Ly thuyet va cac dang bai tap mon toan 12 le doan thinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.6 MB, 264 trang )

TRUNG TÂM GDNN-GDTX TP. THUẬN AN
TỔ TỐN

TỐN 12

h GV: DỖN THỊNH
? BÌNH DƯƠNG

. GV: Dỗn Thịnh

MỤC LỤC

MỤC LỤC
PHẦN I

GIẢI TÍCH

3

CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM. KHẢO SÁT HÀM SỐ

5

1

SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

5

2

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

19

3

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

36

4

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

42

5

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

49

CHƯƠNG 2 HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT

73

1

LŨY THỪA

73

2

HÀM SỐ LŨY THỪA

77

3

LOGARIT

83

4

HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT

88

5

PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

97

6

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

106

115

1

NGUYÊN HÀM

115

2

TÍCH PHÂN

129

3

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

144

CHƯƠNG 4 SỐ PHỨC

155

1

SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TỐN TRÊN SỐ PHỨC

155

2

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC

164

1

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Dỗn Thịnh

MỤC LỤC

PHẦN II

HÌNH HỌC

169

CHƯƠNG 1 KHỐI ĐA DIỆN

171

1

KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN

171

2

KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

175

3

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

180

CHƯƠNG 2 MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU

199

1

KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY

199

2

MẶT CẦU

207

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

215

1

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

215

2

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

228

3

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

240

2

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Dỗn Thịnh

PHẦN

I
GIẢI TÍCH

3

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

CHƯƠNG

BÀI

1.

1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM. KHẢO SÁT
HÀM SỐ

SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1

ĐỊNH NGHĨA

Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f ( x) xác định trên
K , ta có
Hàm số y = f ( x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K , x1 < x2
thì f ( x1 ) < f ( x2 ).
Hàm số y = f ( x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K , x1 < x2
thì f ( x1 ) > f ( x2 ).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K .
Nhận xét.
Hàm số f ( x) đồng biến trên K khi và chỉ khi
y

f ( x2 ) − f ( x1 )
> 0, ∀ x1 , x2 ∈ K, x1 6= x2 .
x2 − x1

O
x

Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
Hàm số f ( x) nghịch biến trên K khi và chỉ khi
y

f ( x2 ) − f ( x1 )

< 0, ∀ x1 , x2 ∈ K, x1 6= x2 .
x2 − x1
x

O
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Nếu f 0 ( x) > 0, ∀ x ∈ (a; b) thì hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b).
Nếu f 0 ( x) < 0, ∀ x ∈ (a; b) thì hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (a; b).
Nếu f 0 ( x) = 0, ∀ x ∈ (a; b) thì hàm số f ( x) khơng đổi trên khoảng (a; b).
Nếu hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì f 0 ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b).
Nếu hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thì f 0 ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b).
Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung
thêm giả thiết “hàm số f ( x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

2

QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

Cho u = u( x), v = v( x) và C là hằng số.
1 Tổng, hiệu: ( u ± v)0 = u0 ± v0 .
2 Tích: ( uv)0 = u0 v + v0 u ⇒ (C · u)0 = C Ã uà0 . ả
u 0 u0 Ã v − v0 · u
C 0
C · u0
3 Thương:
=
,
(
v
=

6
0)
⇒
=
−
.
2
2

v
u
v
u
4 Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f ( u) với u = u( x) thì yx0 = yu0 · u0x .

5

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CA HM S

3

CễNG THC TNH O HM HM PHN THC
à
ả
ax + b

ax + b 0 ad − bc
0
=
⇒y =
.
1 y=
cx + d
cx + d
( cx + d )2

¯
¯
¯
¯
¯
¯a b¯
¯a
¯
¯b
c
¯
¯ 2
¯
¯
¯
x
+
2
x
+

¯
¯
¯
¯
¯ 0
à
ả0 0
0
0
0
2
2

b
a
b
a
c
ax
+
bx
+
c
ax + bx + c
0
2 y= 0 2

y
=
=

Â
Ă
2
a x + b0 x + c0
a0 x2 + b 0 x + c 0
a0 x2 + b 0 x + c 0

4

.

BẢNG CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM

0

Hàm sơ cấp
(C là hằng số)

Hàm hợp

( C ) = 0,
( xα )0 = Ã x1
à ả0
1
1
= 2 , ( x 6= 0)
x
x
p 0
1

( x) = p , ( x > 0)
2 x
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
1
(tan x)0 =
cos2 x
1
(cot x)0 = − 2
sin x

B

¯
c¯¯
¯
c0 ¯

( uα )0 = Ã u1 Ã u0
à ả0
u0
1
= 2 , ( u 6= 0)
u
u
p 0
u0
( u) = p , ( u > 0)
2 u
(sin u)0 = u0 · cos u

(cos u)0 = − u0 · sin u
u0
(tan u)0 =
cos2 0u
u
(cot u)0 = − 2
sin u

CÁC DẠNG TOÁN

{ Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi biểu thức
Xét tính đơn điệu của hàm số y = f ( x) trên tập xác định
Bước 1: Tìm tập xác định D.
Bước 2: Tính đạo hàm y0 = f 0 ( x).
Bước 3: Tìm nghiệm của f 0 ( x) hoặc những giá trị x làm cho f 0 ( x) không xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Bước 5: Kết luận.
` Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 − 3 x2 + 5.
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

6

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1
3

` Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 + 3 x + 1.
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
1
3

` Ví dụ 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 + 3 x2 + 9 x − 1.
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
` Ví dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 − 2 x2 .
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

................................................................................................
` Ví dụ 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 + 4 x2 .
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

7

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

` Ví dụ 6. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =

3x + 1
.
1− x

Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

` Ví dụ 7. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số: y =

− x2 + 2 x − 1
.
x+2

Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

p

` Ví dụ 8. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 2 x − x2 .

Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

8

- Sưu tầm và biên soạn

1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

. GV: Dỗn Thịnh

{ Dạng 2. Tìm tham số m để hàm bậc ba, hàm nhất biến đơn điệu trên tập xác định
hoặc từng khoảng xác định
1 Hàm nhất biến có dạng y =

ax + b
d
, điều kiện x 6= − .
cx + d
c

Đồng biến ad − bc > 0.
Nghịch biến ad − bc < 0.
2 Hàm bậc ba có dạng
y = ax3 + bx2 + cx + d .
(
Đồng biến
Nghịch biến

a>0

b2 − 3ac ≤ 0
(
a<0

.
.

b2 − 3ac ≤ 0
Suy biến tức là a = b = 0 hàm số trở thành hàm bậc nhất, dễ thấy hàm số đồng
biến nếu c > 0 và hàm số nghịch biến nếu c < 0.

` Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y =

mx − 1
đồng biến trên (−∞; 1) và (1; +∞).
x−1

Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

¢ x3

` Ví dụ 2. Cho hàm số y = m2 − 1
¡

3

− ( m + 1) x2 + 3 x + 5. Tất cả các giá trị của m để hàm

số đồng biến trên tập xác định.

Lời giải:

Bước 3: Thực hiện yêu cầu bài toán:

ad − bc > 0
Hàm số đồng biến trên khoảng (m; n) ⇔
.
 − d ∉ ( m; n)
c

ad − bc < 0
Hàm số nghịch trên khoảng (m; n) ⇔
.
 − d ∉ ( m; n)
c

` Ví dụ 1. Cho hàm số y =

x−1
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0).
x−m

Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

` Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
trên khoảng (0; +∞)?

x+2
nghịch biến
x−m

Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

10

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

{ Dạng 4. Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) đơn điệu trên khoảng (a; b)
Phương pháp 1 : Khi f 0 ( x) = 0 nhẩm được nghiệm.
Bước 1: Tính f 0 ( x).
"
Bước 2: Giải f 0 ( x) = 0 ⇔

x = x1
x = x2

.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên suy ra điều kiện để hàm số đơn điệu
trên (a; b).
Phương pháp 2 : Khi f 0 ( x) = 0 khơng nhẩm được nghiệm.
Bước 1: Tính f 0 ( x).
Bước 2: Cô lập m, đưa về một trong các dạng sau:
m ≥ g( x), ∀ x ∈ K ⇔ m ≥ max g( x).
K

m ≤ g( x), ∀ x ∈ K ⇔ m ≤ max g( x).
K

` Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 − 3 x2 − mx + 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(0; +∞).
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
1
3

` Ví dụ 2. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = x3 −
¡
¢
( m + 1) x2 + m2 + 2 m x − 3 nghịch biến trên khoảng (−1; 1).

1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
x+2
nghịch biến trên các khoảng
x−1
A. (−∞; 1) ; (1; +∞).
B. (1; +∞).
C. (−1; +∞).

t Câu 3. Hàm số y =

D. R\ {1}.

t Câu 4. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 2 x3 − 3 x2 − 3 là
A. (−∞; 0) ; (1; +∞).
B. (0; 1).
C. [−1; 1].

D. R\ {0; 1}.

t Câu 5. Các khoảng đồng biến của hàm số y = − x3 + 3 x2 + 1 là
A. (−∞; 0) ; (2; +∞).
B. (0; 2).
C. [0; 2].

D. R.

t Câu 6. Hàm số y = x4 − 2 x2 + 3 nghịch biến trên khoảng nào?
A. (−∞; −1).
B. (−1; 0).
C. (1; +∞).

D. R.

t Câu 7. Hỏi hàm số y =
A. (5; +∞).

x3
− 3 x2 + 5 x − 2 nghịch biến trên khoảng nào?
3
B. (2; 3).
C. (−∞; 1).
D. (1; 5).
3
5

t Câu 8. Hỏi hàm số y = x5 − 3 x4 + 4 x3 − 2 đồng biến trên khoảng nào?
A. (−∞; 0).

B. R.

C. (0; 2).

D. (2; +∞).

t Câu 9. Cho hàm số y = x3 + 3 x2 − 9 x + 15. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 1). B. Hàm số đồng biến trên R.
C. Hàm số đồng biến trên (−9; −5).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (5; +∞).
x+1
. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

1− x
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) ∪ (1; +∞).
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) ∪ (1; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

t Câu 10. Cho hàm số y =
A.
B.
C.
D.

t Câu 11. Cho hàm số y = − x3 + 3 x2 − 3 x + 2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên R.
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
D. Hàm số luôn đồng biến trên R.
p

t Câu 12. Cho hàm số y = x + 3 + 2 2 − x. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2)và đồng biến trên khoảng (−2; 2).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2)và nghịch biến trên khoảng (−2; 2).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; 2).
x2 − 3 x + 5
nghịch biến trên các khoảng nào?
x+1
A. (−∞; −4) và (2; +∞).
B. (−4; 2).
C. (−∞; −1) và (−1; +∞).

D. (−4; −1) và (−1; 2).
p
t Câu 14. Cho hàm số y = 2 x2 + 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

t Câu 13. Hỏi hàm số y =

t Câu 15. Cho hàm số f ( x) = − x4 + 2 x2 + 2020. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (0; 1).
B. Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (−1; 0).
C. Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (0; 1).
D. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1).
12

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
x+2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x−1
f ( x) nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) ∪ (1; +∞).
f ( x) nghịch biến trên khoảng R \ {1}.
f ( x) nghịch biến trên khoảng (−∞; 1),(1; +∞).
f ( x) nghịch biến với x 6= 1.

t Câu 16. Cho hàm số f ( x) =
A.
B.
C.
D.

Hàm số
Hàm số
Hàm số
Hàm số

t Câu 17. Cho hàm số y = x4 − 2 x2 + 4. Trong các phát biểu sau, đâu là phát biểu sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0) và (1; +∞).
B. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và [0; 1].
C. Hàm số đồng biến trên [−1; 0] và [1; +∞).
D. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) ∪ (0; 1).
t Câu 18. Hàm số y =
A. (−∞; 0).

2
3 x2 + 1

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

B. (−∞; +∞).

C. (0; +∞).

D. (−1; 1).

t Câu 19. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm là f 0 ( x) = x3 · ( x − 1)2 · ( x + 2). Hàm số y = f ( x) đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (−∞; −2) và (0; +∞).
B. (−2; 0).
C. (−∞; −2) và (0; 1).
D. (−2; 0) và (1; +∞).
t Câu 20. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có f 0 ( x) = ( x + 1)2 · ( x − 1)3 · (2 − x). Hàm số
y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; 2).
B. (−∞; −1).
C. (−1; 1).
D. (2; +∞).
t Câu 21. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ
x

−∞

0

−1

0

−

f ( x)

+

0

0

+∞

1
−

+

0

Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (0; 1).
B. (−1; 0).
C. (−∞; −1).

D. (−1; +∞).

t Câu 22. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
x

−∞

0

−1

f 0 ( x)

+

−

0
2

+∞

1
+

0

−

0
2

f ( x)
1

−∞

−∞

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; +∞).
B. (−1; 0).
C. (−1; 1).

D. (0; 1).

t Câu 23. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:
x

−∞

0

−

y

+∞

3

−2
+

0

+∞

0

−

4

y
1

−∞

Hàm số đồng biến trên khoảng?
A. (−2; +∞).
B. (−2; 3).

C. (3; +∞).
13

D. (−∞; −2).
- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
t Câu 24. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:
x

−2

0

f ( x)

−1

+

3

1
−

0
1

+

5

f ( x)
0

−2

Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; −1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1).

t Câu 25. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:
x

−∞

0

f ( x)

+∞

2
+

+
+∞

1

f ( x)
1

−∞

Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên R \ {2}.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 2).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
t Câu 26. Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x
0

f ( x)

−∞

0

−1
+

0

−

−

Mệnh đề nào đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; −1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1).

+∞

2
+

0

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1).

t Câu 27.
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho

đồng biến trên khoảng nào?
A. (0; 1).
B. (−∞; 1).
C. (−1; 1).
D. (−1; 0).

y
2

−1

1

O

2
3

x

−2

t Câu 28. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên R \ {−1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có
bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
14

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

x

−∞

−1

y0

+∞

1

−

−

+

0

+∞

+∞

+∞

y

2

−∞

A.
B.
C.
D.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞).
Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞).
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1).

t Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

−∞

y0

−

+∞

0

−2
+

0

−

0

Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (−2; 0).
B. (−3; 1).
C. (0; +∞).

D. (−∞; −2).

t Câu 30. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
x

−∞

y0

0

−1
+

+

0

+∞

+∞

1
−

−
+∞

0

y
1

−∞

1

−∞

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (−∞; 0).
B. (−1; 1).
C. (−1; 0).

D. (1; +∞).

t Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau
x

−∞

y0

−3
+

+∞

−2
+

0

0

−

5

y
−∞

−∞

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −5) và (−3; −2).
ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 5).
iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−2; +∞).
iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; −2).

A. 1.
B. 2.
C. 3.

D. 4.

t Câu 32. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f 0 ( x) = 2 x2 + 4 − cos x, ∀ x ∈ R. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0).
15

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞).
t Câu 33. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm là f 0 ( x) = ( x − 2)( x + 5)( x + 1). Hàm số f ( x) đồng biến trên
khoảng nào dưới đây?
A. (2; +∞).
B. (−2; 0).
C. (0; 1).
D. (−6; −1).
t Câu 34. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm là f 0 ( x) = x3 ( x − 1)2 ( x + 2). Khoảng nghịch biến của hàm
số là
A. (−∞; −2); (0; 1).

B. (−2; 0); (1; +∞).
C. (−∞; −2); (0; +∞). D. (−2; 0).
1
3

t Câu 35. Với giá trị nào của m thì hàm số y = − x3 + 2 x2 − mx + 2 nghịch biến trên tập xác
định của nó?
A. m ≥ 4.

B. m ≤ 4.

C. m > 4.

D. m < 4.

mx + 4
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định là
x+m
A. −2 < m < 2.
B. −2 < m ≤ −1.
C. −2 ≤ m ≤ 2.
D. −2 ≤ m ≤ 1.
m
t Câu 37. Cho hàm số f ( x) = x + 2 +
, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của
x−1
tham số m sao cho hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
A. m < 1.
B. m ≤ 0.
C. m ≥ 1.

D. m ≥ 0.
x−m+2
t Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =
giảm trên
x+1

t Câu 36. Giá trị của m để hàm số y =

các khoảng mà nó xác định?
A. m < −3.
B. m ≤ −3.

C. m ≤ 1.

D. m < 1.
1
3

t Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = − x3 − mx2 + (2m −
3) x − m + 2 luôn nghịch biến trên R?
A. −3 ≤ m ≤ 1.
B. m ≤ 1.

C. −3 < m < 1.

D. m ≤ −3; m ≥ 1.

t Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 2 x3 − 3(m + 2) x2 + 6( m +
1) x − 3 m + 5 luôn đồng biến trên R?
A. 0.

B. –1 .
C. 2.
D. 1.
t Câu 41. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số y =
biến trên R?
A. m = −5.

B. m = 0.

C. m = −1.

t Câu 42. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y =
các khoảng xác định của nó?
A. m = −1.
B. m = −2.

C. m = 0.

x3
+ mx2 − mx − m luôn đồng
3

D. m = −6.
( m + 3) x − 2
ln nghịch biến trên
x+m

D. Khơng có m.

t Câu 43. Hàm số y = − x3 + mx2 m ng bin trờn à(1; 2)ảthỡ m thuc tp no

à sau õy?
ả
A. [3; +).

B. (; 3).

C.

3
;3 .
2

D. ;

3
.
2

t Cõu 44. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 3 x2 + (4 − m) x đồng
biến trên khoảng (2; +∞) là
A. (−∞; 1].
B. (−∞; 4].
C. (−∞; 1).
D. (−∞; 4).
t Câu 45. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =
khoảng (−∞; −7) là
A. [4; 7).

B. (4; 7].

C. (4; 7).
16

x+4
đồng biến trên
x+m

D. (4; +∞).
- Sưu tầm và biên soạn

1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

. GV: Doãn Thịnh

t Câu 46. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

x+2
. đồng biến trên
x+m

khoảng (−∞; −5)
A. (2; 5].

B. [2; 5).

C. (2; +∞).

D. (2; 5).

mx + 4
nghịch biến trên (−∞; 1) là
x+m
B. −2 < m ≤ −1.
C. −2 ≤ m ≤ 2.
D. −2 ≤ m ≤ 1.

t Câu 47. Giá trị của m để hàm số y =
A. −2 < m < 2.

t Câu 48. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của f 0 ( x) như sau:
x

−∞

−3

f 0 ( x)

−

0

−1
+

+∞

1
−

0

0

Hàm số y = f (5 − 2 x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2; 3) .
B. (0; 2).
C. (3; 5).

+

D. (5; +∞).

t Câu 49. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của f 0 ( x) như sau:
x

−∞

−3

f 0 ( x)

−

0

−1
+

+∞

1
−

0

0

Hàm số y = f (3 − 2 x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (4; +∞) .
B. (−2; 1).
C. (2; 4).

+

D. (1; 2).

t Câu 50.
Cho hàm số y = f ( x). Hàm số y = f 0 ( x) có đồ thị như hình bên.
Hàm số y = f (2 − x) đồng biến trên khoảng
A. (2; +∞).
B. (−2; 1).
C. (−∞; −2). D. (1; 3).

t Câu 51. Cho hàm số f 0 ( x) có bảng xét dấu như sau:
x

−∞

f 0 ( x)

−2
−

0

+

0

+

0

Hàm số y = f x2 + 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (−2; 1).
B. (−4; −3).
C. (0; 1).
¡

+∞

3

1

−

¢

D. (−2; −1).

t Câu 52.
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f¡0 ( x) trên
¢ R. Hình vẽ bên là đồ thị của
0
2
hàm số y = f ( x). Hàm số g( x) = f x − x nghịch biến trờn khong no
trong cỏc
à khong
ả di õy?
à
ả
à
ả
à
ả
3
2

A. ; + .

B. −∞;

3
.
2

C.

1
; +∞ .
2

17

D. −∞;

1
.
2

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
t Câu 53.
Cho
số y = f 0 ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y =
¢
¡ hàm
f 2 − x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây
A. (−∞; 0).
B. (0; 1).
C. (1; 2).
D. (0; +∞).

t Câu 54.
Cho hàm số f ( x). Hàm số y = f 0 ( x) có đồ thị như hình bên.
Hàm số g( x) = f (1 − 2 x) + x2 x nghch bin trờn khong
no di
ả ?
à
ả
à đây
A. 1;

3
.
2

B. 0;

1
.
2

C. (−2; −1).

D. (2; 3).

t Câu 55. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
x
f 0 ( x)

−∞

0
+

0

1
−

0

−

0

+∞

3

2
+

0

−

Hàm số y = f ( x − 1) + x3 − 12 x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; +∞).
B. (1; 2).
C. (−∞; 1).
D. (3; 4).

18

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI

2.

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1

ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là −∞; b là +∞) và
điểm x0 ∈ (a; b).
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x) < f ( x0 ) với mọi x ∈ ( x0 − h; x0 + h) và x 6= x0 thì ta nói
hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại x0 .
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x) > f ( x0 ) với mọi x ∈ ( x0 − h; x0 + h) và x 6= x0 thì ta nói
hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại x0 .

!

2

Chú ý:
Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại
(điểm cực tiểu) của hàm số.
f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f CĐ ( f CT ).
Điểm M ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá
trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm
số.

MINH HỌA ĐỒ THỊ
y

Điểm cực
đại của đồ
thị

Giá trị cực
đại (cực đại)
của hàm số
yCĐ

Điểm cực
đại của
hàm số

Điểm cực
tiểu của
hàm số

xCT
xCĐ

x

O

yCT

Giá trị cực
tiểu (cực tiểu)
của hàm số

Điểm cực
tiểu của đồ
thị

19

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

3

ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ

Định lí: Giả sử hàm số y = f ( x) đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu hàm số y = f ( x) có đạo
hàm tại x0 thì f 0 ( x0 ) = 0.

!

4

Chú ý:
Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x0 ) của hàm số y = f ( x) nói chung khơng phải là giá
trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số y = f ( x) trên tập xác định của nó.
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng
0 hoặc hàm số khơng có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng 0 tại điểm x0
nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm x0 .

QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính f 0 ( x). Tìm các điểm tại đó f 0 ( x) bằng 0 hoặc f 0 ( x) không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính f 0 ( x). Giải phương trình f 0 ( x) = 0 và ký hiệu x i ( i = 1,2,3,...) là các nghiệm của
nó.
Bước 3: Tính f 00 ( x) và f 00 ( x i ) .

Bước 4: Dựa vào dấu của f 00 ( x i ) suy ra tính chất cực trị của điểm x i .
Nếu f " ( x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
Nếu f " ( x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

B

CÁC DẠNG TỐN

{ Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số cho bởi biểu thức
Dựa vào các quy tắc và bảng biến thiên để tìm cực đại, cực tiểu.
` Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = x3 − 3 x2 − 9 x + 1.
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

20

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Dỗn Thịnh

2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1
3

` Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x3 − 2 x2 + 4 x − 5.
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
1
2

` Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y = x4 − 2 x2 − 3.
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
` Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số y = x4 + 4 x2 + 1.
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

` Ví dụ 5. Tìm cực trị của hàm số y =

2x − 1
.
x+1

Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

21

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Dỗn Thịnh

2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

` Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số y =

x2 − x + 2
.
x−2

Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
{ Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số biết bảng biến thiên hoặc đồ thị

Phương pháp giải: Dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số nhận biết việc đổi dấu
của đạo hàm f 0 ( x) để kết luận
Nếu f 0 ( x) đối dấu từ âm sang dương khi qua điểm x0 thì x0 là điểm cực tiểu của
hàm số.
Nếu f 0 ( x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x0 thì x0 là điểm cực đại của hàm
số.
` Ví dụ 1.
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ sau. Xác định số
điểm cực trị của hàm số.

y
2
2
1

O

x

3
4

−2

Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
` Ví dụ 2.
Cho hàm số y = f ( x) có bảng
biến thiên như hình vẽ bên.

Xác định số điểm cực tiểu
của hàm số y = f ( x).

x

−∞

f 0 ( x)

−3
−

0

+∞

0
+

0

+∞

3
−

0

+
+∞

5

f ( x)
1

1

Lời giải:
................................................................................................
22

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

................................................................................................
{ Dạng 3. Tìm m để hàm số y = f ( x) đạt cực trị tại điểm x0
Bước 1: Giải phương trình f 0 ( x0 ) = 0 tìm m.
Bước
2:
Thay
m
vào
biểu
" 00
f ( x0 ) > 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x0

.
f 00 ( x0 ) < 0 ⇒ Hàm số đạt cực đại tại x0

thức

f 00 ( x0 )

kiểm

tra:

` Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x) = x3 − 3mx2 + (m − 1) x + 2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
x = 2.
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
` Ví dụ 2. Xác định m để hàm số y = − x4 − mx2 − 2m2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1.
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
{ Dạng 4. Tìm m để hàm số có n cực trị
Hàm số có n cực trị ⇔ y0 = 0 có n nghiệm phân biệt.
Xét hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx +(d .
+ Hàm số có hai điểm cực trị khi

+ Hàm số khơng có cực trị khi

a 6= 0

b2 − 3ac > 0
(
a 6= 0

.

.

b2 − 3ac ≤ 0
Xét hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c.
+ Hàm số có ba cực trị khi ab < 0.
+ Hàm số có 1 cực trị khi ab ≥ 0.

` Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 3 (7 m − 3) x. Gọi S là tập các giá trị nguyên
của tham số m để hàm số khơng có cực trị. Tìm phần tử của S .

23

- Sưu tầm và biên soạn

. GV: Doãn Thịnh

2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Lời giải:

................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
` Ví dụ 2. Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + m. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có
3 cực trị.
Lời giải:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

C

TRẮC NGHIỆM

t Câu 1. Điểm cực tiểu của hàm số y = − x3 + 3 x + 4 là
A. x = −1 .
B. x = 1 .
C. x = −3 .

D. x = 3.

t Câu 2. Hàm số nào sau đây đạt cực đại tại x = 1?
A. y = x5 − 5 x2 + 5 x − 13.
B. y = x4 − 4 x + 3 .
C. y = x +

1
.
x

p

D. y = 2 x − x.

t Câu 3. Hàm số y = x3 − 3 x + 1 đạt cực đại tại x bằng:
A. 2.
B. 1.
C. 0.

D. −1.

t Câu 4. Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số y = − x4 + 2 x2 − 5
A. −4.
B. −5.
C. −2.

D. −6.

1
3

t Câu 5. Hàm số y = x3 − 2 x2 + 4 x − 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

t Câu 6. Đồ thị hàm số y = x3 − 2 x2 + x + 3 cú ta im
cc
à
ả tiu l
A. (3; 1).

B. (−1; −1).

C.

1 85
;
.
3 27

D. (1; 3).

1
3

t Câu 7. Cho hàm số y = − x3 + 4 x2 − 5 x − 17. Gọi hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
là x1 ,x2 . Khi đó, tích số x1 x2 có giá trị là:
A. 5.
B. −5.

C. −4.

D. 4.

t Câu 8. Cho hàm số y = 3 x4 − 4 x3 + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Hàm số khơng có cực trị.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
24

- Sưu tầm và biên soạn

Ly thuyet va cac dang bai tap mon toan 12 le doan thinh

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về