Giải tích Toán học - Hàm số liên tục

1
1



Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007.


Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Hàm liên tục, Điểm trong, điểm biên, điểm tụ,
Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo
hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi phân, Sự hội tụ.


Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Mục lục
Chương 7 Hàm số liên tục trong
n
\
4
7.1 Tập hợp trong
n
\
4
7.1.1 Khoảng cách trong
n
\

4
7.1.2 Lân cận của một điểm 5
7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp 6
7.1.4 Tập mở, tập đóng 8
7.1.5 Tập liên thông 8
7.2 Sự hội tụ trong
n
\
, các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số 9
Chương 7. Hàm số liên tục trong
n
\



Lê Văn Trực


2
7.2.1 Sự hội tụ trong
n
\
9
7.2.2 Dãy cơ bản 10
7.2.3 Nguyên lí Canto 11
7.2.4 Chú ý 11
7.2.5 Tập hợp compact 12
7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số 12
7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số 12
7.2.8 Đường mức và mặt mức 13

7.3 Giới hạn của hàm số trong
n
\
14
7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 14
7.3.2 Giới hạn lặp 15
7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp 16
7.3.1 Chú ý 17
7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục 19
7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm 19
7.4.2 Hàm số liên tục đều 20
7.4.3 Liên tục theo từng biến 21
7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số 22
7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một 22
7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao 28
7.6 Đạo hàm của hàm số ẩn 31
7.6.1 Khái niệm về hàm số ẩn một biến số 31
7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn của hai biến số 33
7.7 Đạo hàm theo hướng 35
7.7.1 Đạo hàm theo hướng 35
7.7.2 Gradien 36
7.8 Công thức Taylor. Cực trị của hàm số nhiều biến số 37
7.8.1 Công thức Taylor 37
7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số 39
7.8.3 Giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trên compac 42
7.9 Cực trị có điều kiện 43
7.9.1 Định nghĩa: 43


3

3
7.9.2 Phương pháp tìm cực trị 43
7.10 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 48
7.10.1 Tiếp tuyến của đường cong 48
7.10.2 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong 49
7.10.3 Độ cong 51
7.10.4 Bao hình của một họ đườngcong 53
7.11 Bài tập chương 7 56
7.12 Hướng dẫn giải bài tập và đáp số 60

4

Chương 7
Hàm số liên tục trong
n
\

7.1 Tập hợp trong
n
\

7.1.1 Khoảng cách trong
n
\

a) Khoảng cách giữa hai điểm trong
n
\
Cho không gian
n
\ và điểm M
∈
n
\ . Nếu
12 n
, , ,
x
xx là các toạ độ của điểm M trong hệ
toạ độ Descartes vuông góc, ta thường viết
12 n

(, , , )
M
xx x
Cho
n
\ và một hàm số
nn
:
ρ
×→\\ \. Ta nói rằng
ρ
là khoảng cách trong
n
\ nếu
thoả mãn các tính chất sau:
i) ()0
ρ
≥M,N
n
∀∈\M,N
ii) ( )= ( )
ρ
ρ
M
,N N,M
n
∀∈\M,N
iii) ( ) ( )+ ( )
ρ
ρρ

≤
M
,P M,N N,P
∀
M
,N,P
∈
n
\
Giả sử
12 n
( , , , )
M
xx x và
12 n
( , , , )Ny y y là hai điểm trong
n
\ . Khoảng cách giữa hai
điểm M,N được cho bởi công thức:

1
n
2
2
i=1
()=( )
ρ
⎡
⎤
−

⎢
⎥
⎣
⎦
∑
ii
M,N x y
(7.1.1)
Có thể chứng minh được rằng khoảng cách cho bởi công thức (7.1.1) thoả mãn 3 tính
chất nói trên. Thật vậy tính chất i) và ii) hiển nhiên được thoả mãn. Ta chứng minh tính chất
iii). Giả sử
n
12 n
( , , , )∈\Pz z z , ta có theo công thức (7.1.1):
nn
22
2
i=1 i=1
()= ( )( )
ρ
−= −+−
∑∑
ii i i ii
M
,P x z x y y z
n
2
i=1
()
ii ii

x
yyz≤−+−
∑

nn n
22
i=1 i=1 i=1
2
ii iiii ii
x
yxyyzyz=−+ −−+−
∑∑ ∑



5
5
11
nnnn
22
2222
i=1 i=1 i=1 i=1
2
ii ii ii ii
x
yxyzyyz
⎛⎞⎛⎞
≤−+ − − +−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

∑∑∑∑

theo công thức (7.1.1)
[]
22
2
()+2().()+()
=( )+( )
ρρρρ
ρρ
=
M
,N M,N N,P N,P
M,N N,P

suy ra:
()( )+()
ρ
ρρ
≤
M
,P M,N N,P .
Ví dụ như khoảng cách
ρ
giữa những điểm M(1,0,1) và N(2,1,0) trong không gian
3
\
là:
222
(1 2) (0 1) (1 0) 3

ρ
=−+−+−=.
b) Khoảng cách giữa hai tập hợp
Cho
n
,,⊂≠∅≠∅\A,B A B . Ta gọi số:
{
}
( )=inf ( , ); ,
ρρ
∈∈
A
,B x y x A y B
(7.1.2)
là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B. Từ định nghĩa ta thấy ( ) 0
ρ
≥A,B ,
()=().
ρ
ρ
A
,B B,A

Hiển nhiên nếu
∩≠∅AB thì
ρ
(A,B)=0. Tuy nhiên có những trường hợp ∩≠∅AB , nhưng
ρ
(A,B)=0. Ví dụ như =( ,0), =(0,+ )−∞ ∞AB, ta thấy =
∩

∅AB và
ρ
(A,B)=0. Thật vậy:
{
}
0()=inf(,);
ρρ
≤∈∈A,B x y x A, y B
*
*
11 1 1
inf ( , ); , ,
2
inf , 0
ρ
⎧⎫
≤−−∈∈∈
⎨⎬
⎩⎭
⎧⎫
=∈=
⎨⎬
⎩⎭
`
`
ABn
nn n n
n
n

c) Đường kính của tập hợp
Cho
n
,⊂≠∅\AA. Đường kính của tập hợp A là số:
{
}
()=sup (,); ,
δρ
∈∈AxyxAyA . (7.1.3)
Nếu A là tập hợp một điểm thì ( )=0
δ
A .
Ví dụ như đường kính của khoảng (−1,1) là 2. Giả sử
n
, ⊂≠∅\AA. Ta nói rằng A là
tập hợp bị chặn nếu ( )
δ
∈\A , nói cách khác tập A được gọi là bị chặn nếu như A được chứa
trong một hình cầu nào đó.
7.1.2 Lân cận của một điểm
a)
ε
- lân cận
Cho
n
0
∈\M
. Người ta gọi
ε
-lân cận của điểm

0
M
, kí hiệu là
0
O( )
ε
M
, là tập hợp tất
cả những điểm
n
∈\
M
sao cho khoảng cách từ M tới
0
M
bé hơn
ε
, tức là:

6
{
}
n
00
O( ) ; ( , )
ε
ρ
ε
=
∈<\MM MM

.
Ví dụ 1 a) Với n=1. Cho
1
0
∈\x . Các điểm x sao cho
00 0 0
(, )xx x x x x x
ρ
εε ε
=
−<↔−<<+.
Vậy
0
O( )
x
ε
là khoảng
()
00
,xx
ε
ε
−+
b) Với n=2. Cho
2
000
(, )∈\Mxy , xét các điểm M(x,y) sao cho
()
2
2

00 0
(, )= ( )
ρ
ε
−
+− <MM x x y y

()
2
22
00
()xx yy
ε
↔− +− <.
Vậy
0
O( )
ε
M
là hình tròn tâm M
0
(x
0
,y
0
) bán kính
ε
.
c) Với
n=3. Cho

3
0000
(, ,)∈\Mxyz , xét các điểm M(x.y.z) sao cho
()
2
22
00 00
(, )= ( ) ( )
ρ
ε
−
+− +− <MM x x y y z z
()
2
222
000
()()xx yy zz
ε
−+−+−<.
Vậy
0
O( )
ε
M
là hình cầu tâm
0
M
bán kính
ε
.

b) Lân cận của một điểm
Ta gọi lân cận của một điểm
0
M
là mọi tập hợp chứa một
ε
- lân cận nào đó của
0
M
, tức
là tập con
n
U ⊂ \ là lân cận của điểm
0
M
nếu:
0
ε
∃>
sao cho
0
O(M)
ε
⊂ U. Ta thấy theo định nghĩa:
α
) nếu U là lân cận của điểm
0
M
, thì mọi tập hợp
n

11
U,UU⊂⊃\ cũng là lân cận của
điểm
0
M
.
β
) Nếu
12
U,U là lân cận của
0
M
thì
1212
UU,UU
∩
∪ cũng là lân cận của điểm
0
M

7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp
a) Điểm trong
Cho A là một tập hợp trong
n
\ . Điểm
∈
M
A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại
một
ε

-lân cận nào đó O ( )
ε
M
nằm hoàn toàn trong A (Hình 7.1.1).


7
7

Hình.7.1.1

b) Điểm biên
Điểm
n
∈\N được gọi là điểm biên của tập hợp A mọi
ε
-lân cận của N đều chứa những
điểm thuộc
A vừa chứa những điểm không thuộc A. Điểm biên của tập hợp A có thể thuộc A
cũng có thể không thuộc
A.
Tập hợp những điểm biên của
A được gọi là biên của tập hợp A. Tập hợp các điểm biên
của tập hợp
A kí hiệu là ∂A.
Ví dụ 2: Cho
()
{
}
2

1212
,; ,=∈<<≤≤\Axy axabyb (xem hình 7.1.2)
Các điểm
11
(, )Nxb với
12
<<axa nằm trên đường thẳng y =
1
b và các điểm
22
(, )Nxb
với
12
<<axa nằm trên đường y =
2
b là các điểm biên của tập A. Các điểm biên này thuộc
tập hợp
A. Các điểm
31
(,)Nay với
12
≤
≤byb và các điểm
42
(,)Nay với
12
≤≤byby cũng là
các điểm biên của tập hợp
A. Các điểm biên này không thuộc tập hợp A.
c) Điểm tụ

Cho
n
⊂ \A và
n
∈\
M
. Điểm M gọi là điểm tụ của A nếu mọi lân cận của A đều
chứa ít nhất một điểm của
A. Tập hợp các điểm tụ của A kí hiệu là A’ và gọi là tập dẫn
xuất của
A.

8
b
2
y
o
a
1
a
2
b
1

Hình.7.1.2
Ví dụ 3
Cho
n
11 11 11
(1,1),( , ),( , ), ,( , ), ;n

22 33 nn
⎧⎫
=∈
⎨⎬
⎩⎭
\A
Dễ thấy O(0,0) là điểm tụ của
A.
Ví dụ 4
Giả sử tập hợp
()
{
}
2
=;1,1∈<≤\Ax,y x y
. Ta thấy tất cả các điểm của tập hợp
()
{
}
2
1
;1,1=∈<<\Ax,y xy ⊂ A đều là điểm trong của tập A.
7.1.4 Tập mở, tập đóng
Cho
n
⊂ \A , tập A được gọi là mở nếu mọi điểm M của A đều là điểm trong của A.
Tập
n
⊂ \A được gọi là đóng nếu A chứa mọi điểm biên của A. Hiển nhiên
n

⊂ \A là
đóng trong
n
\ , thì
n
\ \A là tập mở trong
n
\ .
Ví dụ 5: Cho
2
000
(, )∈\Mxy . Tập hợp:
() ( )
{
}
2
222
000
(,)= , ; ( )∈−+−<\
B
Mr Mxy xx y y r
là tập mở. Tập hợp:
() ( )
{
}
2
222
000
(,)= , ; ( )∈−+−≤\KM r M xy x x y y r
là tập đóng.

7.1.5 Tập liên thông
Tập A gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kì
12
M,M của A bởi một đường cong
liên tục hoàn toàn nằm trong A( xem hình 7.1.3).


9
9


Tập hợp đơn liên Tập hợp không liên thông Tập hợp đa liên (2 liên)
Hình 7.1.3

Tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó được giới hạn bởi một mặt kín, là đa liên
nếu nó được giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau.
Ví dụ 6: Tập hợp nào trong các tập sau là tập liên thông
a)
()
{
}
2
1
;1=∈+≤\Ex,y xy
b)
()
{
}
22 2
2

;| | | | 1=∈ +≠\Ex,y xy
Giải: a) Do
1
E là phần bên trong (kể cả biên) của hình vuông giới hạn bởi các đường
± y= ± x+1, nên
1
E là liên thông.
b)
2
E là tâp hợp các điểm của
2
\ , trừ ra các điểm nằm trên đường tròn
22
1+=xy .
2
E không
phải là tập hợp liên thông.
7.2 Sự hội tụ trong
n
\
, các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số
7.2.1 Sự hội tụ trong
n
\
Trong không gian
n
\ cho dãy
(
)
{

}
kkk k
12 n
, , ,Mxx x , k=1,2, ,n
Dãy
{
}
k
M được gọi là hội tụ tới
010 20 n0
( , , , )
M
xx x nếu:
0, k( ) 0
ε
ε
∀> ∃ > sao cho
k
0
O( )
ε
∈
M
M , ( )
ε
∀
≥kk (7.2.1).
hay tương đương với
k
0

(,)
ρ
ε
<
MM , ( )
ε
∀
≥kk (7.2.1)’,
tức là:
()
1
2
2
k
ii0
1
ε
=
⎡⎤
−<
⎢⎥
⎣⎦
∑
n
i
xx , ( )
ε
∀≥kk (7.2.1)”.
Khi đó ta viết:
k

0
lim
→+∞
=
k
M
M
hay
k
0
→
M
M khi k →+∞

10
Định lí 7.2.1 Dãy
()
{
}
kkk k
12 n
, , ,Mxx x hội tụ tới
010 20 n0
( , , , )
M
xx x khi và chỉ khi dãy các
thành phần
{
}
k

1
,
x

{
}
{
}
kk
2n
, ,
x
x
hội tụ tới
10 20 n0
, , ,
x
xx tương ứng.
Chứng minh;
Do
{
}
k
0
→
M
M nên: 0, ( )
ε
ε
∀> ∃k sao cho

k2k2 k2
110 2 20 n n0
( ) ( ) ( )
ε
−+−++− <xx xx xx , ( )
ε
∀
≥kk (7.2.2)
Cho nên:
k
110
k
220
k
nn0

ε
ε
ε
⎧
−
<
⎪
⎪
−
<
⎪
⎨
⎪
⎪

−
<
⎪
⎩
xx
xx
xx
( )
ε
∀
≥kk .
Từ đấy suy ra
{
}
{
}
{
}
kk k
1102 20n n0
, , ,→→ →
x
xx x x x khi k→+∞.
Bạn đọc tự chứng minh phần ngược lại.
7.2.2 Dãy cơ bản
Dãy
{
}
kn
⊂ \M được gọi là dãy cơ bản (hay Cauchy) nếu:

kp
k,p
lim ( , ) 0
ρ
→+∞
=
MM (7.2.3)
tức là
0, ( )
ε
ε
∀> ∃k sao cho
kp
(,), ()
ρ
εε
<∀ ≥
M
Mk,pk(7.2.4)
Định lí 7.2.2 Để dãy
{
}
k
M
hội tụ, điều kiện cần và đủ là nó là dãy cơ bản.
Chứng minh
a)
Điều kiện cần
Giả sử dãy
{

}
k
M hội tụ tới
0
M
, ta hãy chứng minh nó là dãy cơ bản.
Thật vậy, theo giả thiết:
0, ( )
ε
ε
∀
>∃k >0 sao cho
k
0
(,)
2
ε
ρ
<
MM
, ( )
ε
∀
≥kk ,
Từ đây suy ra:
kp k p
00
(,) (,)(,) ,
22
ε

ε
ρ
ρρ ε
≤+<+=MM MM MM
()
ε
∀≥k, p k . Vậy dãy
{
}
k
M là dãy cơ bản.
b)
Điều kiện đủ:


11
11
Giả sử dãy
{
}
k
M
là dãy cơ bản, ta phải chứng minh nó hội tụ.
Thật vậy, do
{
}
k
M là dãy cơ bản, nên:
0, ( )
ε

ε
∀> ∃k >0 sao cho
kp
(,), ()
ρ
εε
<∀ ≥
M
Mk,pk hay:
kp2 k p2 k p2
11 2 2 n n
( ) ( ) ( )
ε
−+−++− <xx xx x x , ( )
ε
∀
≥k, p k .
Từ đây suy ra:
kp
11
kp
22
kp
nn

xx
xx
xx
ε
ε

ε
⎧
−
<
⎪
⎪
−
<
⎪
⎨
⎪
⎪
−
<
⎪
⎩
, ( )
ε
∀
≥k, p k ,
tức là các dãy
{
}
{
}
{
}
kk k
12 n
, , ,

x
xx là các dãy cơ bản. Theo định lí Cauchy các dãy trên
hội tụ, nên tồn tại:
kk k
10 1 20 2 n0 n
kk k
lim , lim , , lim
x
xx x x x
→∞ →∞ →∞
== =
và do đó:
()
kkk k
1 2 n 0 10 20 n0
M , , , M ( , , , )
x
xx xxx→ .
Ví dụ 7 Xét dãy các điểm:
2
k
2
1k
M,
1+k 1+k
⎧⎫
⎛⎞
⎪⎪
⎨⎬
⎜⎟

⎪⎪
⎝⎠
⎩⎭
, k=1,2, ,n
Ta thấy dãy
k
0
MM(0,1)→ , bởi vì:
k
0
222
11
(,) 0
(1+ ) (1+ )
ρ
=+→MM
kk
khi
→+∞k
.
7.2.3 Nguyên lí Canto
Dãy hình cầu đóng
{
}
n
O ⊂ \
k
gọi là thắt dần nếu:
+1
OO,1⊂∀≥

kk
k (7.2.5)
và các bán kính 0→
k
r khi →+∞k . Tương tự như trong
1
\ , ta có các định lí sau:
Định lí 7.2.3 (Nguyên lí Canto):
Mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất.
Định lí 7.2.4 (Bolzano-Weierstrass)
Mọi dãy bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ.
7.2.4 Chú ý

12
Trong lí thuyết tô pô trên
n
\ ta có các khẳng định sau (Xem [2]):
Mệnh đề 1 Điểm M là điểm tụ của tập hợp
n
⊂ \A khi và chỉ khi trong A có một dãy
điểm phân biệt
k
M
hội tụ tới M khi →+∞k .
Mệnh đề 2 Tập
n
⊂ \A là tập đóng khi và chỉ khi mọi dãy
{
}
, ⊂→

kk
M
AM M khi
→+∞k
thì ∈
M
A.
7.2.5 Tập hợp compact
Tập
n
⊂ \A được gọi là tập compact nếu mọi dãy
{
}
k
M trong A đều chứa một dãy con
{
}
k
M
hội tụ tới một điểm thuộc A.
Tương tự như trong
1
\
, ta cũng có định lí sau:
Định lí 7.2.5 Tập
n
⊂ \A là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn.
7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số
Cho không gian Euclide n chiều
n

\ và tập hợp
n
D ⊂ \ . Gọi ánh xạ:
f:D→
\
xác định bởi:
()
, , ,
12 n
x= x x x D
∈
→ , , , )
12 n
u=f(x)=f(x x x
∈
\
là hàm số của n biến số xác định trên D. Tập hợp D được gọi là tập xác định (hay là miền
xác định) của hàm số f và , , ,
12 n
x
xx được gọi là các biến số độc lập.
Nếu xem , , ,
12 n
x
xx là các toạ độ của một điểm nào đó
n
∈
\
M
trong hệ toạ độ

Descarter vuông góc thì ta có thể viết u=f(M).
Trong trường hợp n=2 hay n=3 ta có hàm hai hay ba biến số và thường được kí hiệu là z =
f(x,y) hay u = f(x,y,z).
7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số
Nếu hàm u được cho bởi biểu thức u=f(M) (mà không có chú ý gì thêm về tập xác định
của nó) thì tập xác định của hàm u được hiểu là tập hợp những điểm M sao cho biểu thức f(M)
có nghĩa.
Ví dụ 8: Hàm số 1- -4
22
u= x y xác định khi 4 1
22
x+ y
≤
hay 1
1
4
2
2
y
x+
≤
. Miền xác định của
hàm số là miền được giới hạn bởi elip với các bán trục a=1, b=
1
2
(kể cả biên, xem hình
7.2.1).


13

13


Hình 7.2.1 Hình 7.2.2
Ví dụ 9: Hàm số 1
94
22
x
y
u= - +
xác định khi 10
94
22
xy
-
+
≥ 1
94
22
xy
⇒−≤
. Miền
xác định của hàm số là miền giữa hai nhánh của hypebon với các bán trục
a=3, b=2 (Xem
hình 7.2.2).
Ví dụ 10: Hàm số
1
22
u=
x

y+
xác định khi 0
22
xy
+
≠ . Miền xác định là toàn bộ mặt phẳng
trừ gốc toạ độ.
Ví dụ 11: Hàm số u=ln(x+y) xác định khi x+y > 0. Vậy miền xác định của hàm số là miền
nằm phía trên đường thẳng y=
−x (xem hình 7.2.3)


Hình 7.2.3 Hình 7.2.4
Ví dụ 12: Hàm số arcsin
y
u=
x
xác định khi 1,
y
x
0
x
≤
≠ . Vậy miền xác định của hàm số là
một phần mặt phẳng nằm giữa các đường thẳng y
=
±
x trừ ra gốc toạ độ (xem hình 7.2.4).
7.2.8 Đường mức và mặt mức
Cho hàm u = f(x,y). Ta gọi tập hợp những điểm của miền xác định của hàm số sao cho tại

đó hàm số có giá trị không đổi c là đường mức của hàm số. Phương trình của đường mức ứng
với giá trị u
= c là:
f(x,y)
= c (7.2.5).
Tương tự như vậy, đối với hàm ba biến số độc lập ta có khái niệm mặt mức.

14
Mặt mức của hàm số u = f(x,y,z) là một mặt trong không gian Oxyz, mà trên đó hàm số
có giá trị không đổi c. Phương trình của mặt mức ứng với giá trị u
= c là:
f(x,y,z)
= c. (7.2.6).
Ví dụ 13: Tìm đường mức của các hàm số sau:
a)
22
22
y
=1
−−
x
u
ab
.
Phương trình đường mức u
= c ⇔ 1
22
22
xy
c

ab
+
=−. Đường mức là đường elip khi c <1, là
gốc toạ độ khi c
= 1.
b)
2
y
u=
x

Phương trình đường mức u
=c ⇔
2
y
x
=c hay y=c
2
x
. Đường mức là một parabol với mọi
giá trị c.
c) u
= y−2
2
x
.
Phương trình đường mức u
= c
⇔
y = c+2

2
x
. Vậy với mọi c đường mức là các parabol
có đường trục đối xứng là trục Oy và có đỉnh tại điểm (O,c).

7.3 Giới hạn của hàm số trong
n
\
Để dễ hình dung ta hãy xét giới hạn của hàm hai biến số. Mọi kết quả được mở rộng cho
hàm có số biến nhiều hơn.
7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm
Định nghĩa 1: Giả sử
2
D ⊂ \ và f:D
→ \
, , )
00 0
M
(x y là điểm tụ của tập D. Ta nói rằng hàm
f(x,y) có giới hạn l tại
0
M
và viết:
(,) , )
lim
00
xy (x y
f
(x,y)=l
→

hay lim
0
MM
f
(M)=l
→

nếu 0, 0
ε
δ
∀> ∃> sao cho ( ) D∀∈Mx,y thoả mãn ( )
0
M,M
ρ
δ
<
thì
()-
ε
<
fM l (7.3.1)
Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau.
Định nghĩa 2: Hàm z = f(M) có giới hạn l khi
0
MM→ nếu với mọi dãy điểm ( )
nnn
M
x,y
(khác
0

M) thuộc lân cận V của điểm
0
M dần đến
0
M ta đều có:
lim (
nn
n
f
x,y )=l
→∞
. (7.3.2)
Khi đó ta viết
(,) , )
lim (
00
xy (x y
f
x,y)=l
→
hay lim (
0
0
xx
yy
f
x,y)=l
→
→
.

15
15
Ta còn gọi giới hạn trên là giới hạn kép hay là giới hạn theo tập hợp các biến.
Chú ý: Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm một
biến số. Chẳng hạn:
(
22
1
fx,y)=
xy
→+∞
+
khi ( ) (0,0)x,y → .
Ví dụ 1: Tìm lim (
(x,y) (0,0)
f
x,y)
→
với (
22
xy
fx,y)=
x
y+
.
Giải: Hàm số được xác định trên
{
}

2
\ (0,0)\ .
Vì:
( ( ) (0,0)
22
xy
fx,y) y x,y
xy
=≤∀≠
+
,
nên:
00
00
0 lim ( lim 0
xx
yy
fx,y) y
→→
→→
≤≤=,
do đó:
0
0
lim ( 0
→
→
x
y
f

x,y)= .
Ví dụ 2: Tìm
0
0
lim ( ) = 0
→
→
x
y
fx,y với ()
22
x
y
fx,y=
x
y
+
.
Nếu cho (x,y)
→
(0,0) theo phương của đường thẳng y = kx, ta có:
()
1
2
k
fx,kx=
+k
khi x
≠
0.

Do đó
0
lim ( )
1
2
x
k
fx,kx=
+k
→
.
Khi k khác nhau, (
x,y)→(0,0) theo phương khác nhau, f(x,y) dần tới những giới hạn khác
nhau. Do đó giới hạn trên không tồn tại.
7.3.2 Giới hạn lặp
Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập
2
D ⊂ \ .
Với y cố định, gọi:
{
}
1
D;()Dxx,y=∈ ∈\ .
Giả sử
0
x
là điểm tụ của tập
1
D và xét giới hạn lim ( )
0

xx
f
x,y
→
. Rõ ràng giới hạn này phụ
thuộc vào y, kí hiệu:
() lim ( )
0
xx
gy= f x,y
→
.

16
Gọi
2
D={y R∈ |giới hạn lim ( )
0
xx
f
x,y
→
tồn tại}. Giả sử
0
y
là điểm tụ của
2
D . Ta xét tiếp
giới hạn:
lim ( ) lim lim ( )

000
yy yy xx
gy= fx,y
→→→
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
(7.3.3)
Hoàn toàn tương tự, ta có thể xét giới hạn:
lim lim ( )
00
xx yy
f
x,y
→→
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
. (7.3.4)
Ta gọi các giới hạn (7.3.3) và (7.3.4) nếu chúng tồn tại là giới hạn lặp của hàm f tại
()
00
x
,y .

Ví dụ 3: Xét hàm số
22
sin (cos 1)
()
1
x
y+
z=f x,y =
x
y++
.
Tìm
00
lim lim ( )
yx
f
x,y
→→
và
00
lim lim ( )
xy
f
x,y
→→
.
∀ y ≠ 0 ta có
0
lim ( ) = 0
x

fx,y
→
, suy ra
00
lim lim ( )
yx
f
x,y
→→
=0.
Mặt khác
∀ x
≠
0,
22 2
00
sinx(cosy+1) 2sinx
lim f(x,y)= lim
1x y 1+x
yy→→
=
++
suy ra:
00
lim lim ( )
xy
f
x,y
→→
=

0
2sin
lim 0
1
2
x
x
+x
→
=
.
Ta thấy trong trường hợp này hai giới hạn lặp tồn tại và bằng nhau.
Ví dụ 4: Tìm giới hạn lặp của hàm số:
cos
()
2
x
+
yy
fx,y=
x
+
y
tại (x,y)=(0,0).
∀ x ≠ 0, ta có
00
cos 1
lim ( ) lim
22
yy

x+y y
fx,y=
x+y
→→
=
,
suy ra
00
lim lim ( )
xy
f
x,y
→→
=
1
2
.
Mặt khác,
∀ y
≠
0 ta có
0
lim ( ) cos
x
f
x,y = y
→
, suy ra:
00 0
lim lim ( ) lim cos 1

yx y
f
x,y = y
→→ →
= .
Trong trường hợp này, các giới hạn lặp tồn tại nhưng không bằng nhau.
7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp


1
7
1
7
Định lí 7.3.1 Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập hợp D và
(
)
00
x
,y
là điểm tụ của D. Giả sử
tồn tại giới hạn
()
()
lim ( )
00
x,y x ,y
lfx,y
→
= . Khi đó nếu tồn tại giói hạn lặp nào của hàm số tại
()

00
,
x
y thì giới hạn đó cũng bằng
l
.
Chứng minh: Giả sử tồn tại giới hạn
00
'limlim( )
xxyy
lfx,y
→→
=
(7.3.5)
Ta hãy chứng minh
'll= .
Đặt
0
()=lim ( )
yy
F
xfx,y
→
(7.3.6).
Khi đó theo giả thiết (7.3.5) ta có:

0
lim F(x)= '
xx
l

→
(7.3.7)
Bởi vì
()
00
(x,y) x ,y
lim f(x,y)=l
→
(7.3.8)
nên 0, 0
ε
δ
∀≥ ∃> sao cho ( )∀
x
,y thoả mãn
22
00
()( )
δ
−
+− <xx yy thì
(, )
ε
−
<
f
xy l (7.3.9).
Trong (7.3.9) cho
0
y

y→ ta được:
lim ( , )
ε
→
−
≤
0
yy
fxy l
∀
∈\x
thoả mãn
0
0< x-x
δ
<
, tức là: ∀∈\x sao cho 0<
0
x-x
δ
<
thoả mãn

()
ε
−
≤Fx l (7.3.10)
Trong (7.3.10) cho
0
x

x→ , ta được ' 0
εε
−
≤∀>ll . Do
ε
là tuỳ ý nên ' =ll.
7.3.1 Chú ý
a) Sự tồn tại các giới hạn lặp kể cả khi chúng bằng nhau không suy ra được sự tồn tại giới
hạn của hàm theo tập hợp các biến.
Ví dụ 5: Xét hàm số ()
−
=
x
y
fx,y
x
+y
.
Ta thấy
0
lim ( ) = 1
x
fx,y
→
−
00
lim lim ( ) = 1
yx
fx,y
→→

⇒− và
0
lim ( ) = 1
y
fx,y
→

00
lim lim ( ) = 1
xy
fx,y
→→
⇒ .
Bây giờ ta xét giới hạn
()
lim ( )
(x,y) 0,0
f
x,y
→
.
Trước hết ta thấy
()
nn
1
,(,0)(0,0)
n
xy =→ khi n +→∞ thì
1
(,0) 1 khi fn

n
→→+∞
.

18
Mặt khác dãy
()
nn
1
',' (0, )
n
xy = (0,0)→ khi n+→∞, nhưng
1
f(0, ) 1
n
→− . Vậy giới hạn
theo tập hợp các biến
()
lim ( )
(x,y) 0,0
f
x,y
→
không tồn tại.
b) Sự tồn tại giói hạn theo tập hợp các biến không suy ra được sự tồn tại các giới hạn lặp.
Ví dụ 6: Cho hàm
1
()( )sin
fx,y=x+y
x

y
.
Do
1
0, 0 ( )sin
x,y x+y
x
y
∀≠ ≤
0x+y x y≤≤+→
khi ( , ) (0,0)xy→ .
Suy ra
(,) (0,0)
lim ( ) 0
xy
f
x,y =
→
. Tuy nhiên dễ dàng thấy rằng cả hai giới hạn lặp đều không tồn
tại.
Ví dụ 7: Tìm giới hạn khi ( , ) (0,0)xy→ của hàm số:
()
22
22
x
y
fx,y=
x
+y
−

.
a) Ta thấy với dãy
11
( , ) (0,0) khi
k
z= k +
kk
→→∞
, dãy tương ứng:
11
(,) 0 0 khi
k
zf k
kk
==→→+∞.
Mặt khác với dãy
21
( ) , ) (0,0) khi
kk
x
',y' =( k +
kk
→→∞, nhưng dãy tương ứng:
3
21 3 3
(,)
5
55
2
k

2
k
z' f
kk
k
===→khi +k →∞.
Vậy hàm số không có giới hạn khi
(, ) (0,0)xy→ .
b) Dễ dàng thấy
00 0
lim lim ( ) lim( 1) 1
yx y
fx,y
→→ →
=−=−,
00 0
lim lim ( ) lim1 1
xy x
fx,y
→→ →
==.
Ví dụ 8: Tìm giới hạn khi (x,y)→ (0,0) của hàm số
arctg
y
zx
x
= .
a)
Ta có 0arctg 0
2

y
zx x
x
π
≤= < → khi ( ) (0,0)x, y → . Vậy
(x,y) (0,0)
lim =0z
→

b)
Dễ thấy
00 0
lim lim = lim 0 0
yx y
z
→→ →
= và
00 0
lim lim = lim 0 0
xy y
z
→→ →
=
.


19
19
Ví dụ 9: Tìm giới hạn khi (x,y)→(0,0) của hàm số
33

22
x
+y
z=
x
+y
.
a)
33 3 3
22 22
x
+y x y
z
x
+y x +y
+
=≤
33
22 22
x
y
x
+y x +y
=+
0xy
≤
+→
khi ( ) (0,0)x,y →
.
Vậy

(x,y) (0,0)
lim 0z
→
=
.
b) Dễ thấy
00 0
lim lim lim 0
yx y
zy
→→ →
== và
00 0
lim lim lim 0
xy x
zx
→→ →
=
= .
Ví dụ 10: Tìm giới hạn khi (x,y)→(0,0) của hàm số
1
(1 cos=−
22
2
+x +y
zy)
y
.
a) Ta thấy
2

2(1 )sin
22
2
y
+x +y
2
z
y
=
, nên
(x,y) (0,0)
11
lim 2.
42
z
→
=
= .
b) Dễ thấy
2
2
00 0
1+
lim lim lim (1 cos )
yx y
y
zy
y
→→ →
=−=

22
2
0
2(1+ )sin
11
2
lim 2.
42
y
y
y
y
→
=
=
và
2
00 0
11
lim lim lim
22
xy x
x
→→ →
+
==
.
7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục
7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm
Giả sử

2
⊂ \D và : → \fD .
Định nghĩa 1: Hàm số f(x,y) gọi là liên tục (theo tập hợp các biến) tại
000
(, )∈
M
xy D nếu
>0, >0
ε
δ
∀∃ sao cho
∀
∈
M
D mà
0
(, )<
ρ
δ
MM thì

0
() ( )
ε
−
<fM fM
(7.4.1)
Ta có các định nghĩa tương đương sau.
Định nghĩa 2: Hàm số f(x,y) gọi là liên tục tại
0

∈
M
D nếu:

0
0
lim ( )= ( )
→MM
f
MfM (7.4.2)
Nếu
D là tập hợp đóng,
0
M
là một điểm biên của D thì
0
lim ( )
→MM
f
M được hiểu là giới hạn
của
f(M) khi M dẫn tới
0
M
ở bên trong của D.

20
Định nghĩa 3: Hàm số f(M) liên tục tại
000
(, )

∈
M
xy D nếu với mọi dãy
{
}
kkk
(, )⊂
M
xy D
,
k0
→
M
M khi →∞k ta đều có:
k0
() ()→
f
MfM hay
kk 00
(, ) (, )→
f
xy fxy. (7.4.3)
Hàm
f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.
Ví dụ 1: Xét hàm số f(x,y) xác định trong
2
\ được cho bởi biểu thức;
3
2
()(0,0)

()
0()(0,0)
22
xy
x,y
fx,y =
x+y
x,y =
⎧
⎪
⎪
≠
⎨
⎪
⎪
⎩
nÕu
nÕu

ta thấy
()
1
2
22
x
yx+y≤
()
()
3
2

1
0()
2
22
22
x+y
fx,y
x
+y
⇒≤ ≤
=
()
1
0 khi ( ) (0,0)
2
22
x+y x,y→→
.
Vậy hàm số liên tục tại (0,0).
Ví dụ 2: Trong
2
\ xét hàm số f(x,y) được xác định bởi:
)
⎧
⎪
≠
⎨
⎪
⎩
22

xy
(x,y
f x,y =
x+y
x,y
nÕu (0,0)
()
0nÕu ( ) = (0,0).

Ta thấy dãy
nn
11
(, )(,) (0,0)=→xy
nn
khi n→+∞ nhưng
nn
(, )
2
=→+∞
n
fx y khi
+→∞n
. Vậy hàm số không liên tục tại điểm (0,0).
7.4.2 Hàm số liên tục đều
Định nghĩa 4: Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu: >0, >0
ε
δ
∀∃ sao cho
với mọi cặp điểm
12

, ∈
M
MD mà
12
(, )
ρ
δ
<
MM ta đều có:

12
() () .
ε
−
<fM fM
(7.4.4)
Ví dụ 3: Xét hàm số
22
zx+y=
trên
2
\ .
Với mọi cặp điểm ( , ) ( , )
111 22 2
M
xy, M xy ta có:
(
)
(
)

121 2 121 2
22 2 2
11 2 2
22 22
11 22
x
xx x yyy y
x+y x+y
x+y x+y
−++−+
−≤
+

Do
22 22
11 22 1 2
x
+y x +y x x+≥+


21
21
và
22 22
11 22 1 2
x
+y x +y y y+≥+
,
nên
(

)
22 2 2
11 2 2 12 12
x
+y x +y x x y y− ≤−+−
()()
22
2
12 12
x
xyy≤−+−
Từ trên ta có:
12 12
() ()2(, )
ρ
−≤
f
MfM MM. Do đó:
2
12
0, , ,
2
ε
εδ
∀> ∃= ∀ ∈\MM mà
12
(, )
ρ
δ
<

MM thì
12
() ()
ε
−<fM fM .
Vậy hàm số liên tục đều trên
2
\ .
Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm một biến số liên tục.
Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong tập compac (đóng và bị chặn) thì nó bị
chặn trong miền ấy, nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trong miền ấy, nó liên tục đều
trong miền ấy.
7.4.3 Liên tục theo từng biến
Định nghĩa 5: Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập
2
⊂ \D
a) Ta nói rằng hàm
z = f(x,y) liên tục theo biến x tại điểm
000
(, )∈
M
xy Dnếu hàm một
biến
0
f( , )
x
y liên tục tại điểm
0
x
, tức là:

lim ( ) ( )
0
000
xx
f
x,y f x ,y
→
=
. (7.4.5)
b) Ta nói rằng hàm
z = f(x,y) liên tục theo biến y tại điểm
000
(, )∈
M
xy D nếu hàm
()
0
f
x,y liên tục tại điểm
0
y
, tức là:

lim ( ) ( )
0
000
yy
f
x,y f x,y
→

=
(7.4.6)
c) Nếu hàm
z = f(x,y) liên tục theo biến x và y tại điểm
0
M , ta nói rằng nó liên tục theo
từng biến tại
0
M
.
Định lí 7.4.1: Nếu hàm z = f(x,y) liên tục tại
0
∈
M
D (liên tục theo tập hợp các biến) thì nó liên
tục theo từng biến tại
0
M.
Chứng minh: Giả sử
f(x,y) liên tục tại điểm
000
(, )
∈
M
xy D. Khi đó >0, >0
ε
δ
∀∃ sao
cho
∀∈

M
D mà
0
(, )
ρ
δ
<MM thì
0
() ( )
ε
−
<fM fM
, hay là:
>0, >0
ε
δ
∀∃ sao cho ( )∀∈
x
,y D mà ()( )
22
00
xx +yy
δ
−
−< thì

() (,)
00
fx,y fx y
ε

−< (7.4.7)
Bây giờ ta xét các điểm ( )
∈
M
x, y D mà
00
,
x
-x y=y
δ
<
. Rõ ràng rằng
22
0000
(, ) ( )+( ) | |
ρ
δ
=− − =−<MM xx yy xx nên theo (7.4.7) ta có:

22
000
() ( ) ( ) (,)
0
fM fM fx,y fx y
ε
−= − <
, từ đấy suy ra hàm số liên tục theo biến x tại
0
x.
Tương tự, hàm

z = f(x,y) liên tục theo biến y tại
0
y
.
Chú ý rằng điều ngược lại chưa chắc đã đúng, tức là nếu hàm
f(x,y) liên tục theo từng
biến thì chưa thể kết luận nó liên tục theo tập hợp các biến.
Ví dụ 4: Xét hàm
0
()
0
22
22
22
xy
x+
y

x+y
z=f x,y =
x+y=
⎧
≠
⎪
⎨
⎪
⎩
nÕu
0 nÕu

Bởi vì
f(x,0)=0, Rx
∀
∈ nên
0
limf( ,0) = 0 = f(0,0)
x
x
→
, tức là hàm số liên tục theo biến x tại
(0,0).
Tương tự
f(x,y) liên tục theo biến y tại (0,0). Tuy nhiên f(x,y
0
) không liên tục tại (0,0), bởi
vì dãy
()
nn
11
,(,)(0,0)
=→xy
nn
khi +→∞n ,
nhưng dãy
11 1
(,)
2
→ f
nn
≠ 0 = (0,0)f .

Vậy liên tục theo tập hợp các biến mạnh hơn liên tục theo từng biến.
Ví dụ 5: Xét hàm:
1 4 khi 4 1
()
khi 4 1
22 22
22
xy x+y
fx,y=
c x + y >
⎧
−
−≤
⎪
⎨
⎪
⎩

trong đó
c là hằng số.
Rõ ràng tại các điểm
M(x,y) mà 4 < 1
22
x+ y và 4 1
22
x
+y> hàm số liên tục. Xét điểm
000
(, )
M

xy thoả mãn
22
00
+4 =1xy , ta thấy khi
000
((,)→
M
x, y) M x y thì
f(x,y)
22
00
140xy→−− =. Do đó để hàm liên tục trên
2
\ thì c = 0.
7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số
7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một
7.5.1.1 Đạo hàm riêng
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong miền
2
D ⊂ \ và điểm
000
M( , )
x
y là một điểm của
D. Cho
0
x
một số gia tuỳ ý
x
Δ và

0
y
một số gia tuỳ ý
y
Δ
với
x
Δ
,
yΔ
đủ bé sao cho
00
+Δ Δ ∈(x x, y + y) D và lập biểu thức:
()(,),
x
00 00
f
= f x x,y f x yΔ+Δ−


23
23
()(,).
y00 00
f
= f x ,y + y f x yΔΔ−
Đại lượng
x
f
Δ ,

y
f
Δ
gọi là số gia riêng của hàm f(x,y) theo biến x, y tương ứng tại điểm
000
(, )
M
xy, còn đại lượng:
)(,)
Δ+Δ+Δ−
00 00
f
= f(x x, y y f x y gọi là số gia toàn phần của f(x,y)tại
000
(, )
M
xy.
Định nghĩa 1: Đạo hàm riêng của hàm f(x,y) theo biến x tại điểm
0
M
và kí hiệu
(, )
00
f
x
y
x
∂
∂
là

giới hạn:
00
()(,)
(, ) lim lim
x
00 00
00
xx
f
fx x,y fx y
f
xy
xx x
Δ→ Δ→
Δ
+Δ −
∂
==
∂Δ Δ
(7.5.1)
Tương tự, đạo hàm riêng của hàm
f(x,y) theo biến y tại điểm
0
M
là giới hạn:

00
()(,)
(, ) lim lim
y

00 0 0
00
yy
f
f
x,y+ y f x y
f
xy
yy y
Δ→ Δ→
Δ
Δ−
∂
==
∂Δ Δ
(7.5.2)
Đạo hàm riêng của hàm
z = f(x,y) theo biến x tại điểm ( , )
000
M
xy còn được kí hiệu là:
x
f
′
(, ), (, ), (, )
00 00 x00
z
x
y xy z'xy
x

∂
∂

Đạo hàm riêng của hàm
z = f(x,y) theo biến y tại điểm
000
M( , )
x
y còn được kí hiệu là:
(, ), (, ), (, )
y00 00 y00
z
f
xy xy z'xy
y
∂
′
∂
.
Tổng quát muốn tính đạo hàm riêng theo biến
k
x
của hàm ( , , , )
12 n
z= f x x x tại điểm
, , , )
n
010 20 n0
M(x x x ∈\ ta tính đạo hàm theo một biến
k

x
của hàm:
10 ( -1)0 ( 1)0 0
) , , , , , , )
ϕ
=
kkkk+n
(x f(x x x x x
và xem các biến khác là tham số cố định.
Ví dụ 1: Cho
23 2
32 1sin()=++−+zxyxy xy
22
62cos()
∂
=++
∂
z
x
yyxy
x
,
22 2
332cos()
∂
=++
∂
z
x
yxyxy

y
.
Chú ý rằng ta không được xem các kí hiệu
z
x
∂
∂
,
z
y
∂
∂
là những phân số. Để thấy rõ diều
này ta hãy xét ví dụ sau.
Ví dụ 2: Xét phương trình Mendeleev-Claplyron: pv = RT.
Ta có:
2
RT RT
()
p
vvv v
∂∂
==−
∂∂
,

24

RT R
()

TT
v
p
p
∂∂
==
∂∂
,

Tp
()
RR
vv
pp
∂∂
==
∂∂
.
Tích của ba đạo hàm riêng này là một hệ thức quan trọng trong nhiệt động lực học:
2
TRTR
TR
∂
∂∂
⋅
⋅=−⋅⋅
∂∂ ∂
p
vv
vpvp

RT
1
p
v
=
−=−.
Nếu như các kí hiệu của các đạo hàm riêng là những phân số thì ta được 1 chứ không
phải là
−1.
Nếu hàm
f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trên tập U, ta nói rằng f(x,y) thuộc lớp
1
()CU và kí hiệu
1
() ()∈
f
x, y C U .
7.5.1.2 Vi phân toàn phần
Định nghĩa 2: Cho z = f(x,y) xác định trong D và
000
(, )
∈
M
xy D. Nếu ta có thể biểu diễn số
gia toàn phần
Δ
f
dưới dạng:
=. +. + . +

α
β
ΔΔΔΔΔ
f
AxBy x y
. (7.5.3)
trong đó
A, B là hằng số chỉ phụ thuộc ,
00
x
y , còn
α
,
β
dần tới 0 khi
0
→
M
M , thì hàm
f
(x,y) khả vi tại điểm
000
(, )
M
xy.
A. +B.
x
y
Δ
Δ (7.5.4)

gọi là vi phân toàn phần của
z = f(x,y) tại
0
M và được kí hiệu là dz hay df.
Hàm số
z = f(x,y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền D.
Đặt
()()
22
=x+y
ρ
ΔΔ, ta có thể viết (7.5.3) dưới dạng:
f =A. +B. +o( )
xy
ρ
Δ
ΔΔ . (7.5.3)’
trong đó
0
lim o( )
S
ρ
→
=0.
Chú ý 1: Nếu hàm số f(x,y) khả vi tại
0
M
, thì từ (7.5.3) suy ra rằng: 0fΔ→ khi
0, 0xyΔ→ Δ→ , tức là f(x,y) liên tục tại
0

M
. Vậy hàm số f(x,y) khả vi tại
0
M
thì liên tục tại
0
M
.
Chú ý 2: Đối với hàm một biến số y = f(x), nếu tại x =
0
x
tồn tại đạo hàm hữu hạn
0
()
′
f
x ,
thì ta có:
( ) () ()
000
y
=f x x f x f x x+ . x
α
′
Δ+Δ−=ΔΔ,
trong đó
0
α
→ khi 0xΔ→ , tức là hàm khả vi tại x =
0

x
.


25
25
Đối với hàm nhiều biến số z = f(x,y) sự tồn tại của các đạo hàm riêng tại
000
M( , )
x
y chưa
đủ để hàm khả vi tại
0
M.
Thật vậy, ta hãy xét hàm số sau:
()
()
()
22
xy
x,y
x+y
f x,y =
x,y =
⎧
≠
⎪
⎨
⎪
⎩

nÕu (0,0)
0 nÕu(0,0)

Ta có:
00
()(0,0) (0)
(0,0) lim lim
Δ→ Δ→
Δ
Δ
′
=
ΔΔ
x
xx
f
x,0 -f f x,
f=
x
x
0
0
lim 0
x
x
Δ→
=
=
Δ
,

Tương tự: (0,0)=0
′
y
f .
Các đạo hàm riêng
′
f
x ,
′
f
y tại (0,0) đều tồn tại, nhưng hàm số f(x,y) không liên tục tại (0,0),
nên không khả vi tại (0,0).
Sau đây ta hãy chứng minh định lí về điều kiện đủ để hàm
z=f(x,y) khả vi tại
000
M( , )
x
y .
Định lí 7.5.1 Nếu hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng trong lân cận của điểm
000
M( , )
x
y
và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại điểm
0
M , thì f(x,y) khả vi tại
0
M và ta có công thức:

xy

dz f x f y
′
′
=
Δ+ Δ. (7.5.5)
Chứng minh: Ta có thể viết vi phân toàn phần
f
Δ
dưới dạng
()(,)
00 00
f
= fx x,y y fx yΔ+Δ+Δ−


[
]
()(,)
00 00
f
xx,yyfxyy=+Δ+Δ− +Δ
[
]
()(,)
00 0 0
f
x,y y f x y++Δ− . (7.5.6)
Áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến số ta được:
1
()(,)(,)

00 00 x0 0
f
xx,yyfxyyfx xyyx
θ
′
+
Δ+Δ− +Δ= +Δ +ΔΔ (7.5.7)
2
()(,)(,)
00 0 0 y 0 0
f
x,y y f x y f x y y y
θ
′
+
Δ− = +ΔΔ (7.5.8)
trong đó 0
<
1
θ
<1, 0<
2
θ
<1.
Ngoài ra, do
,
x
y
f
f

′′
liên tục tại
000
M( , )
x
y nên:
1
(,)(,)
x0 0 x00
fx xy y fxy
θ
α
′
′
+
Δ+Δ= + (7.5.9)

2
(, ) (, )
y00 y00
fxy y fxy
θ
β
′
′
+
Δ= + (7.5.10)
trong đó
0
α

→ ,0
β
→ khi x 0, y 0Δ→ Δ→. Do đó:
(, ) (, )
x0 0 y00
f
fxy x fxy y .x y
α
β
′
′
Δ= Δ+ Δ+ Δ+ Δ
(7.5.11)
vậy theo định nghĩa hàm số
z = f(x,y) khả vi tại
0
M và ta có công thức (7.5.5).
Chú ý 3: Ta thấy rằng đối với f(x,y) = x, ta có: