Eureka uni giải tích 1 ch2 hàm số giới hạn tính liên tục full dạng

EUREKA! UNI – YOUTUBE

GIẢI TÍCH 1
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ: GIỚI HẠN
& TÍNH LIÊN TỤC
Đạo diễn: Hồng Bá Mạnh
Tài liệu tham khảo
1. Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012). Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh
tế. NXB Đại học KTQD. ĐH KTQD.

2. Nguyễn Ngọc Cừ, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng, Trần Thanh Sơn (2010). Giáo
trình Giải tích 1. NXB ĐH Quốc gia Hà Nội.

3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006). Giáo trình Tốn học cao
cấp tập II. Tái bản lần 10. NXB Giáo Dục.

Free Video Playlists

1. ĐẠI SỐ:

/>
3. GIẢI TÍCH:

/>
2. GIẢI TÍCH 1:
4. GIẢI TÍCH 2:

5. TỐN CAO CẤP NEU:

6. XÁC SUẤT & THỐNG KÊ:
7. KINH TẾ LƯỢNG:

8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO:

DONATE cho Eureka! Uni

/> />
/> />
/> />
* Momo/Shopee/Vietinbank/Techcombank/VPBank: 0986.960.312 Hoang Ba Manh


MỤC LỤC
1.

DẠNG 1. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CHỨNG MINH GIỚI HẠN HÀM SỐ .............. 1

1.1.

Trường hợp 𝑥𝑥 → ∞ ....................................................................................................... 1

1.1.1.
1.1.2.
1.2.

1.2.2.

2.2.

Giới hạn vô hạn ....................................................................................................... 4

Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản ................................................................... 6
Giới hạn của các hàm sơ cấp, hàm hợp ............................................................. 8

DẠNG 3. CÁC GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH CƠ BẢN.................................................. 10

3.1.

Tóm tắt lý thuyết ......................................................................................................... 10

3.1.1.
3.1.2.
3.1.3.
3.2.

Các dạng vô định và giới hạn vô định cơ bản ..................................... 10
Các giới hạn vô định kéo theo thường dùng ...................................... 10

Tổng kết giới hạn vô định cơ bản và kéo theo thường dùng.... 12

Ví dụ luyện tập và lời giải ...................................................................................... 13

3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
4.

Giới hạn hữu hạn ................................................................................................... 3

DẠNG 2. CÁC GIỚI HẠN DẠNG XÁC ĐỊNH CƠ BẢN .................................................. 6

2.1.
3.

Giới hạn vô hạn ....................................................................................................... 2

Trường hợp 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 hữu hạn ..................................................................................... 3

1.2.1.
2.

Giới hạn hữu hạn ................................................................................................... 1

Ví dụ luyện tập ..................................................................................................... 13

Các quy tắc tính giới hạn ................................................................................ 13
Giải ví dụ luyện tập ............................................................................................ 13

DẠNG 4. SỬ DỤNG VƠ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG ................................................ 16

4.1.

Vô cùng bé tương đương dạng cơ bản ........................................................... 16

4.1.1.
4.1.2.
4.2.

Ứng dụng VCB tương đương trong tính giới hạn ............................ 17

Tìm Vơ cùng bé tương đương cho tổng các vô cùng bé........................ 21

4.2.1.
4.2.2.
4.3.

Vô cùng bé và vô cùng bé tương đương ................................................ 16
Tổng các vô cùng bé khác bậc – ngắt bỏ VCB bậc cao .................... 21

Tổng các vơ cùng bé cùng bậc ..................................................................... 22

Tìm VCB tương đương bằng khai triển Taylor, Maclaurin ................ 25


4.3.1.
4.3.2.
4.3.3.
5.

5.2.

6.2.
6.3.

Nội dung của Quy tắc kẹp ....................................................................................... 36
Ví dụ luyện tập.............................................................................................................. 36
Nội dung Quy tắc L’Hospital ................................................................................. 41
Một số đạo hàm cơ bản ............................................................................................ 42
Ví dụ luyện tập giải chi tiết ................................................................................... 43

DẠNG 7. GIỚI HẠN DẠNG THỨC LŨY THỪA MŨ ................................................... 47

7.1.

Cách cách dùng riêng cho 1∞ ............................................................................... 47

7.1.1.
7.1.2.
7.1.3.
7.2.
8.

Áp dụng tính giới hạn ...................................................................................... 28

DẠNG 6. QUY TẮC L’HOSPITAL ....................................................................................... 41

6.1.

7.

Khai triển gián tiếp cho hàm hợp ............................................................. 27

DẠNG 5. QUY TẮC KẸP (VƠ CÙNG BÉ) × (HÀM BỊ CHẶN) ............................... 36

5.1.
6.

Các khai triển Maclaurin thường gặp .................................................... 26

Giới hạn vô định cơ bản 1∞.......................................................................... 47

Đổi về cơ số 𝒆𝒆 ........................................................................................................ 49
Quy tắc dùng cho dạng 𝟏𝟏∞ ............................................................................ 50

Phương pháp Logarit hóa ...................................................................................... 50

DẠNG 8. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ ............................................................. 57

8.1.

Hàm số liên tục, gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn .................... 57

8.1.1.
8.1.2.
8.1.3.
8.1.4.
8.1.5.
8.2.

Gián đoạn tại điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎 ...................................................................................... 59
Liên tục trên miền .............................................................................................. 60

Tính liên tục của các hàm sơ cấp............................................................... 60
Tính chất của hàm liên tục ............................................................................ 60

Hàm số Liên tục đều .................................................................................................. 61

8.2.1.
8.2.2.
8.2.3.
8.3.

Liên tục tại điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎........................................................................................... 57

Định nghĩa .............................................................................................................. 61
Minh họa Hàm số liên tục đều ..................................................................... 61
Minh họa Hàm số không liên tục đều ..................................................... 62

Ví dụ luyện tập.............................................................................................................. 63



1

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

1. DẠNG 1. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CHỨNG MINH
GIỚI HẠN HÀM SỐ
1.1. Trường hợp 𝑥𝑥 → ∞
1.1.1.

Giới hạn hữu hạn

Hàm số 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) có giới hạn 𝐿𝐿 khi 𝑥𝑥 → ∞ nếu ∀ 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý, ∃ 𝑥𝑥0 > 0
sao cho ∀ |𝑥𝑥 | > 𝑥𝑥0 thì:
|𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) − 𝐿𝐿| < 𝜀𝜀

Ví dụ 1. Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng:

𝑥𝑥 2
1
lim
=
−
𝑥𝑥→+∞ 2 − 3𝑥𝑥 2
3

Xét 𝜀𝜀 > 0 và do 𝑥𝑥 → +∞ nên xét 𝑥𝑥 > 1, ta có:

1
2
2
1
𝑥𝑥 2
+
�
=
�
�
=
<
< 𝜀𝜀
�
2 − 3𝑥𝑥 2 3
3(2 − 3𝑥𝑥 2 )
3(3𝑥𝑥 2 − 2) 𝑥𝑥

𝑥𝑥 > 1 ⇒

⇔ 𝑥𝑥 >

1
𝜀𝜀

3
(3𝑥𝑥 2 − 2) > 3𝑥𝑥 2 − 2 = 𝑥𝑥 2 + 2(𝑥𝑥 2 − 1) > 𝑥𝑥 2 > 𝑥𝑥
2
⇒

2

3(3𝑥𝑥 2 − 2)

<

1
𝑥𝑥

1

Vậy với 1 > 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý và chọn 𝑥𝑥0 = , ∀𝑥𝑥 > 𝑥𝑥0 , ta ln có:
Theo định nghĩa:

𝜀𝜀

1
𝑥𝑥 2
+
� < 𝜀𝜀

�
2 − 3𝑥𝑥 2 3

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

2

𝑥𝑥 2
1
lim
=
−
𝑥𝑥→+∞ 2 − 3𝑥𝑥 2
3

Eureka Uni (facebook.com)

𝑥𝑥 2
1
=
−
lim
𝑥𝑥→−∞ 2 − 3𝑥𝑥 2
3

Xét 𝜀𝜀 > 0 và do 𝑥𝑥 → −∞ nên xét 𝑥𝑥 < −1, ta có:

1
2
2
1
1
𝑥𝑥 2
|
|
+
�
=
�
�
=
<
<
𝜀𝜀
⇔
𝑥𝑥
>
�
2 − 3𝑥𝑥 2 3
3(2 − 3𝑥𝑥 2 )
3|3𝑥𝑥 2 − 2| |𝑥𝑥 |
𝜀𝜀
1
1
⇔ −𝑥𝑥 > ⇔ 𝑥𝑥 < −

𝜀𝜀
𝜀𝜀

3
3
𝑥𝑥 < −1 ⇒ |3𝑥𝑥 2 − 2| = (3𝑥𝑥 2 − 2) > 3𝑥𝑥 2 − 2 = 𝑥𝑥 2 + 2(𝑥𝑥 2 − 1)
2
2
> 𝑥𝑥 2 > |𝑥𝑥 |
1

Vậy, với 1 > 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý, chọn 𝑥𝑥0 = và 𝑥𝑥 < −𝑥𝑥0 , ta luôn có:
𝜀𝜀

Theo định nghĩa:

1.1.2.

1
𝑥𝑥 2
+
� < 𝜀𝜀
�
2 − 3𝑥𝑥 2 3

𝑥𝑥 2
1
=
−
lim

𝑥𝑥→−∞ 2 − 3𝑥𝑥 2
3

Giới hạn vô hạn

Hàm số 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) có giới hạn ∞ khi 𝑥𝑥 → ∞ nếu ∀ 𝐸𝐸 > 0 lớn tùy ý, ∃ 𝑥𝑥0
sao cho ∀ |𝑥𝑥 | > 𝑥𝑥0 thì:
|𝑓𝑓(𝑥𝑥 )| > 𝐸𝐸

Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


3

Eureka! Uni - YouTube

Ví dụ 2. Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng:

Eureka Uni (facebook.com)

𝑥𝑥 2
= −∞
lim
𝑥𝑥→−∞ 2𝑥𝑥 − 3

Xét 𝐸𝐸 > 0 và do 𝑥𝑥 → −∞ nên ta xét 𝑥𝑥 < −1, lúc này ta có:

𝑥𝑥 2

𝑥𝑥 2
𝑥𝑥
𝑥𝑥 2
�=
>
=
> 𝐸𝐸 ⇔ 𝑥𝑥 < −5𝐸𝐸
�
2𝑥𝑥 − 3
3 − 2𝑥𝑥 −3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 −5
𝑥𝑥 < −1 ⇒ −𝑥𝑥 > 1 ⇒ 3 − 2𝑥𝑥 < −3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 = −5𝑥𝑥

Theo 𝐸𝐸 > 0 lớn tùy ý và 𝑥𝑥 < −5𝐸𝐸, ta ln có:
Vậy theo định nghĩa:

𝑥𝑥 2
� > 𝐸𝐸
�
2𝑥𝑥 − 3

𝑥𝑥 2
= −∞
lim
𝑥𝑥→−∞ 2𝑥𝑥 − 3

1.2. Trường hợp 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 hữu hạn
1.2.1.

Giới hạn hữu hạn

Hàm số 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) có giới hạn 𝐿𝐿 khi 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 nếu ∀ 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý, ∃ 𝛿𝛿 =
𝛿𝛿 (𝜀𝜀 ) > 0 sao cho ∀ |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝛿𝛿 thì:
|𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) − 𝐿𝐿| < ⋯ < 𝑘𝑘 |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝜀𝜀

Ví dụ 3. Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng:

√𝑥𝑥 + 6
=1
𝑥𝑥→3 2𝑥𝑥 − 3
lim

Xét 𝜀𝜀 > 0 và do 𝑥𝑥 → 3 nên ta xét 𝑥𝑥 > 2, khi đó: 𝑘𝑘|𝑥𝑥 − 3| < 𝜀𝜀

Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


4

Eureka! Uni - YouTube

�

Eureka Uni (facebook.com)

√𝑥𝑥 + 6
√𝑥𝑥 + 6 − (2𝑥𝑥 − 3)
√𝑥𝑥 + 6 − 3 2(𝑥𝑥 − 3)
− 1� = �

�=�
−
�
2𝑥𝑥 − 3
2𝑥𝑥 − 3
2𝑥𝑥 − 3
2𝑥𝑥 − 3
𝑥𝑥 − 3
√𝑥𝑥 + 6 − 3
� + 2�
�
<�
2𝑥𝑥 − 3
2𝑥𝑥 − 3

=�

(𝑥𝑥 + 6) − 9

𝑥𝑥 − 3
� + 2�
�=
2𝑥𝑥 − 3
(2𝑥𝑥 − 3)�√𝑥𝑥 + 6 + 3�
𝑥𝑥 − 3

𝑥𝑥 − 3
� + 2�
�
2𝑥𝑥 − 3

(2𝑥𝑥 − 3)�√𝑥𝑥 + 6 + 3�
𝑥𝑥 − 3
𝑥𝑥 − 3
𝑥𝑥 − 3
<�
�+ 2�
� = 3�
� < 3|𝑥𝑥 − 3| < 𝜀𝜀
2𝑥𝑥 − 3
2𝑥𝑥 − 3
2𝑥𝑥 − 3
𝜀𝜀
⇔ |𝑥𝑥 − 3| <
3
=�

Với mọi 1 > 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý, chọn 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀/3. Khi đó với |𝑥𝑥 − 3| < 𝛿𝛿 ta
ln có:

Vậy, theo định nghĩa:

1.2.2.

�

√𝑥𝑥 + 6
− 1� < 𝜀𝜀
2𝑥𝑥 − 3
√𝑥𝑥 + 6
=1

𝑥𝑥→3 2𝑥𝑥 − 3
lim

Giới hạn vô hạn

Hàm số 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) có giới hạn ∞ khi 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 nếu ∀ 𝐸𝐸 > 0 lớn tùy ý, ∃ 𝛿𝛿 =
𝛿𝛿 (𝐸𝐸 ) > 0 sao cho ∀ |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝛿𝛿 thì:
|𝑓𝑓 (𝑥𝑥 )| > 𝐸𝐸 ⇔ ⋯ ⇔ 𝑘𝑘|𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝑔𝑔(𝐸𝐸)

Ví dụ 4. Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng:
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

5

𝑥𝑥
= +∞
𝑥𝑥→2 (𝑥𝑥 − 2)2
lim

Eureka Uni (facebook.com)

Xét 𝐸𝐸 > 0 và do 𝑥𝑥 → 2 nên ta xét 𝑥𝑥 > 1, khi đó:

𝑥𝑥
𝑥𝑥

1
1
2
(
)
�
=
>
>
𝐸𝐸
⇔
𝑥𝑥
−
2
<
⇔ |𝑥𝑥 − 2|
(𝑥𝑥 − 2)2
(𝑥𝑥 − 2)2 (𝑥𝑥 − 2)2
𝐸𝐸
1
<
√𝐸𝐸

�

Với mọi 𝐸𝐸 > 0 lớn tùy ý, chọn 𝛿𝛿 = 1/√𝐸𝐸. Khi đó với |𝑥𝑥 − 2| < 𝛿𝛿 ta

ln có:

Vậy, theo định nghĩa:

𝑥𝑥
� > 𝐸𝐸
(𝑥𝑥 − 2)2

�

𝑥𝑥
= +∞
𝑥𝑥→2 (𝑥𝑥 − 2)2
lim

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


6

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

2. DẠNG 2. CÁC GIỚI HẠN DẠNG XÁC ĐỊNH CƠ BẢN

XÁC ĐỊNH

VƠ ĐỊNH

• Tồn tại

• GH cơ bản

• Tồn tại???
• 7 dạng
• GH cơ bản

2.1. Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản
𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑎𝑎 𝑥𝑥
𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = log 𝑎𝑎 𝑥𝑥
(0, +∞)
ℝ
𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = tan 𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = cot 𝑥𝑥
𝜋𝜋
ℝ \{𝑘𝑘𝑘𝑘, }
ℝ \ � + 𝑘𝑘𝑘𝑘, �
2
𝑘𝑘 ∈ ℤ
𝑘𝑘 ∈ ℤ
𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = arcsin 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = arccos 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = arctan 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = arccot 𝑥𝑥
(−∞, +∞)
(−∞, +∞)
[−1,1]
[−1,1]
𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝐶𝐶
ℝ
𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = sin 𝑥𝑥
ℝ

𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 𝛼𝛼

(0, +∞)
𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = cos 𝑥𝑥
ℝ

Tại điểm 𝑥𝑥0 thuộc MXĐ

lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 )

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

Tại các đầu mút của MXĐ

0,
𝛼𝛼 > 0
lim+ 𝑥𝑥 𝛼𝛼 = �
+∞,
𝛼𝛼 < 0
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥 → 0+ : 𝑥𝑥 → 0, 𝑥𝑥 > 0

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

lim+ 𝑥𝑥 0,2 = 0

𝑥𝑥→0

lim+ 𝑥𝑥 −0,2 = lim+

𝑥𝑥→0

𝑥𝑥→0

1
= +∞
𝑥𝑥 0,2

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

+∞,
lim 𝑥𝑥 𝛼𝛼 = �
0,
𝑥𝑥→+∞

𝛼𝛼 > 0
𝛼𝛼 < 0

lim 𝑎𝑎 𝑥𝑥 = �
𝑥𝑥→+∞

+∞,
0,

𝑎𝑎 > 1
𝑎𝑎 < 1

lim 𝑎𝑎 𝑥𝑥 = �
𝑥𝑥→−∞

0,
+∞,

𝑎𝑎 > 1
𝑎𝑎 < 1

1≠𝑎𝑎>0

1≠𝑎𝑎>0

−∞,
lim+ log𝑎𝑎 𝑥𝑥 = �
+∞,
𝑥𝑥→0

1≠𝑎𝑎>0

+∞,
lim
log𝑎𝑎 𝑥𝑥 = �
𝑥𝑥→+∞
−∞,

1≠𝑎𝑎>0

𝑎𝑎 > 1
𝑎𝑎 < 1
𝑎𝑎 > 1
𝑎𝑎 < 1

7

Eureka Uni (facebook.com)

lim √𝑥𝑥 = +∞

𝑥𝑥→+∞
1
1
−2
lim 𝑥𝑥 = lim
𝑥𝑥→+∞
𝑥𝑥→+∞ √𝑥𝑥

lim 2𝑥𝑥 = +∞

=0

𝑥𝑥→+∞
𝑥𝑥

1
1
lim � � = lim 𝑥𝑥 = 0
𝑥𝑥→+∞ 2
𝑥𝑥→+∞ 2
1

lim 𝑒𝑒 𝑥𝑥 = lim

−𝑥𝑥→+∞ 𝑒𝑒 −𝑥𝑥

𝑥𝑥→−∞

=0

1 𝑥𝑥
lim � � = lim 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 = +∞
𝑥𝑥→−∞ 𝑒𝑒
−𝑥𝑥→+∞
lim ln 𝑥𝑥 = −∞

𝑥𝑥→0+

lim log 1 𝑥𝑥 = − lim+ ln 𝑥𝑥 = +∞

𝑥𝑥→0+

𝑒𝑒

𝑥𝑥→0

lim ln 𝑥𝑥 = +∞

𝑥𝑥→+∞

lim log 1 𝑥𝑥 = − lim ln 𝑥𝑥

𝑥𝑥→+∞

𝑒𝑒

= −∞

𝑥𝑥→+∞

sin 𝑥𝑥 , cos 𝑥𝑥 , tan 𝑥𝑥 , cot 𝑥𝑥 không tồn tại giới hạn 𝑥𝑥 → ∞
𝜋𝜋
𝑥𝑥→±1
2
𝜋𝜋
lim arctan 𝑥𝑥 = ±
𝑥𝑥→±∞
2
lim arcsin 𝑥𝑥 = ±

lim arccos 𝑥𝑥 = 0

𝑥𝑥→1

sin

𝜋𝜋
𝜋𝜋
= 1 ⇔ = arcsin(1)
2
2
𝜋𝜋
arctan(±∞) = ±

2

cos 0 = 1 ⇔ 0 = arccos(1)

lim arccos 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋

cos 𝜋𝜋 = −1 ⇔ 𝜋𝜋 = arccos(−1)

lim arccot 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋

arccot(−∞) = 𝜋𝜋

𝑥𝑥→−1

lim arccot 𝑥𝑥 = 0

𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥→−∞

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

arccot(+∞) = 0

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


8

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

2.2. Giới hạn của các hàm sơ cấp, hàm hợp
Quy tắc tính giới hạn

Nếu lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑎𝑎 và lim 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) = 𝑏𝑏 thì:
𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

lim [𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥 )] = 𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) 𝑎𝑎
lim
= (𝑏𝑏 ≠ 0)
𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑔𝑔(𝑥𝑥 )
𝑏𝑏

Ví dụ luyện tập

lim [𝑓𝑓(𝑥𝑥 ). 𝑔𝑔(𝑥𝑥 )] = 𝑎𝑎. 𝑏𝑏

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

lim [𝑓𝑓(𝑥𝑥

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

)] 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

= 𝑎𝑎

𝐿𝐿1 = lim arctan(−2𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 ) = −
𝑥𝑥→+∞

𝑏𝑏

𝑎𝑎 > 0
�� 𝑎𝑎 = 1 �
𝑏𝑏 ≠ ∞

𝜋𝜋
2

𝐿𝐿2 = lim− ln(1 − 𝑥𝑥 ) = −∞
𝑥𝑥→1

𝑥𝑥

𝜋𝜋

𝐿𝐿3 = lim (2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 4)arcsin2 = 5 6
𝑥𝑥→1

𝐿𝐿31 = lim (2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 4) = 2 × 12 − 3 × 1 + 4 = 5
𝑥𝑥→1

𝐿𝐿32

𝑥𝑥
1 𝜋𝜋
= lim arcsin = arcsin =
𝑥𝑥→1
2
2 6

𝐿𝐿4 = lim (cos 3𝑥𝑥 )tan 𝑥𝑥 = 10 = 1
𝑥𝑥→0

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

𝐿𝐿5 = lim

𝑥𝑥→+∞

𝐿𝐿6 = lim

2
𝜋𝜋
𝑒𝑒 arccot(−𝑥𝑥)−3
𝑥𝑥

9

=

Eureka Uni (facebook.com)

2
𝜋𝜋
𝑒𝑒 arccot(−∞)−3

5 − arctan(3−𝑥𝑥 )

𝑥𝑥→−∞ 3 arccot √8𝑥𝑥 2

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

− 7 − 𝑒𝑒 3𝑥𝑥

=

2
𝜋𝜋
𝑒𝑒 𝜋𝜋−3

=

1
𝑒𝑒

𝜋𝜋

2 =∞
=
3×0 −0
0−

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


10

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

3. DẠNG 3. CÁC GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH CƠ BẢN

XÁC ĐỊNH

VƠ ĐỊNH

• Tồn tại
• GH cơ bản

• Tồn tại???
• 7 dạng
• GH cơ bản

3.1. Tóm tắt lý thuyết
3.1.1.

Các dạng vơ định và giới hạn vô định cơ bản

Các dạng vô định
0
,
0

∞
,
∞

0∞,

1∞ ,

∞ − ∞,

Giới hạn vô định cơ bản dạng 0/0

∞0 ,

00

sin 𝑥𝑥
=1
𝑥𝑥→0 𝑥𝑥
lim

Giới hạn vô định cơ bản dạng 1∞

3.1.2.

1
1
𝑥𝑥
lim �1 + � = lim (1 + 𝑥𝑥 ) = 𝑒𝑒
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥

Các giới hạn vơ định kéo theo thường dùng
sin(𝑎𝑎𝑎𝑎)
= 1,
𝑥𝑥→0
𝑎𝑎𝑎𝑎
lim

Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

sin 𝑢𝑢
=1
𝑢𝑢(𝑥𝑥)→0 𝑢𝑢
lim

tan 𝑥𝑥
=1
𝑥𝑥→0 𝑥𝑥
lim

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Eureka! Uni - YouTube

tan 𝑎𝑎𝑎𝑎
= 1,
𝑥𝑥→0 𝑎𝑎𝑎𝑎
lim

11

tan 𝑢𝑢
=1
𝑢𝑢→0 𝑢𝑢
lim

1 − cos 𝑥𝑥
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥 2
2
lim

1 − cos 2𝑎𝑎 = 2 sin2 𝑎𝑎

1 − cos(𝑎𝑎𝑎𝑎 )
= 1,
(𝑎𝑎𝑎𝑎 )2
𝑥𝑥→0
2

lim

Eureka Uni (facebook.com)

1 − cos 𝑢𝑢
=1
𝑢𝑢→0
𝑢𝑢2
2
lim

arcsin 𝑥𝑥
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥
lim

3

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) ⇔ 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 −1 (𝑦𝑦) ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓�𝑓𝑓 −1 (𝑥𝑥 )� = � √𝑥𝑥 �
= sin(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 ) = tan (arctan 𝑥𝑥)

arcsin(𝑎𝑎𝑎𝑎)
= 1,
𝑥𝑥→0
(𝑎𝑎𝑎𝑎)

arcsin 𝑢𝑢
=1
𝑢𝑢→0

𝑢𝑢

arctan(𝑎𝑎𝑎𝑎)
= 1,
𝑥𝑥→0
(𝑎𝑎𝑎𝑎)

arctan 𝑢𝑢
=1
𝑢𝑢→0
𝑢𝑢

lim

lim

3

lim

arctan 𝑥𝑥
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥
lim

lim

1
1

𝑥𝑥
lim �1 + � = lim (1 + 𝑥𝑥 ) = 𝑒𝑒
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥

ln(1 + 𝑥𝑥 )
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥
lim

ln 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 ln 𝑎𝑎

ln(1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 )
= 1,
𝑥𝑥→0
𝑎𝑎𝑎𝑎
lim

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

ln(1 + 𝑢𝑢)
=1
𝑢𝑢→0
𝑢𝑢
lim

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

12

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 1
lim
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥

𝑥𝑥 = ln(𝑒𝑒 𝑥𝑥 ) = ln[1 + (𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 1)]

𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 1
lim
= 1,
𝑥𝑥→0
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑒𝑒 ln�𝑎𝑎

𝑏𝑏 �

(1 + 𝑥𝑥 )𝛼𝛼 − 1
lim
=1
𝑥𝑥→0
𝛼𝛼𝛼𝛼

= 𝑒𝑒 𝑏𝑏 ln 𝑎𝑎 ⇒ (1 + 𝑥𝑥 )𝛼𝛼 = 𝑒𝑒 𝛼𝛼 ln(1+𝑥𝑥)

(1 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 )𝛼𝛼 − 1
lim
= 1,
𝑥𝑥→0
𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑛𝑛
𝑛𝑛

3.1.3.

𝑒𝑒 𝑢𝑢 − 1
lim
=1
𝑢𝑢→0
𝑢𝑢

lim

𝑥𝑥→0

𝑛𝑛

𝑚𝑚

(1 + 𝑢𝑢)𝛼𝛼 − 1
lim
=1
𝑢𝑢→0

𝛼𝛼𝛼𝛼

√1 + 𝑥𝑥 − 1
=1
𝑥𝑥/𝑛𝑛

1

𝑛𝑛

√𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ⇒ √1 + 𝑥𝑥 = (1 + 𝑥𝑥 )𝑛𝑛

√1 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 1
= 1,
lim
𝑥𝑥→0
𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑛𝑛

lim

𝑢𝑢→0

𝑛𝑛

√1 + 𝑢𝑢 − 1
=1
𝑢𝑢/𝑛𝑛

Tổng kết giới hạn vô định cơ bản và kéo theo

thường dùng
sin 𝑥𝑥
=1
𝑥𝑥→0 𝑥𝑥
arcsin 𝑥𝑥
lim
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥
tan 𝑥𝑥
lim
=1
𝑥𝑥→0 𝑥𝑥
arctan 𝑥𝑥
lim
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥
1 − cos 𝑥𝑥
lim
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥 2
2
lim

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

sin 𝑢𝑢
=1

𝑢𝑢→0 𝑢𝑢
arcsin 𝑢𝑢
lim
=1
𝑢𝑢→0
𝑢𝑢
tan 𝑢𝑢
lim
=1
𝑢𝑢→0 𝑢𝑢
arctan 𝑢𝑢
lim
=1
𝑢𝑢→0
𝑢𝑢
1 − cos 𝑢𝑢
lim
=1
𝑢𝑢→0
𝑢𝑢2
2
lim

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

13

1

Eureka Uni (facebook.com)

lim (1 + 𝑥𝑥 )𝑥𝑥 = 𝑒𝑒

𝑥𝑥→0

1

lim (1 + 𝑢𝑢)𝑢𝑢 = 𝑒𝑒

𝑢𝑢→0

ln(1 + 𝑥𝑥 )
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥
𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 1
lim
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥
(1 + 𝑥𝑥 )𝛼𝛼 − 1
lim
=1
𝑥𝑥→0
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑛𝑛
√1 + 𝑥𝑥 − 1

lim
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥/𝑛𝑛

ln(1 + 𝑢𝑢)
=1
𝑢𝑢→0
𝑢𝑢
𝑒𝑒 𝑢𝑢 − 1
lim
=1
𝑢𝑢→0
𝑢𝑢
(1 + 𝑢𝑢)𝛼𝛼 − 1
lim
=1
𝑢𝑢→0
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑛𝑛
√1 + 𝑢𝑢 − 1
lim
=1
𝑢𝑢→0
𝑢𝑢/𝑛𝑛

lim

lim

3.2. Ví dụ luyện tập và lời giải
3.2.1.

Ví dụ luyện tập
3

√cos 3𝑥𝑥 − 1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥 2
sin(2𝑥𝑥 2 ) arctan2 𝑥𝑥
𝐿𝐿3 = lim 4𝑥𝑥
𝑥𝑥→0 (𝑒𝑒
− 1) ln(1 + 𝑥𝑥 2 )
𝐿𝐿1 = lim

3.2.2.

𝐿𝐿2 = lim �𝑥𝑥√2 + �2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥�
𝑥𝑥→−∞

𝐿𝐿4 = lim (1 +
𝑥𝑥→0

1
2 𝑥𝑥 )1−cos 2𝑥𝑥
𝑥𝑥 𝑒𝑒

Các quy tắc tính giới hạn

Nếu lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑎𝑎 và lim 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) = 𝑏𝑏 thì:

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

lim [𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥 )] = 𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) 𝑎𝑎
lim
= (𝑏𝑏 ≠ 0)
𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑔𝑔(𝑥𝑥 )
𝑏𝑏

3.2.3.

Giải ví dụ luyện tập

Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

lim [𝑓𝑓(𝑥𝑥 ). 𝑔𝑔(𝑥𝑥 )] = 𝑎𝑎. 𝑏𝑏

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

lim [𝑓𝑓(𝑥𝑥

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

)] 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

= 𝑎𝑎

𝑏𝑏

𝑎𝑎 > 0
�� 𝑎𝑎 = 1 �
𝑏𝑏 ≠ ∞

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


14

Eureka! Uni - YouTube

𝐿𝐿1 = lim

cos 3𝑥𝑥 − 1

𝑥𝑥→0 𝑥𝑥 2 � 3√cos 2 3𝑥𝑥

𝐿𝐿2 = lim

Eureka Uni (facebook.com)

3

+ √cos 3𝑥𝑥 + 1�
1 − cos 3𝑥𝑥
= − lim 2

𝑥𝑥→0 9𝑥𝑥
2 3
3
× � √cos2 3𝑥𝑥 + √cos 3𝑥𝑥 + 1�
2
9
9
1 − cos 3𝑥𝑥
2
= − lim
× 3
3
2
(3𝑥𝑥 )
𝑥𝑥→0
� √cos2 3𝑥𝑥 + √cos 3𝑥𝑥 + 1�
2
3
3
= −1 × = −
2
2

𝑥𝑥→−∞

2

�𝑥𝑥√2� − �√2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥�
𝑥𝑥√2 −

= lim

√2𝑥𝑥 2

𝑥𝑥→−∞ 𝑥𝑥√2

= lim

𝑥𝑥→−∞

= lim

𝑥𝑥→−∞

= lim

𝑥𝑥→−∞

− 𝑥𝑥
𝑥𝑥

= lim

− √2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥

√2 +

1

√2𝑥𝑥 2

1

√2 + �
1

− 𝑥𝑥
−𝑥𝑥

2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥
𝑥𝑥 2

1
√2 + �2 − 𝑥𝑥

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

2

=

2𝑥𝑥 2 − (2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 )

𝑥𝑥→−∞ 𝑥𝑥√2

= lim

𝑥𝑥→−∞

= lim

𝑥𝑥→−∞

1

− √2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥
1

√2 −

√2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥
𝑥𝑥
1

√2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥
√2 +
√𝑥𝑥 2

√2 + √2 − 0

=

1

2√2

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


15

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

sin(2𝑥𝑥 2 ) arctan2 𝑥𝑥
𝐿𝐿3 = lim 4𝑥𝑥
𝑥𝑥→0 (𝑒𝑒
− 1) ln(1 + 𝑥𝑥 2 )
arctan 𝑥𝑥 2
sin(2𝑥𝑥 2 )
2
×
2𝑥𝑥
×
� × 𝑥𝑥 2
�
2
𝑥𝑥
= lim 2𝑥𝑥
𝑥𝑥→0 (𝑒𝑒 4𝑥𝑥 − 1)
ln(1 + 𝑥𝑥 2 )
× 4𝑥𝑥 ×
× 𝑥𝑥 2
2
4𝑥𝑥
𝑥𝑥
2
2
arctan 𝑥𝑥
sin(2𝑥𝑥 )

�
𝑥𝑥 1 × 1
2
𝑥𝑥 �
2𝑥𝑥
= lim 4𝑥𝑥
×
=
×0=0
𝑥𝑥→0 (𝑒𝑒
− 1) ln(1 + 𝑥𝑥 2 ) 2 1 × 1
×
4𝑥𝑥
𝑥𝑥 2
1

𝐿𝐿4 = lim (1 + 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥 )𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥
𝑥𝑥→0

𝐿𝐿42

×

𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥

1−cos 2𝑥𝑥

𝐿𝐿41 = lim (1 +
𝑥𝑥→0

1

= lim �(1 + 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥 )𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥 �
𝑥𝑥→0

1
2 𝑥𝑥 )𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥
𝑥𝑥 𝑒𝑒

= 𝑒𝑒

𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥
𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥
= lim
= lim
= lim
𝑥𝑥→0 1 − cos 2𝑥𝑥
𝑥𝑥→0 2 sin2 𝑥𝑥
𝑥𝑥→0

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥
1−cos 2𝑥𝑥

𝑒𝑒 𝑥𝑥

sin 𝑥𝑥 2
2�
𝑥𝑥 �

=

1
2

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


16

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

4. DẠNG 4. SỬ DỤNG VƠ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG
4.1. Vơ cùng bé tương đương dạng cơ bản
Ví dụ
ln(𝑥𝑥 − 2)
𝐿𝐿2 = lim 3
𝑥𝑥→3 √3𝑥𝑥 − 1 − 2

sin(2𝑥𝑥 2 ) arctan2 𝑥𝑥
𝐿𝐿1 = lim 4𝑥𝑥
𝑥𝑥→0 (𝑒𝑒
− 1) ln(1 + 𝑥𝑥 2 )
1 − sin 2𝑥𝑥
𝜋𝜋
𝑥𝑥→ 4 tan2 � − 𝑥𝑥� cos 𝑥𝑥
4

𝐿𝐿3 = lim𝜋𝜋

𝐿𝐿4 = lim log cos 5𝑥𝑥 (cos 3𝑥𝑥 )
𝑥𝑥→0

𝑒𝑒 2𝑥𝑥 − cos 3𝑥𝑥
𝐿𝐿6 = lim
𝑥𝑥→0 𝑥𝑥 ln(1 − 𝑥𝑥 ) + arcsin 4𝑥𝑥

2 𝑥𝑥

𝐿𝐿5 = lim(cos 3𝑥𝑥 )cot
𝑥𝑥→0

𝐿𝐿7 = lim

𝑥𝑥→0

ln(cos 2𝑥𝑥 ) − 𝑥𝑥 tan2 𝑥𝑥
𝑒𝑒

𝑥𝑥 2

𝐿𝐿8 = lim

− √1 − 3𝑥𝑥 2

𝑥𝑥→0

tan (sin 𝑥𝑥) − sin 𝑥𝑥
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥 3

𝐿𝐿9 = lim

4.1.1.

𝑒𝑒 3𝑥𝑥

2 −4𝑥𝑥

− cos 𝑥𝑥

𝑥𝑥 2

Vô cùng bé và vô cùng bé tương đương

lim 𝑢𝑢(𝑥𝑥 ) = 0 ⇒ 𝑢𝑢(𝑥𝑥 ) là một VCB khi 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 , xét 2 VCB là 𝑢𝑢(𝑥𝑥 ) và 𝑣𝑣(𝑥𝑥 ):
0,
𝑢𝑢
lim = �1,
𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑣𝑣
𝑘𝑘,

𝑢𝑢 = 𝑜𝑜(𝑣𝑣)

𝑢𝑢~𝑣𝑣
𝑢𝑢, 𝑣𝑣 𝑐𝑐ù𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑏𝑏ậ𝑐𝑐

Các cặp VCB tương đương cơ bản và thường dùng
Giới hạn

sin 𝑥𝑥
=1
𝑥𝑥→0 𝑥𝑥
lim

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

𝑥𝑥 → 0

sin 𝑥𝑥 ~𝑥𝑥

𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 ⇒ 𝑢𝑢(𝑥𝑥 ) → 0
sin 𝑢𝑢 ~𝑢𝑢

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


17

Eureka! Uni - YouTube

tan 𝑥𝑥
=1
𝑥𝑥→0 𝑥𝑥

lim

tan 𝑥𝑥 ~𝑥𝑥

Eureka Uni (facebook.com)

tan 𝑢𝑢 ~𝑢𝑢

1 − cos 𝑥𝑥
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥 2
2

𝑥𝑥 2
(1 − cos 𝑥𝑥 )~
2

𝑢𝑢2
(1 − cos 𝑢𝑢)~
2

arctan 𝑥𝑥
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥

arctan 𝑥𝑥 ~𝑥𝑥

arctan 𝑢𝑢 ~𝑢𝑢

lim

arcsin 𝑥𝑥
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥
lim

arcsin 𝑥𝑥 ~𝑥𝑥

lim

ln(1 + 𝑥𝑥 )
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥

ln(1 + 𝑥𝑥 ) ~𝑥𝑥

lim

𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 1
lim
=1
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥

(𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 1)~𝑥𝑥

(1 + 𝑥𝑥 )𝛼𝛼 − 1
lim
= 1 [(1 + 𝑥𝑥 )𝛼𝛼 − 1]~𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑥𝑥→0
𝛼𝛼𝛼𝛼
lim

𝑥𝑥→0

𝑛𝑛

√1 + 𝑥𝑥 − 1
=1
1
𝑥𝑥
𝑛𝑛

4.1.2.

arcsin 𝑢𝑢 ~𝑢𝑢

1
𝑛𝑛
� √1 + 𝑥𝑥 − 1�~ 𝑥𝑥
𝑛𝑛

ln(1 + 𝑢𝑢) ~𝑢𝑢
(𝑒𝑒 𝑢𝑢 − 1)~𝑢𝑢

[(1 + 𝑢𝑢)𝛼𝛼 − 1]~𝛼𝛼𝛼𝛼

1
𝑛𝑛
� √1 + 𝑢𝑢 − 1�~ 𝑢𝑢
𝑛𝑛

Ứng dụng VCB tương đương trong tính giới

hạn
Quy tắc thay thế
𝑢𝑢(𝑥𝑥 ) 0
� �,
𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑣𝑣 (𝑥𝑥 )
0

𝐿𝐿 = lim

𝐿𝐿′ = lim 𝑢𝑢(𝑥𝑥 )𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) (0∞)

𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 : 𝑢𝑢(𝑥𝑥 )~𝑢𝑢∗ (𝑥𝑥 ) và 𝑣𝑣(𝑥𝑥 )~𝑣𝑣 ∗ (𝑥𝑥 )

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑢𝑢(𝑥𝑥 )
𝑢𝑢∗ (𝑥𝑥 )
= lim ∗
𝐿𝐿 = lim
𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑣𝑣 (𝑥𝑥 )
𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑣𝑣 (𝑥𝑥 )

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

18

Eureka Uni (facebook.com)

𝐿𝐿′ = lim 𝑢𝑢(𝑥𝑥 )𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = lim 𝑢𝑢∗ (𝑥𝑥 )𝑓𝑓(𝑥𝑥 )

Ví dụ 1

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

sin(2𝑥𝑥 2 ) arctan2 𝑥𝑥
0
�
�
𝐿𝐿1 = lim 4𝑥𝑥
𝑥𝑥→0 (𝑒𝑒
− 1) ln(1 + 𝑥𝑥 2 ) 0
2𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 )2
𝑥𝑥
𝐿𝐿1 = lim
=
lim

=0
𝑥𝑥→0 4𝑥𝑥 × 𝑥𝑥 2
𝑥𝑥→0 2

𝑢𝑢 → 0: sin 𝑢𝑢 ~𝑢𝑢,
arctan 𝑢𝑢 ~𝑢𝑢,
ln(1 + 𝑢𝑢) ~𝑢𝑢

𝐿𝐿2 = lim

𝑥𝑥→3

(𝑒𝑒 𝑢𝑢 − 1)~𝑢𝑢,

ln(𝑥𝑥 − 2)
0
� �
𝐿𝐿2 = lim 3
𝑥𝑥→3 √3𝑥𝑥 − 1 − 2
0

ln(1 + 𝑥𝑥 − 3)

𝑥𝑥 − 3
=
lim
3
3
√3𝑥𝑥 − 1 − 2 𝑥𝑥→3 √3𝑥𝑥 − 1 − 2
𝑥𝑥 − 3

= lim
3
3
𝑥𝑥→3
� √3𝑥𝑥 − 1� − 23
3

2

3

3

2

3

� √3𝑥𝑥 − 1� + 2 √3𝑥𝑥 − 1 + 22
𝑥𝑥 − 3
= lim
𝑥𝑥→3
3(𝑥𝑥 − 3)
� √3𝑥𝑥 − 1� + 2 √3𝑥𝑥 − 1 + 22
3

3

3

2

3

� √3𝑥𝑥 − 1� + 2 √3𝑥𝑥 − 1 + 22
= lim
=4
𝑥𝑥→3
3
2

𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵)(𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

2)

𝐴𝐴3 − 𝐵𝐵3
⇒ 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = 2
𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵2

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube
3

√3𝑥𝑥 − 1 − 2 = 2 �
3

19

3

√3𝑥𝑥 − 1
3

√8

= 2 � �1 +
3

= 2 � �1 +

3

− 1� = 2 � �

3𝑥𝑥 − 1
− 1 − 1�
8

Eureka Uni (facebook.com)

3𝑥𝑥 − 1
− 1�
8

3(𝑥𝑥 − 3)
1 3(𝑥𝑥 − 3) 1
− 1� ~2 ×
= (𝑥𝑥 − 3)

8
8
3
4
1
𝑛𝑛
� √1 + 𝑢𝑢 − 1�~ 𝑢𝑢
𝑛𝑛

1 − sin 2𝑥𝑥
0
�
�
𝜋𝜋
0
2
𝑥𝑥→ 4 tan � − 𝑥𝑥� cos 𝑥𝑥
4

𝐿𝐿3 = lim𝜋𝜋

2
1
𝜋𝜋
𝜋𝜋
1 − cos 2 � − 𝑥𝑥�
�2 � − 𝑥𝑥��
2
2
4

4
=
lim
=
lim
𝐿𝐿3 = lim𝜋𝜋
2
𝜋𝜋
𝜋𝜋
𝜋𝜋
𝑥𝑥→ 4 tan2 � − 𝑥𝑥� cos 𝑥𝑥
𝑥𝑥→ 4 𝜋𝜋
𝑥𝑥→ 4 cos 𝑥𝑥
−
𝑥𝑥�
cos
𝑥𝑥
�
4
4
2
=
= 2√2
1
√2
𝜋𝜋
𝜋𝜋
sin 2𝑥𝑥 = cos � − 2𝑥𝑥� = cos 2 � − 𝑥𝑥�
4
2

)2

2

𝑢𝑢 → 0: (tan 𝑢𝑢 ~𝑢𝑢 ,

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

𝑢𝑢2
1 − cos 𝑢𝑢 ~
2

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


20

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

ln(cos 3𝑥𝑥 ) 0
� �
𝑥𝑥→0 ln(cos 5𝑥𝑥 )
0

𝐿𝐿4 = lim log cos 5𝑥𝑥 (cos 3𝑥𝑥 ) = lim
𝑥𝑥→0

ln(1 + cos 3𝑥𝑥 − 1)
cos 3𝑥𝑥 − 1
1 − cos 3𝑥𝑥
= lim
= lim
𝑥𝑥→0 ln(1 + cos 5𝑥𝑥 − 1)
𝑥𝑥→0 cos 5𝑥𝑥 − 1
𝑥𝑥→0 1 − cos 5𝑥𝑥
1
(3𝑥𝑥 )2
(3)2
9
2
= lim
= lim
=
2
𝑥𝑥→0 1
25
(5𝑥𝑥 )2 𝑥𝑥→0 (5)
2

= lim

log 𝑎𝑎 𝑏𝑏 =

log 𝑐𝑐 𝑏𝑏 ln 𝑏𝑏
=
,
log 𝑐𝑐 𝑎𝑎 ln 𝑎𝑎

𝑢𝑢2
1 − cos 𝑢𝑢 ~
2

𝑢𝑢 → 0: ln(1 + 𝑢𝑢) ~𝑢𝑢,

𝐿𝐿5 = lim (cos 3𝑥𝑥 )cot
𝑥𝑥→0

1

2 𝑥𝑥

(1∞ )

𝐿𝐿5 = lim (1 + cos 3𝑥𝑥 − 1)cos 3𝑥𝑥−1×(cos 3𝑥𝑥−1) cot
𝑥𝑥→0

= lim �(1 + cos 3𝑥𝑥 −
𝑥𝑥→0

2 𝑥𝑥

(cos 3𝑥𝑥−1) cot2 𝑥𝑥
1
1)cos 3𝑥𝑥−1 �
1

𝐿𝐿51 = lim (1 + cos 3𝑥𝑥 − 1)cos 3𝑥𝑥−1 = 𝑒𝑒

𝑥𝑥→0

cos 3𝑥𝑥 − 1
𝑥𝑥→0
tan2 𝑥𝑥
(3𝑥𝑥 )2
(3)2
−
−
−(1 − cos 3𝑥𝑥 )
2 = lim
2 = −9
= lim
=
lim
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥→0
tan2 𝑥𝑥
𝑥𝑥 2
1
2

𝐿𝐿52 = lim (cos 3𝑥𝑥 − 1) cot 2 𝑥𝑥 = lim
𝑥𝑥→0

9

𝐿𝐿5 = 𝑒𝑒 −2 =

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

1

𝑒𝑒 4 √𝑒𝑒

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


21

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

4.2. Tìm Vơ cùng bé tương đương cho tổng các vô
cùng bé
Quy tắc thay thế cho tích và thương
𝑢𝑢(𝑥𝑥 ) 0
� �,
𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑣𝑣 (𝑥𝑥 )
0

𝐿𝐿′ = lim 𝑢𝑢(𝑥𝑥 )𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) (0∞)

𝐿𝐿 = lim

𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 : 𝑢𝑢(𝑥𝑥 )~𝑢𝑢∗ (𝑥𝑥 ) và 𝑣𝑣(𝑥𝑥 )~𝑣𝑣 ∗ (𝑥𝑥 )

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑢𝑢(𝑥𝑥 )
𝑢𝑢∗ (𝑥𝑥 )
= lim ∗
𝐿𝐿 = lim
𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑣𝑣 (𝑥𝑥 )
𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑣𝑣 (𝑥𝑥 )

4.2.1.

𝐿𝐿′ = lim 𝑢𝑢(𝑥𝑥 )𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = lim 𝑢𝑢∗ (𝑥𝑥 )𝑓𝑓(𝑥𝑥 )
𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

Tổng các vô cùng bé khác bậc – ngắt bỏ VCB bậc

cao
𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 : 𝑢𝑢(𝑥𝑥 ) → 0 và 𝑣𝑣 (𝑥𝑥 ) → 0

Cần tìm VCB tương đương cho tổng

𝑢𝑢(𝑥𝑥 ) + 𝑣𝑣(𝑥𝑥 )

Trường hợp 𝑢𝑢(𝑥𝑥 ) và 𝑣𝑣 (𝑥𝑥 ) là 2 VCB khác bậc (Ngắt bỏ VCB bậc cao)
𝑣𝑣 (𝑥𝑥 ) = 𝑜𝑜[𝑢𝑢(𝑥𝑥 )] ⇒ [𝑢𝑢(𝑥𝑥 ) + 𝑣𝑣(𝑥𝑥 )]~𝑢𝑢(𝑥𝑥 )
𝑣𝑣
=0
𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑢𝑢
lim

𝑣𝑣
𝑢𝑢 + 𝑣𝑣
= lim �1 + � = 1 + 0 = 1
𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑢𝑢
𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑢𝑢
lim

𝑥𝑥 → 0: (𝑎𝑎1 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2 𝑥𝑥 2 + 𝑎𝑎3 𝑥𝑥 3 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 )~𝑎𝑎1 𝑥𝑥
Ví dụ 2
Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook