04 3 bt về tiệm cận của đồ thị hàm số nâng cao (trang 451 470)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (424.36 KB, 22 trang )
Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
y
Câu 1:
Cho hàm số
2020; 2020
A. 4039 .
2
của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận?
B. 4040 .
C. 4038 .
y
Câu 2:
x 3
x 3mx (2m2 1) x m . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn
3
D. 4037 .
20 6 x x 2
x 2 8 x 2m . Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số có đúng
Cho hàm số
hai đường tiệm cận đứng
A.
m 6;8
.
B.
m 6;8
.
C.
m 12;16
.
D.
m 0;16
ài tập tiệm cận của đồ thịy hàm
f x số
Câu 3:
Cho hàm số bậc bốn
có đồ thị như hình vẽ.
x
y
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
A. 6 .
B. 5 .
Câu 4:
2
4
x 3 x 3 1
f f x 1
4
C. 3 .
3
2
Cho đồ thị hàm số y ax bx cx d như hình vẽ dưới đây:
451 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
là
D. 4 .
.
Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
3x 2 x 2
g x 2
3 f x 6 f x
Đồ thị của hàm số
có bao nhiêu đường tiện cận đứng
A. 5 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Câu 5:
Cho hàm số bậc ba
y f x
g x
Đồ thị hàm số
ngang
A. 4 .
Câu 6:
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận
C. 2 .
f x ax3 bx 2 cx d
D. 5 .
có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
x 2 3x 2 x 1
x f 2 x f x
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 3 .
Câu 7:
2x 7 3 4x 5
f x 1
B. 3 .
Cho hàm số bậc ba
g x
có bảng biến thiên như hình bên dưới.
B. 5 .
C. 6 .
D. 4 .
4
2
Cho hàm trùng phương y ax bx c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
y
x
2
4 x2 2x
2
f x 2 f x 3
có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?
A. 5 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 452
Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
y
Câu 8:
3x 1 ax b
x 5
Biết đồ thị hàm số
4841
A. 152 .
2
4814
B. 152 .
2
3
Câu 9:
Biết rằng tích phân
2
3
khơng có tiệm cận đứng. Tính a b
4841
4814
C. 152 .
D. 152 .
a
4 x x2
1 dc
b
I 1 x 2 .e dx 3.e e
3
x
1
3
a c
;
, trong đó các phân số b d tối giản.
Hãy xác định phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
25
25
25
y
y
y
3 .
53 .
9 .
A.
B.
C.
Câu 10: Cho hàm số bậc ba
y f x
Tổng các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
tiệm cận bằng
A. 15 .
B. 1 .
C. 13 .
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
đúng hai đường tiệm cận?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
Câu 12: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
A. 0 .
B. 1 .
y f x
ax b
cx d .
D. y 3 .
có đồ thị như hình vẽ.
g x
Câu 13: Cho hàm số bậc ba
y
f x
có đồ thị như sau
453 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
3
2020
ff x
1m
D. 11 .
y f ( x)
6 x 3 mx 2m 3
3 x 3 14 x 2 20 x 8 có
D. Vô số.
9 x 2 2 ln x 1
3
x x
C. 2 .
có 4 đường
là:
D. 3 .
Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
Gọi M , m
x
y
2
lần lượt là số tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2 x 3 . x 2 x . x 4 17 x 2 16
f x 2 . 2 x2 3x
A. 2 M 3m .
B. M 3m .
y
Câu 14: Đồ thị hàm số
ngang là
A. 2 .
2x 3
x 2 1 .
. Khi đó mệnh đề nào đúng?
C. M 2m .
D. M m .
x2 2x 8
4x2 x 4 2x
B. 3 .
có tổng số đường tiệm cận đứng, tiệm cận
D. 6 .
C. 4 .
x2 2 x 2
khi x 2
2
y f x x x 2
2
4 x x 1 2 x khi x 2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
Câu 15: Đồ thị hàm số
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
y f x
Câu 16: Cho hàm số
4 x 3 20 x 2 m 24 x 2m
20 x 2 14 x 9 14 x 11 2 x 2 1
có đồ thị là
C . Gọi
S là tập hợp
C
các giá trị của m để có đúng một tiệm cận đứng. Tổng các giá trị trong S là
A. 1 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 7 .
y f x
Câu 17: Cho đồ thị hàm số
liên tục trên và có đúng hai đường tiệm cận ngang
y f x m
. Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số
có đúng một
đường tiệm cận ngang.
A. m 1 .
B. m 2 .
C. m 2 .
D. m 3 .
y 5, y 1
Câu 18: Cho hàm số
f x x.
tiệm cận ngang bằng
3
ax 3 bx 2 1 2 x 2 x 1
y
. Biết rằng đồ thị hàm số có một đường
5
4 . Giá trị a b thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?
.
A.
5; 3 .
B.
3; 0 .
C.
0; 3 .
D.
3; 5 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 454
Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
f x ax bx cx d a , b , c , d
Câu 19: Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ sau đây:
3
g x
Đồ thị hàm số
A. 2
2
x ( x 2)
f
2
x 2 f x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
B. 4.
C. 3.
D. 1.
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
tiệm cận.
m 2
m 2
m 5
2
m
2
2 .
A. m 2 .
B.
.
C.
Câu 21: Gọi S là tập các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số
y
y
x 1
x 2mx 4 có 3 đường
2
m 2
D. m 2 .
x 1
x 2mx m2 2m 6 có đúng hai
2
đường tiệm cận. Số phần tử của S là:
A. 2 .
Câu 22: Cho hàm số
B. 3 .
C. 0 .
y f x ax 3 bx 2 cx d a 0
455 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
D. 1 .
có đồ thị như hình dưới đây.
Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
Gọi S là tập các giá trị nguyên của m thuộc khoảng
g x
x 1
f x 2 x
2
g x
x
2
để đồ thị hàm số
f x
2mx m 2
có 5 đường tiệm cận (tiệm cận đứng hoặc tiệm cận
ngang). Số phần tử của tập S là
A. 2016.
B. 4034.
Câu 23: Cho hàm số bậc ba
2019; 2020
C. 4036.
f x ax3 bx 2 cx d
D. 2017.
có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
2x 1 x
x 3 f 2 x 3 f x
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
B. 3 .
A. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
2.B
3.A
4.C
5.B
6.C
7.D
8.A
9.B
11.B 12.C 13.C 14.A 15.C 16.C 17.C 18.D 19.
21.
22.
10.D
20.
23.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Chọn B
lim y lim y 0,
x
Ta có x
suy ra y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận
đứng, hay khi
Ta
x3 3mx 2 (2m 2 1) x m 0 1
có
có 3 nghiệm phân biệt khác 3.
x3 3mx 2 (2m2 1) x m 0 x m x 2 2mx 1 0
x m
2
f x x 2mx 1 0 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 456
Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
1 có 3 nghiệm phân biệt khác 3 khi phương trình 2 có 2 nghiệm phân
Để phương trình
m 1
2
m 1
0
m 1 0
2
5
f 3 0 3 6m 1 0 m
3
m2 2m 2 1 0
f m 0
m 1
biệt khác 3 và m khi
m 1
m 1 .
2020; 2020 nên có 4038 giá trị của tham số m .
Vì m là số nguyên thuộc đoạn
Câu 2:
Chọn B
2
Ta có tập xác định của hàm số phải thỏa mãn 6 x x 0 0 x 6 .
2
Điều kiện để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là phương trình x 8 x 2m 0 có 2 nghiệm
x1 , x2 thỏa mãn 0 x1 x2 6 .
2
f x x 2 8x
x
8
x
2
m
Ta có:
. Đặt
.
f x
0;6 .
Ta có bảng biến thiên của hàm
trên đoạn
phân biệt
Yêu cầu bài toán 16 2m 12 6 m 8 .
Câu 3:
Chọn A
Hàm số bậc bốn có dạng
y ax 4 bx3 cx 2 dx e a 0
3
2
. Ta có: y 4ax 3bx 2cx d .
Từ đồ thị trong hình vẽ đã cho ta thấy: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
1;0 , x0 ; y0 , 2;0
0 x0 1; y0 0 . Ngoài ra đồ thị hàm số đi qua các điểm 2;3 , 3;3 .
y 1 0
4a 3b 2c d 0
a 1
32a 12b 4c d 0
y
2
0
b 2
y 1 0
a b c d e 0
c 3
y 2 0
16a 8b 4c 2d e 0
d 4
y 2 3
16a 8b 4c 2d e 3
e 4
81a 27b 9c 3d e 3
y 3 3
Từ đó ta có:
.
với
Suy ra bậc bốn
Ta có:
y f x x 4 2 x3 3x 2 4 x 4
f x x 4 2 x 3 3 x 2 4 x 4 x 1
457 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
2
.
x 2
2
.
Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
y
Từ
đó
ta
có
hàm
4
y
4
x 2 x 2 x 3 x 1 x 2
x 1
2
x 2
4
y
số
2 2
x 1
2
x 2
4
4
2
4
3
4
x 1 x 2
4
4
4
x
x2 x 2
lim g x
;
2
x 2
3
2
lim g x
x 2
2
x 2 x 2 x 3 x 1 x 2
x 1 x 2
x 1
2
2
x 1 x 2 x 1 x 2
y g x
Ta có:
3
x 1
4
Xét
2
4
x 1
x 2 x 2 x 3 x 1 x 2
4
4
2
3
x 3 x 3 1 y x 4 x 3 x 1
2
2
f x 1 x 2 1
f f x 1
x2 4
3
2
x
2
x 1
x 2 3
x2 x 2 3
2
2
.
x 1
x 2
x 1
x 1
1
x
1
x
0
94 3
x1
2
94 3
x2
2
9 4 3
x3
2
9 4 3
x4
2
.
256
lim g x lim g x lim g x
81 ; x x1
; x x2
; x x3
;
lim g x lim g x 0
; x
.
Suy ra đồ thị hàm số có 5 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
x x4
Câu 4:
Chọn C
f x 0
3 f 2 x 6 f x 0
f x 2 .
Xét phương trình
Dựa vào đồ thị ta suy ra:
x 2
f x 0
x 1 , với x 2 là nghiệm đơn và x 1 là nghiệm kép.
Phương trình
2
Suy ra:
f x a x 2 x 1 , a 0
.
x 0
f x 2 x m 2 m 1
x n n 1
Phương trình
, các nghiệm đều là nghiệm đơn.
Suy ra
f x 2 ax x m x n , a 0
.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 458
Phan Nhật Linh
g x
Khi đó:
x 1 3x 2
3 f x f x 2
Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
x
1
3x 2
2
3a 2 x 2 x 1 x x m x n
3x 2
, a 0
3a 2 x x 2 x 1 x m x n
g x
Vậy đồ thị hàm số
có 5 đường tiệm cận đứng
Cách 2: Chọn hàm số
f x
. Ta có
f x ax 3 bx 2 cx d
A 2;0 , B 1; 4 , C 0; 2 , D 1;0
Đồ thị hàm số qua 4 điểm
.
a 1
b 0
c 3
f x x 3 3x 2
suy ra d 2 hay
Khi đó:
3x 2 x 2
3x2 x 2
3x 2 x 2
g x 2
3 f x 6 f x 3 f x f x 2 3 x 3 3 x 2 x 3 3x
x 1 3x 2
2
3 x 2 x 1 x x 2 3
Vậy đồ thị hàm số
Câu 5:
g x
có 5 đường tiệm cận đứng
Chọn B
5
x
4
f x 1
g x
Hàm số
xác định khi
Ta có
y f x
là hàm bậc ba và dựa vảo bảng biến thiên ta có
a
y x 3 ax b
3
.
y 1 3
y 1 1
a
a b 3
a 3
3
y x3 3x 1
b 1
a a b 1
3
2 7
4 5
33 5 6
2
2x 7 3 4x 5
x
x
x 0
lim g x lim
lim x
3
x
x
x
3 1
1
x 3x 1 1
1 2 3 3
x
x
x
y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
4 x2 8x 4 f x 1
2x 7 3 4x 5
g x
2
f x 1
f x 1 2x 7 3 4x 5
459 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
y a x 2 1
Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
2
4 x 1 f x 1
f x 1 f x 1 2 x 7 3 4 x 5
4 x 1
2
f x 1
x x 3 x
3 x 2 x 1
2
2x 7 3
4x 5
4 f x 1
x x 3 x
x x 3 x
3 x 2 2 x 7 3 4 x 5
x 0
5
3 x 2 2x 7 3 4x 5
x
x
3
4
(vì
lim g x
x 0
x 0
g x
xlim
0
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
lim g x
x 3
x 3
g x
xlim
3
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có tiện cận ngang là y 0 và tiệm cận đứng là y 3
Câu 6:
Chọn C
Điều kiện xác định của hàm số
g x
là x 1 .
x 0
f x 0
x f 2 x f x 0 x. f x . f x 1 0 f x 1
Xét phương trình
.
f x 0
Xét phương trình
có nghiệm kép x 2 và nghiệm đơn x 1 .
x a, 1 a 2
lim f x
x b, 1 b 2, b a
x
x c, c 2
lim f x
f x 1
Xét phương trình
có ba nghiệm đơn
. Ta thấy x
Nên khơng mất tính tổng quát, ta có
+
f x 0
x 1 x 2
2
0
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 460
Phan Nhật Linh
f x 1
+
Do đó:
g x
Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
x a x b x c 0
x 2 3x 2 x 1
x 2 3x 2 x 1
2
x f 2 x f x x x 1 x 2 x a x b x c
Khi đó
lim g x
x 0
g x
lim g x
+ x 0
không tồn tại giới hạn x 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
lim g x lim
+
x 1
x 1
x 2 3x 2 x 1
x x 1 x 2
2
x a x b x c
.
x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x .
x 2 3x 2 x 1
g x lim
xlim
2
2
x 2 x x 1 x 2
x a x b x c
x 2 3x 2 x 1
lim g x lim
2
x 2
x 2 x x 1 x 2
x
a
x
b
x
c
+
x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x .
x 2 3x 2 x 1
lim
g
x
lim
x a
2
x a x x 1 x 2
x a x b x c
x 2 3x 2 x 1
lim g x lim
2
x a
x a x x 1 x 2
x
a
x
b
x
c
+
x a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x .
x 2 3x 2 x 1
lim
g
x
lim
x b x b
2
x
x
1
x
2
x
a
x
b
x
c
x 2 3x 2 x 1
lim g x lim
x b x b x x 1 x 2 2 x a x b x c
+
x b là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x .
x 2 3x 2 x 1
g x lim
xlim
2
c
x c x x 1 x 2
x a x b x c
x 2 3x 2 x 1
lim g x lim
2
x c
x c x x 1 x 2
x
a
x
b
x
c
+
x c là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x .
lim g x lim
+
x
x
x 2 3x 2 x 1
x x 1 x 2
2
x a x b x c
y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g x .
461 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
0
.
Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
g x
Vậy đồ thị hàm số
có 6 đường tiệm cận.
Câu 7:
Chọn D
x
2
2
4 x2 2x
x 2 x 2 x x 2
y
2
2
f x 2 f x 3
f x 2 f x 3
Ta có:
f x 2 f x 3 0
Xét
2
x 2 x 2 x
2
f x 2 f x 3
.
x m, m 2
x 0
x n, n 2
f x 1
x 2
f x 3
x 2
.
Dựa vào đồ thị ta thấy các nghiệm x 0; x 2 là các nghiệm kép (nghiệm bội 2).
2
f x 2 f x 3
Do đó đa thức
có bậc là 8.
2
y
Suy ra
x 2 x 2 x
2
2
a 2 x 2 x 2 x 2 x m x n
1
a x x 2 x m x n
2
.
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng là x 0, x 2, x m, x n .
Câu 8:
Chọn A
Xét hàm số
f x 3x 1 ax b
có
f x
3
2 3x 1
a
2
Để hàm số khơng có tiệm cận đứng:
f 5 0
f 5 0
f x x 5 .g x
5a b 4
3.5 1 a.5 b 0
3
3
a
a
0
8
2 3.5 1
2
17
b
8
a 3
8
3
1 3
4814
a2 b 3
152
2 2
Nên
Câu 9:
Chọn B
3
I e
x
2
1
3
Ta có
2
3
x2
4 x 2
dx x 2 .e x dx
x
1
3
3
I1 e
I 1 I 2
, với
x
1
3
2
x2
3
2
4 x 2
dx I 2 x 2 .e x dx
x
1
3
;
.
2
2
4 x x2
x 2
d
u
1
e
dx
u e x
2
I1 e x dx
x3
dv dx
v x
1
3
Tính
. Đặt
.
3
x
I1 x.e
Ta có
Do vậy
2
x
2
3
x2
1
3
2
3
4 x 2
25
x 2 .e x dx
1 53
x
3e 9 e 3 I 2
1
3
3
.
I I1 I 2 3e
25
9
1 353
e
3
.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 462
Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
25 x 9
y
53 x 3 .
Ta có a 25; b 9; c 53; d 3. Suy ra hàm số
25 x 9
25
y
y
53 x 3 có phương trình đường tiệm cận ngang
53 .
Khi đó đồ thị hàm số
Câu 10: Chọn D
Ta thấy đồ thị hàm số
Để đồ thị hàm số
phân biệt.
Đặt
x
1
có 1 đường tiệm cận ngang là y 0 .
ff x
có 4 đường tiệm cận thì phương trình
1 m
0
có 3 nghiệm
1 . Khi đó, h x f x . ff x 1 .
h x ff x
h x 0
g x
g x
f x 0
f x 0
f x 1 1
ff x 1 0
f x 1 2
f x 0
f x 0
f x 1
x 1,2
x x1 ; x2 ; x3
x x4 ; x5 ; x6 .
x4 1 x5 x2 2 x3 x6
Ta có
h x1 h x2 h x3 ff x
h x4 h x5 h x6 ff x
4
1
1 2 ;
1 1 ; h 1 ff 1 1 14 ; h 2 ff 2 1 13
Bảng biến thiên:
Căn cứ vào bảng biến thiên để phương trình
2 m 14
13 m 1
ff x
1 m
0
có ba nghiệm phân biệt thì:
.
Câu 11: Chọn B
Điều kiện xác định:
1
x 2
x 2
2
x
3
lim
. Ta có
x
6 x 3 mx 2m 3
0
3 x 3 14 x 2 20 x 8
với mọi m .
Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y 0 .
y f ( x)
Ta có
6 x 3 mx 2m 3
2
x 2 3x 2
.
u cầu bài tốn trở thành, tìm m để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng x 2
2
3.
hoặc
463 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
x
Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
2
3
x
m
3 là nghiệm thì
2 . Khi đó
Nếu 6 x 3 mx 2m 3 nhận
3
6x 3 x
3
9
2
lim
lim
2
2
2
3 32
x x 2 3 x 2
x
3
3 4 x 2
6x 3 2 x
3
x
3
2
lim
lim
2
x 2
x 2
3
x 2 3x 2
4 x 2 6x 3 x
2
6x 3
.
Suy ra x 2 là đường tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số.
6
6 x 3 mx 2m 3 x 2
m
6x 3 3
nhận x 2 là nghiệm kép thì m 1 .
Nếu
lim
Khi đó
lim
x 2
2
x
3
6x 3 x 1
x 2
6x 3 x 1
2
x 2 3x 2
Suy ra
x
2
3x 2
lim
x 2
lim
2
x
3
1
3x 2
6x 3 x 1
1
3x 2
6x 3 x 1
1
24
2
3 là đường tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số.
3
m 1;
2
Vậy có hai giá trị của
thỏa mãn bài toán.
Câu 12: Chọn C
D 1; \ 0;1
Tập xác định:
.
Ta có :
3
2
9 x 2 ln x 1
0
lim
3
x
x x
.
3
3
2
2
9 x 2 ln x 1
9 x 2 ln x 1
.
lim
2 3 9
lim
3
2
x
x x
x 1
x 0
x 0
.
3
3
2
2
9 x 2 ln x 1
9 x 2 ln x 1
.
lim
2 3 9
lim
3
2
x
x x
x 1
x 0
x 0
3
2
1 x2 ln x 1
9 x 2 ln x 1
lim
lim
3 x
2
x
x 1
x 1 x2 1 x 3 9 x2 2 3 9 x2 4
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 464
Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
ln x 1
.
lim
2
x 1 x 3 9 x 2 23 9 x 2 4
3
2
9 x 2 ln x 1
lim
lim
3
x x
x 1
x 1
1 x2 ln x 1
2
2 1 x 3 9 x2 23 9 x2 4
x
ln x 1
1
lim
ln 2.
12
2
x 1 3
3
2
2
x
9 x
2 9 x 4
3
2
9 x 2 ln x 1
1
ln 2
lim
12
x3 x
Tương tự x 1
.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận y 0 và x 1 .
Câu 13: ChọnC
f x x 3 3 x 2 4
Từ giả thiết, ta có
y g x
.
x
2
2 x 3 . x 2 x . x 4 17 x 2 16
x 3 3x 2 2 . 2 x 2 3x
là đồ thị hàm số
.
x 2 x 0
x 4
4
2
x 17 x 16 0
1 x 1 3 0
3
x 4
x 3 x 2 2 . 2 x 2 3 x 0
Điều kiện xác định:
.
Gọi
C
2 3
1
17 16
1 x 2 . 1 x . 1 2 4 1
x
x
x
lim g x lim
x
x
2
3 2
3
1 x 3 . 2 x
x
2 3
1
17 16
1 2 . 1 . 1 2 4
x x
x
x
x
1
lim g x lim
x
2
3 2
3
x
1 3 . 2
x x
x
Ta có:
1
y
đường thẳng
2 là tiệm cận ngang của C .
x
lim g x lim
x 0
2
2 x 3 . 1 x . x 4 17 x 2 16
x
x 0
3x 2 2 . x . 2 x 3
3
đường thẳng x 0 là tiệm cận đứng của C .
lim g x lim
x 1 3
x 1 3
x
2
2 x 3 . x 2 x . x 4 17 x 2 16
x3 3x 2 2 . 2 x 2 3x
465 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
3 là tiệm cận đứng của C . Vậy M 2; m 1 nên M 2 m .
đường thẳng x 1
Câu 14: Chọn A
y f x
C
Gọi là đồ thị hàm số
Ta có
x 2 1 .
lim y lim
x 4
+)
lim
x 4
lim
x 2 1 .
2x 3
x 2 1 .
x2
x 3 .
x 4
4x2 x 4 2x
.
y f x
là:
D ; 4 2;
.
x2 2x 8
4x2 x 4 2x
2x 3 x 2 x 4 4x
x 3 . x 4
2x 3
x2 2x 8
x 2 1
x 1
x 2 1
x 3
x 0
4 x 2 x 4 2 x 0
x 4 0
x 4
4 x 2 x 4 2 x
.
Suy ra tập xác định của hàm số
x 4
2x 3
2
x 4 2x
4x2 x 4 2x
x 4
C
Suy ra đường thẳng x 4 là tiệm cận đứng của .
+)
3
2 8
2 x 1 x 2
1
x
lim
2x 3 x2 2x 8
x
2
1
1 4
lim y lim
1
.
4
2
x
x
2
x 1 . 4 x x 4 2x
x
x x2
+)
2x 3 x 2x 8
lim y lim
x 3 . 4x x 4 2x
2
x
x
2
lim
2x 3
x2 2x 8
.
4 x2 x 4 2 x
x 3 x 4
x
2 8
1 4
1 2 4 2 2
x x
x x
lim 2 x 3 .
x
3
4
1 x 1 x
.
1
y
2 là tiệm cận ngang của C .
Suy ra đường thẳng
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Câu 15: Chọn C
1
1
2
2 5 6
x 2 x2
x
x
x 0
lim y lim
lim
2
2
x
x
x
x x 2
2
1
C
y
f
x
;
x
Gọi là đồ thị hàm số
.
2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 466
Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
C
Suy ra nhận đường thẳng y 0 là đường tiệm cận ngang.
lim y lim
x
x
C
Suy ra
lim y lim
x 2
x 2
4 x 2 x 1 2 x lim
nhận đường thẳng
x2 2 x 2
x x 2
2
lim
x 2
x
y
1
x 1
lim
x
4x2 x 1 2x
1
x
1 1
2
x x2
4
1
4
.
1
4 là tiệm cận ngang.
x4 4 x 2
x x 2
2
x
2
2 x2
lim
x 2
x3 2x2 4x 4
x x 2 x2 2 x 2
.
C
Suy ra nhận đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.
Câu 16: Chọn C
Ta có
20 x 2 14 x 9 14 x 11 2 x 2 1 0 1
350 x 2 245 x
315 35
14 x 11 2 x 2 1 0
2
2
2
35
35 35
1225
7
315
35
14 x 2 14 x .
2 x2 1
2 x2 1 x2
2 x2 1
0
4
4 4
16
8
8
8
2
35 35
7
315
35
14 x
2 x2 1 x 2
2x2 1
0 2
4
4
8
8
8
.
Nhận thấy phương trình (2) vơ nghiệm nên phương trình (1) vơ nghiệm.
Do đó
20 x 2 14 x 9 14 x 11 2 x 2 1
8 x 4 56 x 3 118 x 2 5 x 40
20 x 2 14 x 9 14 x 11 2 x 2 1
20x
2
2
14 x 9 14 x 11
2
2x
2
1
20 x 2 14 x 9 14 x 11 2 x 2 1
2 x 2
2
4x
2
12 x 5
20 x 2 14 x 9 14 x 11 2 x 2 1
x 2 4 x 12x m
. 20 x
2 x 2 4 x 12 x 5
.
2
y f x
Khi đó hàm số
y
2
2
2
14 x 9 14 x 11 2 x 2 1
4 x 2 12 x m
. 20 x 2 14 x 9 14 x 11 2 x 2 1
2 x 2 4 x 12 x 5
2
.
3 14
D \ 2;
2
y f x
Hàm số
có TXĐ là
.
Dễ thấy để đồ thị
4 x2 12 x m 0 1
C
của hàm số
y f x
có đúng 1 tiệm cận đứng thì phương trình
phải có đúng hai trong ba nghiệm
467 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
2;
3 14
2
.
Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
1
1
Nếu có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thì x1 x2 3 . Do đó, phải có hai nghiệm là
3 14
S 5
2
, suy ra m 5 . Do đó
.
Vậy tổng các giá trị trong S là 5 .
Câu 17: Chọn C
y f x
có hai đường tiệm cận ngang y 5, y 1 .
Đồ thị hàm số y f x m có hai đường tiệm cận ngang y 5 m , y 1 m
Đồ thị hàm số
y f x m
Do đó đồ thị hàm số
có đúng một đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi hai
đường thẳng y 5 m, y 1 m đối xứng qua trục Ox
5 m 1 m 0 m 2 .
Câu 18: Chọn D
5
lim f x lim x.
x
4
Trường hợp 1: x
b
1 1
lim x 2 . 3 a 1 2 1 2
x
x
x x
Suy ra
3
lim x.
x
3
5
ax 3 bx 2 1 2 x 2 x 1
4
5
4
a 2 0 a 8 . Thay lại ta được
3
5
8 x 3 bx 2 1 2 x 2 x 1
4
lim x. 3 8 x 3 bx 2 1 2 x 1 2 x 1 4 x 2 4 x 4
x
b 12 x 3 6 x 2
lim
2
x
3 8 x 3 bx 2 1 2 x 1 3 8 x 3 bx 2 1 2 x 1 2
45
5
2 x 1 4x 2 4 x 4 4
3x
3
3x
lim
5
x
2
4
lim f x
2
x
1
4
x
4
x
4
x
4 nên
Do
và
lim
x
Do đó
lim
x
3
8 x 3 bx 2 1
2
b 12 x
2 x 1
2
3
3
2
8 x bx 1 2 x 1
phải hữu han.
3
6x2
b 12 0 b 12 thay lại ta được
1
6x
2
2
2
3
3
3
2
3
2
8 x 12 x 1 2 x 1 8 x 12 x 1 2 x 1
5
lim f x
x
4 không thỏa mãn
Thay lai được
2
5
lim f x lim x.
x
4
Trường hợp 2: Xét x
3
5
ax 3 bx 2 1 2 x 2 x 1
4
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 468
Phan Nhật Linh
b
1 1
lim x 2 . 3 a 1 2 1 2
x
x
x x
Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
5
4
3
Suy ra a 2 0 a 8 .
Thay lại ta được
lim x.
x
3
5
8 x 3 bx 2 1 2 x 2 x 1
4
lim x.
x
lim
x
3
3
5
4x2 4x 4
4
8 x 3 bx 2 1 2 x 1 2 x 1
3
2
8 x bx 1
2
b 12 x
2 x 1
3
6x2
3
8 x bx 1 2 x 1
3
2
2
5
4 x 2 4 x 4 4
3x
2 x 1
3x
3
lim
5
x
2
4
lim f x
2
x
1
4
x
4
x
4
4
Do
và x
lim
x
nên
Do đó
lim
x
3
8 x 3 bx 2 1
2
b 12 x
2 x 1
2
8 x 3 bx 2 1 2 x 1
hữu han.
6x2
3
b 12 0 b 12 thay lại ta được
6x2
3
3
8 x 3 12 x 2 1
Từ đó suy ra
2
lim f x
x
2 x 1 3
1
2
2
8 x 3 12 x 2 1 2 x 1
5
4 thỏa mãn. Vậy ta được a b 4 3; 5 .
Câu 19: Chọn C
x 0
f 2 x 2 f x 0
2
f x 2 f x 0
Điều kiện:
. Xét phương trình:
f x 0
f x 2
x 1
f x 0
x 2
Từ đồ thị phương trình
x 1 khơng là tiệm cận đứng do đk x 0 .
x 2 là nghiệm kép và tử số có một nghiệm x 2 x 2 là một đường tiệm cận đứng.
Từ đồ thị phương trình
x a 0
f x 2 x 1
x b (b 2)
x a không là tiệm cận đứng (vì x 0 )
x 1, x b là hai đường tiệm cận đứng.
469 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 04: Tiệm cận của đồ thị hàm số
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Câu 20: Chọn C
lim y 0, lim y 0
x
x
g x
là 3.
nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y 0, m .
Do đó đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận
phương trình x 2 2mx 4 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1
5
m
2
m2 4 0
0
m2
5
5
m 2
m
m 2
2
.
Câu 21: Chọn B
1 1
x x2
lim y lim
0
x
x
2 m m 2 2m 6
1
x
x2
Ta có
.
Nên đồ thị hàm số ln có một đường tiệm cận ngang là y 0 .
Do đó để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phương trình:
x 2 2mx m 2 2m 6 0 có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm
bằng 1.
Khi đó
m 3
2m 6 0
m 3
m 1
2m 6 0
m 2 4m 5 0
m 5
m 3
m 1
m 5
.
S 3; 1;5
Vậy
. Nên tập S có 3 phần tử.
Câu 22: Chọn A
f x 0
f x 2
2
x 2mx m 2 0
Điều kiện.
f x 0 x 2
Nếu
Nếu
Nếu
x 2
f x 2 x 1 x 1
(
là nghiệm kép).
x 2
f x 0 x 1
( x 1 là nghiệm kép).
2
Khi đó.
x 1 a x 2 x 1
g x
2
a x 2 x 1 x 2 2mx m 2
x 1 a x 2
a x 2 x 1 x 2 2mx m 2
a 0
.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 470
