Ứng dụng phần mềm geogebra trong dạy học tích phân xác định

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN HỌC
---------------  ---------------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Tên đề tài

Ứng dụng phần mềm Geogebra
trong dạy học tích phân xác định
Sinh viên thực hiện: Trần Thị Hồng Nhung
Giáo viên hướng dẫn: TS. Tôn Thất Tú

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2023

Lớp: 19ST2


LỜI CAM ĐOAN
Báo cáo được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, dưới sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Tôn Thất Tú. Tôi xin cam đoan đây là cơng trình của riêng
tơi, các kiến thức tham khảo được đưa vào khóa luận đều được trích dẫn ở phần
tài liệu tham khảo.
Trần Thị Hồng Nhung - 19ST2


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................ 2
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 4
2. Mục tiêu nghiên cứu .................................................................................... 5
3. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 5

4. Đối tượng nghiên cứu .................................................................................. 5
5. Phạm vi nghiên cứu ..................................................................................... 6
6. Ý nghĩa khoa học của nghiên cứu .............................................................. 6
7. Tổng quan và cấu trúc báo cáo ................................................................... 6
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ .................................................................. 7
1. Hàm số liên tục và khả vi: ........................................................................... 7
1.1 Hàm số liên tục ........................................................................................ 7
1.2 Hàm số khả vi .......................................................................................... 7
2. Tích phân xác định ...................................................................................... 7
2.1. Định nghĩa (Tích phân xác định) .......................................................... 7
2.2. Một số tính chất của tích phân xác định.............................................. 8
2.3. Các phương pháp tính tích phân xác định .......................................... 8
2.4. Ứng dụng của tích phân trong hình học .............................................. 9
3. Phần mềm Geogebra ................................................................................. 10
3.1 Giới thiệu ............................................................................................... 10
3.2 Một số công cụ thường dùng: .............................................................. 11
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY HỌC
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ................................................................................. 12
1. Hỗ trợ tính .................................................................................................. 12
2. Tơ màu miền giới hạn ................................................................................ 18
3. Tạo mặt tròn xoay ...................................................................................... 21
4. Minh họa định nghĩa.................................................................................. 24
5. Xây dựng bài giảng .................................................................................... 25
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 27
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 28


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học cơ bản tạo nền tảng cho các ngành khoa

học khác. Trong chương trình giáo dục phổ thơng mơn tốn khơng những giữ vai
trị hết sức quan trọng nhằm trang bị cho người học một hệ thống kiến thức căn
bản, mà nó cịn được coi như là một mơn thể thao của trí tuệ góp phần phát triển
năng lực toán học cùng với các thao tác tư duy, rèn luyện các hoạt động trí não
cho học sinh.
Giải tích là một trong những lĩnh vực tốn học đóng vai trò rất quan trọng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, khoa học, kỹ thuật, vật lý, y học và
nhiều lĩnh vực khác. Chúng ta sử dụng các phép tính số học và đại số để giải
quyết các vấn đề liên quan đến biến đổi của các hàm số. Giải tích bao gồm các
khái niệm như giới hạn, đạo hàm, tích phân và chuỗi cho phép chúng ta tính tốn
các giá trị của hàm số và tìm hiểu sự biến đổi của chúng. Các ứng dụng của giải
tích rất đa dạng, từ vật lý, kinh tế, thống kê, khoa học máy tính đến các lĩnh vực
khác.
Tích phân là một khái niệm cơ bản, một công cụ quan trọng trong giải tích,
có nhiều ứng dụng trong việc tính tốn diện tích, thể tích và giải quyết các vấn đề
trong khoa học và kỹ thuật. Tuy nhiên, trong việc dạy học tích phân, giáo viên
cần phải có kiến thức sâu rộng về lý thuyết và cách áp dụng tích phân vào các bài
tốn thực tế. Điều này địi hỏi giáo viên phải có đầy đủ năng lực, nắm vững kiến
thức và khả năng truyền đạt kiến thức một cách dễ hiểu và trực quan cho học sinh.
Việc sử dụng ví dụ và minh họa, các mơ hình trực quan có thể giúp học sinh dễ
hình dung và tiếp thu kiến thức được truyền tải.
Hơn nữa, để hiểu sâu hơn, học sinh phải học cách biểu thị các ý tưởng toán
học bằng các ký hiệu, con số và đồ họa, như một hình thức hiểu các khái niệm
tốn học. Do đó, rất cần sự sáng tạo của giáo viên trong việc lựa chọn và sử dụng
cách dạy học phù hợp để kết nối các khả năng toán học của học sinh.
Ngày nay, cơng nghệ thơng tin phát triển nhanh chóng, tác động đến mọi
mặt trong đời sống kinh tế xã hội loài người, trong đó có lĩnh vực Giáo dục và
Đào tạo. Chính vì lý do đó, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã và đang đẩy mạnh ứng
dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy và học tập ở tất cả các cấp học, bậc học
và ngành học nhằm đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Các

phần mềm hỗ trợ dạy học ra đời nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển của ngành giáo
dục. Việc sử dụng công nghệ thông tin để đổi mới phương pháp dạy học ở các
môn học là yêu cầu đặt ra cho người giáo viên trong giai đoạn đổi mới giáo dục.
Tốn học là một mơn địi hỏi tư duy trừu tượng cao. Chính vì vậy, các phần mềm


tốn học sẽ là cơng cụ hỗ trợ đắc lực cho người giáo viên minh họa một số tri
thức trừu tượng, khám phá định lý, tính chất Tốn học,...
Phần mềm GeoGebra có nhiều tính năng vượt trội và hồn tồn miễn phí
nên rất phù hợp với hoạt động giáo dục. Phần mềm này tích hợp các chức năng
cơ bản chẳng hạn như nhập trực tiếp của các phương trình, bất phương trình và
vẽ đồ thị, vẽ hình động 2D và 3D, hỗ trợ ngơn ngữ Latex và lập trình cơ bản,...
kết hợp hình học, đại số, bảng tính, đồ thị, thống kê và giải tích, trong một gói dễ
sử dụng. Điều này làm cho GeoGebra có khá nhiều người dùng trải rộng ở hầu
hết các quốc gia trên thế giới. Ngày nay, phần mềm GeoGebra đã trở thành một
phần mềm toán học hàng đầu được các giáo viên giảng dạy tốn sử dụng trong
q trình dạy và học trên tồn thế giới.
Ngồi khả năng trực quan hóa các khái niệm tốn học mang tính chất giải
tích và hình học, GeoGebra cũng có thể thực hiện các phép tính tốn học, thống
kê và biểu diễn chúng. Để tạo thuận lợi cho người dùng, GeoGebra cho phép
người dùng tạo tài khoản và kết nối cộng đồng trên trang web GeoGebra, vì vậy
rất dễ dàng chia sẻ và truy cập tài liệu Toán học do người dùng ở nhiều quốc gia
tạo ra. Tất cả đều có sẵn hồn tồn và miễn phí trên trang web chính thức của
GeoGebra.
Vì những lý do kể trên, chúng tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu của mình là:
“Ứng dụng phần mềm Geogebra trong dạy học tích phân xác định”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Khóa luận trình bày nghiên cứu về Ứng dụng phần mềm GeoGebra trong
dạy học tích phân xác định giúp học sinh hiểu được khái niệm của tích phân, các
phép tính căn bản và các ứng dụng của tích phân trong thực tế thơng qua việc sử

dụng phần mền Geogebra, để học sinh tiếp cận kiến thức một cách năng động,
thú vị, dễ hiểu và cung cấp mơ hình minh họa, tạo hứng thú của học sinh, giúp
các em trải nghiệm, khám phá tri thức Toán học dựa trên nhiều cách tiếp cận khác
nhau.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu và tổng hợp các kiến thức liên quan, trao đổi với những
người quan tâm và tham vấn giáo viên hướng dẫn.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Các vấn đề về tích phân xác định và các nội dung liên quan.
- Các khả năng ứng dụng của Geogebra.
- Xây dựng mơ hình minh họa.


5. Phạm vi nghiên cứu
Ứng dụng của GeoGebra trong việc tính tốn, vẽ hình và xây dựng mơ hình
động liên quan đến tích phân.
6. Ý nghĩa khoa học của nghiên cứu
Công nghệ thông tin đặc biệt là các phần mềm dạy học đóng một vai trị
quan trọng trong việc xây dựng các tình huống sư phạm nhằm tạo ra một mơi
trường học tập chủ động, sáng tạo. Người học có điều kiện phát huy khả năng
phân tích, suy đốn và xử lý thơng tin một cách có hiệu quả.
Khóa luận có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên có nhu cầu
bồi dưỡng, nâng cao kỹ năng ứng dụng công nghệ thông tin vào môi trường dạy
- học.
7. Tổng quan và cấu trúc báo cáo
Ở chương 1 chúng tơi trình bày các lý thuyết về tích phân xác định và khả
năng ứng dụng của phần mềm GeoGebra.
Ở chương 2 chúng tôi sẽ minh họa việc ứng dụng phần mềm GeoGebra để
minh họa trong việc dạy và học tích phân.

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1. Hàm số liên tục và khả vi:
1.1 Hàm số liên tục
Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f : D → , trong đó D là tập hợp con của . Khi
đó, f liên tục tại a  D khi và chỉ khi với mọi   0 sao cho f ( x) − f (a)   , với
điều kiện x − a   và x  D .
Định nghĩa 1.1.2 Hàm số f : D → liên tục trên tập hợp E  D khi và chỉ khi f
liên tục tại mọi điểm trong E . Nếu f liên tục tại mọi điểm trong tập xác định của
nó thì chúng ta chỉ đơn giản nói rằng f liên tục.
* Nếu D là một khoảng thì f liên tục tại a khi và chỉ khi
lim f ( x) = f (a) = f (lim x) .
x →a

x →a

* Nếu a là điểm cô lập, tức là nếu a không phải là điểm tụ của D và a  D,
thì f tự động liên tục tại x = a .
1.2 Hàm số khả vi
Định nghĩa 1.2.1 Giả sử rằng hàm số f : D →

với D  , a là điểm tụ của D

f ( x) − f (a)
, nếu là giới
x−a
hạn này hữu hạn. Nếu điều này xảy ra, ra nói rằng f là khả vi tại x = a .

và a  D . Đạo hàm của f tại x = a xác định bởi f '(a) = lim
x →a

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử rằng f : D → với D  . Nếu f khả vi tại mọi điểm
trong tập xác định D , thì ta nói rằng f là khả vi (trên D ).
2. Tích phân xác định
2.1. Định nghĩa (Tích phân xác định)
Cho hàm số f xác định trên [a; b] . Chia đoạn [a; b] thành n đoạn bởi các
điểm chia a = x0  x1  x2  ...  xn−1  xn = b . Trên mỗi đoạn chọn xi* [ xi −1 , xi ] và đặt
n

 = max xi − xi −1 . Nếu giới hạn I = lim  f ( xi* )( xi − xi −1 ) tồn tại và không phụ thuộc
1i  n

→

i =1

vào cách chia của f trên đoạn [a; b] thì giới hạn đó được gọi là tích phân, kí hiệu



b

a

f ( x)dx .

* Ý nghĩa hình học:
Giả sử hàm số f ( x) là hàm số liên tục và khơng âm trên đoạn [a; b] thì tích
phân



b

a

f ( x)dx là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị f ( x) , trục Ox và

hai đường thẳng x = a, x = b , với a  b .


2.2. Một số tính chất của tích phân xác định
Cho các hàm khả tích f , g và các số thực a, b, c, k ,  ,  . Ta có:
a

i)

 f ( x)dx = 0 với a = b
a

ii)

b

a

a

b

 f ( x)dx = − f ( x)dx
b



iii)

a

b

iv)


a

b

b

a

a

f ( x)dx =  f (t )dt =  f (u )du = ... = F (a) − F (b)
c

b

a

c

f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx với a  b  c

b

b

a

a

v)  kf ( x)dx = k  f ( x)dx
b

b

b

a

a

a

vi)  ( f ( x)   g ( x))dx =  f ( x)dx    g ( x)dx
  ( x)

vii)   f (t )dt  = f ( ( x)) ( x)

 a


2.3. Các phương pháp tính tích phân xác định
i) Công thức Newton – Leibnitz:
Nếu f liên tục trên [a; b] thì với mọi nguyên hàm F của f ta có:



b

a

b

f ( x)dx =F ( x)| = F (b) − F (a) .
a

ii) Phương pháp đổi biến:
b

Nếu  là một hàm số khả vi thì


a

f ( ( x)) ( x)dx = 

 (b )

( a )

f (t )dt .


iii) Phương pháp tích phân từng phần:
Nếu

là các hàm số khả vi thì



b

a

udv =uv| −  vdu .
b

b

a

a

2.4. Ứng dụng của tích phân trong hình học
i) Tính diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục
trên đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định là



b

a

f ( x) dx .

b) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) và
y = g ( x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định là



b

a

f ( x) − g ( x) dx .

Chú ý:
+ Nếu trên đoạn [a; b] , hàm số y = f ( x) không đổi dấu thì ta có cơng thức



b

a

f ( x) dx =



b

a

f ( x)dx .

+ Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường x = g ( y) , x = h( y) và
hai đường thẳng y = c, y = d được xác định: S = c g ( y) − h( y) dx .
d

ii) Tính thể tích vật thể
Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục hồnh tại
điểm có hồnh độ x = a , x = b (a  b) . Gọi S ( x) là diện tích của thiết diện. Thể
b

tích của vật thể được cho bởi cơng thức: V =  S ( x)dx (với S ( x) là hàm số không
a

âm, liên tục trên đoạn [a; b] ).
iii) Tính thể tích khối trịn xoay
a) Hình phẳng quay quanh trục Ox : Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = f ( x) không âm và liên tục trên đoạn [a; b] , trục Ox và hai đường
thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox , ta được khối tròn xoay. Thể tích của khối
b

trịn xoay này được cho bởi cơng thức: Vx =    f ( x) dx
2

a

b) Hình phẳng quay quanh trục Oy : Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ
thị hàm số x = g ( y) không âm và liên tục trên đoạn [c, d ] , trục Oy và hai đường


thẳng y = c, y = d quay quanh trục Oy , ta được khối trịn xoay. Thể tích của khối
d

trịn xoay này được cho bởi cơng thức: Vy =    g ( y ) dy
2

c

Chú ý: Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường
thẳng x = a, x = b và đồ thị hàm số y = f1 ( x), y = f 2 ( x) liên tục và 0  f1 ( x)  f 2 ( x)
trên đoạn [a; b] quay quanh trục Ox được cho bởi công thức:
b

Vx =   ( f 2 ( x)) 2 − ( f1 ( x)) 2  dx
a

Tương tự, đổi vai trị x và y cho nhau, ta có cơng thức tính Vy (khi hình
phẳng quay quanh trục Oy ) là:
d

Vy =   ( g 2 ( y )) 2 − ( g1 ( y )) 2  dy
c

3. Phần mềm Geogebra

3.1 Giới thiệu
Geogebra là phần mềm miễn phí, mã nguồn mở, đa ngơn ngữ (có thể sử
dụng với khoảng 63 ngơn ngữ, trong đó có Tiếng Việt), là phần mềm toán học
động được thiết kế cho việc dạy và học mơn Tốn. Tác giả phần mềm là Markus
Hohenwarter, giảng viên trường Đại học Salzburg, Cộng hòa Áo. Phần mềm
GeoGebra được khởi tạo năm 2001 và liên tục được phát triển. Người dùng có
thể thoải mái tải xuống phần mềm này từ trang web chính thức GeoGebra tại
.
Giao diện của GeoGebra thân thiện và dễ sử dụng, với các hộp cơng cụ
trực quan người dùng có thể thao tác với phần mềm một cách dễ dàng. Nó cũng
cung cấp các tính năng điển hình của các phần mềm hệ thống đại số máy tính và
hình học động. Khi ta dùng trỏ chuột vào một cơng cụ nào đó thì sẽ xuất hiện
hướng dẫn để dùng công cụ tương ứng đó, điều này hỗ trợ nhiều cho những người
dùng chưa nắm rõ cách dùng nút lệnh. Nếu khơng thích sử dụng chuột và các nút
lệnh thì người dùng có thể thao tác với phần mềm qua hệ thống nhập các câu lệnh,
GeoGebra giúp người dùng sử dụng dễ dàng hơn khi cung cấp một hệ thống hỗ
trợ gợi ý và hướng dẫn nhập các câu lệnh. GeoGebra với nhiều tính năng mạnh
mẽ, dễ sử dụng, có sự kết hợp của hệ thống máy tính đại số, các phần mềm hình
học tương tác và các bảng tính, giúp người dùng có thể tiết kiệm được thời gian
và không gian lưu trữ trên máy tính. Đặc biệt, người dùng có thể tạo thêm cơng
cụ mới theo nhu cầu của họ.
GeoGebra cịn có tính cộng đồng lớn với kho dữ liệu tài nguyên phong phú
do người dùng khắp nơi chia sẻ để tham khảo, thực hiện các ý tưởng tốn học,
góp phần giúp việc dạy học toán trở nên thuận lợi và hiệu quả hơn. Một mặt,


GeoGebra được sử dụng để xây dựng tình huống dạy học khám phá và là phương
pháp trực quan thay thế cho phương pháp dạy học toán truyền thống. Mặt khác,
GeoGebra là cơng cụ để thúc đẩy học tập tích cực và bồi dưỡng năng lực cho học
sinh thông qua việc đặt câu hỏi, quan sát, giải thích, chứng minh và đưa ra dự

đoán để áp dụng trong thực tiễn. Một số ưu điểm nổi bật của GeoGebra so với
các phần mềm tốn học khác là:
(1) Có thể vẽ hình học nhanh và kỹ, kể cả những tranh phức tạp.
(2) Khả năng biểu diễn đại số, hình học 2D và hình học 3D cùng lúc để
thay đổi phương trình đã cho hoặc thay đổi hình ảnh trong khung nhìn.
(3) Có nhiều cơng cụ và các chuyển động, thao tác có thể cung cấp trải
nghiệm trực quan trong việc hiểu khái niệm hình học.
(4) Giúp dễ dàng điều tra hoặc hiển thị các thuộc tính áp dụng cho một đối
tượng hình học.
(5) Có thể được sử dụng để đưa vào học tập tài liệu hoạt động như một
trang web, và có thể được phân phối trực tiếp tới trang web chính thức của
GeoGebra, www.GeoGebra.org.
3.2 Một số công cụ thường dùng:
Biểu tượng
Công dụng
Điểm (Point) để kí hiệu các giá trị đặc biệt
Đoạn thẳng (Segment) để thể hiện rõ hơn các giá trị đặt
biệt
Giao điểm (Intersect) giúp tìm giao điểm của các đồ thị
cắt nhau
Thanh trượt (Slider) giúp thay đổi giá trị của biến số
Chèn chữ (Text) để viết các kí tự ra vùng làm việc
Hộp chọn (InputBox) để nhập giá trị của biến số
Thanh nhập lệnh Input để nhập các câu lệnh
Cửa sổ Algebra vùng hiển thị thông tin các đối tượng
tương ứng
Cửa sổ CAS hiển thị hệ thống đại số máy tính để thực
hiện các phép tính tốn học
Cửa sổ Graphics hiển thị các hình dạng hình học của các
đối tượng/phương trình được nhập vào

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY HỌC
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Hỗ trợ tính
Trong Geogebra có cửa sổ CAS (Computer Algebra System) cho phép ta
thực hiện các tính toán toán học phức tạp và giải các bài toán đại số bằng cách
nhập các biểu thức toán học vào khung nhập liệu và sử dụng các phép tính tốn
có sẵn trong CAS.
Tính tích phân bất định ta dùng cấu trúc:
Integral(<Function>, <Variable>)
Tính tích phân xác định ta dùng cấu trúc:
Integral(<Function>,<Variable>,<Start Value>,<End Value>)


Ví dụ 1.1 Tính các tích phân I1 =  x sin xdx , I 2 =  x sin xdx
0

u = x
du = dx

dv = sin xdx v = − cos x

Giải: Đặt 
Khi đó:

I1 =  x sin xdx = − x cos x +  cos xdx = − x cos x + sin x + C








I 2 =  x sin xdx = − x cos x 0 + 2 cos xdx = − cos  + sin x 0 = 
0

0

Vậy I1 = − x cos x + sin x + C và I 2 = 
Hình ảnh thực hiện trên Geogebra:


Ví dụ 1.2 Tính các tích phân sau:
a) I =

 /4

 2( x − 2) sin

2

xdx

0

Giải:
Ta có: I =

 /4



2( x − 2)sin 2 xdx =

0

 /4

 ( x − 2)(1 − cos 2 x)dx
0

du = dx
u = x − 2


Đặt: 
sin 2 x
dv = (1 − cos 2 x)dx v = x −

2

Khi đó:
 /4

I=

 ( x − 2)(1 − cos 2 x)dx
0

 /4

sin 2 x 

= ( x − 2).  x −
 −
2 0


 /4



  x −
0

sin 2 x 
 dx
2 
 /4

2

   1   x cos 2 x 
=  − 2  . −  −  +

4 0
4
  4 2  2

5 5
+
32 8 4
 2 − 20 + 40
=
32

=

2

−

Vậy I =

 2 − 20 + 40
32

.

Hình ảnh thực hiện trên Geogebra:


1

b) I =  ( x + e2 x ) xdx
0

Giải:

Ta có:
1

1

1

1

1

x3
1
I =  ( x + e ) xdx =  x dx +  xe dx =
+  xe 2 x dx = + J
3 0 0
3
0
0
0
2x

2

2x

1

Trong đó: J =  xe2 x dx
0

du = dx
u = x


Đặt 
1 2x
2x
dv = e dx v = e

2
1

J =  xe 2 x dx
0

1

1

x
1
= e2 x −  e 2 x dx
2
20
0
e2 e2 x
= −
2
4

=

1

0

2

e 1
+
4 4

1
e2 7 3e2 + 7
I
=
+
J
=
+ =
Suy ra:
3
4 12
12

Vậy I =

3e2 + 7
.
12

Hình ảnh thực hiện trên Geogebra:



c) I =  x  ln( x + 2) −

1 
 dx
x +1 

1

0



2

Giải: Ta có:
1 

I =  x  ln( x + 2) − 2  dx
x +1 
0 
1

1

1

=  x ln( x + 2)dx − 
0

0

x
dx
x +1
2

 x −4 1 1 1
=  ln( x + 2)d 
d ( x 2 + 1)
−  2
0
 2  2 0 x +1
2

1

1

x2 − 4
x2 − 4 1
1
=
ln ( x + 2 ) − 
.
dx − ln ( x 2 + 1)

2
2
x+2
2
0
0
0
1

1

3
3 1
= − ln 3 + 2 ln 2 + − ln 2
2
4 2
6 ln(2) − 6 ln(3) + 3
=
4

Vậy I =

6ln(2) − 6ln(3) + 3
.
4

Hình ảnh thực hiện trên Geogebra:

Ví dụ 1.3 Một số bài toán CAS chưa thể đưa ra đáp án:
1

a) I =  ( x + 1)2 e2 x dx
0

Giải:
u = ( x + 1)2 du = 2( x + 1)
  e2 x
Đặt: 
2x
dv = e dx
v =

2


Khi đó:
1

I =  ( x + 1) 2 e 2 x dx
0

1

1

e2 x
= ( x + 1)
−  ( x + 1) 2 e 2 x dx
2 0 0
2

=

4e 2 1
− −J
2 2
1

Trong đó: J =  ( x + 1)2 e2 x dx
0

du = dx
u = x + 1

Đặt 

e2 x
2x
dv
=
e
dx
v
=



2
1

1

e2 x
e2 x
J = ( x + 1)
−
dx
2 0 0 2
 e2
1  e2 x
=  2. − 1.  −
2 4
 2

1

0

2

1 e 1
= e2 − − +
2 4 4
2
3e 1
=
−
4 4

Suy ra: I =

Vậy I =

4e2 1
4e2 1  3e2 1  5e2 1
− −J =
− −
− =
−
2 2
2 2  4 4 4 4

5e 2 1
− .
4 4

Hình ảnh thực hiện trên Geogebra:


1

b) I =  (3x 2 − x + 1)e x dx
0

Giải:
u = 3x 2 − x + 1 du = (6 x − 1)dx

Đặt: 
x
x
dv = e dx

v = e

Khi đó:
1

I =  (3x − x + 1)e dx = ( 3x − x + 1) e
2

x

2

0

x

1
0

1

−  (6 x − 1)e x dx = 3e − 1 − J
0

1

Trong đó: J =  (6 x − 1)e x dx
0

u = 6 x − 1

du = 6dx


x
x
dv = e dx v = e

Đặt 
1

J =  (6 x − 1)e x dx
0

= ( 6 x − 1) e

x 1
0

1

− 6 e x dx
0

= 5e + 1 − 6e

x 1
0

= −e + 7

Suy ra: I = 3e − 1 − J = 3e − 1 − ( −e + 7 ) = 4e − 8
Vậy I = 4e − 8 .
Hình ảnh thực hiện trên Geogebra:


2. Tơ màu miền giới hạn
Trong Geogebra có cửa sổ Graphics hỗ trợ dựng hình, tính tốn với kí hiệu.
Để tô màu miền giới hạn, ta dùng cấu trúc:
IntegralBetween(<Function>, <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>)
Ví dụ 2.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số y = x2 và hàm
số y = 2 x .
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: x2 = 2 x  x = 0; x = 2
Xác định các giao điểm A(0, 0) và B(2, 4) .
Trên đoạn [0, 2] thì x2 − 2 x  0 nên x2 − 2 x = 2 x − x2
Diện tích hình phẳng cần tìm là :
2

 x2

4
S =  x − 2 x dx =  ( 2 x − x ) dx =  + 2  =
 3
0 3
0
0
2

2

2

2

Để vẽ miền giới hạn, ta thực hiện các bước:
- Vẽ đồ thị của các hàm số f ( x) = x 2 và g ( x) = 2 x .
- Xác định các giao điểm A(0, 0) và B(2, 4) .
- Tô màu miền giới hạn, ta sử dụng lệnh: IntegralBetween(g(x), f(x), 0, 2)


Ví dụ 2.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − x 3 và đồ
thị hàm số y = x − x 2 .
Giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm: x − x3 = x − x2  x = 0; x = 1
Xác định các giao điểm A(0, 0) và B(1, 0) .
Trên đoạn [0,1] thì − x3 + x 2  0 nên − x3 + x2 = − x3 + x2
Diện tích hình phẳng cần tìm là :
1

 x 4 x3

1
S =  x − x − ( x − x ) dx =  − x + x dx =  − − 2  =  0,08
 4 3
 0 12
0
0
1

1

3

2

3

2

Để vẽ miền giới hạn, ta thực hiện các bước:
- Vẽ đồ thị của các hàm số f ( x) = x3 − x và g ( x) = x − x2 .
- Xác định các giao điểm A(0, 0) và B(1, 0)
- Tô màu miền giới hạn, ta sử dụng lệnh: IntegralBetween(f(x), g(x), 0, 1)


Ví dụ 2.3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x − 1 và
đồ thị hàm số y = 3 − x 2 .
Giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 − 2x −1 = 3 − x2  x = −1; x = 2
Xác định các giao điểm A(−1; 2) và B(2, −1) .
Ta có bảng xét dấu của 2 x 2 − 2 x − 4 trên đoạn [−1, 2]
Trên đoạn [−1, 2] thì 2 x 2 − 2 x − 4  0 nên 2 x2 − 2 x − 4 = − x2 + 2 x + 4
Diện tích hình phẳng cần tìm là :
2

 −2 x3 2 x 2

S =  x − 2 x − 1 − (3 − x ) dx =  2 x − 2 x − 4 dx =  (−2 x + 2 x + 4)dx = 
+

+ 4x  = 9
2
 3
 −1
−1
−1
−1
2

2

2

2

2

2

2

Để vẽ miền giới hạn, ta thực hiện các bước:
- Vẽ đồ thị của các hàm số f ( x) = x2 − 2 x −1 và g ( x) = 3 − x 2 .
- Xác định các giao điểm A(−1; 2) và B(2, −1) .
- Tô màu miền giới hạn, ta sử dụng lệnh: IntegralBetween(g(x),f(x),-1,2)


3. Tạo mặt trịn xoay
Trong Geogebra có cửa sổ sổ làm việc Graphics 2 và 3D Graphics hỗ trợ
dựng hình, tính tốn với kí hiệu. Để tạo mặt trịn xoay, ta dùng cấu trúc:

Surface(<Expression>, (<Expression>, (<Expression>, <ParameterVariable1>,
<Start Value>, <End Value>, <Parameter Variable 2>, <Start Value>, Value>)
Ví dụ 3.1: Cho (H) giới hạn bởi các đường y = x ; x = 0; x = 2 và quay quanh trục
Ox . Tính thể tích khối trịn xoay thu được.
Giải: Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y = x ; x = 0; x = 2 quay
quanh trục Ox là:
2

V =  .
0

( x)

2

2

 x2 
dx =  . xdx =  .   = 2
 2 0
0
2

Thao tác trên Geogebra:
- Tạo Input Box cho hàm số và hai cận ở cửa sổ Graphics 2.
- Dùng thanh trượt Slider quản lý góc quay  .
- Nhập dữ liệu vào hàm số f ( x) = x và các cận a = 0, b = 4 .
- Vẽ mặt tròn xoay, ta sử dụng lệnh:
Surface(u, g(u) cos(v), g(u) sin(v), u, a, b, v, 0, α)

1
x

Ví dụ 3.2: Cho (H) giới hạn bởi các đường y = ; y = 0; x = 1; x = 3 và quay quanh
trục Ox . Tính thể tích khối trịn xoay thu được.
Giải:
1
x

Thể tích khối trịn xoay được giới hạn bởi các đường y = ; y = 0; x = 1; x = 3 và
quay quanh trục Ox là:
2

3

1
2
1
 1
V =  .   dx =  . 2 dx =  .  −  = 
x
x
 x 1 3
1
1
3

3

Thao tác trên Geogebra:
- Tạo Input Box cho hàm số và hai cận ở cửa sổ Graphics 2.
- Dùng thanh trượt Slider quản lý góc quay  .
- Nhập dữ liệu vào hàm số f ( x) =

1
và các cận a = 1, b = 3 .
x

- Vẽ mặt tròn xoay, ta sử dụng lệnh:
Surface(u, g(u) cos(v), g(u) sin(v), u, a, b, v, 0, α)


Bình luận:
- Khi giá trị  ở cửa sổ Graphic 2 thay đổi thì ta sẽ thầy nhiều góc quay của bề
mặt hình khối bên của sổ 3D Graphics.
- Với các cơng cụ của ta có thể phóng to, thu nhỏ hoặc xoay các trục để có nhiều
góc nhìn hơn cho khối tròn xoay này.


4. Minh họa định nghĩa
Tích phân được định nghĩa là q trình tính diện tích hoặc thể tích của một
vật thể bất kỳ theo hàm số biểu diễn của nó. Để tính tích phân, chúng ta phải chia
nhỏ vật thể đó thành nhiều phần nhỏ hơn và tính diện tích hoặc thể tích của từng
phần đó. Sau đó, ta cộng tổng các diện tích hoặc thể tích của các phần lại với nhau
để thu được diện tích hoặc thể tích của tồn bộ vật thể đó.
Thao tác thực hiện trên Geogebra:
- Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) bất kỳ
- Nhập các cận a, b .

- Dùng thanh trượt Slider quản lý số điểm chia n .
- Dùng thanh trượt Slider quản lý vị trí chọn điểm trong từng đoạn nhỏ.
- Dùng lệnh RectangleSum:
RectangleSum( <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, Rectangles> ,<Position for rectangle start>)
Ví dụ: Xây dựng mơ hình trên đồ thị hàm số f ( x) = x 2 trong khoảng [1;3] với n
phân hoạch (1  n  50) , khi thực hiện trên Geogebra ta sẽ thu được:

Bảng giá trị:
 =0
 = 0,5
 =1

n = 10

n = 20

n = 30

n = 40

n = 50

7,88
8,66
9,48

8,27
8,665
9,07

8,40148
8,66593
8,93481

8,4675
8,66625
8,8675

8,5072
8,6664
8,8272

Giá trị chính xác của tích phân:



3

1

x 2 dx =

26
 8, ( 6 )
3


Bình luận: Dựa vào mơ hình trên, ta nhận thấy:
- Khi n càng lớn thì những hình chữ nhật xuất hiện càng nhiều, sẽ lấp đầy

miền giới hạn.
- Khi  nằm xa vị trí 0,5 nhìn chung giá trị xấp xỉ của tích phân (tổng diện
tích các hình chữ nhật) có khác biệt lớn so với giá trị chính xác của tích phân. Khi
 = 0,5 giá trị xấp xỉ này (S) sẽ gần với giá trị chính xác hơn.
5. Xây dựng bài giảng
- Sử dụng công cụ TextBox để nhập hàm, giá trị 𝑎, 𝑏.
- Sử dụng công cụ Text để viết các chú thích, cơng thức và kết quả.
- Sử dụng cửa sổ Graphics 2 để vẽ đồ thị minh họa.
- Sử dụng cửa sổ 3D Graphic để vẽ minh họa các khối tròn xoay.
Dưới đây là một số hình ảnh minh họa về dạy học Tích phân: