Dehsg thptvong1 ct 2015 2016 (1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
AN GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
Khóa ngày 07-5-2016
Mơn : TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (3,0 điểm).
Cho Parabol
và đường thẳng
a. Chứng tỏ rằng
luôn cắt
tại hai điểm phân biệt
b. Tìm trên đường thẳng
tọa độ điểm để
là tiếp tuyến của
.
Câu 2 (2,0 điểm).
Giải phương trình

(

là tham số).
đồng thời

và

.

Câu 3 (3,0 điểm).
Giải hệ phương trình

Câu 4 (3,0 điểm).
Cho dãy số
xác định bởi
a. Xét tính đơn điệu của dãy số
b. Chứng minh rằng tổng
mọi số tự nhiên
.

với mọi
và tính

.

.
ln là một số chính phương với

Câu 5 (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
, cho hình chữ nhật
có
. Gọi
là hình chiếu vng góc của lên
, trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho
. Biết phương trình đường thẳng

là
. Tìm tọa độ điểm .
Câu 6 (3,0 điểm).
Cho tứ diện
Câu 7 (3,0 điểm).
Cho 2015 số thực

. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
.

là

thỏa điều kiện

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

.

------------- Hết -----------Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và máy tính bỏ túi.
Họ và tên thí sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
AN GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu

1a

Mơn : TỐN
(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang)

Đáp án
Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d)
Do
trái dấu nên phương trình bậc hai
ln có hai nghiệm phân
biệt hay đường thẳng
ln cắt
tại hai điểm phân biệt
.
Gọi
Khi đó

1,0
điểm

là nghiệm của phương trình

Dễ thấy hệ số góc của tiếp tuyến tại
và tích hai hệ số góc tại

1b

Điểm

và

lần lượt là

và

bằng

vậy hai tiếp tuyến tại và tại của
nhau tại .
Mặt khác
MA vng với MB khi đó ta có

vng góc nhau và chúng cắt
2,0
điểm

Dễ thấy phương trình ln có nghiệm
điểm thỏa đề bài.

là

Giải phương trình
nên ta được

Do

2,0
điểm

2
Do

khơng là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho

Đặt

ta được phương trình


Với
Vậy nghiệm của phương trình là

TH1:
Thay vào phương trình (2) ta được
Phương trình vơ nghiệm
TH2:
Thay vào phương trình (2) ta được
3,0
điểm

3

hay

Với
Vậy hệ có hai nghiệm

Do

4a

.

và
đều dương.

Vậy dãy số

Dễ thấy dãy số

nên các số hạng của dãy

với
. vậy dãy

là cấp số cộng có cơng sai
là dãy tăng và

2,0
điểm

tăng và

1,0
điểm

4b
Vậy

ln là số chính phương.


Gọi
lần lượt là hình chiếu của lên
các đường thẳng
và
.
Xét hai tam giác
và
vng có

N

M

A

Vậy hai tam giác bằng nhau
là hình vng, hay tam giác
vng cân tại .
5

Gọi
thẳng AD;
Khi đó:

chọn
ta được

Với
chọn
Vậy tọa độ D là
Giả sử

B
H
C

D

là vectơ pháp tuyến của đường
là vecto pháp tuyến của đường thẳng
.

tọa độ

Với

6

E

là giao điểm của

3,0
điểm

và

tọa độ
hay

Vậy điều kiện cần và đủ để

.

là

3,0
điểm

.
A

B

D

C

7

Nhận xét: Hàm số
liên tục trên đoạn [1;2] đồ thị là đường
cong
với
và
ta ước lượng đường cong
nằm

dưới đường thẳng
và nằm phía trên tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ
của
. Do vậy bài toán được giải như sau:
Ta có

3,0
điểm


Vậy giá trị lớn nhất của S bằng 2022, dấu bằng xảy ra khi có 2014 số
bằng 1 và một số bằng 2.
Đặt
Ta có

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng

Dấu bằng xảy ra khi

HƯỚNG DẪN CHẤM
+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
+ Điểm từng câu có thể chia nhỏ đến 0,25 và khơng làm tròn.