Bài Giảng Nguyên Hàm Tích Phân

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
1
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
NGUYÊN HÀM

VẤN ĐỀ 1: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA:
ĐN
1
: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b)
ĐN
2
: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]
xa
xb
F'(x) f(x); x (a;b)
F(x) F(a)
F' (a) lim f(a)
xa
F(x) F(b)
F' (b) lim f(b)
xb
+
−
+
→
−
→
⎧
⎪
=∀∈

⎪
−
⎪
⇔= =
⎨
−
⎪
−
⎪
==
⎪
−
⎩

Ký hiệu hình thức gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) hay tích
phân bất đònh của hàm f(x).
f(x)dx = F(x)+C
∫

VẤN ĐỀ 2: BỔ SUNG VI PHÂN - DẠNG VI PHÂN HÀM HP:
y = f(x) ⇒ dy = d[f(x)] = f’(x)dx (1)
Giả sử tồn tại y = f(t) mà trong đó t = g(x); để cho hàm hợp y = f[g(x)] có vi phân được viết:
dy = d[f(t)] = f’(t)dt (2)

NHÓM HÀM LŨY THỪA NHÓM HÀM LƯNG GIÁC NGƯC
d(x
n
)=nx
n-1
dx

*Các trường hợp đặc biệt:
d(ax+b) = adx
2
1d
d=-
xx
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
x

()
dx
dx=
2x

2
dx
d(arc sinx) =
1-x

2
dx
d(arc cosx) =-
1-x

2
dx
d(arc tgx) =
1+x

2
dx
d(arc cotgx) = -
1+x

NHÓM HÀM LƯNG GIÁC NHÓM HÀM MŨ & LOGARITHM
d(sinx) = cosxdx
d(cosx) = -sinxdx
2
2
dx
d(tgx) = = (1+tg x)dx
cos x

2
dx
d(cotgx) = -
sin x

dx
d(lnx) =
x

a
dx
d(log x) =
xlna

d(e

x
) = e
x
dx
d(a
x
) = a
x
lnadx
A. BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN:
NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA

1/
()
n+1
n
x
xdx= +C n¹-1
n+1
∫

Trường hợp đặc biệt của nhóm I
3/
dx = x+C
∫
2/
()
-1
dx
xdx= =lnx+C x 0

x
≠
∫∫

4/
2
dx 1
=- +C
xx
∫


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
5/
mm+
nn
n
xdx= x +C
m+n
∫
n

7/
n
n+1
n
n
xdx = x +C

n+1
∫

6/
()
nn-1
dx -1
=+
xn-1x
∫
C
8/
n
n-1
n
dx n
=x+
n-1
x
∫
C


NHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC

9/
sinxdx = -cosx +C
∫
11/
2

dx
=tgx+C
cos x
∫

13/
tgxdx = -ln cosx +C
∫

10/
cosxdx = sinx+C
∫

12/
2
dx
=-cotgx+C
sin x
∫

14/
cotgxdx = ln sinx +C
∫


NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ – LOGARITHM

15/
xx
edx=e +C

∫
17/
()
x
x
a
a = +C 1 a > 0
lna
≠
∫

16/
-x -x
edx=-e +C
∫

18/
(
)(
lnxdx=x lnx-1 +C x>0
)
∫


NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC (a > 0)

19/
2
dx
=arctgx+C

x+1
∫

21/
22
dx 1 x
= arctg +C
x+a a a
∫

20/
2
dx 1 x-1
=ln +C
x-1 2 x+1
∫

22/
22
dx 1 x-a
=ln +
x-a 2a x+a
∫
C


NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC (a > 0)

23/
2

dx
= arcsinx+C
1-x
∫
24/
22
dx x
=arcsin +C
a
a-x
∫

25/
2
2
dx
=lnx+ x ±1+C
x±1
∫
26/
22
22
dx
=lnx+ x ±a +C
x±a
∫

27/
2
22 22

xax
a -x dx = a -x + arcsin +C
22a
∫

28/
2
22 22 22
xa
x±adx= x±a± lnx+ x±a +C
22
∫



B. BẢNG THAM KHẢO CÁC TÍCH PHÂN MỞ RỘNG:

NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA MỞ RỘNG (α ≠ 0)

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
3
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
1/
n+1
n
(ax+b)
(ax+b) dx = +C (n -1)
a(n+1)
≠
∫

2/
-1
dx 1
(ax + b) dx = = ln (ax+ b) +C (ax + b 0)
(ax + b) a
≠
∫∫

Các trường hợp đặc biệt của nhóm I
3/ 4/
d(ax + b) = ax+b+C
∫
2
dx -1
=+
(ax+b) a(ax + b)
∫
C

5/
mm
nn
n
(ax+ b) dx = (ax+b) +C
a(m+n)
∫
+n
6/
nn

dx -1
=+
(ax+b) a(n-1)(ax+b)
∫
-1
C

7/
n+1
n
n
n
(ax + b)dx = (ax + b) +C
a(n+1)
∫
8/
n-1
n
n
dx n
=(ax+b)
a(n-1)
(ax + b)
∫
+C

NHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC MỞ RỘNG (α ≠ 0)

9/
1

sin(ax+b)dx = - cos(ax +b)+C
a
∫
10/
1
cos(ax +b)dx = sin(ax+b)+C
a
∫

11/
2
dx 1
=tg(ax+b)+C
cos (ax+b) a
∫
12/
2
dx 1
=- cotg(ax+b)+C
sin (ax+b) a
∫

13/
1
tg(ax+b)dx = - ln cos(ax+b) +C
a
∫
14/
1
cotg(ax+b)dx= lnsin(ax+b)+C

a
∫


NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ - LOGARITHM MỞ RỘNG (α ≠ 0)

15/
(ax+b) (ax+b)
1
edx=e +
a
∫
C
16/
(ax+b)
(ax+b)
a
adx= +C (1 a>0
alna
≠
∫
)
17/
1
ln(ax+b)dx= (ax+b)[ln(ax+b)-1]+C (ax+b>0)
a
∫


NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC MỞ RỘNG (α ≠ 0; a > 0)

18/
22
dx 1 ax+ b
=arctg +
(ax+b) + a aa a
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫
C
19/
22
dx 1 (ax+b)- a
=ln +
(ax+b) - a 2aa (ax +b)+a
∫
C


NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC MỞ RỘNG ((α ≠ 0; a > 0)

20/
22
dx 1 (ax+b)
=arcsin +C
aa
a-(ax+b)
∫

21/
22
22
dx 1
=ln(ax+b)+(ax+b)±a+C
a
(ax + b) ± a
∫

22/
2
22 22
(ax + b) a (ax+ b)
a -(ax+b) dx = a -(ax+b) + arcsin +C
2a 2a a
∫


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
4
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
23/
22 22 22
(ax + b)
(ax+b) ±a dx= (ax+b) ±a ±ln(ax+b)+ (ax+b) ±a +C
2a
∫

VẤN ĐỀ 3: THUẬT PHÂN TÍCH HÀM TRONG DẤU TÍCH PHÂN VỀ DẠNG CHUẨN
TRONG BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN:
Biến đổi hàm tích phân về dạng:
[Af(x)±Bf(x)+ ]dx = A f(x)dx ± B g(x)dx+
∫∫∫
B
B
1
: Cụ thể phải
1/ Nhân phân phối: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd
2/ Khai triển các hằng đẳng thức:

22 2
33 2 23
(A±B) = A ±2AB+B
(A± B) = A ±3A B+ 3AB ± B ;
3/ Thêm bớt hạng tử:
Xb
X=(X+B)-B;X= (b 0);
b
≠

4/ Nhân lượng liên hợp:
llh
A ± B A m B; ←⎯→
5/ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức:
22
22
22
22

33
sinx cosx
1=sinx+cosx; tgx= ; cotgx= ;
cosx sinx
11
=1+tg x; =1+cotg x; tgxcotgx=1;
cos x sin x
1-cos2x 1+cos2x
sin x = ; cos x = ;
22
3sinx-sin3x 3cosx + cos3x
sin x = ; cos x = ;v.v
44

B
B
2
: Mục đích là hàm số trong dấu tích phân được biến đổi:
• Tích thành tổng; đặc biệt một hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích.
• Căn thức thành lũy thừa; ở đây ta áp dụng các tính chất lũy thừa sau:
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
x
m
x
n
-m m m n mn x x x
n
m x

1A
=A ; A =A ;(A ) =A ;AB =(AB); =
AB
A
B

B
B
3
: Một việc quan trọng là sử dụng được công thức tích phân hàm hợp
f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+C
∫
với F là một nguyên hàm của f thì bài toán giải quyết nhanh và
gọn.
Ghi chú: Khi tính toán ta dùng hàm y = f(x) = sgn(x) để thay dấu (±) cho gọn. Ta có đònh
nghóa:
mở rộng
1 khi x > 0 1 khi f(x) > 0
sgn(x) = sgn[f(x)]=
-1 khi x < 0 -1 khi f(x) < 0
⎡⎡
⎯⎯⎯⎯→
⎢⎢
⎣⎣

VẤN ĐỀ 4: HẰNG SỐ C TRONG HÀM NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH
PHÂN BẤT ĐỊNH:
Dạng 1: Tìm hằng số C trong hàm nguyên hàm
Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên [a;b] khi nó thỏa một giả thiết nào đó tại x
0

∈[a;b].
()
0
0
tại x
f(x)dx = F(x )+C
∫
(1)

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
5
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Ghi chú: Thực tế ta viết một họ nguyên hàm của f(x) là
F(x) = f(x)dx
∫
mà vẫn không mất
tính tổng quát của nguyên hàm so với đònh nghóa họ nguyên hàm.
Dạng 2: Phân tích biểu thức thành tích
Dùng đònh nghóa nguyên hàm và ứng dụng cách xác đònh hằng số C qua 4 bước:
• Xem biểu thức A(x, a, b, c, ) đã cho là một đa thức một biến (giả sử biến đó là x) và
đặt f(x) = A(x, a, b, c, ).
• Tính f’(x) và đưa nó về dạng thừa số.
• Tính f(x) là một nguyên hàm của f’(x).
• Tìm hằng số C bằng cách thay x = x
0
là giá trò cụ thể nào đó vào nguyên hàm ở trên,
lúc đó xuất hiện các nhân tử và ta kết thúc bài toán bằng cách đặt nhân tử chung.
Ghi chú: Hằng số C ở bước 4 không phụ thuộc vào x nên viết C = g(a; b; c ).
Dạng 3: Tính tổng hữu hạn
B

B
1
: Xét một tổng f(x) có nguyên hàm là tổng liên tiếp các hạng tử của một cấp số nhân mà
số hạng đầu là a
1
, có n hạng tử và công bội q thì:
n
1
1-q
F(x) = a
1-q
.
B
B
2
: So sánh f(x) = F’(x) ta được tổng cần tìm.


VẤN ĐỀ 5: THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ:
f(x)dx = f[ (t)] '(t)dtϕϕ
∫∫
∫
. Với x = ϕ(t)
f[ (x)] '(x)dx = f(t)dtϕϕ
∫
. Với t = ϕ(x) là biến mới.

A. BIẾN ĐỔI NGHỊCH ĐẶT t = ϕ(x)

DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI

1.
f(ax + b)dx
∫
Đặt t = ax + b ⇒ dt = dx
2.
n+1 n
f(x )x dx
∫
Đặt t = x
n+1
⇒ dt = (n + 1)x
n
dx
3.
dx
f( x)
x
∫
Đặt
dx
t= x dt=
2x
⇒

4.
f(cosx)sinxdx
∫
Đặt t = cosx ⇒ dt = -sinxdx
5.
f(sinx)cosxdx

∫
Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx
6.
2
dx
f(tgx)
cos x
∫
Đặt t = tgx ⇒
2
dx
dt =
cos x

7.
2
dx
f(cotgx)
sin x
∫
Đặt t = cotgx ⇒
2
-dx
dt =
sin x

8.
xx
f(e )e dx
∫

Đặt t = e
x
⇒ dt = e
x
dx
9.
dx
f(lnx)
x
∫
Đặt t = lnx ⇒
dx
dt =
x


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
6
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
10.
2
2
1
f(arc tgx) dx
1+x
1
f(arc cotgx) dx
1+x
⎡
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
∫

Đặt
2
t=arc tgx
dx
dt = ±
t=arc cotgx 1+x
⎡
⇒
⎢
⎣

11.
2
2
1
f(arc sinx) dx
1-x
1
f(arc cosx) dx
1-x
⎡
⎢
⎢
⎢

⎢
⎣
∫

Đặt
2
t=arc sinx
dx
dt = ±
t=arc cosx
1+x
⎡
⇒
⎢
⎣

12.
2
11
fx± 1 dx
xx
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
∫
∓
Đặt
2
11
t=x± dt= 1 dx

xx
⎛⎞
⇒
⎜⎟
⎝⎠
∓


B. ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN ĐẶT x = ϕ(t)

DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI
1.
()
22
fx,x+a dx
∫

2
a
x=atgt dx= dt
cos t
⇒

2.
()
22
fx,a-x dx
∫

x=asint dx=acostdt⇒

3.
()
22
fx,x-a dx
∫

2
aasi
x= dx= dt
cost cos t
⇒
nt


VẤN ĐỀ 6: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN RIÊNG PHẦN:
udv = uv- vdu
∫∫
⎥
⎥
(*) hay
uv'dx = uv- u'vdx
∫∫
Các dạng tích phân từng phần:

Dạng 1:
n
(ax+b)
sin(ax + b)
cos(ax+ b)

P(x) dx
e

⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎢
⎢⎥
⎣⎦
∫
. Trong đó P
n
(x) là đa thức bậc n.
Ta đặt u = P
n
(x) và
(ax+b)
sin(ax + b)
cos(ax+b)
dv = dx
e

⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Chỉ số (n): cho ta số lần tính tích phân từng phân phải thực hiện cho dạng này.
Dạng 2:

n
ln(ax+ b)
arcsin(ax+b);arccos(ax+ b)
I= P(x) dx
arctg(ax+b);arccotg(ax+b)

⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
7
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Ta đặt và dv = P
ln(ax+b)
arcsin(ax+b);arccos(ax+b)
u=
arctg(ax+b);arccotg(ax+b)

⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

n
(x)dx



TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 1: ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH:

I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG HỖN TUYẾN:
1. Đònh nghóa:

y
x
a
b
A
A'
B
B'
y=f(x)
O
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm
xác đònh trên đoạn [a;b]. Khi đó hình
phẳng giới hạn bở trục hoành, đường
cong y = f(x) và các đường thẳng có
phươngtrình x = a vµ x = b được gọi là
hình thang cong (Hình thang hỗn
tuyến AA’B’B).

2. Diện tích hình thang cong:

Đònh lý: Nếu hàm số y = f(x) xác đònh, liên tục, không âm trên đoạn [a;b], thì diện tích S
của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a vµ
x = b có giá trò là: . Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên
[a;b].
b
a
S=F(b)-F(a)=S

II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH:
III.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] chia đoạn [a;b] thành n phần tùy ý bởi các điểm
chia: a = x
0
< x
1
< x
2
< < x
n
= b. Trên mỗi đoạn [x
k-1
;x
k
] với 1 ≤ k ≤ n lấy một điểm ξ
k
bất
kỳ. Ký hiệu: Δx

k
= x
k
- x
k-1
. Nghóa là: Δx
1
= x
1
- x
0
, Δx
2
= x
2
- x
1
,
Lập tổng Được gọi là tổng tích phân của hàm số
y = f(x) trên [a;b].
n
kk 11 22 n
k1
f( ) x f( ) x f( ) x f( ) x
=
ξΔ =ξΔ + ξΔ + + ξΔ
∑
n

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

8
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Ta gọi tích phân xác đònh của hàm số y = f(x) trên [a;b] là giới hạn (nếu có) của tổng tích
phân khi maxΔx
k
→ 0.
Giới hạn này không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a;b] và việc chọn ξ
k
. Ký hiệu:

k
b
n
kk
0
k1
a
f(x)dx lim f( ) x
Δ→
=
=ξ
∑
∫
Δ
Lúc đó ta bảo hàm f khả tích theo Riemann hay khả tích.
Chú ý:
• a được gọi là cận dưới và b được gọi là cận trên.
• Ý nghóa hình học của tích phân xác đònh: Nếu f(x) > 0 trên [a;b] thì chính là
diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường:y = f(x), trục hoành, x = a, và
b

a
f(x)dx
∫
x = b.
• Từ trên ta có công thức Niutơn - Lépnit (Newton -
Leibnitz):
b
b
a
a
f(x)dx = F(b)- F(a) = F(x)
∫
. Trong đó: F’(x) = f(x).

VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA (PHÂN HOẠCH) VÀ SỰ KHẢ
TÍCH:
Dạng 1: Tính tích phân
∫
bằng phép phân hoạch và bài toán ngược
b
a
dx)x(f
1) Điều kiện cần: Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] thì nó bò chặn trên đoạn
[a;b] đó.
2) Điều kiện đủ: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó khả tích trên đoạn
[a;b] đó.
• Khi tính tích phân bằng đònh nghóa cần thực hiện:
B
B
1

: Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia
k
b-a
x=a+k
n
. Với k = 0, 1, 2,
, n.
B
B
2
: Chọn ξ
k
bằng x
k
(hoặc x
k-1
) trong đoạn [x
k-1
,x
k
].
B
B
k
3
: Lập tổng tích phân
n
nkk-1
k=1
S = (x -x ).f(x )

∑
B
B
4
: Ta có
b
n
n
a
xf(x)dx limS
→∞
=
∫
Cần nhớ một số kết quả:
1)
n(n+1)
1+ 2 +3 + + n =
2

2)
222 2
n(n+1)(2n+1)
1 + 2 +3 + +n =
6

3)
2
333 3
n(n+1)
1 + 2 +3 + + n =

2
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
9
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
4) x ∈ [a;b], hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và F’(x) = f(x).
∫
=
b
a
dt).t(f)x(F

Dạng 2: Nhận biết hàm khả tích Riemann

ĐL
1
: (Điều kiện cần: suy ra từ đònh nghóa )
∫
b
a
dx)x(f
Mọi hàm f không bò chặn trên đoạn [a;b] thì f không khả tích trên đoạn [a;b] đó.
ĐL

2
: (Đk đủ) Mọi hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó.
ĐL
3
:Mọi hàm f bò chặn trên đoạn [a;b] và gián đoạn tại hữu hạn các điểm
x
0
∈ [a;b] mà (*) thì f vẫn khả tích trên đoạn [a;b] đó.
0
0
xx
xx
lim f(x) R
−
+
⎧
⎪
→
⎨
→
⎪
⎩
∈
Cần nhớ: f liên tục trên đoạn [a;b] thì f bò chặn trên đoạn [a;b].
ĐL
4
:Mọi hàm f bò chặn và đơn điệu trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó.
Dạng 3: Sử dụng đúng đắn công thức Newton – Leibnitz. Công thức Newton - Leibnitz:
khi nó thỏa đồng thời hai điều kiện:
b

a
f(x)dx = F(b)- F(a)
∫
• Hàm dưới dấu tích phân f(x) liên tục trên [a;b].
• Hàm nguyên hàm của F(x) cũng liên tục trên [a;b].
Ghi chú:
Trong một số trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng
y = f(x)
khả tích trên đoạn [a;b]
ta chưa áp dụng ngay công thức Newton - Leibnitz trên [a;b] mà cần xử lý cận trung gian c
∈ (a;b) để xét dấu f(x) và dễ dàng tìm F(x) chẳng hạn:
bcb
aac
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
∫∫∫
(*) .(*) còn sử dụng khi x
0
= c là điểm gián đoạn của f(x) và
F(x) trên đoạn [a;b] (tích phân suy rộng).

Thuật đổi biến số:
Khi đã quan sát và thấy hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]:
b
a
f(x)dx
∫
• PP
1
- ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN: là sử dụng công thức
()

()
f[ (x)] '(x)dx f(t)dt
βϕ
αϕ
ϕϕ =
∫∫
β
α
)
)
• Với các ghi nhớ:
) Đặt t = ϕ(x); với t là biến đổi số mới.
) Trong đó: và t = ϕ(x) là hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm
trên [α;β].
xt(
xt(
=α⇒ =ϕα
⎧
⎨
=β⇒ =ϕβ
⎩
• PP
2
- ĐỔI BIẾN SỐ NGHỊCH: là sử dụng công thức (2)
1
1
(b)
b
a
(a)

f(x)dx f[ (t)] '(t)dt
−
−
ϕ
ϕ
=ϕϕ
∫∫


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
10
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Với các ghi nhớ:
) Đặt x = ϕ(t) hay t = ϕ-1(x); với t là biến mới.
) Trong đó: và t làm hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm trên
[a;b].
1
1
xa t (a)
xb t (b)
−
−
⎧
=⇒=ϕ
⎪
⎨
=⇒=ϕ
⎪
⎩
Ghi chú: Tính đơn điệu của hàm t = ϕ(x) < hay t = ϕ

-1
(x) > là quan trọng như tính liên tục và
khả đạo hàm của t trên [α;β] < hay [a;b] >.
Chẳng hạn trong (1), ta giả sử t = ϕ(x) không đơn điệu trên [α;β] thì sẽ có trường hợp
ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β mà . Lúc đó (1) không còn đúng!
(1)
(1)
VP 0
VT 0
=
⎧
⎪
⎨
≠
⎪
⎩

VẤN ĐỀ 2 : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC

Dạng 1: Các dạng tích phân hàm phân thức cơ bản thứ nhất

Tính tích phân
b
1
2
a
dx
I(
xx
=α

α+β+γ
∫
0)≠

Ta làm 2 bước:
B
B
1
: Kiểm tra tính khả tích của
2
dx
f(x)
xx
=
α
+β +γ
trên [a;b].
B
B
2
: Đưa về dạng chuẩn để sử dụng một trong ba công thức sau với và sau khi
đặt
2
4Δ=β − αγ
1
α
ra ngoài dấu tích phân:
1)
b
b

22
a
a
dX 1 X
= arctg
X+A A A
⎡
⎢
⎣⎦
∫
⎤
⎥
Nếu Δ < 0
2)
b
b
22
a
a
dX 1 X-A
=ln
X-A 2A X+A
⎡
⎢
⎣⎦
∫
⎤
⎥
Nếu Δ > 0
3)

b
b
2
a
a
dX 1
=-
XX
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
∫
Nếu Δ = 0
b
b
a
a
dx 1
=lnax+b
ax+b a
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
∫


Dạng 2: Các dạng tích phân hàm phân thức thứ hai
Tính tích phân
b
2

2
a
mx n
Idx(0
xx
+
=α
α+β+γ
∫
;m0)≠≠

Ta làm 2 bước:
B
B
1
: Kiểm tra tính khả tích của hàm dưới dấu tích phân và đưa tích phân về dạng:
bb
2
22
aa
m2x m2n dx
Idx
2xx 2 xx
α+β β −α
⎛⎞
=−
⎜⎟
α α +β +γ α α +β +γ
⎝⎠
∫∫