp
học sinh phát triển các năng lực như: Năng lực chuyển đổi thơng tin tốn học từ
tình huống thực tế, năng lực chuyển đổi từ tình huống thực tiễn vào tốn học, năng
lực thiết lập và mơ hình tốn học của thực tiễn.
Ví dụ 3. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An -2019) Ngƣời ta xây một sân khấu
với mặt sân có dạng hợp của hai hình trịn giao nhau. Bán kính của hai hình trịn là
20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình trịn là 30 mét. Chi phí
làm mỗi mét vng phân giao nhau của hai hình trịn là 300.000 đồng và chi phí
làm mỗi mét vng phần cịn lại là 100.000 đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân
khấu gần với số nào trong các số dƣới đây?
A. 202 triệu đồng.
B. 208 triệu đồng.
C. 218 triệu đồng. D. 200 triệu
đồng.
Phân tích bài tốn:
y

I
A

H

O

B

x

11

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


15 of 98.

- Gọi O , I lần lƣợt là tâm của các đƣờng trịn bán kính bằng 20 mét và bán
kính bằng 15 mét. Gắn hệ trục Oxy nhƣ hình vẽ, vì OI  30 mét nên I  0; 30 . Tìm
đƣợc phƣơng trình hai đƣờng trịn,
- Gọi A, B là các giao điểm của hai đƣờng tròn đó.Tọa độ A, B là nghiệm của
hệ.hai phƣơng trình đƣờng trịn,
- Tính diện tích các phần thơng qua cơng thức diện tích hình trịn, ứng dụng
của tích phân.
- Từ diện tích tính đƣợc giá tiền làm sân khấu.
Lời giải:
Gọi O , I lần lƣợt là tâm của các đƣờng tròn bán kính bằng 20 mét và bán kính
bằng 15 mét. Gắn hệ trục Oxy nhƣ hình vẽ, vì OI  30 mét nên I  0; 30 . Phƣơng
trình hai đƣờng tròn lần lƣợt là

2
x 2  y 2  202 và x 2   y  30   152 . Gọi A, B là các giao điểm của hai đƣờng trịn đó.

5 455
2
2
2
x  

x

y

20


12 .
Tọa độ A, B là nghiệm của hệ  2

2
2

 y  215
 x   y  30  15


12

Tổng diện tích hai đƣờng trịn là   202  152   625 ( m2 ).
Phần giao của hai hình trịn chính là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

y  30  152  x 2 và y  202  x 2 . Do đó diện tích phần giao giữa hai hình trịn là

S

5 455
12







202  x 2  152  x 2  30 dx  60,2546 ( m2 ).

5 455

12

Số tiền để làm phần giao giữa hai hình trịn là 300.000 x 60,2546  18.076.386 (đồng).
Số tiền để làm phần còn lại là 100.000 x  625  2 x 60,2546   184.299.220 (đồng).
Vậy tổng số tiền làm sân khấu là 184.299.220  18.076.386  202.375.606 (đồng).
Chọn đáp án A
Nhận xét:
- Thông qua các bài tốn giúp các em hình thành và phát triển năng lực tư
duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề tốn học, năng lực mơ hình
hóa tốn học, học sinh giải được các bài tốn tương tự và bài toán mới.
- Học sinh hiểu được tầm quan trọng của toán học vào việc giải quyết các vấn
đề thực tiễn đời sống hàng ngày trong lao động sản xuất sao cho đem lại hiệu quả
kinh tế cao góp phần tạo hứng thú cho người học.

12

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123


16 of 98.

c. Bài tập tương tự:
Bài 1: Ông An muốn làm cổng sắt có hình dạng và kích thƣớc nhƣ hình vẽ bên,
biết đƣờng cong phía trên là 1 parabol. Giá 1 m2 của cổng sắt là 700.000 đồng. Hỏi
ông An phải bỏ ra bao nhiêu tiền để làm cái cổng sắt nhƣ vậy (làm trịn đến hàng
phần nghìn).

A. 6417000 đồng. B. 6320000 đồng.

C. 6520000 đồng. D. 6620000 đồng.

Bài 2: Một khn viên dạng nửa hình trịn có đƣờng kính bằng 4 5 (m ). Trên đó
ngƣời ta thiết kế 2 phần để trồng hoa có dạng của 1 cánh hoa hình parabol có đỉnh
trùng với tâm nửa hình tròn và 2 đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đƣờng trịn
(phần tơ màu ), cách nhau 1 khoảng bằng 4 (m), phần cịn lại của khn viên (phần
khơng tơ)dành để trồng cỏ. Biết các kích thƣớc cho nhƣ hình vẽ và kinh phí để
trồng cỏ là 100000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ trên phần đất đó?
(số tiền đƣợc làm trịn đến hàng nghìn )

A. 2388000 đồng.

B. 3895000đồng.

C. 1194000 đồng. D. 1948000 đồng.

Bài 3: Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30m
và chiều dài 50m. Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ơng An chia
sân bóng ra làm 2 phần (tơ màu và khơng tơ màu) nhƣ hình vẽ. Phần tơ màu gồm 2
miền diện tích bằng nhau và đƣờng cong AIB là một parabol có đỉnh I. Phần tơ
màu đƣợc trồng cỏ nhân tạo với giá 130.000 đồng/ 1m 2 và phần còn lại đƣợc trồng cỏ
nhân tạo với giá 90.000 đồng/ 1m 2 . Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ
nhân tạo cho sân bóng?
13

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123


17 of 98.

A. 165 triệu đồng.

B. 151 triệu đồng.

C. 195 triệu đồng.

D. 135 triệu đồng.

2.1.2. Dạng các bài toán liên quan đến thể tích
a. Kiến thức sử dụng:
Bài tốn 1:Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng ( P ) và
(Q) vng góc với trục Ox lần lƣợt tại
x  a , x  b (a  b) . Một mặt phẳng tùy ý vng góc
với Ox tại điểm x (a  x  b) cắt vật thể theo thiết
diện có diện tích là S ( x) . Giả sử S ( x) là hàm số

liên tục trên đoạn  a; b .Khi đó, thể tích của vậ thể
b

đƣợc tính bởi công thức: V   S ( x)dx .
a

Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục, trục hoành và
hai đƣờng thẳng x  a , x  b khi quay quanh trục Ox
b

đƣợc tính bởi cơng thức V    f 2 ( x) dx .
a

Bài tốn 3: Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục, và hai
đƣờng thẳng x  a , x  b khi quay quanh trục Ox
b

đƣợc tính bởi công thức V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx .
a

b. Ví dụ áp dụng:
Trong cuộc sống chúng ta gặp một số bài toán như: Tính thể tích một thùng
đựng dầu, khối trụ, một cái phao …Từ đó để ước lượng thùng dầu cịn bao nhiêu
lít, ước lượng và tính tốn số lượng bê tơng cần đổ …Vậy, để giải quyết các bài
tốn đó, tơi đưa ra một số ví dụ sau:
14

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123

18 of 98.

Ví dụ 1: Trong chƣơng trình nơng thơn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bê
tơng nhƣ hình vẽ. Tính thể tích bê tơng để đổ đủ cây cầu. Đƣờng cong trong hình
vẽ là các đƣờng parabol.

A. 21m3 .

B. 18m3 .

C. 40m3 .

D. 19m3 .

Phân tích bài tốn:
- Từ giả thiết chọn hệ trục tọa độ phù hợp để viết các phƣơng trình parabol
19
;0); B(0;2)
2
5
- Gọi ( P2 ) : y  a 2 x 2  b2 là parabol đi qua 2 điểm A(10;0); B(0; )
2

- Gọi ( P1 ) : y  a1 x2  b1 là parabol đi qua 2 điểm A(

- Tính thể tích bê tơng
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ:

15

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chun ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


19 of 98.

19
;0); B(0;2)
2

Gọi ( P1 ) : y  a1 x2  b1 là parabol đi qua 2 điểm A(
 ( P1 ) : y 

8 2
x 2
361

5
Gọi ( P2 ) : y  a 2 x 2  b2 là parabol đi qua 2 điểm A(10;0); B(0; )
2
 ( P2 ) : y 

1 2 5
x 
40
2

Khi đó thể tích khối bê tơng là:

19
10

2
8 2
 1 2 5

V  5  2   ( x  )dx   (
x  2)dx   40m3
40
2
361
0
 0


Chọn đáp án C
Nhận xét:
- Bài toán giúp chúng ta giải quyết được việc tính tốn khối lượng bê tơng
cần đổ, từ đó ta có thể tính được chi phí cần để mua bê tơng chính xác .
- Qua ví dụ trên giúp học sinh phát triển các năng lực như : Năng lực chuyển
đổi thơng tin tốn học từ tình huống thực tế, năng lực chuyển đổi từ tình huống
thực tiễn vào tốn học, năng lực thiết lập và mơ hình tốn học của thực tiễn.
Ví dụ 2: (Trƣờng phơ thơng chuyên - Hà Tĩnh 2020) Một cái thùng đựng dầu có
thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đƣờng elip có trục lớn bằng 1m , trục
bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m . Đƣơc đặt sao cho trục bé
nằm theo phƣơng thẳng đứng (nhƣ hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong
thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m . Hỏi trong thùng cịn có bao nhiêu
lít dầu.

A. 1520 .lít

B. 1310 .lít
C. 1270 .lít
Phân tích bài tốn:

- Dựa vào giả thiết viết đƣợc phƣơng trình của Elíp.

D. 1190 .lít

x2 y 2

1
a 2 b2

- Tính diện tích của hình phẳng giới hạn Elíp và đƣờng thẳng
- Tính thể tích của dầu trong thùng.
16

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chun ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


20 of 98.

Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ.
y

B
M

N
x
A

A'
B'

Theo đề bài ta có phƣơng trình của Elip là

x2 y 2

1.
1
4
4 25

Gọi M , N lần lƣợt là giao điểm của dầu với elip.
1 2
2 5

Gọi S1 là diện tích của Elip ta có S1   ab   . 


5

.

Gọi S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đƣờng thẳng MN .(phần tô
đậm)

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu)
1
5

là 0,6m nên ta có phƣơng trình của đƣờng thẳng MN là y  .
Mặt khác từ phƣơng trình

Do đƣờng thẳng y 
và

x2 y 2
4 1

 1 ta có y 
 x2 .
1
4
5 4
4 25

1
3
cắt Elip tại hai điểm M , N có hồnh độ lần lƣợt là 
5
4

3
nên
4
3

4

3
4

4 1 2 1
4
1 2
3
 x   dx  
 x dx 
.

5 4
5
5 3 4
10
3




S2 


4

4

3

4



Tính I 


3
4

1 2
1
1
 x dx . Đặt x  sin t  dx  cos tdt .
2
2
4

Đổi cận: Khi x 

 3
3


thì t   ; Khi x 
thì t  .
3
3
4
4

17

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123