Các phân phối xác suất thường gặp doc

Bài 3
Các phân phối xác suất thường gặp
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối nhị thức

Phép thử Bernoulli
Xét một thí nghiệm chỉ có 2 khả năng xảy ra:
“thành công” hoặc “thất bại”.
Thành công với xác suất p.
Thất bại với xác suất 1-p.
Thí nghiệm như vậy gọi là phép thử Bernoulli,
ký hiệu B(1,p).
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối nhị thức

Phép thử Bernoulli – ví dụ.
Tung đồng xu: hình / số.
Mua vé số: trúng / không trúng.
Trả lời ngẫu nhiên 1 câu trắc nghiệm: đúng / sai.
Kiểm tra ngẫu nhiên hàng hóa: tốt / xấu.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối nhị thức

Phân phối nhị thức
Thực hiện phép thử Bernoulli B(1,p) n lần độc
lập.
Đặt
X = “Số lần thành công trong n lần thí nghiệm”

X = 0, 1, 2, …, n.
X có phân phối nhị thức với tham số p.
Ký hiệu: X ~ B(n,p).
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối nhị thức

Công thức
Xét X ~ B(n,p)
( ) (1
0,1, ,
)
k k n k
n
P X k C p p
k n

  
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối nhị thức

Ví dụ
Cho X ~ B(5,0.1)
Tính P(X=1)
k n k
1 5 1
4
P(X 1) P (1 P)

5!
(0.1) (1 0.1)
1!(5 1)!
(5)(0.1)(0.9)
.32805
k
n
C


  
 



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối nhị thức
Mean
n = 5 P = 0.1
0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
x
P(x)
n = 5 P = 0.5
.2
.4

.6
0 1 2 3 4 5
x
P(x)
0

Hình dạng của phân phối nhị thức sẽ phụ
thuộc vào p và n.

n = 5 và P = 0.1

n = 5 và P = 0.5
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối nhị thức
Nếu X ~ B(n,p):
EX np

 
1) Trung bình
2) Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn
2
npq


npq


- n: số lần thực hiện thí nghiệm
- p: xác suất thành công ở 1 lần thí nghiệm

- q = 1- p.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối nhị thức
n = 5 P = 0.1
n = 5 P = 0.5
Mean
0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
x
P(x)
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
x
P(x)
0
0.5(5)(0.1)nPμ



0.6708
0.1)(5)(0.1)(1P)nP(1-σ


2.5(5)(0.5)nPμ




1.118
0.5)(5)(0.5)(1P)nP(1-σ


Ví dụ
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối Poisson

Số các biến cố xảy ra trong một khoảng
thời gian cho trước.

Số các biến cố trung bình trên một đơn
vị là .

Ví dụ
Số người xếp hàng tính tiền ở siêu thị,
số cuộc điện thoại đến bưu điện trong 1
ngày, số máy tính hư trong 1 ngày ở 1
khu vực, …
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 0, 1, 2,
… gọi là có phân phối Poisson với tham
số  nếu

k = 0, 1, 2, …
( )
!
k
e
P X k
k



 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối Poisson

Trung bình

Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn
μ E(X) λ
 
λ]σ
2

2
)[(

XE
λσ 
Với  = số biến cố xảy ra trung bình trên 1 đơn vị
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

For evaluation only.
Phân phối Poisson

Ví dụ
Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi
bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson
với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1
giờ có
a. Đúng 3 ống sợi bị đứt.
b. Có nhiều hơn 1 ống sợi bị đứt.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Bảng tra phân phối Poisson

0.90
0.4066
0.3659
0.1647
0.0494
0.0111
0.0020
0.0003
0.0000
0.4493
0.3595
0.1438
0.0383
0.0077
0.0012
0.0002

0.0000
0.4966
0.3476
0.1217
0.0284
0.0050
0.0007
0.0001
0.0000
0.5488
0.3293
0.0988
0.0198
0.0030
0.0004
0.0000
0.0000
0.6065
0.3033
0.0758
0.0126
0.0016
0.0002
0.0000
0.0000
0.6703
0.2681
0.0536
0.0072
0.0007

0.0001
0.0000
0.0000
0.7408
0.2222
0.0333
0.0033
0.0003
0.0000
0.0000
0.0000
0.8187
0.1637
0.0164
0.0011
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.9048
0.0905
0.0045
0.0002
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0
1
2

3
4
5
6
7
0.800.700.600.500.400.300.200.10
X
Ví dụ: Tìm P(X = 2) nếu  = .50
( )
!
0.50 2
e (0.50)
2 .0758
2!
k
e
P X
k


 
   
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối xác suất Poisson
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40

0.50
0.60
0.70
0 1 2 3 4 5 6 7
x
P(x)
0
1
2
3
4
5
6
7
X
0.6065
0.3033
0.0758
0.0126
0.0016
0.0002
0.0000
0.0000
 =
0.50
P(X = 2) = .0758
 = .50
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối Poisson


Hình dạng của phân phối Poisson phụ
thuộc vào tham số  :
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
P(x)
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0 1 2 3 4 5 6 7
x
P(x)

=0.50

=3.00
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Định lý Poisson


Cho X ~ B(n,p)

Dùng phân phối Poisson để xấp xỉ phân
phối nhị thức khi n >> p.









0
lim
!
k
k k n k
n
n
p
np
e
C p q
k
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Mô hình Poisson
Mô hình Poisson :

+ Xét n phép thử Bernoulli.
+ Trong đó xác suất thành công là p.
+ Các phép thử độc lập với nhau.
(Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết
quả của các phép thử kia)
+ X – số lần xuất hiện thành công trong n phép
thử.
+ Trong đó n lớn ( n  100) và p nhỏ (p  0,01
và np  20).
Khi đó X ~ P(). Với  =np
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Mô hình Poisson

Ví dụ
Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ
em ở một khu vực. Biết xác suất 1 trẻ bị
phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001.
Tính xác suất trong 2000 trẻ có không
quá 1 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối đều

Tất cả các khả năng có thể xảy ra của biến ngẫu
nhiên có phân phối đều có xác suất bằng nhau.

X có phân phối đều trong khoảng [a,b], ký hiệu X ~
U([a,b]).
x

min
x
max
x
f(x)
Tổng diện tích miền
giới hạn bởi phân phối
đều là 1.0
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối đều

Hàm mật độ xác suất của phân phối đều trong đoạn
[a,b]
1
neáu a x b
b a
0 nôi khaùc
 

f(x) =
với
f(x) = giá trị hàm mật độ tại điểm x
a = giá trị nhỏ nhất của x
b = giá trị lớn nhất của x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối đều

Kỳ vọng


Phương sai
a b
2
EX


 
2
2
(b-a)
12
VarX

 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối đều
Ví dụ: Phân phối đều trên khoảng 2 ≤ x ≤ 6
2 6
.25
f(x) = = .25 for 2 ≤ x ≤ 6
6 - 2
1
x
f(x)
2 6
4
2 2
a b

EX
 
  
   
2 2
6 2
16
1.333
12 12 12
b a
VarX
 
   
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối mũ

Biến ngẫu nhiên T (t>0) gọi là có phân phối mũ nếu có hàm mật
độ xác suất
Với

 số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị thời gian.

t số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp.

e = 2.71828

Ký hiệu: T ~ exp(), T là khoảng thời gian giữa 2 lần xảy ra các
biến cố.
λ

λ
t
f(t) e vôùi t 0

 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phân phối mũ

Hàm phân phối xác suất

Kỳ vọng và phương sai
λ t
F(t) 1 e vôùi t>0

 
1
ET


2
1
VarT


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.