Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Chun đề ngun hàm – tích phân

Học tốn miễn phí:

A. Tóm tắt lí thuyết

Nội dung 1: Ngun hàm
1. Bảng tính nguyên hàm cơ bản
Bảng 1
Hàm số f(x)
a ( hằng số)

x   1


1
x
ax

Họ nguyên hàm
F(x)+C
ax + C
x 1
C
 1
ln x  C

Bảng 2
Hàm số f(x)

Họ nguyên hàm F(x)+C

(ax  b)

1 (ax  b) 1
C
a
 1
1
ln ax  b  C
a
1 Aax b
.
C
A ln a
1 ax  b
e
C
a
1
 cos(ax  b)  C
a
1
sin(ax  b)  C
a
1
tan(ax  b)  C
a
1
 cot(ax  b )  C
a

1
xa
ln
C
2a x  a

1
ax  b
A ax  b

ex

ax
C
ln a
ex  C

sinx

-cosx + C

sin(ax+b)

cosx

sinx + C

cos(ax+b)

1

tanx + C

1
cos (ax  b)
1
2
sin (ax  b )
1
2
x  a2

2

cos x
1
sin2 x

eax  b

2

-cotx + C

u' ( x )
u( x )
tanx

 ln cos x  C

cotx

ln sin x  C

ln u( x )  C

2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm cơ
bản
 Phân tích hàm số đã cho thành tổng, hiệu của các hàm số đơn giản có cơng thức trong
bảng ngun hàm cơ bản.
 Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến
đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số
Định lí cơ bản:
Nếu  f u  du  F u   C và u  u  x là hàm số có đạo hàm liên tục thì

 f u  xu ' x dx  F u  x   C
1|Trang

Fanpage: />

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân

Cách thực hiện: Tính

Học tốn miễn phí:

 f  u(x) u '(x)dx bằng pp đổi biến số

Bước 1: Đặt u  u(x)  du  u'(x)dx (tính vi phân của u)
Bước 2: Tính

 f  u(x) u '(x)dx   f(u)du  F(u)  C  F u(x)  C

Phương pháp 3: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lí cơ bản:
Nếu hai hàm số u  u  x và v  v  x có đạo hàm liên tục trên K thì

 u  xv ' x dx  u  x v  x  u ' x v  x dx
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt

u  u ( x)
du  u ' ( x)dx

dv  v' ( x)dx
v  v( x)

Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần :
Bước 3: Tính

 udv  u.v   vdu

 vdu
B. Bài tập

Bài 1: Tính
1) I  

x2
dx
x2

2 x 3  3x
dx
x2

2) I  

3 x  1
dx
x 1

3) I  

2) I  

1
dx
x  x  1

3) I  

2) I  

ln x
dx
x

3) I   x 3 ln xdx

Bài 2: Tính
1)

3x  2 x 2
 3  x dx

x
dx
x  3x  2
2

Bài 3: Tính
1) I   x ln xdx
Bài 4: Tính
1) I   ln  x 2  x  dx

2) I    x  2  e 2 x dx

3) I   x s in2xdx

Bài 5: Tính
1) I  

x sin x
dx
cos 2 x

2|Trang

2) I  

ex
dx
1  2e x

3) I   cos5 xdx

Fanpage: />

Chun đề ngun hàm – tích phân

Học tốn miễn phí:

Nội dung 2: Tính tích phân
A. Tóm tắt lí thuyết
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
a. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b  K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
hàm
số f(x) trên K thì :
b

b

 f ( x )dx   F ( x )a  F (b)  F (a)

( Cơng thức NewTon - Leipniz)

a

b. Các tính chất của tích phân
b



a

 f ( x)dx    f ( x )dx

Tính chất 1:

a



b

Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên  a; b thì
b

b

b

  f ( x )  g( x ) dx   f ( x)dx   g( x )dx
a



a

a

Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên  a; b và k là một hằng số thì
b

b

 k. f ( x )dx  k. f ( x)dx
a



a

Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên  a; b và c là một hằng số thì
b


a



c

b

f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx

a

c

Tính chất 5: Tích phân của hàm số trên  a; b cho trước không phụ thuộc vào biến số ,
b

nghĩa là :


a

b

b

f ( x )dx   f (t )dt   f (u )du  ...
a

a

2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
b

a) DẠNG 1: Tính I =

'

 f[u(x)].u (x)dx bằng cách đặt t = u(x)
a

Công thức đổi biến số dạng 1:

b

u (b )

a

u(a)

 f u ( x).u' ( x)dx   f (t )dt

Cách thực hiện:
t  u ( x)  dt  u ' ( x) dx
xb
t  u (b)
Bước 2: Đổi cận :

xa
t  u (a)
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

Bước 1: Đặt

b

u (b )

a

u (a)

I   f u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)

3|Trang

Fanpage: />

Chun đề ngun hàm – tích phân

Học tốn miễn phí:

b

b) DẠNG 2: Tính I =

 f(x)dx bằng cách đặt x = (t)
a

b



a



I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt

Công thức đổi biến số dạng 2

Cách thực hiện

x   (t )  dx   ' (t )dt
xb
t
Bước 2: Đổi cận :

xa
t 
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
Bước 1: Đặt

b



a



I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)

3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Cơng thức tích phân từng phần

b

b

 u ( x).v' ( x)dx  u ( x).v( x)a   v( x).u ' ( x)dx
b

a

a
b

b

 udv  u.va   vdu

hay:

b

a

a

Cách thực hiện
Bước 1: Đặt

u  u ( x)
du  u ' ( x)dx

dv  v' ( x)dx
v  v( x)
b

b

Bước 2: Thay vào cơng thức tích phân từng từng phần :  udv  u.va   vdu
a

Bước 3: Tính u.v ba

b

a

b

và  vdu
a

II. CÁC VÍ DỤ
2

Ví dụ 1: Tính tích phân I  
1

x 2  3x 1
dx .
x2  x

(Phân tích & dùng định nghĩa)

Bài giải

♥ Biến đổi hàm số thành dạng
2

Khi đó: I  
1

4|Trang

x 2  3x 1
2 x 1
 1 2
2
x x
x x
2

2

x 2  3x 1
2 x 1
dx   dx   2
dx
2
x x
x x
1
1
Fanpage: />

Chun đề ngun hàm – tích phân

Học tốn miễn phí:

2



 dx  x

2
1

1

1

2




1

2
2 x 1
2
dx

ln
x


x
 ln 3
1
x2  x

♥ Vậy I  1  ln 3 . 

1

Ví dụ 2: Tính tích phân I  

 x 1

0

2

dx .

x 2 1

(Phân tích & dùng định nghĩa)

Bài giải

 x  1

2

♥ Biến đổi hàm số thành dạng

 x 1

2

1

Khi đó: I  

x 1
2

0

x 2 1
1

1

dx   dx  
0

x 2  2 x 1
2x
 1 2
2
x 1
x 1



0

2x
dx
x 1
2

1



 dx  x

1
0

1

0
1




0

1
2x

2
dx

ln
x

1
 ln 2
0
x 2 1

♥ Vậy I  1  ln 2 . 

ln 2

Ví dụ 3: Tính tích phân I   e x 1 e x dx .
2

(Đổi biến số dạng 1)

0

Bài giải
♥ Đặt t  e x 1  dt  e x dx
 x  ln 2 t  1
Đổi cận: 

 x  0
t  0
1

Suy ra: I  
0

1

t3
1
t dt 

30 3
2

1
♥ Vậy I  . 
3

1

Ví dụ 4: Tính tích phân I   x 2  x 2 dx .

(Đổi biến số dạng 1)

0

Bài giải
5|Trang

Fanpage: />

Chun đề ngun hàm – tích phân

Học tốn miễn phí:

♥ Đặt t  2  x 2  t 2  2  x 2  2tdt  2 xdx  tdt  xdx
 x  1 t  1
Đổi cận: 

 x  0 t  2

2

Suy ra: I  
1

♥ Vậy I 

t3
t dt 
3

2

2 2 1
3



2

1

2 2 1
.
3

e

4  5ln x
dx .
x

Ví dụ 5: Tính tích phân I  
1

(Đổi biến số dạng 1)

Bài giải
♥ Đặt t  4  5ln x  t 2  4  5ln x  2tdt 

5
dx
x

 x  e t  3
Đổi cận: 

 x  1 t  2
3

Suy ra: I 
♥ Vậy I 

3

2
2
2
38
t 2 dt  t 3  33  23  

5 2
15 2 15
15

38
.
15


4

Ví dụ 6: Tính tích phân I    x  1 sin 2 xdx .

(Tích phân từng phần)

0

Bài giải
du  dx

u  x  1
♥ Đặt 
 
dv  sin 2 xdx v   1 cos 2 x
2





4
4
1
1
Suy ra: I    x  1 cos 2 x  sin 2 x
2
4
0
0





4
4
1
1
3
   x  1 cos 2 x  sin 2 x 

2
4
4
0
0

3
♥ Vậy I  . 
4

6|Trang

Fanpage: />

Chun đề ngun hàm – tích phân

Học tốn miễn phí:


4

Ví dụ 7: Tính tích phân I   x 1  sin 2 x dx .

(Tích phân từng phần)

0


4


4

0

0

♥ Ta có: I   xdx  


4

x2
x sin 2 xdx 
2


4



0

0


4

2
x sin 2 xdx   x sin 2 xdx

32 0

du  dx
u  x
Đặt 
 
dv  sin 2 xdx v   1 cos 2 x
2


4

Suy ra:


0

♥ Vậy I 


4


4


4



4
1
1
1
1
1
x sin 2 xdx  x cos 2 x   cos 2 xdx   cos 2 xdx  sin 2 x 
2
2 0
2 0
4
4
0
0

2 1
 .
32 4

2

Ví dụ 8: Tính tích phân I  
1

x 2  2 ln x
dx .
x

(Phân tích + đổi biến số dạng 1)

Bài giải
2

2

♥ Ta có: I   xdx  2
1

2





0
2

♥ Tính


1

1

ln x
dx
x

2

x2
3
xdx 

2 1 2

ln x
dx
x

Đặt t  ln x  dt 

1
dx
x

 x  2 t  ln 2
Đổi cận: 

 x  1 t  0
2

Suy ra:


1

ln 2

ln x

t2
dx   tdt 
x
2
0

ln 2


0

ln 2 2
2

3
♥ Vậy I   ln 2 2 . 
2

7|Trang

Fanpage: />

Chun đề ngun hàm – tích phân
2

Học tốn miễn phí:

x 2 1
ln xdx .
x2

Ví dụ 9: Tính tích phân I  
1

(Tích phân từng phần)


1
u  ln x
du  dx

x
2
♥ Đặt 
 
dv  x 1 dx 
1

v  x 
x2
x

2



1
1 1
Suy ra: I   x   ln x    x   dx




x
x x
1
1
2

2

2



1
1
  x   ln x   x  



x
x 1
1
5
3
 ln 2 
2
2
5
3

♥ Vậy I  ln 2  . 
2
2

Ví dụ 10: Tính tích phân I =

1

0 (2e

x2

 e x )xdx .

(Phân tích + đổi biến dạng 1+ tích phân

từng phần)
Bài giải
♥ Ta có: I =
 I1 =
 I2 =

1

0 2xe

x2

1

dx   xex dx .
0

1

1

1 x2
x2
2
e x2  = e – 1.
=
2xe
dx

e
d
(
x
)
0
0
  0

1

x

0 xe dx

Đặt u = x
 du = exdx
x
dv = e dx  v = ex.
1

1

1

Suy ra: I2 =  xe x    ex dx = e  e x  = 1.
0
0
0
♥ Vậy I = e – 1 + 1 = e. 

B. Bài tập
Bài 1: Tính các tích phân sau
1

1) I  
0


2

x



2

x 4



2

2) I  

dx

0

sin x

1  cos x 

2

dx

Bài 2: Tính các tích phân sau
e3

e

ln x  1
1) I  
dx

x
1

2) I  
1

ln 3 x  2
dx
x

Bài 3: Tính các tích phân sau
8|Trang

Fanpage: />

Chun đề ngun hàm – tích phân

Học tốn miễn phí:

2



2) I   sin 2x(1  sin 2 x)3dx

1) I   sin 3 x cos xdx

0

0

Bài 4: Tính các tích phân sau
2

2

1) I   x x 2  3dx

x2

2) I  

x3  1

0

1

dx

Bài 5: Tính các tích phân sau
1



2

e
 ln 3 x 
2) I   x 1  2  dx

x 
1 



1) I   x x  e x dx
0

Bài 6: Tính các tích phân sau
e

1  3ln x ln x
dx
x

1) I  
1

ln 3

2) I 


0

ex

e

x



1

dx

3

Bài 7: Tính các tích phân sau

2


6

1) I  

2) I  

s in2x cos x
dx
1  cos x
0

0

tan 4 x
dx
cos 2 x

Bài 8: Tính các tích phân sau

2


2

s in2x  sin x
1) I  
dx
1  3cos x
0

2) I  
0

sin 2x
cos2 x  4 sin 2 x

dx

Bài 9: Tính các tích phân sau

2




2



1) I   cos3 x  1 cos 2 xdx
0

s in2x
dx
3  4sin x  cos 2 x
0

2) I  

Bài 10: Tính các tích phân sau

4

1) I  
0

dx
cos x 3 tan x  1
4


2

2) I  

4

cot x  1
dx
sin 4 x

Bài 11: Tính các tích phân sau
e

1) I 

x
1


2

dx

2) I  

2

1  ln x


6

cot x
dx
sin 2 x  1

Bài 12: Tính các tích phân sau

3

1) I  

4

ln5

tan x
cos x 1  cos 2 x

dx

2) I 



ln 2

e2x
ex 1

dx

Bài 13: Tính các tích phân sau
9|Trang

Fanpage: />

Chun đề ngun hàm – tích phân

Học tốn miễn phí:

2


2

1) I   6 1  cos3 x sin x cos5 xdx

2) I   sin 2x(1  sin 2 x)3dx
0

0

Bài 14: Tính các tích phân sau
ln 5

1

1) I   x

3

2

2) I 

x  3dx





x

 1 ex

dx

x

ln 2

0

e

e 1

Bài 15: Tính các tích phân sau








2) I   ecos x  x sin xdx

1) I   x cos xdx
0

0

Bài 16: Tính các tích phân sau
2

3

ln x
dx
x2

1) I  
1





2) I   x ln 3  x 2 dx
0

Bài 17: Tính các tích phân sau
e

5

1) I   1  x 2  ln xdx

2) I   x 2 ln  x  1 dx

1

2

Bài 18: Tính các tích phân sau
e

e

x2  1
ln xdx
x

1) I  
1

2) I   x3 ln 2 xdx
1

Bài 19: Tính các tích phân sau
1

3

2) I   ln  x 2  x  dx

1) I    x  2  e 2 x dx
0

2

Bài 20: Tính các tích phân sau

2




4



1) I   ecos x  cos3 x sin xdx
0

2) I  

8

1
dx
sin 2 x.(2  cot 2 x)
2

Bài 21: Tính các tích phân sau
4

3

2x 1
1) I  
dx
0 1  2x 1

2) I 

dx

 x (x
2

1

2

 1)

Bài 22: Tính các tích phân sau

2

1) I  
0

2

cos 2 x

 sin x  cos x  3

3

dx

2) I  
0

x3  2 x 2  4 x  9
dx
x2  4

Bài 23: Tính các tích phân sau

10 | T r a n g

Fanpage: />

Chun đề ngun hàm – tích phân

Học tốn miễn phí:

2


6

1) I   x sin 2 3 xdx

cot x
dx
4
 1  sin x

I 

2)

0

4

Bài 24: Tính các tích phân sau
6

1) I  
2


2

sin x  cos x
dx
3  sin 2 x

0

1
dx
2x 1  4x  1

2) I  

Bài 25: Tính các tích phân sau

2

1) I  
0

1

x2
dx
0 ( x  1) x  1

sin 2 x
dx
3  4sin x  cos 2 x

2) I  

Nội dung 3: Ứng dụng của tích phân.
A. Tóm tắt lí thuyết

I. CƠNG THỨC
1. Cơng thức tính diện tích hình phẳng
y

y

x b
(C1 ) : y  f ( x)

xa

(C1 ) : y  f ( x )
(C ) : y  g ( x )
 2
(H ) : 
 1 : x  a
 2 : x  b

(H )

(C 2 ) : x  g ( y )

y b

b

(C 2 ) : y  g ( x)

(H )
ya

a
O

(C1 ) : x  f ( y )
(C ) : x  g ( y )
 2
(H ) : 
 1 : y  a
  2 : y  b

x

x

a

b

O
(C1 ) : x  f ( y)

b

b

S   f ( x)  g ( x) dx

S   f ( y )  g ( y ) dy

a

a

2. Cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay
y
xa

O
11 | T r a n g

a

xb
(C ) : y  f ( x)

y0

x
b

y

b
x0
a
O

y b
(C ) : x  f ( y )

ya

x

Fanpage: />

Chun đề ngun hàm – tích phân

Học tốn miễn phí:

2

b

b

2

V     f ( y ) dy

V     f ( x)  dx
a

a

II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x 2  x  3 và đường thẳng
y  2 x 1 .

Bài giải

♥ Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường
x 1
x 2  x  3  2 x  1  x 2  3x  2  0  
 x  2
♥ Diện tích hình phẳng cần tìm là
2

S   x 2  3x  2 dx
1
2

 x 3 3x 2

1
   x  3 x  2   
 2 x   . 

 3
2
1 6
1
2

2

Ví dụ 2: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường
1
y
, y  0, x  0 và x  1 xung quanh trục hoành.
1  4  3x

Bài giải
1

♥ Thể tích khối trịn xoay là V   
0

dx

1 

4  3x



2

.

♥ Đặt t  4  3x , ta có khi x  0 thì t  2, khi x  1 thì t  1 và x 

4  t2
2t
nên dx   dt.
3
3

1

2
2

1
2t
2
t
2  1
1 
.
d
t

d
t



 dt
2
2


(1  t ) 3
3 1 (t  1)
3 1  t  1 (t  1)2 
2

Khi đó ta có V   


12 | T r a n g

2
3

1  2 2  3 1   
3 

ln
|
t

1|


 
 ln     6ln  1 . 
t

1
3
2
6
9
2 

1




Fanpage: />

Chun đề ngun hàm – tích phân

Học tốn miễn phí:

B. Bài tập
 y  x2  4x  3

y  0
Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H): 
x  0
 x  2
 y  x 2
Oxy
Bài 2: Trong mặt phẳng 
 , tính diện tích của hình phẳng (H): 
2
 y  2  x

3x  1

y  x  1

Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H):  y  0
x  0


2
 y  x
Bài 4: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H): 

2
 x  y
2
 y  x  2x
Bài 5: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H) : 
2
 y  x  4x

(C ) : y  x

Bài 6: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H): (d ) : y  2  x
(Ox)

(C ) : y  e x

Bài 7: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H): ( d ) : y  2
(  ) : x  1


Bài 8: Trong mặt phẳng  Oxy  cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cc đường 4 y  x 2 và y  x . Tính
thể tích vật thể trịn xoay khi quay (H) quanh trục Ox.
Bài 9: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = x2 + x - 5 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
Bài 10: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho miền D giới hạn bởi các đường : y  x; y  2  x; y  0
Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
Bài 11: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho miền D giới hạn bởi hai đường : y  4  x 2 ; y  x 2  2 .
Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
--------------------------Hết---------------------------13 | T r a n g

Fanpage: />