Sáng kiến một số biện pháp giúp học sinh lớp 8 học tốt phần phân tích đa thức thành nhân tử tại trường thcs trà mai

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
BÁO CÁO SÁNG KIẾN
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 8 HỌC TỐT PHẦN
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
TẠI TRƯỜNG THCS TRÀ MAI
1. Mô tả bản chất của sáng kiến:
Phân tích đa thức thành nhân tử có ý nghĩa quan trọng trong phần Đại số
của mơn tốn ở chương trình Trung học cơ sở. Phân tích đa thức thành nhân
tử có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập
trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các khối lớp khác. Vì vậy, việc
học sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng nhuần nhuyễn các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử là một yếu tố quan trọng góp phần nâng cao
chất lượng bộ mơn Tốn.
Hiểu được điều này, trong q trình giảng dạy mơn tốn lớp 8 tơi đã dày
cơng tìm tịi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử một cách đa dạng và dễ hiểu, kết hợp với việc lồng ghép các trò chơi
để tạo thêm hứng thú cho học sinh khi học dạng toán này. Góp phần giúp học
sinh học tốt mơn Tốn cũng như giúp các em hình thành và phát triển các
phẩm chất, năng lực cần thiết của người học, giúp các em phát triển năng lực
tư duy sáng tạo, vận dụng kiến thức vào giải quyết vấn đề, các bài tập cụ
thể…
Tuy trong sách giáo khoa trình bày khá đầy đủ nhưng trong q trình dạy
học tơi nhận thấy các em chưa biết sắp xếp các kiến thức logic khoa học,
nhiều em còn lúng túng khi vận dụng kiến thức vào giải các bài tập liên quan,
các em chưa phân loại, nắm vững các dạng và các phương pháp giải bài tập
về phân tích đa thức thành nhân tử. Mặt khác, trong sách giáo khoa chỉ trình


bày bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Phương pháp đặt
nhân tử chung, phương pháp nhóm các hạng tử, phương pháp dùng hằng đẳng

thức và phối hợp nhiều phương pháp. Như vậy vẫn chưa bao quát hết các
dạng của bài toán này như một số dạng: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng
phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm, bớt
cùng một hạng tử, phương pháp đặt biến phụ. Đồng thời vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập có liên quan
như: Rút gọn phân thức đại số, tìm x, tính nhanh giá trị của biểu thức,..
Từ thực tiễn dạy học đó, trong năm học 2021 – 2022 tơi đã thực hiện đề
tài sáng kiến: “Một số biện pháp giúp học sinh lớp 8 học tốt phần phân
tích đa thức thành nhân tử tại trường THCS Trà Mai”. Qua đề tài cung
cấp cho các em đầy đủ các dạng về bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử,
đồng thời giới thiệu đến các em các phương pháp giải phù hợp và hiệu quả, từ
đó góp phần nâng cao chất lượng học tập bộ mơn Tốn lớp 8 tại trường
Trường THCS Trà Mai.
1.1. Các giải pháp, các bước và cách thức thực hiện:
1.1.1. Xây dựng các dạng toán và phương pháp giải các dạng tốn
phân tích đa thức thành nhân tử:
Qua q trình dạy học phần phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8, tôi đã
xây dựng được các dạng bài toán và phương pháp giải sau:
1.1.1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung:
- Phương pháp chung:
+ Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
+ Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy với số mũ nhỏ
nhất ).
Khi đó, nhân tử chung của đa thức là tích của nhân tử chung bằng số và
nhân tử chung của các biến.
Nhằm đưa về dạng: A.B + C.B - B.Q = B.(A + C-Q).


Mấu chốt của vấn đề là làm thế nào để đưa được biểu thức đã cho về
dạng tích của nhiều đa thức. Bởi nhiều bạn mới học, cũng bảo đặt nhân tử

chung nhưng khi xem kết quả thì chưa tồn tại dạng tích mà vẫn ở dạng tổng.
- Ví dụ minh hoạ:
Phân tích đa thức 3(x – y) – 5x(y – x) thành nhân tử.
Giáo viên gợi ý:
+ Tìm nhân tử chung của các hệ số 3 và 5 ? (Học sinh trả lời là: 1 vì
ƯCLN(3;5)= 1).
+ Tìm nhân tử chung của (x – y) và y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: khơng
có).
+ Sau đó giáo viên hướng dẫn thực hiện đổi dấu tích 3(x – y) hoặc tích –
5x(y – x) để có nhân tử chung (x – y) hoặc (y – x).
Cách 1: Nếu đổi dấu tích –5x(y – x)= 5x(x – y) thì nhân tử chung của
đa thức là (x – y).
Cách 2: Nếu đổi dấu tích 3(x – y)= –3(y – x) thì nhân tử chung của đa
thức là (y – x) hoặc –(y – x).
Giải:
Cách 1: 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x(x – y)
= (x – y).3 + (x – y).5x
= (x – y)(3 + 5x)
Cách 2: 3(x – y) – 5x(y – x) = – 3(y – x) – 5x(y – x)
= (y – x). (–3) – (y – x).5x
= (y – x)( –3 – 5x)
= – (y – x)( 3 + 5x) = (x – y)(3 + 5x)
1.1.1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
- Phương pháp chung:
Ở phương pháp này cần vận dụng linh hoạt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. Vận dụng các hằng đẳng thức để


biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn
giản.

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Giáo viên cần rèn cho học sinh kĩ năng khi nhận ra hằng đẳng thức cần
vận dụng thì nên lấy giấy nháp ghi lại hằng đẳng thức đó.
- Ví dụ minh hoạ:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 – 4x + 4

b) 1 – x3

Hướng dẫn
a) x2 – 4x + 4
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 với A = x, B= 2)
Giải:
x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
b) 1 – x3
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)) với A=1,
B=x).
Giải:
1 – x3 = (1 – x)(1 + x. 1 + x2) = (1 – x)(1 + x + x2).
Lưu ý: Giáo viên cần rèn cho học sinh kỹ năng vận dụng các hằng đẳng
thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các

hạng tử, số mũ của các hạng tử (Ở các bài về những hằng đẳng thức đáng
nhớ) để học sinh sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp ở dạng này.
1.1.1.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
- Phương pháp chung:
Dùng các tính chất giao hốn, kết hợp của phép cộng các đa thức để kếp
hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các
phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối
với các nhóm. Thường sau khi nhóm chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt
nhân tử chung hoặc dùng hằng đắng thức để làm tiếp.
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
+ Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài tốn.
+ Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
Mỗi nhóm đều phân tích được.
Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình
phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
- Ví dụ minh hoạ:
+ Nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung:
Ví dụ: Phân tích đa thức x2 – 3x + xy – 3y thành nhân tử.
Gợi ý: Các hạng tử có nhân tử chung không?
Làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?
(Học sinh trả lời: nhóm (x2 – 3x) và (xy – 3y))
Giải:
x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y)
= x(x – 3) + y(x – 3)
= (x – 3)(x + y)
+ Nhóm để xuất hiện hằng đẳng thức:
Ví dụ: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử.
Gợi ý: x2 – 2x + 1 có dạng hằng đẳng thức nào? (Học sinh: A2–
2AB+B2=(A–B)2)

Giải:
x2 – 2x +1– 4y2 = (x2 – 2x +1) – (2y)2
= (x – 1)2 – (2y)2
= (x – 1– 2y)(x –1+2y)
+ Nhóm để sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ: Phân tích đa thức x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y thành nhân tử.
Gợi ý: Có thể nhóm ba hạng tử đầu thành một nhóm, hai hạng tử sau
thành một nhóm.
Giải
x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y = (x2 + 2xy + y2) + (4x + 4y)
= (x + y)2 + 4(x + y)
= (x + y)(x + y + 4)
Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình
phân tích thành nhân tử khơng thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai,
phải thực hiện lại.
1.1.1.4. Phối hợp nhiều phương pháp:
- Phương pháp chung:
Phối hợp nhiều phương pháp là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các
phương pháp nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy,
học sinh cần nhận xét bài tốn một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử
và tìm hướng giải thích hợp.
Thơng thường ta có thể xét theo thứ tự các phương pháp: Đặt nhân tử
chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử.
- Ví dụ minh hoạ:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 5x3 + 10x2y + 5xy2

b) x2 – 2xy + y2 – 9

Gợi ý: Dùng phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,
nhóm nhiều hạng tử hay có thể phối hợp các phương pháp trên?
Giải:


a) 5x3 + 10x2y + 5xy2 = 5x(x2 + 2xy + y2)= 5x(x + y)2
b) x2 – 2xy + y2 – 9 = (x2 – 2xy + y2) – 9
= (x – y)2 – 32 = (x – y – 3)(x – y + 3)
1.1.1.5. Phương pháp tách hạng tử:
Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử
thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các
phương pháp khác để phân tích được.
Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x2- 7xy+ 5y2
Gợi ý: Có thể tách -7xy thành -2xy- 5xy, sau đó nhóm hai hạng tử đầu
thành một nhóm, hai hạng tử sau thành một nhóm.
Giải:
2x2- 7xy+ 5y2= 2x2- 2xy- 5xy+5y2= (2x2- 2xy)- (5xy-5y2)
= 2x(x- y)- 5y(x- y)= (x- y)(2x- 5y).
1.1.1.6. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
Ta có thể thêm hoặc bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện
những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích
được.
Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 4
Gợi ý: Có thể thêm bớt 4x2 để phân tích tiếp.
Giải:
x4 + 4= x4 + 4x2+ 4- 4x2= (x4+ 4x2+ 4)- 4x2= (x2+ 2)2- (2x)2
= (x2+ 2- 2x) (x2+ 2+ 2x)
1.1.1.7. Phương pháp đặt biến phụ:
Trong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử được

thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp.
Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x 2+ 2x+ 8)2+
3x(x2+ 2x+ 8)+ 2x2
Gợi ý: Có thể đặt y= x2+ 2x+ 8, sau đó nhóm hai hạng tử đầu thành một
nhóm, hai hạng tử sau thành một nhóm.


Giải:
Đặt y= x2+ 2x+ 8. Khi đó, (x2+ 2x+ 8)2+ 3x(x2+ 2x+ 8)+ 2x2
=y2+ 3xy+ 2x2= y2+ xy+ 2xy+ 2x2 = (y2+ xy)+ (2xy+ 2x2)
= y(x+ y)+ 2x(x+ y)= (x+ y)(2x+ y).
Để học sinh nắm vững các phương pháp phân tích một cách tổng quát
giáo viên yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm (từ 4 đến 6 học sinh) tóm tắt
lại các phương pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử dưới dạng sơ
đồ tư duy và cho học sinh trình bày lại.

Học sinh hoạt động nhóm vẽ sơ đồ tư duy
1.1.2. Sử dụng các bài tập phù hợp với năng lực, mức độ nhận thức
của học sinh khi dạy học:
Trong thực tế giảng dạy môn tốn, mức độ tiếp nhận kiến thức của học
sinh khơng đồng đều, có học sinh tiếp thu kiến thức rất nhanh, ngược lại cũng
có những học sinh tiếp thu rất chậm. Do đó, để học sinh nắm bắt và tiếp thu
kiến thức dễ dàng giáo viên nên sắp xếp các bài tốn theo các mức độ khác
nhau. Đồng thời, hình thành những dạng toán cơ bản thường gặp để học sinh
có thể dễ dàng trong việc học tập và giúp các em tiếp thu kiến thức nhanh
hơn.
1.1.2.1. Đối với học sinh yếu, kém:


Có thể cho học sinh làm những bài tốn có vận dụng phương pháp đặt

nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng
tử ở mức độ đơn giản học sinh có thể nhận dạng ngay phương pháp cần áp
dụng.
Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – x

b) x2 – 4x + 4

c) x2 – xy + 2x – 2y

Giải:
a) x2 – x = x(x – 1)
(Học sinh dễ dàng nhận ra nhân tử chung là x).
b) x2 – 4x + 4= (x- 2)2
(Học sinh dễ dàng thấy được dạng của hằng đẳng thức A 2 – 2AB + B2 =
(A – B)2).
c) x2 – xy + 2x – 2y = (x2 – xy) + (2x – 2y)
= x(x – y) + 2(x – y)
= (x – y)(x + 2)
(Học sinh dễ dàng thấy được hai hạng tử đầu x 2 – xy có nhân tử chung
là x, hai hạng tử cuối 2x – 2y có nhân tử chung là 2 thì lập tức nhóm hạng tử).
1.1.2.2. Đối với học sinh trung bình:
Có thể cho học sinh làm những bài tập có vận dụng phương pháp đặt
nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng
tử ở mức độ cao hơn. Đồng thời, vận dụng phối hợp các phương pháp nêu
trên.
Ví dụ minh họa: (Bài tập 48a – Sgk trang 22, Tốn 8 tập 1)
Phân tích đa thức đa thức x2 + 4x – y2 + 4 thành nhân tử.
Gợi ý: Có thể nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức, sau đó tiếp tục
vận dụng hằng đẳng thức.

Giải:
x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2
= (x + 2)2 – y2 = (x + 2 – y)(x + 2 + y).


1.1.2.3. Đối với học sinh khá, giỏi:
Ngoài việc vận dụng các phương pháp trên ở mức độ bình thường cịn
phải vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng dạng tốn như: Tính
nhanh giá trị của biểu thức, các bài tốn tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải
phương trình tích…
- Dạng tính nhanh giá trị của biểu thức:
Ví dụ minh họa: (?2a – trang 23 sgk Tốn 8 tập 1)
Tính nhanh giá trị của các biểu thức P = x 2+2x +1 – y2 tại x = 94,5 và y
= 4,5.
Gợi ý: Phân tích đa thức x2 + 2x + 1 – y2 thành nhân tử rồi thay số vào
tính.
Giải:
P = x2 + 2x + 1 – y2 = (x2+ 2x + 1) – y2 = (x+1)2– y2= (x+1– y)(x+1+ y).
Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức P ta được:
P = (94,5 + 1 – 4,5) (94,5 + 1 + 4,5) = 91.100 = 9100.
- Dạng tốn tìm x (dạng phương trình đưa được về phương trình tích):
Ví dụ: (Bài 50a – trang 23 sgk Tốn 8 tập 1) Tìm x biết: x(x – 2) + x – 2
=0
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử.
Giải:
x(x – 2) + x – 2 = 0

x(x – 2)+(x – 2)=0
(x – 2)(x +1)=1
x – 2 = 0 hoặc x + 1=0

x = 2 hoặc x = –1

Vậy x = 2 ; x = –1
- Dạng tốn rút gọn phân thức đại số:
Ví dụ: (Bài 12a – trang 40 sgk Toán 8 tập 1)
Rút gọn phân thức

.


Gợi ý: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
Giải

Bên cạnh đó, đối với học sinh khá, giỏi giáo viên cịn giới thiệu cho học
sinh các bài tốn vận dụng các phương pháp phân tích nâng cao: Phương pháp
tách hạng tử, phương pháp thêm bớt hạng tử và đặt biến phụ.
Để thực hiện biện pháp này, thông thường giáo viên chia nhóm học sinh
và tổ chức trị chơi theo gói câu hỏi trong đó phân loại mức độ dễ, trung bình,
khá, giỏi để học sinh lựa chọn.


Học sinh tham gia trò chơi “ Đường lên đỉnh Olympia”
1.1.3. Giúp học sinh sửa chữa những sai lầm khi giải bài tốn
Trong tính tốn, do chưa nắm rõ các phương pháp phân tích nên học sinh
thường nhầm lẫn. Từ đó, dẫn đến kết quả tính tốn sai mà khơng phát hiện ra.
Vì vậy, giáo viên cần chỉ ra những sai lầm để học sinh sữa chữa và rút kinh
nghiệm.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Lời giải sai:
9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )

= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2
Lời giải đúng:
9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x)
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:


Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ
số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
Lời giải sai:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)
Sai lầm của học sinh là: Nhóm và đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
thay vì x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (–2x – 4y ) .
Lời giải đúng:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) + (–2x – 4y)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x +2y)
= (x + 2y)(x – 2y– 2)
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh
cần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu:

- Nếu nhóm các hạng tử và đặt dấu “+” ở trước dấu ngoặc thì giữ nguyên
dấu tất cả các hạng tử mang vào.
- Nếu nhóm các hạng tử và đặt dấu “–” ở trước dấu ngoặc thì phải đổi
dấu tất cả các hạng tử mang vào.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 – 4y2 thành nhân tử.
Lời giải sai: x2 – 4y2 = (x + 4y)(x – 4y) (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh là: dùng hằng đẳng thức A2 – B2 mà khơng đưa về
đúng dạng. Chưa phân tích 4y2 về dạng bình phương của một biểu thức.
Lời giải đúng: x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y)


Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Khi vận dụng các hằng
đẳng thức A2 – B2 , A3 – B3 , A3 – B3… cần phân tích đưa các hạng tử về đúng
dạng.
Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử. (BT- 28a –
trang 6 – SBT – Tốn 8 tập I).
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 –
B2).
Lời giải sai:
(x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc dẫn đến kết
quả sai.
Lời giải đúng:
(x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x = 4xy
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a –
trang 22 – SGK Toán 8 tập I)
Lời giải sai:

x2 – xy + x – y

= (x2 – xy) + (x – y)

= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)x (kết quả sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì hết, có
nghĩa là cịn lại là số 0)
Giáo viên nên hướng dẫn học sinh ở trường hợp này nên phân tích (x –
y) = 1.(x – y) thì khi đặt nhân tử chung x – y thì học sinh vẫn cịn nhìn thấy số
cịn lại là 1.
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)


Ví dụ 6: Khi phân tích đa thức 3(x – y) – 5x(x – y) thành nhân tử học
sinh làm như sau: 3(x – y) – 5x(x – y) = (x – y) + (3 – 5x)
Sai lầm của học sinh ở đây là chưa biết phân tích đa thức thành nhân tử
là biến đổi đa thức đã cho thành tích của những đa thức. Khi đặt nhân tử
chung xong các em khơng biết dùng phép tính gì nên đặt đại dấu “+” hoặc
dấu “–”.
Vì vậy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh khi đặt nhân tử chung thì phép
tính tiếp theo là phép nhân.
Lời giải đúng:

3(x – y) – 5x(x – y) = (x – y).(3 – 5x)

Để thực hiện biện pháp này, giáo viên chia nhóm học sinh và tổ chức trị

chơi, trong đó giáo viên đưa ra lời giải sai và yêu cầu học sinh phát hiện điểm
sai lầm trong lời giải đó.

Học sinh tham gia trị chơi “ Ai nhanh hơn”
1.2. Phân tích tình trạng của giải pháp đã biết:
Tốn học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến
thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong
thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã
hội phát triển.


Mơn Tốn ở trường Trung học cơ sở góp phần hình thành và phát triển
các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh;
phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải
nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng
toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Tốn học với các mơn học và hoạt
động giáo dục khác, đặc biệt với các mơn Vật lí, Hố học, Sinh học, Công
nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM.
Nội dung mơn Tốn thường mang tính logic, trừu tượng, khái qt. Do
đó, để hiểu và học được Tốn, chương trình Tốn ở trường phổ thơng cần bảo
đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “vận dụng” kiến thức vào giải quyết
vấn đề cụ thể.
Trong quá trình học và áp dụng Tốn học, học sinh ln có cơ hội sử
dụng các phương tiện công nghệ, thiết bị dạy học hiện đại, đặc biệt là máy
tính điện tử và máy tính cầm tay hỗ trợ q trình biểu diễn, tìm tịi, khám phá
kiến thức, giải quyết vấn đề tốn học.
Từ thực tiễn dạy học tại trường THCS Trà Mai tôi nhận thấy:
- Mức độ nhận thức của học sinh trong các lớp giảng dạy không đồng
đều nên nhiều học sinh có lực học yếu khơng tiếp thu kịp với nhóm khá, giỏi.
- Học sinh cịn yếu trong tính tốn, kĩ năng biến đổi, vận dụng kiến thức

giải tốn cịn chậm, chưa chắc chắn trong giải bài tập.
- Các em còn lúng túng, chưa tìm được hướng giải quyết thích hợp,
khơng biết áp dụng phương pháp nào phù hợp với các dạng tốn nào để giải.
Do đó, dẫn đến việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử cịn nhầm lẫn.
- Các em chưa hệ thống hố và phân loại được các dạng toán, phương
pháp giải các dạng tốn trong phần phân tích đa thức thành nhân tử.
Để có kết quả đánh giá tính hiệu quả của các biện pháp thực hiện, đầu
năm học tôi đã tiến hành khảo sát học sinh ở các lớp tôi giảng dạy việc vận


dụng kiến thức vào giải các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử và cho
kết quả như sau:
Thời gian

TSHS

KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ
Giỏi

Khá

S

Tỉ lệ

L

%

SL

Trung

Yếu,

bình

kém

Tỉ lệ

S

%

L

Tỉ lệ SL
%

Tỉ
lệ
%

Đầu năm học

68

1

1,5

16

23,5

25

36,8

26 38,2

2021-2022
Khảo sát về mức độ u thích mơn học được thể hiện trong bảng số liệu:
Thời gian

Đầu năm học

TSHS

68

KẾT QUẢ KHẢO SÁT
Rất thích
Thích
SL
Tỉ lệ SL
Tỉ lệ
25

%
36,8

25

%
36,8

Khơng thích
SL Tỉ lệ %
18

26,4

2021-2022
Qua kết quả khảo sát đầu năm cho thấy, đối với đối tượng là học sinh
trung bình, yếu chiếm tỷ lệ khá cao (khoảng 75%). Nhiều em chưa hứng thú
với bộ mơn Tốn. Qua thực tiễn tìm hiểu tơi nhận thấy đa số các em cịn gặp
nhiều khó khăn trong việc phân loại các dạng bài tập, vận dụng các phương
pháp giải phù hợp, các em không định hướng được cách làm, kĩ năng vận
dụng lí thuyết vào làm bài tập cịn yếu. Do đó, kết quả bài kiểm tra chất lượng
đầu năm chưa cao.
1.3. Nội dung đã cải tiến, sáng tạo để khắc phục những nhược điểm
hiện tại:
Các biện pháp đã thực hiện trong đề tài đã cải tiến được một số vấn đề
cịn tồn tại trong q trình dạy học phần phân tích đa thức thành nhân tử cho
học sinh lớp 8. Cụ thể gồm những vấn đề sau:

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân
tử phương pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm
các hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp,tách hạng tử, thêm, bớt hạng tử, đặt
biến phụ.
- Giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử cơ bản.
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ phù hợp với đối tượng áp dụng, từ đó
kích thích hứng thú học tập cho từng đối tượng học sinh.
- Giúp học sinh xác định và sửa chữa các sai lầm thường gặp trong giải
bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.
- Giới thiệu thêm các phương pháp hay, nâng cao giúp học sinh khá giỏi
phát triển thêm năng lực tư duy, sáng tạo, kích thích tính tị mị tự học của học
sinh.
- Giúp học sinh có thêm một số lưu ý trong q trình giải bài tốn phân
tích đa thức thành nhân tử, cũng như giúp học sinh vận dụng và giải tốt các
dạng tốn liên quan đến bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử.
1.4. Khả năng áp dụng của sáng kiến:
Các biện pháp được áp dụng tại khối 8 của Trường THCS Trà Mai trong
năm học 2021 – 2022 và đã đạt được những kết quả tích cực nhất định. Qua
việc áp dụng tôi nhận thấy khả năng áp dụng của đề tài là:
- Các biện pháp hoàn toàn áp dụng được với khối lớp 8 tại Trường
THCS Trà Mai, nơi tơi đang cơng tác. Ngồi ra, một số biện pháp có thể áp
dụng được trong các khối lớp 6, 7 và 9, giúp học sinh học tốt phần phân tích
đa thức thành nhân tử và vận dụng giải các bài tốn liên quan.
- Các biện pháp hồn tồn áp dụng được trong việc giúp học sinh học tốt
phần phân tích đa thức thành nhân tử ở các trường Trung học cơ sở khác trên
địa bàn huyện và trên toàn quốc.
Tuy nhiên, để các biện pháp mang lại hiệu quả cao thì giáo viên cần
nghiên cứu kỹ năng lực nhận thức của đối tượng học sinh trường mình, những

khó khăn mà học sinh mình gặp phải; các biện pháp, nội dung dạy học và đối
tượng áp dụng cần phù hợp với nhau, có như vậy khi áp dụng biện pháp mới
đạt hiệu quả cao.
1.5. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
1.5.1. Đối với nhà trường:
- Ban giám hiệu nhà trường thường xuyên quan tâm, hỗ trợ giáo viên về
cơ sở vật chất (tăng cường xây dựng phòng học đa chức năng, trang bị tivi
hoặc máy chiếu tại phòng học…). Tổ chức nhiều đợt thi đua sáng tạo, đổi mới
trong dạy học nhằm đáp ứng nhu cầu đổi mới của giáo dục.
- Ban giám hiệu phối hợp các đơn vị khác trong tổ chức các hoạt động
chuyên môn cụm, liên trường giúp giáo viên được trao đổi, chia sẻ học hỏi
kinh nghiệm của nhau trong công tác dạy học.
- Tổ chun mơn: Cần tích cực dự giờ thăm lớp, tổ chức thao giảng
chuyên đề giúp giáo viên trao đổi, học hỏi kinh nghiệm giúp giáo viên ngày
càng nâng cao năng lực chuyên môn nghiệp vụ trong dạy học.
1.5.2. Đối với giáo viên:
- Thường xuyên phát huy tinh thần tự chủ, tự học và bồi dưỡng thường
xuyên về năng lực, chuyên môn và nghiệp vụ của cá nhân. Học hỏi qua đồng
nghiệp và không ngừng sáng tạo, đổi mới phương pháp trong dạy học.
- Thường xuyên đổi mới hình thức truyền thụ kiến thức, phương pháp
dạy học cũng như xây dựng bài giảng tạo hứng thú, động lực cho học sinh học
tập. Tạo nhiều hình thức tổ chức dạy học sáng tạo giúp học sinh có mơi
trường học tập và phát triển.
1.5.3. Đối với học sinh:
- Nghiêm túc thực hiện các yêu cầu của giáo viên đề ra khi học tập trên
lớp cũng như các yêu cầu thực hiện ở nhà. Qua đó giúp các em hình thành và
phát triển năng lực tự học cho bản thân các em.
- Tích cực hơn nữa trong học tập, trong học hỏi bạn bè.
- Phát huy tinh thần tự học, tự tìm tịi khám phá kiến thức.

1.5.4. Đối với phụ huynh:
- Luôn quan tâm, động viên con em mình trong học tập, ln tạo điều
kiện về vật chất cũng như tinh thần tối ưu nhất cho học sinh trong học tập ở
lớp cũng như ở nhà.
- Thường xuyên giữ mối liên lạc với giáo viên chủ nhiệm, giáo viên bộ
mơn nhằm nắm vững q trình học tập, mức độ tiến bộ của con em mình để
có biện pháp phối hợp hỗ trợ con em mình học tập tốt hơn.
1.6. Hiệu quả sáng kiến mang lại:
Sau khi áp dụng các biện pháp đã nêu trên trong công tác dạy học năm
học 2021 – 2022, bản thân tôi nhận thấy đã đạt được một số kết quả như sau:
- Trước tiên là sự hào hứng, chủ động và tham gia tích cực hơn trong học
tập. Được thể hiện qua bảng số liệu sau:
Thời gian

TSH
S

KẾT QUẢ KHẢO SÁT
Rất thích
Thích
SL
Tỉ lệ SL
Tỉ lệ

Đầu năm học 2021-

68

25

%
36,8

2022
Cuối năm học 2021-

68

40

58,8

2022

Khơng thích
SL Tỉ lệ %

25

%
36,8

18

26,4

27

39,7

1

1,5