Bài 2 hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

BÀI 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Nắm được cách minh họa tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Hiểu được khái niệm hệ phương trình tương đương.
 Kĩ năng
+ Biết kiểm tra số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà khơng cần giải hệ phương
trình.
+ Xác định được cặp số  x0 ; y0  có phải là nghiệm của hệ phương trình.
+ Giải được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Ví dụ: Cho hai phương trình x  2 y 3 và 2 x  y 1 ,
Cho

hai

phương

trình

ax  by c

và

x  2 y 3
ax  by c khi đó ta có hệ phương trình bậc khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x  y 1 .



nhất hai ẩn



Ví dụ: Thay x 1; y 1 vào

ax  by c
(1)
ax  by c

+) phương trình x  2 y 3 , ta có 1  2.1 3 .

Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai

Vậy cặp số

ẩn
- Nếu hai phương trình ax  by c

và

ax  by c có nghiệm chung

thì

 x0 ; y0 

+) phương trình 2 x  y 1 , ta có 2.1  1 1 .

 x0 ; y0 

là nghiệm của hệ phương trình

x  2 y 3
.
2 x  y 1

Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

được gọi là nghiệm của hệ (1).

- Nếu hai phương trình ax  by c



 1;1

và

ax  by c khơng có nghiệm chung thì ta
nói hệ (1) vô nghiệm.

x  y 3 được biểu diễn bởi đường thẳng y  x  3 .
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x  y 4
được biểu diễn bởi đường thẳng y  2 x  4 .

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các

nghiệm (tập nghiệm) của hệ đó.
Minh họa tập nghiệm của hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn
Mỗi nghiệm của phương trình ax  by c
được biểu diễn bằng một điểm trên mặt phẳng
tọa độ Oxy thuộc đường thẳng ax  by c .
Vậy trên một mặt phẳng tọa độ nếu gọi  d  là
đường thẳng ax  by c và

 d 

là đường

thẳng ax  by c , thì tập nghiệm của hệ Hai đường thẳng y  x  3 và y  2 x  4 có giao điểm
phương trình



ax  by c
là tập hợp các là A  1; 2  . Vậy nghiệm của hệ phương trình x  y 3
ax  by c
2 x  y 4



điểm chung của  d  và  d  .
Chú

ý:

Đối

với

hệ

là  x; y   1; 2  .
phương

trình
Ví dụ 2: Hệ phương trình



ax  by c
ta có
ax  by c



2 x  y 3
vơ nghiệm
2 x  y 2

vì đường thẳng y  2 x  3 song song với đường thẳng
y  2 x  2 .
Trang 2


- Nếu  d  cắt  d  thì hệ (1) có nghiệm duy

nhất.
- Nếu

d

trùng

 d 

thì hệ (1) có vơ số

nghiệm.
- Nếu

d

song song

 d 

thì hệ (1) vơ

nghiệm.
Vậy chúng ta có thể đốn được số nghiệm của
hệ phương trình



ax  by c
dựa vào xét vị

ax  by c

trí tương đối của hai đường thẳng

d

x  2 y 3
x  2 y 3
và Ví dụ: 2 x  y 1  x  y 2 vì chúng đều có tập

 d  .





nghiệm là S   1;1  .

Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình là tương đương khi
chúng có cùng tập nghiệm.
Dùng kí hiệu  để chỉ sự tương đương của
hai hệ phương trình.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà khơng giải hệ phương trình
Trang 3

Bài toán 1: Xác định số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà khơng giải hệ phương
trình
Phương pháp giải
Xác định số nghiệm của hệ phương trình



Ví dụ: Xác định số nghiệm của hệ phương trình

ax  by c
mà khơng giải hệ phương trình.
ax  by c



Bước 1. Xác định các phương trình đường thẳng
biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình
ax  by c và ax  by c .
Bước 2. Xét sự tương giao của hai đường thẳng

 d  : ax  by c

và  d  : ax  by c .

2 x  y  5
mà khơng giải hệ phương trình.
3 x  y 2

Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của

phương trình 2 x  y  5 là y  2 x  5 .
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của
phương trình 3x  y 2 là y 3x  2 .

Bước 3. Kết luận.

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Nếu d song song d  thì hệ phương trình vơ

y  2 x  5 và y 3x  2

nghiệm.
- Nếu d cắt d  thì hệ phương trình có nghiệm duy
nhất.

Vì  2 3 nên đường thẳng y  2 x  5 cắt đường
thẳng y 3x  2 tại một điểm duy nhất.

- Nếu d trùng d  thì hệ phương trình có vơ số Vậy hệ phương trình
nghiệm duy nhất.



2 x  y  5
có nghiệm duy
3 x  y 2

nhất.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xác định số nghiệm của hệ phương trình



x  3 y 5
mà khơng giải hệ phương trình.
2 x  6 y 7

Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình x  3 y 5 là y 

1
5
x .
3
3

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x  6 y 7 là y 
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng y 

1
7
x .
3
6

1
5
1

7
x  và y  x  .
3
3
3
6

1
 1
  3  3
1
5
1
7
Vì 
nên đường thẳng y  x  song song với đường thẳng y  x  .
5 7
3
3
3
6
 
3 6
Vậy hệ phương trình



x  3 y 5
vơ nghiệm.
2 x  6 y 7

Trang 4


Ví dụ 2. Xác định số nghiệm của hệ phương trình



2 x  y 5
mà khơng giải hệ phương trình.
4 x  2 y 10

Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x  y 5 là y 2 x  5 .
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 4 x  2 y 10 là y 2 x  5 .
Hai đường thẳng y 2 x  5 và y 2 x  5 trùng nhau.
Vậy hệ phương trình



2 x  y 5
có vơ số nghiệm.
4 x  2 y 10

Bào tốn 2: Tìm m để hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có số nghiệm thỏa mãn
Phương pháp giải
Xác định điều kiện của tham số m để hệ phương Ví
trình



ax  by c
có số nghiệm thỏa mãn u cầu
ax  by c

đề bài.

dụ:

Tìm

m

để

hệ

phương

trình

 mx  y 5
 2m  3 x  y 7 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Xác định các phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm
biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình của phương trình mx  y 5 là y  mx  5 .
ax  by c và ax  by c .

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của

Bước 2. Dựa vào yêu cầu về số nghiệm.
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi hai
đường thẳng

 d  : ax  by c

và

 d  : ax  by c

cắt nhau.
- Hệ phương trình vơ nghiệm khi hai đường thẳng

 d  : ax  by c

và  d  : ax  by c song song.

- Hệ phương trình có vơ số khi hai đường thẳng

 d  : ax  by c

và  d  : ax  by c trùng nhau.

Bước 3. Thiết lập phương trình chứa tham số m

phương trình  2m  3 x  y 7
là y   2m  3 x  7 .
 mx  y 5

Để hệ phương trình  2m  3 x  y 7 có nghiệm


duy nhất thì hai đường thẳng y  mx  5 và
y   2m  3 x  7 cắt nhau.
Để đường thẳng y  mx  5 cắt đường thẳng
y   2m  3 x  7 thì  m  2m  3 .

dựa vào quan hệ của các đường thẳng.

+)  m  2m  3  m 3

Bước 4. Giải và kết luận.

 mx  y 5
Vậy để hệ phương trình  2m  3 x  y 7 có


nghiệm duy nhất thì m 3 .

Ví dụ mẫu
2 x  y 5
Ví dụ 1. Tìm m để hệ phương trình mx  y 3 vơ nghiệm.



Hướng dẫn giải
Trang 5

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x  y 5 là y  2 x  5 .
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx  y 3 là y  mx  3 .
Để hệ phương trình



2 x  y 5
vơ nghiệm thì hai đường thẳng y  2 x  5 và y  mx  3 song song
mx  y 3

với nhau.
Để đường thẳng y  2 x  5 song song với đường thẳng y  mx  3 thì
Vậy để hệ phương trình





 2  m
 m 2
5 3

2 x  y 5
vơ nghiệm thì m 2 .
mx  y 3

 2 x  y m 2
Ví dụ 2. Tìm m để hệ phương trình 
có vơ số nghiệm.
 2mx  y 1

Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình  2x  y m 2 là y 2 x  m 2 .
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2mx  y 1 là y  2mx  1 .
 2 x  y m 2
Để hệ phương trình 
có vơ số nghiệm thì hai đường thẳng y 2 x  m 2 và y  2mx  1
2
mx

y

1

trùng nhau.
 2  2m
 m  1
Để đường thẳng y 2 x  m 2 trùng với đường thẳng y  2mx  1 thì  2
 m 1
 2 x  y m 2
Vậy để hệ phương trình 
có vơ số nghiệm thì m  1 .
 2mx  y 1
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Tìm số nghiệm của hệ phương trình





x  2 y 4

mà khơng giải hệ phương trình.
2 x  y 3

 2 x  y 7
Câu 2: Tìm số nghiệm của hệ phương trình  2 x  y 11 mà khơng giải hệ phương trình.
Câu 3: Tìm số nghiệm của hệ phương trình

3 x  y 2
mà khơng giải hệ phương trình.
 6 x  2 y  4

 mx  y 6
Câu 4: Tìm m để hệ phương trình 2 x  y 3 có nghiệm duy nhất.



 x  my 6
Câu 5: Tìm m để hệ phương trình  2 x  3m  1 y 3 vô nghiệm.



 m 2 x  y m
Câu 6: Tìm m để hệ phương trình 
có vơ số nghiệm.
 4 x  y 2
 2m  1 x  y 2
Câu 7: Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất.
3mx  2 y 3
Trang 6

 mx   2m  1 y 4
Câu 8: Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình 
vô nghiệm.
3 x   2m  1 y 3
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Đường thẳng x  2 y 4  y 

1
x  2 cắt đường thẳng 2 x  y 3  y  2 x  3 tại một điểm duy
2

nhất.



Vậy hệ phương trình

x  2 y 4
có nghiệm duy nhất.
2 x  y 3

Câu 2:
Đường thẳng  2 x  y 7  y 2 x  7 song song với đường thẳng  2 x  y 11  y 2 x  11
 2 x  y 7
Vậy hệ phương trình  2 x  y 11 vô nghiệm.



Câu 3:
Đường thẳng 3x  y 2  y  3 x  2 trùng với đường thẳng  6 x  2 y  4  y  3x  2



Vậy hệ phương trình

3 x  y 2
có vơ số nghiệm.
 6 x  2 y  4

Câu 4:
Để hệ phương trình



 mx  y 6
có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng  mx  y 6  y mx  6 và
2 x  y 3

2 x  y 3  y  2 x  3 cắt nhau. Suy ra m  2 .
Vậy với m  2 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Câu 5:
 x  my 6
1
6
Để hệ phương trình  2 x  3m  1 y 3 vơ nghiệm thì hai đường thẳng x  my 6  y  x 



m
m


 m 0 

và 2 x   3m  1 y 3  y 

2
1
 m  3m  1

Suy ra  6
3
 
 m 3m  1
Vậy với m 

1
2
3

x
 m   song song với nhau.
3
3m  1
3m  1 

1


m 5
1
 m .

2
5
m 
5


1
thì hệ phương trình
5

 x  my 6
 2 x   3m  1 y 3 vô nghiệm.


Câu 6:
 m2 x  y m
Để hệ phương trình 
có vơ số nghiệm thì hai đường thẳng m 2 x  y m  y  m 2 x  m
4
x

y

2

 m 2  4

 m 2
và 4 x  y 2  y  4 x  2 trùng nhau. Suy ra 
 m 2
Trang 7


 m 2 x  y m
Vậy với m 2 thì hệ phương trình 
có vơ số nghiệm.
 4 x  y 2
Câu 7:
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn  2m  1 x  y 2 là
y   2m  1 x  2 .
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 3mx  2 y 3 là
y

 3m
3
x .
2
2

 2m  1 x  y 2
Để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng y   2m  1 x  2 và
3mx  2 y 3
y

 3m
3

x  cắt nhau.
2
2

Hai đường thẳng y 
  2m  1 

 3m
3
x  và y   2m  1 x  2 cắt nhau khi và chỉ khi
2
2

 3m
 4 m  2 3m  m 2
2

 2m  1 x  y 2
Vậy với m 2 thì hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất.
3mx  2 y 3
Câu 8:
Hệ phương trình

Xét m 

a b c
ax  by c
a 0 '; b 0 và c 0 ) vô nghiệm khi
  .

(
ax  by c
a b c

1
hệ phương trình có dạng
2

Vậy với m 

Xét m 



1
hệ phương trình
2

1
để hệ
2

 1
 x  2 y 4

2
3 x 3

9


y 

4
 x 1

 mx   2m  1 y 4
có nghiệm duy nhất.

3 x   2m  1 y 3

 mx   2m  1 y 4
m 2m  1 4


vơ nghiệm thì

3 2m  1 3
3 x   2m  1 y 3

Xét

m 4
  m 4 (1)
3 3

Xét

m 2m  1

 m  2m  1 3  2m  1  2m 2  m 6m  3  2m 2  5m  3 0

3 2m  1

 2m 2  2m  3m  3 0
 2m  m  1  3  m  1 0
  2m  3  m  1 0
Trang 8


Trường hợp 1: 2m  3 0  m 

3
(2)
2

Trường hợp 2: m  1 0  m 1 (3)
3
Từ (1); (2); (3) suy ra với m  ; m 1 hệ phương trình
2

 mx   2m  1 y 4
vô nghiệm.

3 x   2m  1 y 3

Dạng 2: Xét cặp  x0 ; y0  có phải là nghiệm của hệ phương trình khơng?
Bài tốn 1: Xét cặp  x0 ; y0  có phải là nghiệm của hệ phương trình khơng?
Phương pháp giải
Xét cặp  x0 ; y0  có phải là nghiệm của hệ phương Ví dụ: Cặp số  x; y   1; 2  có phải là nghiệm của



Bước 1. Thay  x0 ; y0 



x  2 y 5
hệ phương trình 3 x  y 5 hay khơng?



ax  by c
ax  by c khơng?
vào hệ phương trình

ax  by c
ax  by c .

Bước 2. Kiểm tra giá trị các vế của từng phương
trình trong hệ.
Bước 3. Kết luận
 ax  by c
- Nếu  ax0  by0 c thì  x0 ; y0  là nghiệm của
0
 0
hệ phương trình.

Hướng dẫn giải
x  2 y 5
Xét hệ phương trình 3 x  y 5 .



Với cặp số  x; y   1; 2  thay vào hệ ta có



1  2.2 5
5 5

3.1  2 5
5 5



Vậy cặp số  x; y   1; 2  là nghiệm của hệ phương
x  2 y 5
trình 3 x  y 5 .



- Nếu một trong hai phương trình ax0  by0 c ;
ax0  by0 c khơng thỏa mãn thì  x0 ; y0  khơng
phải là nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ mẫu
2 x  y 3
Ví dụ 1. Cặp số  x; y   2;  1 có phải là nghiệm của hệ phương trình  2 x  3 y 4 hay khơng?



Hướng dẫn giải

 2.2    1 3
3 3

Với cặp số  x; y   2;  1 , thay vào hệ ta có 
 7 4 (vơ lí)

2.2

3.

1

4
 




2 x  y 3
Vậy cặp số  x; y   2;  1 không phải là nghiệm của hệ phương trình  2 x  3 y 4 .



x 3
Ví dụ 2. Xét cặp số  x; y   3;  2  có phải là nghiệm của hệ phương trình x  2 y  1 không?



Trang 9

Hướng dẫn giải
3 3
3 3
Với cặp số  x; y   3;  2  , thay vào hệ ta có 3  2.  2  1 
 1  1
 




Vậy cặp số  x; y   3;  2  là nghiệm của hệ phương trình



x 3
.
x  2 y  1

Bài tốn 2: Tìm m để cặp  x0 ; y0  là nghiệm của hệ phương trình
Tìm m để cặp  x0 ; y0  là nghiệm của hệ phương Ví dụ: Tìm m để cặp số

trình



ax  by c
.
ax  by c

 x0 ; y0 

Bước 1. Thay



của hệ phương trình

 x; y   1;1



x  y 2
.
mx  y 7



x  y 2
mx  y 7

là nghiệm

vào hệ phương trình Hướng dẫn giải
Xét hệ phương trình

ax  by c
ax  by c

Bước 2. Thiết lập và giải các phương trình chứa

tham số m.
Bước 3. Kết luận.

Vì cặp số



 x; y   1;1

là nghiệm của hệ

x  y 2
1  1 2
2 2

nên
mx  y 7
m.1  1 7
m 6





Vậy với m 6 thì hệ phương trình



x  y 2
mx  y 7

nhận  x; y   1;1 làm nghiệm.
Ví dụ mẫu
 x  1
Ví dụ 1. Tìm m để cặp số  x; y    1; 2  là nghiệm của hệ phương trình  mx  m  1 y 5 .



Hướng dẫn giải
 x  1
Xét hệ phương trình  mx  m  1 y 5



  1  1
Vì cặp số  x; y    1; 2  là nghiệm của hệ phương trình nên  m  1  m  1 2 5

   




 1  1
 1  1

m  2 5
m 7



 x  1
Vậy với m 7 thì hệ phương trình  mx  m  1 y 5 nhận  x; y    1; 2  là nghiệm.



 2 x   m  1 y 5
Ví dụ 2. Tìm m để cặp số  x; y   2;1 là nghiệm của hệ phương trình  2
 m x   3m  1 y 3
Hướng dẫn giải
Trang 10


 2 x   m  1 y 5
Xét hệ phương trình  2
 m x   3m  1 y 3
 2 x   m  1 y 5
Vì cặp số  x; y   2;1 là nghiệm của hệ phương trình  2
 m x   3m  1 y 3
2.2   m  1 .1 5

nên  2
m .2   3m  1 .1 3

m  1 1
 2
2m  3m  2 0

+) m  1 1  m 2 ;
+) 2m 2  3m  2 0  2m 2  4m  m  2 0
 2m  m  2    m  2  0

  2m  1  m  2  0
1

m


2
 m 2

Kết hợp ta được m 2 là giá trị cần tìm.
 2 x   m  1 y 5
Vậy với m 2 thì hệ phương trình  2
nhận cặp số  x; y   2;1 là nghiệm.
 m x   3m  1 y 3
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cặp số  x; y   1;  2  có phải là nghiệm của hệ



x  2 y  3
khơng? Vì sao?
2 x  y 0

Câu 2: Cho các cặp số  x; y     2;1 ;  1; 2  ;  2;  1 ;   1; 2  
Cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình



x  2 y 0
?

2 x  y 5

Câu 3: Cặp số  x; y   3;1 là nghiệm của hệ phương trình nào trong các hệ phương trình sau?
a)



x  y 5
.
2 x  y 3

b)



2 x  y 4
.
x  y 2

c)



x 3
.
2 x  y  1

d)



2 x  y 7
.
x  y 2

 x  2 y 3
Câu 4: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình mx  y 2 nhận  x; y    1;1 là nghiệm.
Câu 5: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình




x m
nhận cặp số  x; y   2;3 là nghiệm.
2 x  y 4

 mx  y 5
Câu 6: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình  2
nhận cặp số  x; y   2;1 là nghiệm.
 m x  6my  4
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Xét hệ phương trình



x  2 y  3
2 x  y 0
Trang 11

1  2.   2   3
 3  3

Thay  x; y   1;  2  vào hệ phương trình ta có 
0
0
 2.1    2  0



Vậy cặp số  x; y   1;  2  là nghiệm của hệ phương trình



x  2 y  3
.
2 x  y 0

Câu 2:
Thay các cặp số vào ta thấy chỉ có cặp  x; y   2;1 thỏa mãn nên cặp  x; y   2;1 là nghiệm của hệ
phương trình.
Câu 3:
Thay cặp số  x; y   3;1 vào các hệ phương trình ta thấy thỏa mãn hệ phương trình

 x; y   3;1

là nghiệm của hệ





2 x  y 7
nên cặp
x  y 2

2 x  y 7
và không là nghiệm của các hệ phương trình cịn lại.
x  y 2

Câu 4:
    1  2.1 3
 m  1
Thay x  1; y 1 vào hệ ta có 
 m   1  1 2
Vậy với m  1 thì hệ phương trình



 x  2 y 3
nhận  x; y    1;1 làm nghiệm.
mx  y 2

Câu 5:
Để hệ phương trình nhận cặp số  x; y   2;3 làm nghiệm thì



2 m

2 m

(vơ lí).
2.2  3 4
7 4



x m
Vậy không tồn tại m để hệ phương trình 2 x  y 4 nhận cặp số  x; y   2;3 là nghiệm.



Câu 6:
m.2  1 5
 m 2
  2
Để hệ phương trình nhận cặp số  x; y   2;1 là nghiệm thì  2
m .2  6m.1  4  2m  6m  4 0
 m 1
2
2
Xét phương trình 2m  6m  4 0  m  3m  2 0   m  1  m  2  0   m 2

 mx  y 5
Vậy với m 2 hệ phương trình  2
nhận cặp số  x; y   2;1 là nghiệm.
 m x  6my  4
Dạng 3. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị
Phương pháp giải

Giải

hệ

phương

phương pháp đồ thị.

trình



ax  by c
2 x  y 3
ax  by c bằng Ví dụ: Giải hệ phương trình  2 x  y  1 bằng



phương pháp đồ thị.
Trang 12


Bước 1. Biểu diễn tập nghiệm của hai phương Hướng dẫn giải
trình ax  by c ; ax  by c trên cùng một

Xét hệ phương trình

hệ trục tọa độ.



2 x  y 3
 2 x  y  1

Bước 2. Xác định giao điểm của hai đường Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của
thẳng ax  by c và ax  by c .

phương trình 2 x  y 3 có dạng  d  : y  2 x  3 .

Bước 3. Kết luận giao điểm của hai đường Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của
thẳng ax  by c và ax  by c là nghiệm
của hệ phương trình



ax  by c
.
ax  by c

phương trình  2 x  y  1 có dạng

 d  : y 2 x  1 .

Xét đường thẳng  d  : y  2 x  3
x
y

0
1
3

1
Đường thẳng  d  đi qua hai điểm  0;3 ;  1;1 .
Xét đường thẳng  d  : y 2 x  1
x
y

0
1
1
1
Đường thẳng  d  đi qua hai điểm  0;  1 ;  1;1 .

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng  d  và  d  là
A  1;1 .
Vậy nghiệm của hệ phương trình



2 x  y 3
là
 2 x  y  1

 x; y   1;1 .

Ví dụ mẫu
Trang 13


Ví dụ 1. Giải hệ phương trình



y 2
bằng phương pháp đồ thị.
x  y 3

Hướng dẫn giải
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình y 2 đi qua điểm A  0; 2  và song song với trục
Ox.
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình x  y 3 là  d  : y  x  3 .
Xét đường thẳng  d  : y  x  3
x
y

0
3
3
0
Đường thẳng  d  đi qua hai điểm  0;3 ;  3;0  .
Đồ thị hai hàm số y 2 và y  x  3 như hình vẽ.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 và y  x  3
là M  1; 2  .
Vậy

nghiệm

của

hệ

phương

trình



y 2
x  y 3

là

 x; y   1; 2  .

2 x  y 2
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình x 2
bằng phương pháp đồ thị.



Hướng dẫn giải
Xét phương trình x 2 .
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình x 2 đi qua điểm A  2;0  và song song với trục
Oy.
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x  y 2 là  d  : y 2 x  2 .
Xét đường thẳng  d  : y 2 x  2 .
x
y

0
1

2
0
Đường thẳng  d  đi qua hai điểm  0;  2  ;  1;0  .
Đồ thị hai hàm số x 2 và y 2 x  2 như hình vẽ.

Trang 14


Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng x 2 và y 2 x  2 là M  2; 2  .
2 x  y 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình x 2
là  x; y   2; 2  .



Bài tập tự luyện dạng 3
 3x  y  2
Câu 1: Xác định nghiệm của hệ phương trình 2 x  y 3
bằng phương pháp đồ thị.
Câu 2: Xác định nghiệm của hệ phương trình




2 x  y 5
bằng phương pháp đồ thị.
3 x  2 y 4

ĐÁP ÁN
Câu 1:

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình  3 x  y  2 là y 3x  2 .
x
y

0
1
2
1
Đường thẳng y 3x  2 đi qua hai điểm  0;  2  ;  1;1 .
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x  y 3 là y  2 x  3 .
x
y

0
1
3
1
Đường thẳng y  2 x  3 đi qua hai điểm  0;3 ;  1;1 .
Đồ thị hai hàm số y 3x  2 và y  2 x  3 như hình vẽ:

Trang 15


Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 3x  2 và y  2 x  3 là A  1;1
 3x  y  2
Vậy nghiệm của hệ phương trình 2 x  y 3
là  x; y   1;1 .



Câu 2:
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x  y 5 là y  2 x  5 .
x
y

0
2
5
1
Đường thẳng y  2 x  5 đi qua hai điểm  0;5  ;  2;1 .
3
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3x  2 y 4 là y  x  2 .
2
x
y

0
2

2
1

3
Đường thẳng y  x  2 đi qua hai điểm  0;  2  ;  2;1 .
2
3
Đồ thị hai hàm số y  2 x  5 và y  x  2 như hình vẽ:
2

Trang 16

3
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y  2 x  5 và y  x  2 là A  2;1
2
2 x  y 5
Vậy nghiệm của hệ phương trình 3 x  2 y 4 là  x; y   2;1 .



Trang 17