9 toàn tập ghép trục

KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TỐN HÀM HỢP.

TỒN TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC
Nhóm tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến bạn Sơn Hoàng – người đã sáng tạo ra phương pháp ghép
trục siêu hay, một phương pháp rất mới để giải quyết nhanh gọn các bài toán về hàm hợp.

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TỐN HÀM HỢP.

LÍ THUYẾT





g giải
f uquyết
 x  . các
số chú
ý quan
trọng
khitrục
sử dụng
phương
trục để
bài toán

hàm
CơMột
sở của
phương
pháp
ghép
giải quyết
bàipháp
toán ghép
hàm hợp
Ta thực
hiệnvề
theo
cáchợp.
 CHÚ Ý 1:
bước sau đây:
u u  x 
 Các điểm đặc biệt của
gồm: các điểm biên của tập xác định D , các điểm cực
g  f u x
 Bước 1: Tìm tập xácu định
. Giả sử tập xác định tìm được như sau:
u  xcủa
 . hàm
trị của hàm số
D  a1 ; a2    a3 ; a4   ....   an 1 ; an 
, ở đây có thể a1  ; an 
u  u x
 Nếu xét hàm
thì ở dịng 1 các điểm đặc biệt cịn có nghiệm của phương trình

u u  x 
y  f  x
 Bướcu2:
thiên của hàm
và hàm
u u  x 
 x Xét
 0sự( làbiến
hoành độ giao điểm của hàm số
với trục Ox ).
 x; u u  x  
 u; g  f  u  
Lập bảng biến thiênu kép,
và 
u xét
x sự tương quan giữa 
 Nếu xét hàm
thì ở dịng 1 các điểm đặc biệt cịn có số 0 ( là hồnh độ giao
(Bảng biến thiên này thường có 3 dịng)
u u  x 
điểm của
và trục Oy ).
 CHÚ Ý 2:
u u  x 
 Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của
.
y  f  x
f x
f x
 Điểm đặc biệt của hàm số

gồm: các điểm tại đó   và   khơng xác





 

định, các điểm cực trị của hàm số





g  f u x











Trên mỗi khoảng
số

y  f  x

 u ; u  , với  i 1, n  1
i

i 1

 u ; u  , với
i

i 1

ui  b1  b2  ....  bk  ui1

cần bổ sung các điểm kì dị b1 , b2 ,....bk của hàm

 i 1, n  1 , sắp xếp các điểm u ; b
i

k

theo thứ tự, chẳng

hoặc ui  b1  b2  ....  bk  ui 1 (xem chú ý số 2).



g  f u x

Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm
y  f  x



dựa vào bảng biến thiên của hàm

f u
f x
bằng cách hốn đổi u đóng vai trị của x ;   đóng vai trị của   .

Sau khi hoàn thiện bảng biến thiên
số này.




.

Trên mỗi khoảng
hạn:



.

thì trong dịng 2 các điểm đặc biệt cịn có nghiệm của
f  x điểm
0 đặc biệt của hàm u u  x  , sắp xếp các điểm này theo thứ tự
Dịngphương
1: Xáctrình
định các

.
a1  a2  ....  an 1  an
 f ugiải
 x sử thì
tăng
dần từ
quag phải,
nhưtrong
sau: dịng
(xem
 Nếu
xéttrái
hàm
2 các điểm đặc biệt
cịnchú
có ýsốsố0 1).
.
i 1,....., n
u u  ai 
Dòng 2: Điền các giá trị i
, với
.


Nếu xét hàm

y  f  x



g  f u x

Bước 4: Dùng bẳng biến thiên hàm hợp



ta sẽ thấy được hình dạng của đồ thị hàm



g  f u x



Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”.

để giải quyết các yêu cầu của bài


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TỐN HÀM HỢP.

VÍ DỤ MINH HỌA
VÍ DỤ 1: Cho hàm số

y  f  x

có bảng biến thiên như sau:

  5 

 2 ; 2 
5 f cos 2 x  cosx 1


Số nghiệm thuộc đoạn
của hàm số
là
10
9
A. 11 .
B.
.
C. .
D. 12 .





Lời giải
Chọn B
2
u  2.cos x.sin x  sin x sin x  1  2cos x 
Tiến hành đặt u cos x  cosx . Đạo hàm
.
 sin x 0  x  k  x 0;  ; 2
u 0  
 cos x  1  x   2 k  x  ; 5 ; 7

2

3
3 3 3
Giải phương trình:

Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình

f  u 

1
5 có tất cả 10 nghiệm phân biệt.

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TỐN HÀM HỢP.

VÍ DỤ 2: Cho hàm số

y  f  x

có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
nghiệm phân biệt. Số phần tử của tập S là?
A. 10 .

B. 32 .
C. 9 .



ff x 

  2   m2

có 3

D. 34 .

Lời giải
Chọn D
u  f  x  2
Đặt
. Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực trị tại x 2 và x 5 .
Sử dụng phương pháp ghép trục:


m
  11  2   2


 4  m  13

2
Từ bảng biến thiên, phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Vậy có 34 giá trị của m thỏa mãn.

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”.

 8  m  26

  22  m   4


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TỐN HÀM HỢP.

VÍ DỤ 3: Cho hàm số

y  f  x

Hỏi phương trình

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.



f x3  3x

A. 10 .

 có bao nhiêu điểm cực trị thuộc đoạn   2; 2 ?

B. 17 .

D. 15 .

C. 12 .
Lời giải

Chọn B
3

u  x  3x 

x

3

 3x



2

x
 u 

3



 3x 3x 2  3

x

Đặt

x
u 
Giải phương trình đạo hàm
Sử dụng phương pháp ghép trục:

3

3

 3x



 3x 3 x 2  3

x

3

 3x



2





2

.


0
 0   xx 
1



 x  3 .

  2; 2 
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số 
có 17 điểm cực trị.

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TỐN HÀM HỢP.

VÍ DỤ 4: Cho hàm số

Hỏi



có

y  f  x

bao

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.

nhiêu



giá

trị

ngun

của

tham

số

m

  
 2 ; 2


có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc 
B. 1 .
C. 15 .
D. 2 .

7 f 5  2 1  3cos x 3m  10

A. 10 .

để

Lời giải
Phương trình đã cho tướng tương với
u 5  2 1  3 cos x  u 

Đặt
u 

Giải phương trình đạo hàm
Sử dụng phương pháp ghép trục:





f 5  2 1  3cos x 

3sin x
1  3cos x .

3sin x
1  3cos x

0  x 0
.

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

3m  10
7
.

phương

trình


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.

Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán

\



3m  10
4
 2  m 
7

3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1:

Cho hàm số

y  f  x  ax3  bx 2  cx  d

có đồ thị như hình vẽ

 3

;3 
2

 của phương trình f  sin x   5 f  sin x   6 0 là
Số nghiệm thuộc khoảng  2
A. 13 .
B. 12 .
C. 11 .
D. 10

Câu 2:

Cho hàm số

y  f  x  ax5  bx 4  cx 3  dx 2  ex  f

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình
A. 8 .
B. 4 .
Câu 3:

Cho hàm số

f  x

có đồ thị như hình vẽ

f  4 x  5  2   3 0

C. 10.

là:
D. 6

có bảng biến thiên như sau:

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.

Hỏi phương trình
A. 12 .

Câu 4:



B. 4 .

Cho bảng biến thiên hàm số

Hỏi phương trình
A. 6 .
Câu 5:



f x  1  2 x  1 1

f  5  2x

có bao nhiêu nghiệm thực?
C. 5 .

như hình vẽ dưới.

2 f  x 2  4 x  3   1 3
B. 5 .

Cho bảng biến thiên của hàm số

D. 8

có bao nhiêu nghiệm thực x tương ứng?
C. 7 .
D. 4

f  3  2x

như hình vẽ. Biết

f  4  3; f  0  0

. Hỏi có bao

f  x 3  3x  2   m 2
m
nhiêu giá trị ngun của tham số
để phương trình
có nhiều nghiệm
nhất?

A. 7 .
Câu 6:

Cho hàm số

B. 6 .
f  x

C. 5 .

ff  1  2 

liên tục trên  , thỏa mãn  

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

D. 2

 5

và có bảng biến thiên như sau:


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.

f

Số nghiệm của phương trình
A. 2 .
B. 1 .

Câu 7:

Cho hàm số

f  x





2 cos 3  x   2 cos x  5  2 cos x 2

C. 5 .

 5 
 0; 
trên khoảng  2  là?
D. 3

liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình bên.

f 2  cos x    3  m  f  cos x   2m  10 0
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có

  
  ; 
đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  3  là
A. 5 .
B. 6 .
C. 7 .

Câu 8:

D. 4 .

Cho f ( x) là hàm đa thức bậc 6 và có đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ dưới đây

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.

Hỏi hàm số

y  g ( x)  f x 2  4 x  5



B. 5 .

A. 2 .
Câu 9:

Cho hàm số

y  f  x

vẽ bên dưới. Hàm số

A.

Câu 10: Cho hàm số

B.

vẽ bên dưới. Hàm số

A.



y  f  x

 5;6  .

có bao nhiêu điểm cực trị?
C. 3 .

D. 1 .

f  x 
có đạo hàm liên tục trên  và có bảng xét đấu đạo hàm
như hình

g  x  f 4 

 0;1 .



4  x2

 1; 2  .

 đồng biến trên:

C.

  1; 0  .

D.

  3;  1 .

f  x 
có đạo hàm liên tục trên  và có bảng xét đấu đạo hàm
như hình



g  x   f  1  7  6x  x2

B.

  1; 2  .

 nghịch biến trên:

C.

 2; 3  .

D.

 3;5 

.

BẢNG ĐÁP ÁN
1.A

2.D

3.C

4.D

5.D

6.A

7.B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

8.C

9.C

10.D


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.

Câu 1:

Cho hàm số

y  f  x  ax3  bx 2  cx  d

có đồ thị như hình vẽ

 3

;3 
2

 của phương trình f  sin x   5 f  sin x   6 0 là
Số nghiệm thuộc khoảng  2
A. 13 .
B. 12 .
C. 11 .
D. 10
Bài làm:
Chọn A



 f  sin x  3

2
f  sin x   5 f  sin x   6 0  

 f  sin x  2




Ta giải phương trình:
Bảng biến thiên:

f  sin x  3
f  sin x   3
f  sin x   2
f  sin x  2

Kết hợp bảng biến thiên và đồ thị tương giao:

Ta thấy:
Với mọi

x    1;1

thì phương trình ln có 3 nghiệm.

Với mọi

x   0;1

thì phương trình có duy nhất 1 nghiệm.

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”

.


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.

 3

;3 

 là 3.4  1 13 .
Vậy số nghiệm của phương trình thuộc khoảng  2

Câu 2:

Cho hàm số

y  f  x  ax5  bx 4  cx 3  dx 2  ex  f

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình
A. 8 .
B. 4 .
g  x   4x  5  2 

 4 x  5

Đặt
g  x  
Giải phương trình

2

f  4 x  5  2   3 0

C. 10.
Bài làm:
4  4 x  5
 2  g  x  
2
 4 x  5

4  4 x  5

 4 x  5

Ta lập bảng biến thiên của hàm số

có đồ thị như hình vẽ

2

0  x 

g  x

5
4

là:
D. 6

.

.

như sau:

Yêu cầu bài toán trở thành: tìm số nghiệm phân biết của phương trình
Kẻ đường thẳng y 3 lên đồ thị như sau:

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

f  g  x    3 0

.


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.

Từ bảng biến thiên ta thấy, số nghiệm của phương trình thuộc

  2; 

bằng số nghiệm của

  ;  2 . Mà trên   2;  phương trình có 3 nghiệm nên trên   ;  2
phương trình thuộc
cũng có 3 nghiệm. Vậy phương trình có 3  3 6 nghiệm phân biệt.
Câu 3:

Cho hàm số

f  x

Hỏi phương trình
A. 12 .

có bảng biến thiên như sau:





f x  1  2 x  1 1
B. 4 .

có bao nhiêu nghiệm thực?
C. 5 .

D. 8

Lời giải
Chọn C







 f x  1  2 x  1 1
f x  1  2 x  1 1  
 f x  1  2 x  1  1

x

1
Điều kiện xác định:
. Ta có:
.
1
u  x  1  2 x  1  u 1 
0  x 2.
x 1
Đặt





Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 5 nghiệm phân biệt.
Câu 4:

Cho bảng biến thiên hàm số

f  5  2x

như hình vẽ dưới.

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.

Hỏi phương trình
A. 6 .

2 f  x 2  4 x  3   1 3
B. 5 .

có bao nhiêu nghiệm thực x tương ứng?
C. 7 .
D. 4
Lời giải

Chọn D

f  5  2x
f  x
Đặt x 5  2t , đưa bảng biến thiên hàm số
về bảng biến thiên hàm số
.
f  x
Ta có bảng biến thiên của hàm số

như sau:

 f  u  2
2 f  u   1 3  
2
 f  u   1 .
Đặt u x  4 x  3 , phương trình trở thành
Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình có tất cả 4 nghiệm thực x .

Câu 5:

Cho bảng biến thiên của hàm số

f  3  2x

như hình vẽ. Biết

f  4  3; f  0  0

. Hỏi có bao

f  x 3  3x  2   m 2
m
nhiêu giá trị ngun của tham số
để phương trình
có nhiều nghiệm
nhất?

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”.


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.

A. 7 .

B. 6 .

C. 5 .
Lời giải

D. 2

Chọn D

f  x
x 3  2t  f  x   f  3  2t 
Đưa về bảng biến thiên của hàm số
bằng cách đặt
.
f  x
Bảng biến thiên của hàm số
như sau:

 f  u  m  2
f  u   m 2  
3
 f  u  m  2 .

Đặt u x  3 x  2 thì phương trình trở thành
Sử dụng phương pháp ghép trục

3  m  2  8

 2  m  5  m  3; 4
0  m 2 3
Để phương trình có nhiều nghiệm nhất
.
Câu 6:

Cho hàm số

f  x

ff  1  2 
liên tục trên  , thỏa mãn  

 5

và có bảng biến thiên như sau:

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.

f

Số nghiệm của phương trình
A. 2 .
B. 1 .





2 cos 3  x   2 cos x  5  2 cos x 2

C. 5 .
Lời giải

 5 
 0; 
trên khoảng  2  là?
D. 3

Chọn A


 3cos 2 x  1

u  2cos  x   2cos x  5  2cos x  u ' sin x
 2  0
 2cos 3  x   2cos x  5




Ta đặt
3

 5 

voi x 0;

 sin x 0    2 
 x  ; 2 .

2

u 0
 3cos x  1

 2 0  vo nghiem 
 2cos 3 x  2cos x  5
 


Giải phương trình
Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 7:

Cho hàm số

f  x

liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình bên.

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.
f 2  cos x    3  m  f  cos x   2m  10 0
Số giá trị ngun của tham số m để phương trình
có

  
  3 ;  
đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
là
5
6
A. .
B. .
C. 7 .
Lời giải
Chọn B
 x 0
  
u cos x  u  sin x 0  
x    ; 
 3  ).
 x  ( với
Đặt

D. 4 .

 f  u  2
2
f  u    3  m  f  u   2m  10 0  
 f  u  m  5 .
Khi đó phương trình đã cho trở thành
Sử dụng phương pháp ghép trục:

Do phương trình

f  u  m  5
Câu 8:

f  u  2

có 3 nghiệm nên yêu cầu bài tốn tương đương với phương trình

 m
 m   1; 2;3; 4;5;6
có duy nhất một nghiệm  4 m  5  2  1 m  7
.

Cho f ( x) là hàm đa thức bậc 6 và có đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ dưới đây

Hỏi hàm số
A. 2 .

y  g ( x)  f x 2  4 x  5



B. 5 .



có bao nhiêu điểm cực trị?
C. 3 .

D. 1 .

Lời giải
2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.

Chọn C
2
Đặt u  x  4 x  5  u 2 x  4 0  x  2.
Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 9:

Cho hàm số

y  f  x

vẽ bên dưới. Hàm số

A.

f  x 
có đạo hàm liên tục trên  và có bảng xét đấu đạo hàm
như hình



g  x  f 4 

 0;1 .

B.



g  x  f 4 

 1; 2  .



Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

y  f  x

vẽ bên dưới. Hàm số

A.

 5;6  .

 đồng biến trên:

C. 
Lời giải

4  x 2  f  u  , u 4 

Đặt
Sử dụng phương pháp ghép trục:

Câu 10: Cho hàm số

4  x2

4  x2

 1; 0 

, với

.

D.

  3;  1 .

x    2; 2

  2;0  .

f  x 
có đạo hàm liên tục trên  và có bảng xét đấu đạo hàm
như hình



g  x   f  1  7  6x  x2

B.

  1; 2  .

 nghịch biến trên:

C.

 2; 3  .

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

D.

 3;5 

.


KỸ NĂNG GHÉP TRỤC GIẢI BÀI TOÁN HÀM HỢP.

Lời giải





g  x   f  1  7  6x  x2  f  u 

Đặt:
Sử dụng phương pháp ghép trục:

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng

2
x    2; 2
với u  1  7  6 x  x và

  1;3  7  và  3;3  7  .

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”