Hh7 cđ14 2 su dong quy cua ba duong trung truc duong cao

Dạng3. Vậndụngtínhchấtba đườngcaotrongtamgiácđểgiảiquyếtcácbàitốnkhác
I. Phươngphápgiải:
Dựavàođịnhlí,tínhchấtvềsựđồng quycủabađườngcao trongtamgiác.
II. Bàitốn.
Bài1.Cho

AB
C

đều.Bađườngcao

AM,BN,CPc ắ t nhautại O .Chứngminhrằng:

a) OAOBOC.
b) Ol à trọngtâmcủa
c) AM BN CP

ABC

Lờigiải:

Bài 2.Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai
gócnhọn)bằngnhauthìtamgiácđólàtamgiáccân.
Lờigiải

1


Bài 3.Chứng minh rằng một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam
giácđều.
Lờigiải

Bài4.Cho

AB
C

vngtại A ,kẻđườngcao A H v à trungtuyến AM. Chứngminhtrựctâm

của ABC,MAB vàMAC thẳnghàng.
Lờigiải


Bài 5.Cho tamgiácA B C vuông tạiA . Đường cao

AH.L ấ y I làtrungđiểmcủa

AC.

a) Chứng minhI là giaođiểm của 3đường trung trực  AHC

b) GọiK vàD l ầ n lượt làtrung điểm củaA H và

HC.Chứngminh KD//AC.

c) Chứngm i n h BK AD .
Lờigiải

Bài6.ChotamA B C cântại

I(D AC,EAB).Tia

A,haiđườngcaoB D v à C E cắtnhautại

AIcắtB C tạiM .C h ứ n g minh

a) Ml à trungđiểmcủa

BC.

b) Tamgiác M E D làtam giác
Lời giải

cân.


Bài 7.ChotamgiácA B C c â n tạiA ,đ ư ờ n g trungtuyếnA M v à đườngphângiácB D c ắ t nhau
tại K.G ọ i E làgiaođiểmcủaC K và
AB.Chứngminh BDCE.
Lờigiải

Bài8.Chotamgiác

ABC.H a i đườngcao

AH,BKcắt nhau tại I .

a) ChứngminhrằngCI AB.

b) Khi
4

ACH
BIH,HIK.
50,h ã

y tính
cácgó
c

5


Lờigiải

Bài9.ChotamgiácA B C cân tạiA .Haiđườngcaoxuấtpháttừ đỉnhB vàđỉnhC c ắ t nhautại
M.B i ế t

góc

BMC 120,t í n h cácgóccủatamgiác ABC.

Lờigiải
Bài10.ChotamgiácA B C cântại

A,Mlàtrungđiểmcủa

cácđườngvnggóc kẻtừM đ ế n A B và

B,C.G ọi H v à K l ầ n lượtlàchân

AC.C h ứ n g minh MHMK.

Lờigiải


PhầnIII.BÀI TẬPTỰLUYỆN
BAĐƯỜNGTRUNGTRỰC
Dạng1. Xácđịnhtâm đườngtròn ngoại tiếptam giác
Bài1.ChoABCc â n tạiA ,đườngtrungtuyếnA M . ĐườngtrungtrựccủaA B cắt A M ở O
.ChứngminhrằngđiểmO c á c h đềubađỉnhcủa ABC
Bài2.Cho A B C cân tạiA,O l à giaođiểm của ba đườngtrungtrực. LấyđiểmD t r ê n cạnh
AB,điểmE trêncạnhs a o choA D CE.Chứngminhrằng
a) OAOBOC.
b) ĐiểmO n ằ m t r ê n đườngtrungtrực củaD E .
Bài 3.Nhà bạn Nam có một mảnh vườn nhỏ trồng hoa và cỏ nhật. Bố của bạn Nam nhờ
Namchọn vị trí để đặt vịi xoay phun tưới cây tự động sao cho vị trí đó cách đều ba khóm hoa
ở bagóc vườn nhưng Nam lại chưa biết tìm như thế nào. Các em hãy giúp bạn Nam giải quyết
vấnđềnàynhé.
Bài4.ƠngHùngcóbacửahàngA ,B,Ck h ơ n g nằmtrênmộtđườngthẳngvàđangmuốntìm
địađiểm O đểlàmkhohàng.Phảichọnvịtrícủakhohàng ởđâuđểkhoảngcáchtừkhođếncáccửa
hàng bằngnhau?
Dạng2.Chứngminhbađườngthẳngđồngquy,ba điểm thẳnghàng
Bài5.Chotamgiác A B C c â n A,đ ư ờ n g phângiá AK. Cácđườngtrungtrựccủa A B v à
ở
c
ACcắt nhau tại O .
a) Chứngminh rằng bađiểmA ,K ,O t h ẳ n g h à n g .
b) KéodàiC O c ắ t A B ở

D,k é o dàiB O c ắ t A C ở E.C h ứ n g minh rằngA K v à cácđường

trungtrựccủaA D v à A E đ ồ n g quy.
Bài6.

Cho xOy90 vàđiểm P n ằ m tronggócđó.Trênmặtphẳngđólấyđiểm A s a o cho

Oxlàđườngtrungtrực củađoạn thẳng PAvà điểm Bs a o cho O y là đườngtrung trực củađoạnth

ẳngP B .
a) ChứngminhbađiểmO ,A,Bt h ẳ n g hàng.
b) ChứngminhO l à giaođiểmcủabađườngtrungtrựccủa

AB
P

từđósuyra

AB
P

vng.

Bài7.Chotamgiác M N P cânở M , đườngcao M H . Cácđườngtrungtrựccủa M N v à M P
cắtnhauởD . Chứngminh bađiểmM ,D,Hthẳng hàng.
Bài8.Chotamgiác ABCcân có Alà góctù.Gọi M l à trungđiểmcủa B C .N n ằ m trongtamgiá
cABCsaochotamgiácB N C c â n tại N . ChứngminhđườngthẳngA M v à cácđường
trungtrực củaN B ,NCđồngquy.
Dạng3 . V ậ n d ụ n g t í n h c h ấ t b a đ ư ờ n g t r u n g t r ự c t r o n g t a m g i á c đ ể g i ả i q u y ế t c á c b à
i toánkhác

Bài9.Cho

ABCcó Aˆ 110.CácđườngtrungtrựccủacạnhABvàAClầnlượtcắtBCở

EvàF .TínhE A F .

Bài10.Cho AB
C

cântại A ,

A900.C ác đ ư ờ n g t r u n g t r ự c c ủ a A B v à c ủ a A C c ắ t n h a u

t ạ i

Ov à cắtB C t ạ i D v à E .Chứngmi

nhrằng:
a) OAl à đườngtrungtrựccủaB C .
b) BDCE.
c) ODEl à tamgiáccân.
Bài11.

ChoM l à giaođiểm3đườngtrungtrựccủatamgiác A B C .Chứngminhrằngnếu
Mn ằ m trênmộtcạnhcủatamgiácA B C t h ì A B C làmộttamgiácvuông.

Bài12.C h o

AII BC.Trênđoạnthẳng ICl ấ y điểm H ,từ H k ẻ

ABC,đườngphângiác

đườngthẳng songsongvớiA I cắtA B k é o dàitạiE v à cắtA C t ạ i F . Chứngminhrằng:
a) ĐườngtrungtrựccủađoạnthẳngE F đ i quađỉnhA c ủ a

ABC.

b) ĐườngtrungtrựccủađoạnthẳngE F vnggócvớiA I .
c) KhiH diđộngtrêntiaI C c ủ a định.
Bài1 3 .

Cho AB
C

AB
C

cốđịnhthìđường trungtrựccủađoạnthẳngE F c ố

cób a g ó c n h ọ n . C á c đ i F,K,Ilầnl ư ợ t
ểm
c á c c ạ n h

là

trungđiểm

BC,BA,AC.G ọ i H l à g i a o đ i ể m c á c đ ư ờ n g t r u n g t r ự c  ABC.T r ê n t i a đ ố i c ủ a t ỉ a F H l ấ y

điểm A1saocho

A1F FH.Trêntiađốicủatia K H l ấ y điểm C 1

đốicủatiaI H l ấ y điểm

B1saocho

saocho KH KC1.Trêntia

IHIB 1.

a) Chứngminhrằnghìnhlụcgiácmột AC BA CB 6cạnhbằngnhauvà2trong6cạnhđóđơi
1
1
1có
songsong.
b) Chứngminhrằng: AB =A1B1C1
C

BAĐƯỜNGCAO

Dạng1. Xácđịnhtrựctâm củamộttamgiác
Bài14.Cho

ABC,cácđườngcao

AK,BN,CM.ĐiểmH l à trựctâmcủatamgiác.Tìmtrực

tâmcủa BHC, AHC, AHB.
Bài 15.Cho tam giácABC, hai đường caoBDvàCE. GọiMlà trung điểm
củaminhM t h u ộ c t r u n g trựccủaD E .

BC.Chứng

Bài16.ĐoạnthẳngA B v à đ i ể m M n ằ m giữaA v à B (MAMB). Vẽ tiaMx vuôngABl ấ y
haiđiểmC vàD s a o cho
MAMC,MDMB.T i a A C vuông cắtB D t ạ i E . Chứng minh
1. AEBD


2. Clàtrựctâm củatamgiác ABD.
Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng
vnggóc,bađườngthẳngđồngquy
Bài
17.Cho
tam
giácL M N n h ọ n
và
đ i ể m S nằm
trong
tam
giác.
GọiL S c ắ t MNt ạ i P ,M S cắtLNtạiQ. Chứng minh rằng nếuLPvng góc vớiMNvàMQvng
góc vớiLNthìNSvnggócvớiM L .
Bài18.Cho MN
NK MP

P

Bài19.Cho

cân tạiM , đườngcaoP Q c ắ t đườngphângiácM S ởK .Chứngminh
vuôngtạiA , kẻđường caoA H . Lấy điểmK thuộc đoạn thẳng H C .Qua

ABC

KkẻđườngthẳngsongsongvớiA B ,cắtA H tại D .ChứngminhA K  CD.

Bài20.Cho

MN
P

vuôngtại MMPMN.Trên cạnhM N l ấ y điểmQ s a o choM Q MP,

trêntiađốicủa tiaM P lấyđiểmR s a o choM R MN.Chứngminh:
a) PQNR.
b) RQNP.
Dạng3. Vậndụngtínhchấtba đườngcaotrongtamgiácđểgiảiquyếtcácbàitốnkhác
Bài21.C h o

MNPcóbagócnhọn,cácđườngcao

NQ,PRc ắ t nhau tạiS.

a) ChứngminhM S  NP.
b) ChoM N P 650.TínhS M R .
Bài22.Cho

AB
BDBA .
C

vngtạiA, kẻ đườngphân giácB M . TrêncạnhB C l ấ y điểmD saocho

a) ChứngminhB M  AD .


b) GọiHl à hìnhchiếuvnggóccủa D trênA C , K l à hìnhchiếuvnggóccủa A trênD M
.Chứngminhbađườngthẳng
AK,BM,DHđ ồ n g quy.

ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ
LUYỆNBAĐƯỜNGTRUNGT
RỰC
Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giácBài1.

Bài2.


Bài3.

Bài4.

Dạng 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng
hàngBài5.

Bài6.


Bài7.

Bài8.


Dạng3 . V ậ n d ụ n g t í n h c h ấ t b a đ ư ờ n g t r u n g t r ực t r o n g t a m g i á c đ ể g i ả i q u y ế t c á c b à
i toánkhác
Bài9.

Bài10.


Bài11.


Bài12.

Bài13.



BAĐƯỜNGCAO
Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam
giácBài14.


Bài15.

Bài16.

Dạng2.Sửdụngtínhchấttrựctâmcủatamgiácđểchứngminhhaiđườngthẳngvnggóc,bađ
ườngthẳngđồngquy
Bài17.


Bài18.

Bài19.

Bài20.