Nam tron chuyen de nguyen ham tich phan va ung dung on thi thpt qg mon toan

NG

5

CHƯ

Ơ Nhật Linh
Phan

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG

Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CƠ BẢN

CHỦ ĐỀ 11
A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa
Cho hàm số f ( x ) xác định trên K . Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên
K nếu F  ( x ) = f ( x ) với mọi x thuộc K .

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) ký hiệu là

 f ( x) = F ( x) + C .

Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên K đều có ngun hàm trên K .

2. Tính chất

  f ( x)  g ( x)dx =  f ( x)dx   g ( x)dx .
 kf ( x)dx = k  f ( x)dx (với k  0 )    k. f ( x) + l.g ( x)dx = k  f ( x)dx + l  g ( x)dx

Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên K thì

(  f ( x)dx ) = f ( x) + C
3. Công thức đổi biến số:

 f [u ( x ) ]u ( x ) dx = F[u ( x ) ] + C

4. Công thức nguyên hàm từng phần:

 udv = uv −  vdu

5. Bảng nguyên hàm và vi phân
Hàm hợp u = u ( x )

Hàm số sơ cấp

 dx = x + C




x +1
x dx =
+ C (  −1)
 +1

dx
= ln x + C ( x  0 )
x


 du = u + C




u +1
u du =
+ C (  −1)
 +1
du
= ln u + C ( u ( x )  0 )
u


Thường gặp
Vi phân


 ( a x + b ) dx =



 cos xdx = sin x + C

 cos udu = sin u + C



 sin xdx = − cos x + C

 sin udu = − cos u + C



1

 cos

2

x

dx = tan x + C

1

 cos

2

u

du = tan u + C

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

1
d ( ax + b ) = dx
a
1 1

(ax + b) +1 + C
a  +1

dx
1
= ln ax + b + C ( a  0 )
ax + b a
1
cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C
a
1
sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C
a

 cos

dx
1
= tan ( ax + b ) + C
ax + b ) a

2(

CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
1
1
du = − cot u + C
d
x
=
−
cot
x
+
C
sin 2 u
sin 2 x
Với u ( x )  k
Với x  k









eu du = eu + C



au du =

e x dx = e x + C



a x dx =

ax
+ C ( 0  a  1)
ln a

 sin
e

au
+ C ( 0  a  1)
ln a

ax + b

a

dx
−1
= cot ( ax + b ) + C
ax + b ) a

2(

dx =

px + q

1 ax +b
e
+C
a

dx =

1
a px + q + C ( 0  a  1)
p.ln a

6. Một số nguyên tắc tính nguyên hàm cơ bản
PP
Tích của đa thức hoặc lũy thừa ⎯⎯→
khai triển.
PP
Tích các hàm mũ ⎯⎯→
khai triển theo công thức mũ.
PP
Bậc chẵn của sin hoặc cos ⎯⎯→
hạ bậc: sin 2 a =

1 1
1 1
− cos 2a ; cos 2 a = + cos 2a
2 2
2 2

PP
Chứa tích các căn thức của x ⎯⎯→
chuyển về lũy thừa.

•

Phương pháp đổi biến số

 f ( x ) dx = F ( x ) + C thì  f u ( x ).u ( x ) dx = F u ( x ) + C
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I =  f ( x ) dx , trong đó ta có thể phân tích hàm số đã cho
Nếu

f ( x ) = g u ( x )  .u ( x ) thì ta thực hiện phép đổi biến đặt t = u ( x )  dt = u ( x ) dx . Khi đó, ta thấy



I = g ( t )dt = G ( t ) + C = G u ( x )  + C .

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u ( x ) .
•

Phương pháp tính ngun hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I =

P ( x)

 Q ( x )dx .

PP
Nếu bậc của tử số P ( x )  bậc của mẫu số Q ( x ) ⎯⎯→

Chia đa thức.
PP
Nếu bậc của tử số P ( x )  bậc của mẫu số Q ( x ) ⎯⎯→
phân tích mẫu Q ( x ) thành tích số, rồi sử

dụng phương pháp chia để đưa về công thức nguyên hàm số.
PP
Nếu mẫu khơng phân tích được thành tích số ⎯⎯→
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng

cách đặt X = a tan t , nếu mẫu đưa được về dạng X 2 + a 2 .
•

Nguyên hàm từng phần
Cho hai hàm số u và v liên tục trên  a; b  và có đạo hàm liên tục trên  a; b  . Khi đó ta có được

 udv = uv −  vdu

(*)





Để tính nguyên hàm udv = uv − vdu bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:
Bước 1: Chọn u , v sao cho f ( x ) dx = udv (Chú ý: dv = v ( x ) dx và), tính v = dv và du = udx .



Bước 2: Thay vào cơng thức (*) và tính vdu .



TÀI LIỆU TỐN 12 THPT | 2


Phan Nhật Linh

Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia



Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu dễ tính hơn

 udv .
Mẹo nhớ: “Nhất lơ, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716


CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
Dạng 1: Nguyên hàm của hàm số cơ bản

B
Câu 1:

VÍ DỤ MINH HỌA
Nếu

 f ( x ) dx = 2 x

3

+ 3x 2 + C thì hàm số f ( x ) bằng:

1 4
x + x 3 + Cx .
2
1
C. f ( x ) = x 4 + x3 .
2

B. f ( x ) = 6 x 2 + 6 x + C .

A. f ( x ) =

D. f ( x ) = 6 x 2 + 6 x .
 Lời giải

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

Câu 2:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.  a x dx = a x ln a + C ( 0  a  1) .
C.


 x dx =

B.  cos xdx = sin x + C .

x +1
+ C ,   −1 .
 +1

D.

 f  ( x ) dx = f ( x ) + C .

 Lời giải
…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

Câu 3:

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f  ( x ) =

2x − 3
, x 
x−2

\ 2 thỏa mãn f (1) = 1 và f ( 3) = 2

. Giá trị của biểu thức f ( 0 ) + 2 f ( 4 ) bằng
A. 3 .

C. 7 + 3ln 2 .

B. 5 .

D. −5 + 7 ln 2 .

 Lời giải
…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4


Phan Nhật Linh

Câu 4:

Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia

Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2 x và F ( 0 ) = 0 . Giá trị của F ( ln 3) bằng
A. 2

B. 6 .

C. 8 .

D. 4 .

 Lời giải
…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

Câu 5:

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f  ( x ) = 12 x 2 + 2, x 

và f (1) = 3 . Biết F ( x ) là

nguyên hàm của f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = 2 , khi đó F (1) bằng
A. −3 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 7 .

 Lời giải
…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716


CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

C

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1

dx = F ( x ) + C . Khẳng định nào dưới đây đúng?
x
−1
−1
A. F  ( x ) =
B. F  ( x ) =
+C .
ln x

ln x
1
1
C. F  ( x ) =
.
D. F  ( x ) = − 2
2
x ln x
ln x

 x ln

Câu 1:

Cho

Câu 2:

Hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng K nếu:

Câu 3:

2

A. F  ( x ) = − f ( x ) , x  K .

B. F  ( x ) = f ( x ) , x  K .

C. f  ( x ) = F ( x ) , x  K .

D. f  ( x ) = − F ( x ) , x  K .

Cho

1

x

2

dx = F ( x ) + C. Khẳng định nào sau đây đúng?

1
A. F ( x ) = − .
x
Câu 4:

B. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 1

B. F ( x ) = 3x 4 .

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

thỏa mãn:

Tính f ( 2023) .
A. 4047 .
Câu 7:

B. 4046 .

D. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 4 

D. F ( x ) =

C. F ( x ) = 4 x 4 .

 f ( x )dx = 2 x

2

+ x + 1 + C , x 

C. 8093 .

B. 625.

1 4
x .
4

,C là hằng số.

D. 8092 .

C. 25.

D. 125.

Tìm nguyên hàm F (t ) =  txdt .

x 2t
+C.
B. F (t ) =
2
(tx) 2
+C .
D. F (t ) =
2

A. F (t ) = x + t + C .

xt 2
+C.
C. F (t ) =
2
Câu 9:

C. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 8 

Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 . Biểu thức F  ( 25 ) bằng
A. 5.

Câu 8:

D. F ( x ) = ln x 2 .

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x3 ?
A. F ( x ) = 3x 2 .

Câu 6:

C. F ( x ) = ln x.

Cho hàm số y = x 3 có một nguyên hàm là F ( x ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 16 

Câu 5:

1
B. F ( x ) = .
x

Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
đề nào dưới đây đúng?
A. F ( −1) = 2 − ln 2 .
B. F ( 2 ) = 2 − 2 ln 2 .

1
thỏa mãn F ( 5 ) = 2 và F ( 0 ) = 1 . Mệnh
x −1

C. F ( 3) = 1 + ln 2 .

D. F ( −3) = 2 .

Câu 10: Cho hàm số f ( x ) = 2 cos  2 ( x +  )  − 3x 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

 f ( x ) dx = 2sin 2 ( x +  ) − x
C.  f ( x ) dx = − sin  2 ( x +  )  − x

A.

3

+C .

3

+C .

 f ( x ) dx = sin 2 x − x + C .
D.  f ( x ) dx = −4sin  2 ( x +  )  − 6 x + C .
B.

3

TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6


Phan Nhật Linh

Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia

Câu 11: Tính  sin 2 2 xdx
A.

sin 4 x
+C .
8

B.

x sin 4 x
+
+C .
2
8

C. −

cos3 2 x
+C .
3

D.

x sin 4 x
−
+C .
2
8

D.

e3 x +1 − x3
.
3

Câu 12: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3 x +1 − 2 x 2 là
A.

e3 x +1 − 2 x3
.
3

B.

e3 x +1
− x3 .
3

Câu 13: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3cos x +
A. −3sin x +

1
+C.
x

B. 3cos x +

C.

e3 x +1
− 2 x3 .
3

1
trên ( 0; + ) là
x2

1
+C .
x

C. 3cos x + ln x + C . D. 3sin x −

1
+C .
x

Câu 14: Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x 2 là
A. H ( x) = 6 x .

B. G ( x) = x 3 + 1 .

C. F ( x) = x 3 + x .

D. K ( x) = 3 x3 .

Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x3 − 3 x 2 − 1 là
A. 2 x 4 − 3x3 − x + C .

B. 2 x 2 − 3 x + C .

C.

1 4 3
x − x − x+C .
2

D. 6 x 2 − 6 x + C .

1
trên ( 0; + ) và F (1) = 1 . Tính F ( 3) ?
x
C. F ( 3) = ln 3 + 1 .
D. F ( 3) = ln 3 + 3 .

Câu 16: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F ( 3) = ln 3 .

B. F ( 3) = ln 3 + C .

Câu 17: Trên khoảng ( 0; + ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x
9

5 −
A. − x 5 + C .
9

B.

1 15
x +C .
5

−

4
5

là

1

9 −9
D. − x 5 + C .
5

C. 5x 5 + C .

Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x + cos 2 x là
A.

4 x sin 2 x
−
+C .
ln 4
2

C. 4 x ln 4 −

B. 4 x ln 4 +

sin 2 x
+C .
2

D.

sin 2 x
+C .
2

4 x sin 2 x
+
+C .
ln 4
2

Câu 19: Trên khoảng ( 0; + ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x là
A.
C.



f ( x ) dx =

1 13
x +C .
3

B.



f ( x ) dx =

1 43
x +C .

4

D.

1



f ( x ) dx = 3x 3 + C .



f ( x ) dx =

3 43
x +C .
4

Câu 20: Cho hàm số y = F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = x 2 . Tính F  ( 25 ) .
A. 5 .

B. 25 .

C. 625 .

Câu 21: Cho F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x trên

7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

D. 125 .

 
thỏa mãn F   = 0 . Giá trị của
4


CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
 
biểu thức S = F ( − ) + 2 F   bằng
2

A. S =

3 
− .
4 4

B. S =

3 3
.
−
2 8

C. S =

Câu 22: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 − 2 x +
x
+ C.
2

A. 1 − x 2 +

B. x − x 2 − x + C .

1 3
.
+
4 8

1
2 x

D. S =

3 3
.
−
4 8

là

C. x − x 2 − x + C .

D. 1 − x 2 + x + C .

Câu 23: Tìm nguyên hàm L của hàm số f ( x ) = ( x + 1) .
2

A. L = 2 ( x + 1) + C , C là hằng số.
C.

( x + 1)
L=
3

3

+ C , C là hằng số.

B. L = 2 x + C , C là hằng số.
1
D. L = x3 + x 2 + C , C là hằng số.
3

Câu 24: Họ các nguyên hàm  sin ( 2 x + 1) dx là
A. −

cos ( 2 x + 1)
2

+C.

B.

cos ( 2 x + 1)
+C.
2

C.

sin ( 2 x + 1)
+C.
2

D. − cos x + C .

Câu 25: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 5 x 4 + 4 x 3 + e x là

e x +1
+C .
x +1
C. x 5 + x 4 + e x + C .
A. x5 + x 4 +

B. 20 x 3 + 12 x 2 + e x + C .
D. x5 + x 4 + e x +1 + C .

1
dx bằng
2x + 3
1
1
A. − ln 2 x + 3 + C .
B. ln 2 x + 3 + C .
2
2

Câu 26: Nguyên hàm I = 

Câu 27: Kết quả

A. x 2 +

(x + e

2020 x

e2020 x
+C.
2020

C. − ln 2 x + 3 + C .

D. ln 2 x + 3 + C .

) dx bằng
B. x3 +

e2020 x
+C .
2020

C.

x 2 e2020 x
+
+C.
2 2020

D. x +

e2020 x
+C.
2020

3
1
Câu 28: Cho hàm số f ( x ) = ( 2 x + 1) có một nguyên hàm là F ( x ) thỏa mãn F   = 4 . Hãy tính
2
3
P = F .
2
A. P = 32 .
B. P = 34 .
C. P = 18 .
D. P = 30 .


ex 
Câu 29: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e− x  2 +
.
cos 2 x 

2
A. F ( x ) = − x + tan x + C .
B. F ( x ) = 2 e x − tan x + C .
e
2
C. F ( x ) = − x − tan x + C .
D. F ( x ) = 2 e − x + tan x + C .
e

TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8


Phan Nhật Linh
0

Câu 30:

Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia

dx

 5 x + 9 bằng

−1

A.

1 3
ln .
5 2

B.

2 3
ln .
5 2

C.

3
D. 10ln .
2

1 3
ln .
10 2

Câu 31: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 6 x + sin 3x và F ( 0 ) =

2
. Khẳng định nào
3

sau đây đúng?
cos 3x
+1.
3
cos 3x
C. F ( x ) = 3x 2 +
−1 .
3

cos 3x 2
+ .
3
3
cos 3x
D. F ( x ) = 3x 2 −

+1.
3

A. F ( x ) = 3x 2 +

B. F ( x ) = 3x 2 −

Câu 32: Cho hàm số f ( x ) = 2 x 4 + 3x 3 + 2 x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
C.

 f ( x ) dx = 8x



3

+ 9x2 + 2 + C .

f ( x ) dx = 2 x5 + 3x 4 + 2 x 2 + C .

B.

 f ( x ) dx = 2 x

D.

f ( x ) dx =



4

+ 8 x3 + 9 x 2 + 2 + C .

2 x5 3x 4
+
+ x2 + C .
5
4

Câu 33: Cho hàm số f ( x ) = cos x − 2 x . Khẳng định nào dưới đây đúng?

 f ( x ) dx = sin x − x + C .
C.  f ( x ) dx = sin x − x .

 f ( x ) dx = − sin x − x
D.  f ( x ) dx = − sin x − x

2

A.

B.

2

2

.

2

+C .

Câu 34: Cho hàm số f ( x ) = sin 2 x . Khẳng định nào dưới đây đúng?

1

1

1

1

A.

 f ( x ) dx = 2 x − 2 sin 2 x + C .

C.

 f ( x ) dx = 2 x + 2 sin 2 x + C .

1

1

1

1

B.

 f ( x ) dx = 2 x − 4 sin 2 x + C .

D.

 f ( x ) dx = 2 x + 4 sin 2 x + C .

B.

 f ( x ) dx = 12 (3x − 1)

Câu 35: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 3x − 1) là
4

A.
C.

 f ( x)

( 3x − 1)
dx =

5

 f ( x)

( 3x − 1)
dx =

4

+C .

15
5

Câu 36: Cho hàm số f ( x ) =

+C .

D.

 f ( x)

( 3x − 1)
dx =

3

+C .

5

12

+C .

1

1
− 2 − 1 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
2
cos x sin x

 f ( x ) dx = tan x + cot x + x + C .
C.  f ( x ) dx = tan x + cot x − x + C .
A.

 f ( x ) dx = tan x − cot x − x + C .
D.  f ( x ) dx = − tan x + cot x − x + C .
B.

3
Câu 37: Cho hàm số f ( x ) = x − 11 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.
C.



f ( x )dx = 3x + C .



f ( x )dx =

x4
+ 11x + C .
4

9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

f ( x )dx =

x4
− 11x + C .
4

B.



D.

 f ( x )dx = x

4

− 11x + C


CHƯƠNG 05: NGUN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

Câu 38: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 2 − 3x −

1
x

x3

x2
A.
− 3 − ln x + C .
3
2
3
x
x2
C.
− 3 − ln x + C .
3
2

x3
x2 1
B.
−3 + 2 +C .
3
2 x
3
x
x2
D.
− 3 + ln x + C .
3
2

Câu 39: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. 2 x 2 + 1 + C .
Câu 40: Cho

B.

 f ( x ) dx = 3x

1
x +1
2

x
x2 + 1
+C .

C. F x

2x 3

1 2
x +1 + C .
2

D.

x2 + 1 + C .

B. f ( x ) = x 3 − cos x . C. f ( x ) = 6 x − cos x . D. f ( x ) = 6 x + cos x .

Câu 41: Họ các nguyên hàm của hàm số f x
A. F x

C.

+ sin x + C . Khẳng định nào sau đây đúng?

2

A. f ( x ) = x 3 + cos x .

x3
3

là

3 2
x
2
2
x2

2ln x

C.

x2

3x

B. F x
D. F x

C.

Câu 42: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x
điểm cực trị?
A. 1 .

2
là
x

B. 4 .

2

e x x3

x3
3
x3
3

3 2
x
2
3 2
x
2

2ln x

C.

2ln x

C.

4 x . Hàm số F x có bao nhiêu

C. 2 .

D. 3 .

Câu 43: Cho hàm số y = f ( x ) có f  ( x ) = 4 x3 − m + 1 , f ( 2 ) = 1 và có đồ thị của hàm số y = f ( x ) cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. Tìm được f ( x ) = ax 4 + bx + c với a, b, c  . Tính
a + b + c.
A. −11.

B. −5.

C. −13.

D. −7.

e2 x + 1 khi x  0
Câu 44: Cho hàm số f ( x ) = 
. Giả sử F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) trên
4 x + 2 khi x  0
thoả mãn F ( −2 ) = 5 . Biết rằng F (1) + 3F ( −1) = ae2 + b (trong đó a, b là các số hữu tỉ). Khi

đó a + b bằng

A. 8.

B. 5.

C. 4.

D. 10.

Câu 45: Cho hàm số f ( x ) = ( sin x − cos x ) . Khẳng định nào dưới đây đúng?
2

1

A.

 f ( x ) dx = − x − 2 cos 2 x + C .

C.

 f ( x ) dx = x − 2 cos 2 x + C .

1

1

B.

 f ( x ) dx = − x + 2 cos 2 x + C .

D.

 f ( x ) dx = x + 2 cos 2 x + C .

Câu 46: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f  ( x ) = e x + 2 x + 1, x 

1

và f ( 0 ) = 1 . Biết F ( x ) là

nguyên hàm của f ( x ) thỏa mãn F (1) = e . Tính F ( 0 ) .

TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10


Phan Nhật Linh
5
A. .
6

1
B. − .
6

Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1
5
C. .
D. − .
6
6

2 x + 3 khi x  1
Câu 47: Cho hàm số f ( x ) =  2
. Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên
3x + 2 khi x  1

thỏa

mãn F ( 0 ) = 2 . Tính giá trị của biểu thức F ( −2 ) + 2 F ( 3) .
A. 60 .

B. 28 .

C. −1 .

Câu 48: Cho hàm số f ( x ) xác định trên R \ 1 thỏa mãn f  ( x ) =

D. −48 .
1
, f ( 0 ) = 2021 , f ( 2 ) = 2022 .
x −1

Tính S = f ( 5 ) − f ( −1) .
A. S = ln 4043 .

B. S = 1 + ln 2 .

11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

C. S = ln 2 .

D. S = 1 .


Phan Nhật Linh

Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỷ

Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I =

P ( x)

 Q ( x )dx .

▪

PP
Nếu bậc của tử số P ( x )  bậc của mẫu số Q ( x ) ⎯⎯→
Chia đa thức.

▪

PP
Nếu bậc của tử số P ( x )  bậc của mẫu số Q ( x ) ⎯⎯→
phân tích mẫu Q ( x ) thành tích số,

rồi sử dụng phương pháp chia để đưa về công thức nguyên hàm số.
▪

PP
Nếu mẫu khơng phân tích được thành tích số ⎯⎯→
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa

bằng cách đặt X = a tan t , nếu mẫu đưa được về dạng X 2 + a 2 .

A
Câu 1:

VÍ DỤ MINH HỌA

x2 − 2 x + 1
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
.
x−2
x2
1
+ ln x − 2 + C . C. x 2 + ln x − 2 + C .
A. x +
B.
+C.
2
x−2

D. 1 +

1

( x − 2)

2

+C .

 Lời giải
…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

Câu 2:

Cho F ( x ) = 

1
dx . Kết quả nào sau đây đúng ?
x ( x + 3)

2 x+3
+C .
A. F ( x ) = ln
3
x

2
x
+C .
B. F ( x ) = ln
3 x+3

1
x
+C.
C. F ( x ) = ln
3 x+3

1
x
+C .
D. F ( x ) = − ln
3 x+3
 Lời giải

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

Câu 3:

A. F ( x ) = ln x + ln x − 1 .

1
?
x −x
B. F ( x ) = − ln x + ln x − 1 .

C. F ( x ) = ln x − ln x − 1 .

D. F ( x ) = − ln x − ln x − 1 .

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2

 Lời giải
…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716


CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

Câu 4:

Cho biết

2 x − 13

 ( x + 1)( x − 2) dx = a ln x + 1 + b ln x − 2 + C . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a + 2b = 8 .

B. a + b = 8 .
C. 2a − b = 8 .
 Lời giải

D. a − b = 8 .

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

Câu 5:

2
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
1− 2x

1
f ( x ) dx = − ln 1 − 2 x + C .
B.  f ( x ) dx = − ln 1 − 2 x + C .
2

Cho hàm số f ( x ) =
A.



C.

 f ( x ) dx = −2 ln 1 − 2 x + C .

D.

 f ( x ) dx = −4 ln 1 − 2 x + C .

 Lời giải
…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

Câu 6:

x+3
Họ các nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
là
x +1

A. F ( x ) = x + ln ( x + 1) + C .

B. F ( x ) = x + ln x + 1 + C .

C. F ( x ) = x + 2ln ( x + 1) + C .

D. F ( x ) = x + 2ln x + 1 + C .
 Lời giải

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2

Phan Nhật Linh

Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia

B
Câu 1:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Trên khoảng

, họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

5;

A. ln x + 5 + C .

Câu 2:

Câu 3:

1
+C .
x+5

B.

C.

1

 2 x + 1 dx

Họ các nguyên hàm
A. ln ( 2 x + 1) + C .

1

( x − 1)

1

Biết

x

2

0

2

+C .

x4
+ ln x + C .
4

Họ nguyên hàm

Cho biết

x

A. P = 3 .

là
C.

ln 2 x + 1
2

+C.

D.

ln x
2

+C .

2x + 3
trên khoảng ( −1; + ) là
x +1

B. 2 x + ln ( x + 1) + C . C. 2 x + 3ln ( x + 1) + C . D. 2 x −

B. a + b = −2 .

x

2

1

( x − 1)

2

+C .

2

C. a + 2b = 2 .

B. ln

x
+C .
x −1

C. ln

x −1
+C .
x

2x + 7
dx = a ln x + 2 + b ln x + 3 + C ( a, b 
+ 5x + 6
B. P = 12 .

C. P = 7 .

dx
x (x 1)

D. a + b = 2 .

1
dx là
−x

Họ nguyên hàm của hàm số f (x )
A.

3

1
dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b là các số nguyên. Khẳng định nào dưới đây đúng?
+ 3x + 2

A. − ln x ( x − 1) + C .

Câu 9:

+C .

5

B. ln 2 x + 1 + C .

A. a + 2b = 0 .

Câu 8:

2

x4
+C .
4

B.

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. 2 x +

Câu 7:

( x + 5)

 f ( x ) dx = cos x + 20 x + C .
D.  f ( x ) dx = cos x + x + C .

3

5

Câu 6:

−1

D.

Cho hàm số f ( x ) = sin x + 5 x 4 . Khẳng định nào sau đây đúng?

 f ( x ) dx = − cos x + 20 x + C .
C.  f ( x ) dx = − cos x + x + C .

Câu 5:

1
ln x + 5 + C .
5

3 1
Cho hàm số f ( x ) = x + . Khẳng định nào sau đây đúng?
x
1
2
A.  f ( x ) dx = 3x + 2 + C .
B.  f ( x ) dx =
x
1
2
C.  f ( x ) dx = 3x − 2 + C .
D.  f ( x ) dx =
x

A.

Câu 4:

1
là
x+5

1 x 1
ln
2
x

1
x (x

1)

D. ln x ( x − 1) + C .

) . Tính

P = a 2 + ab + b 2 .

D. P = 13 .

là:

C.

3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

B.

dx
x (x 1)

ln

x
x

1

C.


CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

C.

dx
x (x 1)

ln

Câu 10: Họ các nguyên hàm
A.

x

1
x

1

 ( 2 x − 1)

−1
+C .
4x − 2
3

Câu 11: Cho biết


1

C.

B.

2

dx
x (x 1)

C.

−1
+C .
2x −1

1

x
ln
2 x 1

C.

dx là

1
+C .
2x −1

D.

1
+C .
4x − 2

x+4
dx = a + b ln c, a, b, c  , c  9. Tổng S = a + b + c bằng
x

A. S = 5 .

B. S = 7 .

Câu 12: Họ các nguyên hàm

x2 − x + 1
 x − 1 dx bằng

1
A. x +
+C.
x −1

C. S = 3 .

B. x + ln x − 1 + C .
2

Câu 13: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

D.

1
ln ( 5 x + 4 ) + C .
5

C.

3x − 2

( x − 2)

2

( x − 1)

2
+C .
x−2
4
C. 3ln( x − 2) −
+C .
x−2

B. S = ln 2 .

Câu 16: Cho hàm số f ( x ) xác định trên

+C.

1
1
ln 5 x + 4 + C . D. ln 5 x + 4 + C .
ln 5
5

2
+C .
x−2
4
D. 3ln( x − 2) +
+C .
x−2

B. 3ln( x − 2) −

\ 1 thỏa mãn f  ( x ) =

Tính S = f ( 3) − f ( −1) .
A. S = ln 4035 .

2

x2
D.
+ ln x − 1 + C .
2

trên khoảng (2; +) là

A. 3ln( x − 2) +

Câu 15: Cho hàm số f ( x ) xác định trên

1

1
là:
5x + 4

B. ln 5 x + 4 + C .

Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) =

C. 1 −

D. S = 9 .

C. S = 4 .

1
, f ( 0 ) = 2022, f ( 2 ) = 2023 .
x −1

D. S = 1 .

\ −2,1 thỏa mãn f  ( x ) =

1
, f ( −3) − f ( 3) = 0,
x + x−2
2

1
f ( 0 ) = . Tính giá trị biểu thức f ( −4 ) + f ( −1) − f ( 4 ) bằng
3
1
1
1
1
A. ln 2 + .
B. ln 20 + .
3
3
3
3

1 8
C. ln 80 + 1.
D. ln + 1.
3 5

Câu 17: Cho hàm số f ( x ) xác định trên R \ 0; 2 và thỏa mãn f  ( x ) =

1
. Biết rằng
x − 2x
2

1
3
f ( −2 ) + f ( 4 ) = 0 và f   + f   = 2018 . Tính T = f ( −1) + f (1) + f ( 5 )
2
2

TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4


Phan Nhật Linh

1
A. T = ln 5 + 1009 .
2

1 9
B. T = ln + 1009
2 5

Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
1 9
1 9
C. T = ln + 2018 . D. T = ln .
2 5
2 5

a x 2 − cx − 1
x2 + 1
Câu 18: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4
có dạng F ( x ) = ln 2
,
b x + dx − 1
x + 2 x3 − 10 x 2 − 2 x + 1
a
tối giản. Tính a + b + c + d .
b
C. 15.
D. 13.

trong đó a, b, c, d là các số nguyên dương và phân số
A. 24.

B. 21.

5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716


Phan Nhật Linh

Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Dạng 3: Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

A
Câu 1:

Biết

VÍ DỤ MINH HỌA
F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

A. F ( 3) = ln 2 − 1 .

B. F ( 3) =

1
và F ( 2 ) = 1 . Tính F ( 3)
x −1

1
.
C. F ( 3) = ln 2 + 1 .
2
 Lời giải

D. F ( 3) =

7
.

4

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

Câu 2:

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên

2
1 
; f ( 0 ) = 1 và f (1) = 2
\   thỏa mãn f ( x) =
2x − 1
2

Tính P = f ( −1) + f ( 3)
A. P = 3 + ln 3 .

B. P = 3 + ln 5 .
C. P = 3 + ln15 .
 Lời giải

D. P = 3 − ln15 .

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

Câu 3:

Biết F ( x ) là môt nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e2 x và F ( 0 ) = 0 . Giá trị của F ( ln 3) bằng
A. 2 .

B. 6 .

C.

17
.
2

D. 4 .

 Lời giải
…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716


CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

Câu 4:

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = e 2 x + 1, x 
nguyên hàm của f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) =
A.

e2 + 2
.
4

B.

và f ( 0 ) =

3
. Biết F ( x ) là một
2

5
, khi đó F (1) bằng
4

e 2 + 10
.
4

C.

e +1
.
2

D.

e+5
.
2

 Lời giải
…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

Câu 5:

Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y =
A.

1
.
2

1
và F ( 2 ) = 1 thì F ( 2022 ) bằng
x −1
C. ln 2 .

B. ln 2020 .

D. ln 2021 + 1 .

 Lời giải
…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

Câu 6:

Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
1
thỏa mãn F   = 2 , F ( e ) = ln 2 .
x ln x
e

( )

1
Biết: F  2  − F e2 = a + ln b . Giá trị của a.b bằng
e 

A 1.
B. 4.
C. -4.
 Lời giải

D. 2.

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

…………………………………………………………………

……………………………………………………………

TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2


Phan Nhật Linh

Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia

B
Câu 1:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x − sin x là:

3x 2
− cos x + C .
2


C.  f ( x)dx = 3x
A.

Câu 2:

f ( x)dx =

2

3x 2
+ cos x + C .
2


D.  f ( x)dx = 3 − cos x + C .
B.

+ cosx + C .

f ( x)dx =

Cho hàm số f ( x ) = 2 x + e− x . Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) thỏa mãn
F ( 0 ) = 2023

Câu 3:

A. F ( x ) = x 2 − e− x + 2023.

B. F ( x ) = x 2 − e x + 2024.

C. F ( x ) = x 2 + e− x + 2022.

D. F ( x ) = x 2 − e− x + 2024.

Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên ( 0;+ ) và thỏa mãn f (1) = 1 ,
f ( x ) = f  ( x )  3x + 1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 3  f ( 5 )  4 .
Câu 4:

B. 1  f ( 5 )  2 .

C. 4  f ( 5 )  5 .

D. 2  f ( 5 )  3 .

Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f ' ( x ) = cos 2 x.sin x và f ( 0 ) = 1 . Tìm
f ( x) .

A. f ( x ) =

cos3 x 11
+ .
3
3

C. f ( x ) = −
Câu 5:

Cho

B. f ( x ) = cos3 x + 4 .

cos3 x 13
+ .
3
3

hàm

số

D. f ( x ) = − cos3 x + 5 .
y = f ( x)

xác

định

trên

1
, f ( 0 ) = 2022, f ( 2 ) = 2023 . Tính S = f ( 3) − f ( −1) .
x −1
A. S = 0 .
B. S = ln 4045 .
C. S = 1 .

\ 1

thoả

mãn

f ( x) =

Câu 6:

Cho hàm số F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 + 6 x . Biết F ( 3) = 27 . Tính F ( −3) .
A. F ( −3) = 18.

Câu 7:

Câu 9:

B. F ( −3) = 0.

C. F ( −3) = 9.

D. F ( −3) = −9.

1
. Biết F (1) = 1 , giá trị của F ( 5 ) bằng
2x − 1
C. ln 3 .
D. ln 2 .

Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. 1 + ln 2 .

Câu 8:

D. S = ln 2 .

B. 1 + ln 3 .

Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 −

2
biết F (1) = 3 .
x−2

A. F ( x ) = x 2 + x − 2ln ( 2 − x ) + 1 .

B. F ( x ) = x 2 + x + 2ln x − 2 + 1 .

C. F ( x ) = x 2 + x − ln x − 2 + 1 .

D. F ( x ) = x 2 + x − 2ln x − 2 + 1 .

Cho hàm số f ( x ) = x 2 + sin x + 1 . Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) và F ( 0 ) = 1 . Tìm
F ( x) .

3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716


CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

x3
B. F ( x ) =
+ cos x + x .
3

A. F ( x ) = x − cos x + x + 2 .
3

C. F ( x ) =

x3
− cos x + x + 2 .
3

D. F ( x ) =

Câu 10: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) =
A. F ( 3) = ln 5 − 1 .

x3
− cos x + 2 .
3

1
và F ( −1) = 1 . Tính F ( 3) .
x+2

B. F ( 3) = ln 5 + 2 .

D. F ( 3) =

C. F ( 3) = ln 5 + 1 .

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f  ( x ) = 24 x 2 + 5 x, x 

1
.
5

và f (1) = 3. Biết F ( x ) là

nguyên hàm của hàm số f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = 2 , khi đó F (1) bằng
A. −2 

B.

−8

3

C.

−13

2

D.

−15

2

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số F ( x) = x3 + 2 x 2 + (m 2 − 1) x + C ( C là hằng số) là
nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x 2 + 4 x + 3 trên
A. m = 2 .

B. m = 4 .

.

C. m = 4 .

D. m = 2 .

Câu 13: Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x thỏa mãn F ( 0 ) = 2 . Giá trị của F (1) bằng
A. e − 2 .

B. e + 2 .

Câu 14: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

2
.
3

B.

D. e + 1 .

C. 2 .

−7
.
6

C.

− x2 − 2 x

( x + 1)

4

2
thoả F ( 0 ) = − . Tính F (1) .
3

−7
.
24

D.

11
.
24

9
1
. Tính F   .
8
2
1
D. F   = −2 .

2

Câu 15: Cho hàm số f ( x ) = ( 2 x − 3) có một nguyên hàm là F ( x ) thỏa mãn F ( 2 ) =
3

1
A. F   = −1 .
2

1
B. F   = 5 .
2

1
C. F   = 3 .
2

Câu 16: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f  ( x ) = 4 − 3sin x và f ( ) = 5 . Tìm hàm số f ( x ) .
A. f ( x ) = 4 x − 3cos x + 8 .

B. f ( x ) = 4 x + 3cos x + 1 .

C. f ( x ) = 4 x + 3cos x + 8 .

D. f ( x ) = 4 x − 3cos x + 1 .

Câu 17: Cho hàm số f ( x ) xác định trên

\ 5 thỏa mãn f  ( x ) =

1
, f ( 4 ) = 2021 , f ( 6 ) = 2022 .
x−5

Đặt P = 21 f (10 ) − 20 f ( 0 ) . Hỏi giá trị của P xấp xỉ bằng?
A. 2022 .

B. 2043,6 .

C. 2042,6 .

Câu 18: Biết rằng hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

D. 2021 .

ln x
 ln 2 x + 1 và thỏa mãn
x

2
1
F (1) =  Giá trị của  F ( e )  bằng
3

A.

1

3

B.

2 2
.
3

C.

1
.
9

D.

8

9

TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4


Phan Nhật Linh

Câu 19: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số e2 x
A.

e
+ 10 .
2

B. 2e + 10 .

Câu 20: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên
A.


2

− 1.

B.

Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
21
1
và F ( 0 ) =  Giá trị F   là
2
2
e
e
C. + 50 .
D. + 11 .
2
2

 
là f  ( x ) = sin x + x cos x và f ( 0 ) = 0 . Tính f   .
2



.
2

C.


2

−2.

Câu 21: Cho hàm số f ( x ) xác định trên R \ 1 thỏa mãn f  ( x ) =

D.


2

+2.

1
, f ( 0 ) = 2017 và f ( 2 ) = 2018
x −1

. Tính S = f ( 3) − f ( −1) .
A. S = ln 4035 .

B. S = 4 .

C. S = ln 2 .

Câu 22: Cho hàm số f ( x ) có f  ( x ) = sin 2 x + e x , x 
thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?
A. ( 22;25 ) .
B. ( 28;30 ) .

D. S = 1 .

và f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 2 . Khi đó f ( ) có giá trị
D. (19;22 ) .

C. ( 5;8 ) .

Câu 23: Biết hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x và thoả mãn F ( ) = 1 . Giá

 
trị của F   bằng
4
A. 1 .

B.

3
.
2

Câu 24: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) =

( )

C. 2 .

1
, x 
x

D.

1
.
2

\ 0 và f (1) = 2 , f ( −e ) = 4 . Giá trị của

f ( −2 ) − 2 f e2 bằng

A. −8 + ln 2 .

B. −5 + ln 2 .

C. −2 + ln 2 .

Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = −20 x3 + 6 x , x 

D. −1 + ln 2 .
và f ( −1) = 2 . Biết F ( x ) là

nguyên hàm của f ( x ) thoả mãn F (1) = 3 , khi đó F ( 2 ) bằng
A. −17 .

B. −1 .

C. −15 .

Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f  ( x ) = 24 x 2 − 18 x + 8, x 

D. −74 .
và f (1) = 2 . Biết F ( x )

là một nguyên hàm của f ( x ) thỏa mãn F (1) = 4 , khi đó F ( −1) bằng
A. −30 .

B. 20 .

C. −5 .

D. 2 .

1
1
Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f  ( x ) = x + , x  0 và f (1) = . Biết F ( x ) là một
x
2
1
nguyên hàm của f ( x ) trên khoảng ( 0;+  ) thoả mãn F (1) = , khi đó F ( 2 ) bằng
6
2
2
1
1
A. + 2ln 2 .

B. + ln 4 .
C. + ln 2 .
D. + ln 4 .
3
3
3
3

5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716


CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
2
1 
Câu 28: Cho hàm số f ( x ) xác định trên \   thỏa mãn f  ( x ) =
và f ( 0 ) = 1, f (1) = −2 . Giá
2x − 1
2

trị f ( −1) + f ( 3) bằng
A. 2 + ln15 .

B. ln15 − 1 .

C. 3 − ln15 .

D. ln15 .

Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ( 0;+ ) . Biết 3x 2 là một nguyên hàm của x 2 f  ( x ) trên

( 0;+ ) và f (1) = 2 . Tính giá trị f ( e ) .
A. f ( e ) = 8 .
B. f ( e ) = 6e − 2 .

C. f ( e ) = 4 .

D. f ( e ) = 3e + 2 .

Câu 30: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên khoảng ( 0;+ ) thỏa mãn f ( x ) = x sin x + f  ( x )  + cos x

  
và f   = . Giá trị của f ( ) bằng
2 2
A. 1 +


2

B. −1 +

.



.

2

D. −1 +  .

C. 1 +  .

Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) xác định R \ 0 thoả mãn f  ( x ) =

3
x +1
3
, f ( −2 ) = và f ( 2 ) = 2ln 2 −
2
2
2
x

.Tính giá trị biểu thức f ( −1) + f ( 4 ) bằng.
A.

6ln 2 − 3
.
4

B.

6ln 2 + 3
.
4

Câu 32: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm, liên tục trên
f  ( x ) = e x   f ( x )  , x 
2

8ln 2 + 3
.
4

D.

và f ( x )  0 , x 

8ln 2 − 3
.
4

, đồng thời thỏa mãn

. Biết f ( 0 ) = −1 , khi đó f ( −1) bằng

B. −1 .

A. e .

C.

1
D. − .
e

C. −e .

9
1

+ 2 và f (2) = . Biết F ( x) là nguyên hàm
2
2
x
của f ( x) thoả mãn F (2) = 4 + ln 2 , khi đó F (1) bằng

Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f  ( x) = −

A. 3 + ln 2 .

B. −3 − ln 2 .

Câu 34: Cho hàm số f ( x ) xác định trên

D. −1.

C. 1.

\ −2;1 thỏa mãn f  ( x ) =

x−4
, f ( −3) − f ( 2 ) = 0 và
x + x−2
2

f ( 0 ) = 1 . Giá trị của biểu thức f ( −4 ) + 2 f ( −1) − f ( 3) bằng

A. 3ln

5

+ 2.
2

B. 3ln

2
+ 2.
5

2
C. 2ln + 2 .
5

Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ' ( x ) = sin x + x.cos x, x 

D. 3ln

2
+3.
5

. Biết F ( x ) là nguyên hàm

của f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = F ( ) = 1 , khi đó giá trị của F ( 2 ) bằng.
A. 1 + 2 .

B. 1 − 4 .

C. 1 − 2 .

D. 4 .

2
1 
, f (0) = 1 và f (1) = 3 . Giá
\   , thỏa mãn f ' ( x ) =
2x − 1
2
trị của biểu thức f (−1) + f (4) bằng

Câu 36: Cho hàm số f ( x) xác định trên

A. 5 + ln 21 .

B. 5 + ln12 .

C. 4 + ln12 .

D. 4 + ln 21 .
TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 6


Phan Nhật Linh
Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia
Câu 37: Biết rằng x sin x là một nguyên hàm của hàm số f ( − x ) trên khoảng ( −; + ) . Gọi F ( x ) là

3
 
một nguyên hàm của 2 f ' ( x ) cosx thỏa mãn F   = −
, giá trị của F ( ) bằng:

4
2
5
3
3
5
A.
.
B. −
.
C.
.
D. −
.
2
2
2
2
Câu 38: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = 12 x 2 − 2, x 

. Biết F ( x ) là một nguyên hàm

của f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = 1 và F (1) = −1 , khi đó f ( 2 ) bằng
A. 30 .

y = f ( x)

Câu 39: Cho hàm số

f  ( x ) + f ( x ) = x, x 

A.

C. −3 .

B. 36 .

2
.
e

D. 26 .

có đạo hàm liên tục trên

thỏa mãn

f (1) = e

và

. Giá trị f ( 2 ) bằng

1
B. 1 − .
e

1
C. 1 + .
e

D. 2 .

Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ( x) = 12 x 2 + 2, x 

và f (1) = 3 . Biết F ( x) là một

nguyên hàm của f ( x) thỏa mãn F (0) = 2 , khi đó F (1) bằng
A. −3 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 7 .

 
Câu 41: Cho hàm số f ( x ) thoả mãn f   = 1 và f  ( x ) = cos x 6sin 2 x − 1 , x  . Biết F ( x ) là
2
2
 
nguyên hàm của f ( x ) thoả mãn F ( 0 ) = , khi đó F   bằng
3
2
1
2
A. .
B. − .
C. 1 .
D. 0 .

3
3

(

Câu 42: Cho hàm số y = f ( x ) biết f ' ( x ) =

)

x +2
, x  ( 0; +  ) và f (1) = 1 . Biết F ( x ) là một
2x

1
nguyên hàm f ( x ) thỏa mãn F (1) = − , khi đó F ( 9 ) bằng
3
8
A. + 8ln 3 .
B. 9 + 18ln 3 .
C. 9 + 27 ln 3 .
3
Câu 43: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f  ( x ) = sin x + x cos x, x 

8
D. − + 8ln 3
3
và f ( ) = 0 . Biết F ( x) là

nguyên hàm của f ( x) thỏa mãn F ( ) = 2 , khi đó F (0) bằng
A.  .

B. −3 .

C. − .

D. 3 .

Câu 44: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên ( 0;+ ) và thoả mãn f (1) = 2 ;
f ( x ) =

A.

3

34 .

x2

( f ( x ))

2

với mọi x  ( 0; + ) . Giá trị của f ( 3) bằng
B. 34 .

C. 3 .

D.

3

20 .

1
+ 6 x, x  (1; +  ) và f ( 2 ) = 12 . Biết F ( x )
x −1
là nguyên hàm của f ( x ) thỏa F ( x ) = 6 , khi đó giá trị biểu thức P = F ( 5 ) − 4 F ( 3) bẳng

Câu 45: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) =

A. 20 .
B. 24 .
C. 10 .
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

D. 25 .


CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

Câu 46: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2x + 1
trên khoảng ( 0;+ ) thỏa mãn
x + 2 x3 + x 2
4

1
. Giá trị của biểu thức S = F (1) + F ( 2 ) + F ( 3) + ... + F ( 2021) + F ( 2022 ) bằng
2

2022
2022.2024
1
2022
A.
.
B.
.
C. 2021
.
D. −
.
2023
2023
2023
2023
F (1) =

Câu 47: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

và có đạo hàm f  ( x ) = − x 2 − 4 x − 3 thỏa mãn

 5
f ( −4 ) + f ( 0 ) = 3 . Tính giá trị của biểu thức P = f ( 2 ) + f  −  .
 2
301
A. 21 .
B. −12 .
C.
.

24
Câu 48: Cho hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
rằng giá trị lớn nhất của F ( x ) trên khoảng ( 0;  ) là

D.

−301
.
24

2cos x − 1
trên khoảng ( 0;  ) . Biết
sin 2 x

3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh

đề sau.

 
A. F   = 3 3 − 4 .
6

 2
B. F 
 3

3

.
=

 2

 
C. F   = − 3 .
3

Câu 49: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y =
thuộc khoảng
 1 
A.  − ;0  .
 2 

 1
B.  0;  .
 2

xe x

( x + 1)2

 5
D. F 
 6


 = 3− 3 .


và F (1) = 1 . Hệ số tự do của F ( x )

1 
C.  ;1 .
2 

1

D.  −1; −  .
2


3 x 2 + 2 x
khi x  1
Câu 50: Cho hàm số f ( x) =  3
. Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số
4 x − 2 x + 3 khi x  1
88
a
f ( x ) trên
, ( a, b ) = 1 và a, b là các số
thỏa mãn F ( 3) =
. Biết 2 F ( 0 ) + F ( 4 ) = −
9
b
nguyên dương. Khi đó, giá trị biểu thức T = 3a + b bằng
A. 9 .
B. 11 .
C. 2021 .
D. 2024 .

 x 2 + 3 khi x  1

Câu 51: Cho hàm số y = f ( x ) = 
. Giả sử F là nguyên hàm của f trên
5 − x khi x  1

thỏa mãn

F ( 3) = 20 . Giá trị của F ( −1) là

A. −

11
.
3

B. −

14
.
3

C.

11
.
6

D.

17
.

3

2 x + 2021 khi x  1
Câu 52: Cho hàm số f ( x) =  2
. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên
3x + 2020 khi x  1

thỏa

mãn F (0) = 2 . Tính 4 F ( −2 ) + 5 F ( 2 ) .
A. 4051 .

B. −2020 .

C. 2021 .

D. 4036 .

TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 8