0D4 bdt cosi tiet 2

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI


A. Phương pháp:

a) Dạng cơ bản: Cho x, y là các số thực khơng âm ta có:
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
b. Dạng tổng quát: Cho là các số thực không âm ta có:
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :


B. Bài tập tự luận

Câu 1. Chứng minh rằng:
a) .
b)
c)
 

Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
Và
Do đó
b, c: chứng minh tương tự câu a

Câu 2. Chứng minh rằng:
a)
b)
c)

Lời giải
Các câu a, b, c được suy ra từ kết quả của câu 1.


Câu 3. Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng:
 

Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cơsi dạng
, ta có:

Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi
và chỉ khi a = b = c


Câu 4. Chứng minh rằng
 

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
Do đó:

Câu 6. Chứng minh rằng

 

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
;;
rồi cộng từng vế: đpcm


Câu 7. Cho a, b, c là 3 số không âm. Chứng minh rằng:
a)
b)
 

Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
Cộng 3 bdt vế theo vế ta được suy ra đpcm


•  b) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:.

• Cộng từng vế ta được: đpcm

www.themegallery.com

Company Name


Câu 8. Chứng minh rằng:

 

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có:


Câu 9. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện .
Chứng minh rằng:
 

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta được
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi
và chỉ khi


Câu 10. Chứng minh rằng:

 

Lời giải


Câu 11. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh rằng:

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơ Si, ta có:
c  a  c  c  b  c
ab

c  a  c
c  b  c

.

.
b
a
a
b
1 c
a c 1 c
b c
  
  

2 b
a  2 a
b 
1 c
c 1 c
c
  1 


1



 1

2 b
a 2 a
b


Câu 12. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
 

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
(đpcm) .


Câu 13. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

 

Lời giải
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:
(đpcm)


Câu 14. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

 

Lời giải
Cách 1:
Ta có:

Hay
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta được:


• 
Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

www.themegallery.com

Company Name


Cách 2:
Đặt:
Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành:
Ta có:
Hay (đpcm)


Câu 15. Cho . CMR:

Lời giải

 p  a  p  b  p  c
  p  a  p  b  p  b  p  c  p  c  p  a 
 p  a   p  b  p  b   p  c  p  c   p  a



.

.

2
2
2
2 p   a  b 2 p   b  c 2 p   c  a 1

.
.
 abc
2
2
2
8


C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1.Bất đẳng thức Cơsi cho hai số  khơng âm có dạng nào 
trong các dạng được cho dưới đây?
A. .
B. .
C. .
D. .

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô si: