Duong tiem can

Bài

ng tim cn ca th hm s
Người dạy: Nguyn Trn Hựng
Trường THPT Kim Liên Hà Nội


Kiểm tra bài cũ


Câu hỏi 1: Tính các giới hạn sau

1
a) lim+  ÷
x →0  x 

1
b) lim−  ÷
x →0  x 

1
c) lim  ÷
x →+∞ x
 

1
d ) lim  ÷
x →−∞ x
 

Kiểm tra bài cũ


Câu hỏi 2: Tính các giới hạn sau

 x 2 − 3x + 5 
a) lim 
÷
2
x →∞
 x −1 

 3x + 7 
b) lim  2
÷
x →∞ x + 2 x − 9



 x 2 − 5 x + 11 
c) lim 
÷
x →∞
x −1 



Ta biết đ th của hàm số
y = f(x) =

y

1
x

l đường hypebol
gồm hai nhánh nằm trong
góc phần tư thứ nhất và
thứ ba của mặt phẳng tọa
độ

O

x


1
Xét đồ thị y =
x
Có

M(x;y) thuộc đồ thị

1
lim y = lim = 0
x →−∞
x →−∞ x

Khoảng cách từ điểm M đến
trục hoành là MH = |y| dần

đến 0 khi M chun ®éng theo
đường Hypebol đi ra xa vơ
tận về phía trái

y

H

x
M

Ta gọi trục hoành là tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số y = 1 ( khi x→ −∞)
x

O


Xét đồ thị y = 1

x

Có

M(x;y) thuộc đồ thị .

1
lim y = lim = 0
x →+∞
x →+∞ x

Khoảng cách từ điểm M đến
trục hoành là MH = |y| dần
đến 0 khi M chun ®éng
theo đường Hypebol đi ra xa
vơ tận về phía phải

Ta gọi trục hồnh là tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số y = 1/ x ( khi x→+∞ )

y

M
O

H

x


Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
1. Đường tiệm cận ngang
y

O

x


a)

Định nghĩa 1:
Đường thẳng y = y0 gọi là đường tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong hai điều
kiện sau được thỏa mãn

lim y = lim f ( x) = y0

x →−∞

x →−∞

lim y = lim f ( x) = y0

x →+∞
y

x →+∞

y

y0

y0

O
Khi x → −∞

x

O

x
Khi x → +∞


Củng cố khái niệm tiệm cận ngang
ã
ã

Em hÃy phát biểu định nghĩa đường tiệm cận ngang của
đồ thị hàm số
Mỗi nhóm vận dụng định nghĩa tìm tiệm cận ngang của
đồ thị mỗi hàm số sau

x 7 x + 10
1) y = 2
3 x + 5 x + 11

7x − 3
2) y = 2
x + x+5

KQ: TCN y =1/3

KQ: TCN y = 0

2

x − 3 x + 15

3) y =
x −1
2

KQ: Kh«ng cã TCN


Củng cố khái niệm tiệm cận ngang
ã

Qua các ví dụ vừa xét và dựa vào kiến thức về giới hạn

có d¹ng em h·y cho nhËn xÐt vỊ dÊu hiƯu nhËn biết

một hàm phân thức hữu tỉ có tiệm cận ngang?

Hàm phân thức hữu tỉ (không suy biến) có tiệm cận ngang
khi bậc của tử số nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu số
ã

Em hÃy cho một ví dụ về hàm số và tìm tiệm cận
ngang của hàm số vừa chỉ ra.


Ta biết đ th của hàm số
y = f(x) =

y

1

x

l đường hypebol
gồm hai nhánh nằm trong
góc phần tư thứ nhất và
thứ ba của mặt phẳng tọa
độ

O

x


Vẫn xét đồ thị y =
Có

1
x

N(x;y) thuộc đồ thị .

1
lim− y = lim− = −∞
x →0
x →0 x

y

Khoảng cách từ điểm N đến
trục tung là NK = |x| dần

đến 0 khi N chun ®éng
theo đường Hypebol đi ra xa
vơ tận về phía dưới

O
x
N

Ta gọi trục tung là tiệm cận đứng của
đồ thị hàm số y = 1/ x ( Khi x → 0− )

K


1
Vẫn xét đồ thị y =
x

Có

N(x;y) thuộc đồ thị .

1
lim+ y = lim+ = +∞
x →0
x →0 x

Khoảng cách từ điểm N đến
trục tung là NK = |x| dần
đến 0 khi N chun ®éng theo

đường Hypebol đi ra xa vơ
tận về phía trên

Ta gọi trục tung là tiệm cận đứng của
đồ thị hàm số y = 1/ x ( Khi x → 0+ )

y

K

O

N

x


b) Định nghĩa 2:

Đường thẳng x = x0 gọi là đường tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số y = f(x) = +∞ một trong các ( x) = +∞ sau được
lim+ f điều kiện
lim− f ( x) nếu
x → x0
x
thỏa mãn → x0

lim− f ( x) = −∞

x → x0

lim+ f ( x) = −∞

x → x0


y

y
.

lim+ y = +∞

lim− y = +∞

x → x0

x → x0
.

O

x0

O

x

y

O

lim− y = −∞

x → x0

x0

x

y

x0

x

O

x0

x

lim y = −∞
+

x → x0


Củng cố khái niệm tiệm cận đứng
ã

ã

Em hÃy phát biểu định nghĩa đường tiệm cận đứng của
đồ thị hàm số
Mỗi nhóm vận dụng định nghĩa tìm tiệm cận đứng của đồ
thị mỗi hàm số sau

x 2 7 x + 10
1) y =
x +1

7x − 3
2) y = 2
x − 3x + 2

KQ: TC§ x = -1

KQ: cã 2 TC§
x = -1 vµ x = 2

x 2 − 3x + 2
3) y =
x −1

x −4
4) y = 2
x +2

KQ: Kh«ng có TCĐ

2

KQ: Không có TCĐ


Củng cố khái niệm tiệm cận đứng
ã

Qua các ví dụ vừa xét và dựa vào kiến thức đà học về giíi
h¹n em h·y cho nhËn xÐt vỊ dÊu hiƯu nhËn biết một hàm
phân thức hữu tỉ có tiệm cận đứng?

Hàm phân thức hữu tỉ (không suy biến) có tiệm cận ®øng khi
mÉu sè cã nghiƯm vµ mäi nghiƯm cđa mÉu số không đồng
thời là nghiệm của tử số
ã

Em hÃy cho một ví dụ về hàm số và tìm tiệm cận ®øng cđa
hµm sè võa chØ ra.


Củng cố bài học
Em hÃy cho biết các nội dung chính đà học

trong bài hôm nay?
HÃy nêu cách tìm đường tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số
HÃy nếu cách tìm đường tiệm cận đứng của đồ
thị hàm sè

Kiến thức cơ bản
a) nh ngha 1: ng thng y = y0 gọi là đường tiệm
cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong hai
điều kiện sau được thỏa mãn

lim y = lim f ( x) = y0

x →−∞

x →−∞

lim y = lim f ( x) = y0

x →+∞

x →+∞

b) Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 gọi là đường
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
= f(x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa
mãn

lim+ f ( x) = +∞

lim− f ( x) = +∞

x → x0

lim− f ( x) = −∞

lim+ f ( x) = −∞

x → x0
x → x0

x → x0


Bài tập 1: Cho hàm số

2x 1
y=
x+2

Số đường tiệm cận (TCĐ hoặc TCN) của đồ thị hàm
số đà cho là:
A) 0;
B) 1;
C) 2;
D) 3. y

Hướng dẫn:
Phương án đúng là C)
2

TCN : Là đường thẳng y = 2
(khi x → −∞ và khi x → +∞)

O

-2

TCĐ : Là đường thẳng x = −2
(khi x → (−2)+ và khi x → (−2)− )

x


Bài tập 2: Cho hàm số

y=

x2 + 1
x

Số đường tiệm cận (TCĐ hoặc TCN) của đồ thị hàm
số đà cho là:
A) 0;
B) 1;
C) 2;
D) 3. y

Hướng dẫn:
Phương án đúng là D)
TCN: Là đường thẳng y = 1
( khi x → +∞ )
Là đường thẳng y = −1
( khi x → −∞ )
TCĐ: Là đường thẳng x = 0

1
O
-1

x


Hướng dẫn học bài ở nhà
Qua bài học hôm này các em cần nắm được :
1. Về kiến thức:
Hiểu được ®Þnh nghÜa ®­êng tiƯm cËn ngang, ®­êng tiƯm cËn ®øng
cđa đồ thị hàm số
Hiểu được cách tìm đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng
của đồ thị hàm số
2. Về kĩ năng:
Biết cách tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
nói chung, hàm phân thức hữu tỉ nói riêng
Nhận biết được một hàm phân thức hữu tØ cã ®­êng tiƯm cËn
ngang, ®­êng tiƯm cËn ®øng
3. VỊ tư duy và thái độ:
Hiểu được sự tiệm cận của một đường thẳng với một đường cong,
chính là sự xích lại gần nhau về khoảng cách giữa chúng
Chủ động phát hiƯn, chiÕm lÜnh tri thøc míi. BiÕt quy l¹ vỊ quen.
4. Vận dụng làm các bài tập số: 1 và 2 trang 33 SGK.


Bài học hôm nay dừng tại đây.
- Chúc các em về nhà học bài hiệu quả
- Thân ái chào các em.
-

Bài học được hoàn thành bởi:
1. ThS. Nguyễn Thế Thạch Vụ GDTrH Bộ GD và ĐT
2. TS. Trần Văn Vuông - Viện Chiến lược
và Chương trình giáo dục
3. TS. Phạm Đức Quang - Viện Chiến lược
và Chương trình giáo dục
4. Thầy Nguyễn Trần Hùng Trường THPT
Kim Liên Hµ Néi