04 3 bt về tiệm cận của đồ thị hàm số nâng cao (trang 451 470)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.41 MB, 20 trang )
Câu 1:
Cho hàm số y
x3
. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn
x 3mx (2m2 1) x m
3
2
2020; 2020 của tham số
A. 4039 .
Câu 2:
Cho hàm số y
B. 4040 .
20 6 x x 2
x 2 8 x 2m
đường tiệm cận đứng
A. m 6;8 .
Câu 3:
m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận?
D. 4037 .
. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số có đúng hai
C. m 12;16 .
B. m 6;8 .
D. m 0;16 .
Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
A. 6 .
Câu 4:
C. 4038 .
B. 5 .
x
y
2
4 x 3 x 3 1
4
f f x 1
C. 3 .
là
D. 4 .
Cho đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d như hình vẽ dưới đây:
Đồ thị của hàm số g x
A. 5 .
3x 2 x 2
có bao nhiêu đường tiện cận đứng
3 f 2 x 6 f x
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Câu 5:
Cho hàm số bậc ba y f x có bảng biến thiên như hình bên dưới.
Đồ thị hàm số g x
2x 7 3 4x 5
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận
f x 1
ngang
A. 4 .
Câu 6:
x 2 3x 2 x 1
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x f 2 x f x
A. 3 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 4 .
Cho hàm trùng phương y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
y
x
2
4 x2 2 x
Biết đồ thị hàm số y
A.
f x 2 f x 3
2
A. 5 .
Câu 8:
D. 5 .
3
2
Cho hàm số bậc ba f x ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
g x
Câu 7:
C. 2 .
B. 3 .
4841
.
152
có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?
C. 3 .
B. 2 .
3 x 1 ax b
x 5
B.
2
4814
.
152
D. 4 .
khơng có tiệm cận đứng. Tính a2 b3
C.
4841
.
152
D.
4814
.
152
2
3
Câu 9:
a
a c
4 x 2
1 c
Biết rằng tích phân I 1 x 2 .e x dx 3.e b e d , trong đó các phân số ; tối giản.
b d
3
x
1
3
Hãy xác định phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y
A. y
25
.
3
B. y
25
.
53
25
.
9
C. y
ax b
.
cx d
D. y 3 .
Câu 10: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ.
Tổng các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g x
tiệm cận bằng
A. 15 .
Câu 12:
A. 0 .
B. 1 .
Câu 13: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như sau
6 x 3 mx 2 m 3
có
3 x 3 14 x 2 20 x 8
C. 3 .
3
D. Vô số.
9 x 2 2 ln x 1
3
có 4 đường
D. 11 .
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y f ( x)
đúng hai đường tiệm cận?
A. 1 .
B. 2 .
f f x 1 m
C. 13 .
B. 1 .
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số: f x
2020
x x
C. 2 .
là:
D. 3 .
Gọi M , m lần lượt là số tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x
y
2
2 x 3 . x 2 x . x 4 17 x 2 16
f x 2 . 2 x2 3x
A. 2 M 3m .
Câu 14: Đồ thị hàm số y
. Khi đó mệnh đề nào đúng?
B. M 3m .
2x 3
x 2 1 .
ngang là
A. 2 .
C. M 2m .
x2 2x 8
4x2 x 4 2x
B. 3 .
D. M m .
có tổng số đường tiệm cận đứng, tiệm cận
C. 4 .
D. 6 .
x2 2 x 2
khi x 2
2
Câu 15: Đồ thị hàm số y f x x x 2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
2
4 x x 1 2 x khi x 2
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 16: Cho hàm số y f x
4 x 3 20 x 2 m 24 x 2 m
20 x 2 14 x 9 14 x 11 2 x 2 1
có đồ thị là C . Gọi S là tập hợp
các giá trị của m để C có đúng một tiệm cận đứng. Tổng các giá trị trong S là
B. 3 .
A. 1 .
C. 5 .
D. 7 .
Câu 17: Cho đồ thị hàm số y f x liên tục trên và có đúng hai đường tiệm cận ngang y 5, y 1
. Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y f x m có đúng một đường tiệm cận
ngang.
A. m 1 .
B. m 2 .
Câu 18: Cho hàm số f x x.
cận ngang bằng y
.
A. 5; 3 .
3
C. m 2 .
D. m 3 .
ax3 bx 2 1 2 x 2 x 1 . Biết rằng đồ thị hàm số có một đường tiệm
5
. Giá trị a b thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?
4
B. 3;0 .
C. 0; 3 .
D. 3; 5 .
Câu 19: Cho hàm số bậc ba f x ax bx cx d a , b , c , d có đồ thị như hình vẽ sau đây:
3
2
Đồ thị hàm số g x
A. 2
x ( x 2)
f
2
x 2 f x
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
B. 4.
C. 3.
D. 1.
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y
x 1
có 3 đường
x 2mx 4
2
tiệm cận.
A. m 2 .
B. 2 m 2 .
m 2
m 2
C.
.
5
m 2
Câu 21: Gọi S là tập các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số y
đường tiệm cận. Số phần tử của S là:
A. 2 .
B. 3 .
m 2
D.
.
m 2
x 1
có đúng hai
x 2mx m 2 2m 6
2
C. 0 .
D. 1.
Câu 22: Cho hàm số y f x ax3 bx 2 cx d a 0 có đồ thị như hình dưới đây.
Gọi S là tập các giá trị nguyên của m thuộc khoảng 2019; 2020 để đồ thị hàm số
g x
x 1
f x 2 x
2
f x
2mx m 2
Số phần tử của tập S là
A. 2016.
B. 4034.
có 5 đường tiệm cận (tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang).
C. 4036.
D. 2017.
Câu 23: Cho hàm số bậc ba f x ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
g x
A. 4 .
x
2
2x 1 x
x 3 f 2 x 3 f x
B. 3 .
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
C. 5 .
D. 6 .
Câu 1:
Chọn B
Ta có lim y lim y 0, suy ra y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x
x
Để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận
3
2
2
đứng, hay khi x 3mx (2m 1) x m 0 1 có 3 nghiệm phân biệt khác 3.
Ta
có
x 3 3mx 2 (2m 2 1) x m 0 x m x 2 2 mx 1 0
x m
2
f x x 2mx 1 0 2
Để phương trình 1 có 3 nghiệm phân biệt khác 3 khi phương trình 2 có 2 nghiệm phân
m 1
m 1
0
m2 1 0
m 1
5
biệt khác 3 và m khi f 3 0 32 6m 1 0 m
.
3
m 1
m 2 2m 2 1 0
f m 0
m 1
Vì m là số nguyên thuộc đoạn 2020; 2020 nên có 4038 giá trị của tham số m .
Câu 2:
Chọn B
Ta có tập xác định của hàm số phải thỏa mãn 6 x x 2 0 0 x 6 .
Điều kiện để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là phương trình x 2 8 x 2m 0 có 2 nghiệm
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 0 x1 x2 6 .
2
Ta có: x 2 8 x 2m . Đặt f x x 8 x .
Ta có bảng biến thiên của hàm f x trên đoạn 0;6 .
Yêu cầu bài toán 16 2m 12 6 m 8 .
Câu 3:
Chọn A
4
3
2
Hàm số bậc bốn có dạng y ax bx cx dx e a 0 . Ta có: y 4ax3 3bx2 2cx d .
Từ đồ thị trong hình vẽ đã cho ta thấy: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị 1;0 , x0 ; y0 , 2;0
với 0 x0 1; y0 0 . Ngoài ra đồ thị hàm số đi qua các điểm 2;3 , 3;3 .
y 1 0
4a 3b 2c d 0
a 1
32a 12b 4c d 0
y
2
0
b 2
y 1 0
a
b
c
d
e
0
Từ đó ta có:
c 3 .
16
a
8
b
4
c
2
d
e
0
y
2
0
d 4
y 2 3
16a 8b 4c 2d e 3
e 4
81a 27b 9c 3d e 3
y 3 3
4
3
2
Suy ra bậc bốn y f x x 2 x 3x 4 x 4 .
Ta có: f x x 4 2 x 3 3 x 2 4 x 4 x 1 x 2 .
2
Từ
đó
ta
có
hàm
4 x 3 x 3 1
4
f f x 1
x 1 x 2 x 1 x 2 3
2 2
2
2
f
2
4 x 3 x 3 1
4
x 1 x 2 1
2
2
2
2
x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1
4
x 1 x 2 x 1 x 2
4
4
2
y g x
3
2
x 1 x 2
4
4
4
x2 x 2 3
Xét x 1 x 2 x 2 x 2 3
4
2
x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1
4
4
x
Ta có: lim g x ; lim g x
x 1
x 2
2
2
2
x2 x 2 3
x2 3
2
.
94 3
x1
2
9 4 3
x2 .
2
94 3
x3
2
94 3
x4
2
256
; lim g x ; lim g x ; lim g x ;
x x1
x x2
x x3
81
x
Suy ra đồ thị hàm số có 5 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
Chọn C
2
x 1
x 2
x 1
0 x 1
1
x
1
x
lim g x ; lim g x 0 .
x x4
Câu 4:
x
y
4
4
y
số
2
x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1
4
y
x
y
2
f x 0
Xét phương trình 3 f 2 x 6 f x 0
.
f x 2
Dựa vào đồ thị ta suy ra:
x 2
Phương trình f x 0
, với x 2 là nghiệm đơn và x 1 là nghiệm kép.
x 1
Suy ra: f x a x 2 x 1 , a 0 .
2
x 0
Phương trình f x 2 x m 2 m 1 , các nghiệm đều là nghiệm đơn.
x n n 1
Suy ra f x 2 ax x m x n , a 0 .
x 1 3x 2
x 1 3x 2
3 f x f x 2 3a 2 x 2 x 12 x x m x n
3x 2
2
, a 0
3a x x 2 x 1 x m x n
Vậy đồ thị hàm số g x có 5 đường tiệm cận đứng
3
2
Cách 2: Chọn hàm số f x . Ta có f x ax bx cx d
Đồ thị hàm số qua 4 điểm A 2;0 , B 1; 4 , C 0;2 , D 1; 0 .
Khi đó: g x
a 1
b 0
3
suy ra
hay f x x 3x 2
c
3
d 2
Khi đó:
g x
3x 2 x 2
3x 2 x 2
3x 2 x 2
3 f 2 x 6 f x 3 f x f x 2 3 x3 3 x 2 x 3 3x
x 1 3x 2
2
3 x 2 x 1 x x 2 3
Vậy đồ thị hàm số g x có 5 đường tiệm cận đứng
Câu 5:
Chọn B
5
x
Hàm số g x xác định khi
4
f x 1
Ta có y f x là hàm bậc ba và dựa vảo bảng biến thiên ta có y a x 2 1
y
a 3
x ax b .
3
a
ab 3
a 3
y 1 3 3
y x 3 3x 1
y
1
1
a
b
1
a b 1
3
2 7
4 5
3 3 5 6
2
2x 7 3 4x 5
x
x
x 0
lim g x lim
lim x
3
x
x
x
3
1
1
x 3x 1 1
1 2 3 3
x
x
x
y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
g x
4 x 1
2
4 x 1
x x 3
f x 1
f x 1 f x 1 2 x 7 3
2
4x 5
f x 1
x 3 x 2 x 1 2 x 7 3
2
4 f x 1
x x 3
x 3 x 2 2 x 7 3
x x 3 x 3 x 2 2x 7 3 4x 5
4 x2 8x 4 f x 1
2x 7 3 4x 5
f x 1
f 2 x 1 2x 7 3 4x 5
4x 5
x0
5
(vì x
4x 5
4
x 3
lim g x
x 0
x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
g x
xlim
0
lim g x
x 3
x 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
g
x
xlim
3
Vậy đồ thị hàm số có tiện cận ngang là y 0 và tiệm cận đứng là y 3
Câu 6:
Chọn C
Điều kiện xác định của hàm số g x là x 1 .
x 0
Xét phương trình x f 2 x f x 0 x. f x . f x 1 0 f x 0 .
f x 1
Xét phương trình f x 0 có nghiệm kép x 2 và nghiệm đơn x 1 .
x a, 1 a 2
Xét phương trình f x 1 có ba nghiệm đơn x b, 1 b 2, b a . Ta thấy
x c, c 2
lim f x
x
f x
xlim
Nên khơng mất tính tổng quát, ta có
+ f x 0
+ f x 1
x 1 x 2 0
x a x b x c 0
2
Do đó:
g x
x2 3x 2 x 1
x 2 3x 2 x 1
2
x f 2 x f x x x 1 x 2 x a x b x c
Khi đó
lim g x
x0
+
khơng tồn tại giới hạn x 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x
lim
g
x
x 0
+ lim g x lim
x a x b x c
x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x .
x 1
x 2 3x 2 x 1
x 1
x x 1 x 2
2
.
x 2 3x 2 x 1
lim
g
x
lim
x 2 x 2
2
x
x
1
x
2
x
a
x
b
x
c
+
x 2 3x 2 x 1
lim g x lim
2
x 2
x 2 x x 1 x 2
x
a
x
b
x
c
x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x .
x 2 3x 2 x 1
g
x
lim
xlim
2
x a x x 1 x 2
x a x b x c
a
+
x 2 3x 2 x 1
lim g x lim
x a x a x x 1 x 2 2 x a x b x c
x a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x .
x 2 3x 2 x 1
lim
g
x
lim
x b
2
x b x x 1 x 2
x a x b x c
+
x 2 3x 2 x 1
lim g x lim
2
x b
x b x x 1 x 2
x a x b x c
x b là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x .
x 2 3x 2 x 1
g
x
lim
xlim
2
x c x x 1 x 2
x a x b x c
c
+
x 2 3x 2 x 1
lim g x lim
x c x c x x 1 x 2 2 x a x b x c
x c là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x .
+ lim g x lim
x
x
x 2 3x 2 x 1
x x 1 x 2 x a x b x c
2
0.
y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g x .
Vậy đồ thị hàm số g x có 6 đường tiệm cận.
Câu 7:
Chọn D
Ta có:
x
x 2 x 2 x x 2 x 2 x 2 x
y
.
2
2
2
f x 2 f x 3
f x 2 f x 3 f x 2 f x 3
2
4 x2 2x
2
x m, m 2
x0
2
f x 1
x n, n 2 .
Xét f x 2 f x 3 0
f x 3
x2
x 2
Dựa vào đồ thị ta thấy các nghiệm x 0; x 2 là các nghiệm kép (nghiệm bội 2).
2
Do đó đa thức f x 2 f x 3 có bậc là 8.
1
x 2 x 2 x
2
y 2 2
.
2
2
a x x 2 x 2 x m x n a x x 2 x m x n
2
Suy ra
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng là x 0, x 2, x m, x n .
Câu 8:
Chọn A
Xét hàm số f x 3x 1 ax b có f x
3
2 3x 1
a
Để hàm số không có tiệm cận đứng: f x x 5 .g x
2
3.5 1 a.5 b 0
5a b 4
f 5 0
b
3
3
a0
a 8
a
f 5 0
2 3.5 1
2
17
8
3
8
3
1 3
4814
Nên a 2 b 3
2
2
152
Câu 9:
Chọn B
3
Ta có I e
1
3
x
2
x2
3
2
3
2
3
2
x
4 x 2
4 x 2
2
dx x 2 .e x dx I1 I 2 , với I1 e x dx ; I 2 x 2 .e x dx .
x
x
1
1
1
3
3
3
2
2
4 x x2
x
2
x
2
du 1 3 e dx
Tính I1 e x dx . Đặt u e
.
x
1
dv dx
v x
3
3
x
Ta có I1 x.e
2
x
3
2
x2
1
3
2
3
25
4 x 2
1
x 2 .e x dx 3e 9 e
3
x
1
53
3
I2 .
3
25
1 53
Do vậy I I1 I 2 3e 9 e 3 .
3
Ta có a 25; b 9 ; c 53; d 3. Suy ra hàm số y
Khi đó đồ thị hàm số y
25x 9
.
53x 3
25x 9
25
có phương trình đường tiệm cận ngang y .
53x 3
53
Câu 10: Chọn D
Ta thấy đồ thị hàm số g x có 1 đường tiệm cận ngang là y 0 .
Để đồ thị hàm số g x có 4 đường tiệm cận thì phương trình f f x 1 m 0 có 3 nghiệm
phân biệt.
Đặt h x f f x 1 . Khi đó, h x f x . f f x 1 .
f x 0
f x 0
x 1,2
f x 0
h x 0
f x 1 1 f x 0 x x1 ; x2 ; x3 .
f f x 1 0
f x 1 2
f x 1
x x4 ; x5 ; x6
x
1
x 4 1 x 5 x 2 2 x 3 x6
Ta có h x1 h x2 h x3 f f x1 1 2 ;
h x4 h x5 h x6 f f x4 1 1 ; h 1 f f 1 1 14 ; h 2 f f 2 1 13
Bảng biến thiên:
Căn cứ vào bảng biến thiên để phương trình f f x 1 m 0 có ba nghiệm phân biệt thì:
2 m 14
.
13 m 1
Câu 11: Chọn B
1
x 2
6 x 3 mx 2 m 3
0 với mọi m .
Điều kiện xác định: x 2 . Ta có xlim
3 x 3 14 x 2 20 x 8
2
x
3
Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y 0 .
Ta có y f ( x)
6 x 3 mx 2 m 3
x 2 3x 2
2
.
u cầu bài tốn trở thành, tìm m để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng x 2
2
hoặc x .
3
2
3
Nếu 6 x 3 mx 2m 3 nhận x là nghiệm thì m . Khi đó
3
2
3
6x 3 x
3
9
2
lim
lim
2
2
2
3 32
x x 2 3x 2
x
3
3 4x 2
6x 3 2 x
3
6x 3 x
3
2
lim
lim
.
2
x 2
x2
3
x
2
3
x
2
4 x 2 6x 3 x
2
Suy ra x 2 là đường tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số.
Nếu
6
6 x 3 mx 2 m 3 x 2
m nhận x 2 là nghiệm kép thì m 1 .
6x 3 3
Khi đó lim
2
x
3
lim
x 2
6x 3 x 1
x 2 3x 2
6x 3 x 1
x 2 3x 2
Suy ra x
2
2
lim
x2
lim
2
x
3
3x 2
3x 2
1
6x 3 x 1
1
6x 3 x 1
1
24
2
là đường tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số.
3
3
Vậy có hai giá trị của m 1; thỏa mãn bài toán.
2
Câu 12: Chọn C
Tập xác định: D 1; \0;1 .
Ta có :
3
2
9 x 2 ln x 1
0.
lim
3
x
x x
3
3
2
2
9 x 2 ln x 1
9 x 2 ln x 1
.
lim
239 .
lim
3
2
x
x x
x 1
x0
x0
3
3
2
2
9 x 2 ln x 1
9 x 2 ln x 1
.
lim
239
lim
3
2
x
x x
x 1
x0
x0
3
2
1 x 2 ln x 1
9 x 2 ln x 1
lim
lim
3 x
2
x
x 1
x 1 x 2 1 x 3 9 x2 2 3 9 x 2 4
ln x 1
.
lim
2
3
x 1 x 3 9 x2 2 9 x2 4
3
2
9 x 2 ln x 1
lim
lim
3
x
x
x1
x1
1 x2 ln x 1
2
x2 1 x 3 9 x2 23 9 x2 4
ln x 1
1
lim
ln 2.
12
2
x1 3
3
x
9 x2 2 9 x2 4
3
2
9 x 2 ln x 1 1
Tương tự lim
ln 2 .
3
12
x x
x1
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận y 0 và x 1 .
Câu 13: ChọnC
Từ giả thiết, ta có f x x 3 3 x 2 4 .
Gọi C là đồ thị hàm số y g x
x
2
2 x 3 . x 2 x . x 4 17 x 2 16
3
x 3x 2 2 . 2 x 2 3 x
x2 x 0
x 4
4
Điều kiện xác định: x 17 x2 16 0
1 x 1 3 0 .
3
x 4
2
2
x 3 x 2 . 2 x 3 x 0
2 3
1
17 16
1 x 2 . 1 x . 1 2 4 1
x
x
x
lim g x lim
x
x
2
3 2
3
1
.
2
3
x
x
x
Ta có:
2 3
1
17 16
1 x 2 . 1 x . 1 2 4
x
x
x
1
lim g x lim
x
x
2
3
2
3
1 3 . 2
x x
x
đường thẳng y
x
lim g x lim
x0
x 0
2
1
là tiệm cận ngang của C .
2
2 x 3 . 1 x . x 4 17 x 2 16
x
3
3x2 2 . x . 2 x 3
.
đường thẳng x 0 là tiệm cận đứng của C .
lim g x lim
x 1 3
x 1 3
x
2
2 x 3 . x 2 x . x 4 17 x 2 16
3
x 3 x2 2 . 2 x 2 3x
đường thẳng x 1 3 là tiệm cận đứng của C . Vậy M 2; m 1 nên M 2m .
Câu 14: Chọn A
Gọi C là đồ thị hàm số y f x
Ta có x 2 1 .
2x 3
x 2 1 .
x2 2x 8
4x2 x 4 2x
.
x 2 1
x 1
x2 1
4x x 4 2x 0
x 3 .
x 0
2
4 x x 4 2 x
x 4 0
x 4
2
Suy ra tập xác định của hàm số y f x là: D ; 4 2; .
lim y lim
+)
x 4
x 4
2x 3 x 2 x 4 4x x 4 2x
lim
x 3 . x 4
2x 3 x 2 4x x 4 2x
lim
x 3. x 4
Suy ra đường thẳng x 4 là tiệm cận đứng của C .
2x 3
x 2 1 .
x2 2x 8
4 x2 x 4 2 x
2
x 4
2
x 4
+) lim y lim
x
x
3
2 8
2 x 1 x 2
1
x
lim
.
x
2
2
1
1 4
4x x 4 2x
1 x . 4 x 2 2
x
2x 3 x2 2x 8
x 1 .
2 x 3 x 2 x 8 lim 2 x 3
lim y lim
x 3. 4 x x 4 2x
2
+)
x
x
2
x
2 8
1 4
4 2 2
1 2
x x
x x
.
lim 2 x 3 .
x
3
4
1
1
x
x
1
là tiệm cận ngang của C .
2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Suy ra đường thẳng y
Câu 15: Chọn C
x2 2 x 8
4 x2 x 4 2x
x 3 x 4
1
1
2
2 5 6
x 2 x2
x
x
x 0.
Gọi C là đồ thị hàm số y f x ; lim y lim
lim
2
2
x
x
x
x x 2
2
1 x
2
Suy ra C nhận đường thẳng y 0 là đường tiệm cận ngang.
lim y lim
x
x
x1
4 x 2 x 1 2 x lim
x
2
4x x 1 2x
1
lim
x
4
1
x
1 1
2
x x2
1
.
4
1
là tiệm cận ngang.
4
x4 4 x 2
x2 2 x 2
x3 2 x2 4x 4
lim y lim
lim
lim
.
2
2
x 2
x 2
x 2
x 2
x x 2 x2 2 x 2
x x 2
x x 2 x2 2 x 2
Suy ra C nhận đường thẳng y
Suy ra C nhận đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.
Câu 16: Chọn C
Ta có 20 x 2 14 x 9 14 x 11 2 x 2 1 0 1
350 x 2 245x
315 35
14 x 11 2 x 2 1 0
2
2
2
35
35 35
1225
7
315
35
14 x 2 14 x .
2 x2 1
2x2 1 x2
2x2 1
0
4
4 4
16
8
8
8
2
35 35
7
315
35
14 x
2 x2 1 x2
2 x2 1
0 2 .
4
4
8
8
8
Nhận thấy phương trình (2) vơ nghiệm nên phương trình (1) vơ nghiệm.
Do đó 20 x 14 x 9 14 x 11 2 x
2
8 x 4 56 x3 118 x 2 5x 40
20 x 14 x 9 14 x 11 2 x 1
2
2
2
20x
1
2
2
2
y
2
2
2 x 2 4 x 2 12 x 5
20 x 14 x 9 14 x 11 2 x 2 1
2
x 2 4 x 12x m
y f x
. 20 x
2 x 2 4 x 12 x 5
4 x 2 12 x m
20 x 14 x 9 14 x 11 2 x 1
2
2
Khi đó hàm số
14 x 9 14 x 11 2 x 2 1
2
2
2
.
14 x 9 14 x 11 2 x 2 1
. 20 x 2 14 x 9 14 x 11 2 x 2 1 .
2 x 2 4 x 12 x 5
2
3 14
Hàm số y f x có TXĐ là D \ 2;
.
2
Dễ thấy để đồ thị C của hàm số y f x có đúng 1 tiệm cận đứng thì phương trình
4 x 2 12 x m 0 1 phải có đúng hai trong ba nghiệm 2;
3 14
.
2
Nếu 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thì x1 x2 3 . Do đó, 1 phải có hai nghiệm là
3 14
, suy ra m 5 . Do đó S 5 .
2
Vậy tổng các giá trị trong S là 5 .
Câu 17: Chọn C
Đồ thị hàm số y f x có hai đường tiệm cận ngang y 5, y 1 .
Đồ thị hàm số y f x m có hai đường tiệm cận ngang y 5 m , y 1 m
Do đó đồ thị hàm số y f x m có đúng một đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi hai đường
thẳng y 5 m, y 1 m đối xứng qua trục Ox
5 m 1 m 0 m 2 .
Câu 18: Chọn D
Trường hợp 1: lim f x
x
5
lim x.
x
4
b
1 1
lim x 2 . 3 a 1 2 1 2
x
x
x x
Suy ra
lim x.
x
3
5
4
3
a 2 0 a 8 . Thay lại ta được
3
5
8 x 3 bx 2 1 2 x 2 x 1
4
lim x.
x
lim
x
5
ax 3 bx 2 1 2 x 2 x 1
4
3
3
5
8 x 3 bx 2 1 2 x 1 2 x 1 4 x 2 4 x 4
4
8 x 3 bx 2 1
2
b 12 x
2 x 1
3
3
6 x2
5
2x 1 4x2 4x 4 4
3 x
8 x 3 bx 2 1 2 x 1
2
3
3 x
5
Do lim
và lim f x nên
x
x
2
4
4
2 x 1 4 x 4 x 4
lim
x
3
8 x 3 bx 2 1
2
b 12 x
2 x 1
phải hữu han.
2
3
8 x 3 bx 2 1 2 x 1
3
6 x2
Do đó b 12 0 b 12 thay lại ta được
lim
x
1
2
2
2
3
3
3
2
3
2
8 x 12 x 1 2 x 1 8 x 12 x 1 2 x 1
5
Thay lai được lim f x không thỏa mãn
x
4
5
5
Trường hợp 2: Xét lim f x lim x. 3 ax 3 bx 2 1 2 x 2 x 1
x
x
4
4
6 x 2
b
1 1
lim x 2 . 3 a 1 2 1 2
x
x
x x
5
4
Suy ra 3 a 2 0 a 8 .
Thay lại ta được
lim x.
x
3
lim x.
x
lim
x
5
8 x 3 bx2 1 2 x2 x 1
4
3
3
5
8 x 3 bx2 1 2 x 1 2 x 1 4 x2 4 x 4
4
8 x 3 bx 2 1
2
b 12 x
2 x 1
3
3
6 x2
8 x 3 bx 2 1 2 x 1
5
2 x 1 4 x2 4 x 4 4
3x
2
3x
3 và lim f x 5
Do lim
x
2
x
4
4
2 x 1 4 x 4 x 4
nên lim
x
3
8 x 3 bx 2 1
2
b 12 x
2 x 1
3
hữu han.
2
3
2
8 x bx 1 2 x 1
6x2
3
Do đó b 12 0 b 12 thay lại ta được
lim
x
3
1
2
2
2
3
3
2
3
2
8 x 12 x 1 2 x 1 8 x 12 x 1 2 x 1
Từ đó suy ra lim f x
x
6 x2
5
thỏa mãn. Vậy ta được a b 4 3; 5 .
4
Câu 19: Chọn C
f x 0
x 0
Điều kiện: 2
. Xét phương trình: f 2 x 2 f x 0
f x 2 f x 0
f x 2
x 1
Từ đồ thị phương trình f x 0
x 2
x 1 không là tiệm cận đứng do đk x 0 .
x 2 là nghiệm kép và tử số có một nghiệm x 2 x 2 là một đường tiệm cận đứng.
x a 0
Từ đồ thị phương trình f x 2 x 1
x b (b 2)
x a không là tiệm cận đứng (vì x 0 )
x 1, x b là hai đường tiệm cận đứng.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x là 3.
Câu 20: Chọn C
lim y 0, lim y 0 nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y 0 , m .
x
x
Do đó đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận
phương trình x 2 2 mx 4 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1
5
m 2 4 0
0
m 2
5
5
m2
m 2
m
2
m 2
.
Câu 21: Chọn B
1 1
x x2
Ta có lim y lim
0.
x
x
2m m 2 2 m 6
1
x
x2
Nên đồ thị hàm số ln có một đường tiệm cận ngang là y 0 .
Do đó để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phương trình:
x 2 2mx m 2 2m 6 0 có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm
bằng 1.
m 3
2m 6 0
m 3
m 3
m 1 .
Khi đó 2m 6 0
m 1
m 2 4m 5 0
m 5
m 5
Vậy S 3; 1;5 . Nên tập S có 3 phần tử.
Câu 22: Chọn A
f x 0
Điều kiện. f x 2
2
x 2mx m 2 0
Nếu f x 0 x 2
x 2
Nếu f x 2
( x 1 là nghiệm kép).
x 1
x 2
Nếu f x 0
( x 1 là nghiệm kép).
x 1
x 1 a x 2
x 1 a x 2 x 1
Khi đó. g x
a 0 .
2
2
2
a x 2 x 1 x 2mx m 2 a x 2 x 1 x 2mx m 2
Ta có lim g x 0 , nên hàm số có 1 tiện cận ngang y 0
x
2
lim g x , nên hàm số có tiện cận đứng x 2
x 2
lim g x , nên hàm số có tiện cận đứng x 1
x1
Để hàm số g x có 5 đường tiệm cận (tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang). Thì phương trình
h x x 2 2mx m 2 0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 2 và x 1;1; 2 .
m 1
' 0
2
m m 2 0
a
.
h
2
0
m 2
h x
6
6
S
5m 6 0
m
5 m 1
2
m 2
5
2
m
2
.
m 2
3
m
3
0
h 1 0
m 1
3 m 0
m 3
h 1 0
6 3m 0
m 3
h 2 0
m 2
Do m có giá trị là nguyên và m thuộc khoảng 2019; 2020
Vậy có 2016 giá trị nguyên của m thuộc khoảng 2019; 2020 là 4;5; 6.....; 2019
Câu 23:
x 1
x 1
Điều kiện: x 3 0
.
2
f x 3 f x 0
f 2 x 3f x 0
x 3
L
Ta có x 3 f 2 x 3 f x 0 f x 0
. Dựa vào đồ thị ta có
f x 3
x x1 1;0
f ( x) 0 x x2 0;1
(loại x3 2 ), do đó có 2 tiệm cân đứng x x1 , x x2 .
x x 2;
3
x x4 , x4 0
f ( x) 3
, do đó có 1 tiệm cận đứng x x4 .
(L)
x 2
Vậy đồ thị hàm số g x có 3 đường tiệm cận đứng.
