(Luận văn thạc sĩ) một số chủ đề quan trọng trong lý thuyết các lớp hàm muckenhoupt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (420.73 KB, 79 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Phan Thanh Hải
MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG
LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Phan Thanh Hải
MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG
LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT
Chuyên
: Toán Giải tích
ngành Mã số
:60460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA
HỌC:
TS. TRẦN TRÍ DŨNG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là luận văn tốt nghiệp do chính tôi thực hiện dưới sự
hướng dẫn khoa học của TS. Trần Trí Dũng. Các nội dung nghiên cứu và kết quả
tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham
khảo.
TP.HCM, tháng 9 năm 2019
Tác giả
Phan Thanh Hải
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư
phạm TP. Hồ Chí Minh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối
với TS. Trần Trí Dũng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn tận tình từng
bước để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn các Thầy cô trong Khoa Toán-Tin, trường
Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Phòng Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm
TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả hoàn thành đề tài trong quá
trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và tất cả bạn bè,
đồng nghiệp trong công ty đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi về thời
gian và công việc cho tác giả trong thời gian học tập và thực hiện luận văn của
mình.
Trân trọng.
TP.HCM, tháng 9 năm 2019
Tác giả
Phan Thanh Hải
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các ký hiệu
LỜI MỞ ĐẦU..................................................................................................1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ............................................................3
1.1. Hàm phân bố và các chuẩn.....................................................................3
1.2. Bất đẳng thức Jensen.............................................................................. 3
1.3. Bổ đề phủ................................................................................................4
1.4. Nội suy....................................................................................................5
1.5. Hội tụ từng điểm từ các bất đẳng thức dạng yếu....................................6
1.6. Bất đẳng thức Kolmogorov.................................................................... 6
Chương 2. TOÁN TỬ CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD VÀ CÁC
LỚP HÀM TRỌNG........................................................................................8
2.1. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood.........................................................8
2.2. Bất đẳng thức Fefferman – Stein..........................................................11
2.3. Các hàm trọng Muckenhoupt:.............................................................. 13
2.4. Toán tử cực đại trung tâm.....................................................................20
2.5. Các hàm trọng và bất đẳng thức dạng mạnh.........................................21
2.6. Toán tử cực đại trên các cơ sở..............................................................23
2.6.1. Cơ sở các hình lập phương nhị nguyên..........................................23
2.6.2. Cơ sở các hình chữ nhật.................................................................25
2.6.3. Cơ sở các hình chữ nhật trong tất cả các hướng............................ 26
26
2.6.4. Cơ sở các khoảng
,..................................................................................................................................................................................................................................................
2.6.5. Cơ sở các hình lập phương Carleson..............................................26
2.7. Những tính chất đầu tiên của các lớp hàm trọng..................................27
2.8. Xây dựng các lớp hàm trọng.................................................................32
2.8.1. Cách xây dựng của Coifman..........................................................32
2.8.2. Thuật toán Rubio de Francia:.........................................................34
2.9. Phân tích nhân tử.................................................................................. 36
Chương 3.
LỚP HÀM HÖLDER NGƯỢC VÀ LỚP HÀM
TRỌNG
∞
42
3.1. Bất đẳng thức Hưlder ngược cho các lớp hàm trọng............................42
3.2. Bở đề Gehring.......................................................................................48
3.3. Đặc trưng của các lớp hàm trọng..........................................................49
51
3.4. Lớp hàm trọng ∞................................................................................................................................................................................................................................................................
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...................................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................64
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
( )là không gian các hàm lũy thừa bậc khả tích ứng với ; ‖∙‖
,
là chuẩn; ( ) là độ đo của ứng với .
( )={ ∶ ∫ℝ | |
<+∞}.
Khi là độ đo Lebesgue ta viết gọn là , ‖∙‖ và | |. Tương tự, ta sẽ không đề cập đến cho tích phân tương ứng với độ đo Lebesgue.
()=
()
, ta viết
( ), ‖∙‖
( )=∫
,
Khi
′
()
.
và
()
( )={ ∶ ∫ℝ | |
là mũ liên hợp của :
<+∞}.
1
1
1
′
+
∞
= 1 (với
∈ 1(ℝ ):‖ ‖=∫
| ( )|
= 0).
.
ℝ
1
( ):‖ ‖=‖ ‖ , =(∫ | |
∈
).
ℝ
1
∈ ( ):‖ ‖=‖ ‖
).
Cho một hình lập phương , ( ) là độ dài cạnh của nó; là kí hiệu cho hình lập phương có cùng tâm với và ( ) = ( ).
( , ) là quả cầu tâm với bán kính.
1− ′
, tức là
Cho một hàm trọng , xuyên suốt luận văn này ta dùng kí hiệuđể chỉ
, giá trị của sẽ được quy định trong ngữ cảnh.
Cho một hàm trọng và một hình lập phương ,= là trung bình của
=
1− ′
|
trên .
=(∫ℝ | | ( )
là hàm đặc trưng của tập A.
,
ess inf ( ) = sup{ ∶ |{ ∈
: ( ) < }| = 0}.
( )
|
1
LỜI MỞ ĐẦU
1.
Lý do chọn đề tài
Giải tích điều hòa hiện đại ngày nay là một nhánh quan trọng của Toán học và
có nguồn gốc từ lý thuyết chuỗi Fourier và tích phân Fourier cổ điển. Trong khoảng
60 năm gần đây, giải tích điều hòa hiện đại phát triển rất mạnh mẽ và có nhiều ứng
dụng đa dạng trong các lĩnh vực như: phương trình đạo hàm riêng, xác suất thống
kê, xử lí tín hiệu.
Lý thuyết về các toán tử tích phân cực đại, là một trong những đối tượng
nghiên cứu quan trọng của giải tích điều hòa hiện đại và lý thuyết phương trình đạo
hàm riêng, trong đó toán tử cực đại Hardy – Littlewood là một trong những ví dụ.
Các đặc điểm đầy đủ của các hàm trọng w sao cho toán tử cực đại Hardy –
Littlewood bị chặn trên ( ) được xây dựng bởi B. Muckenhoupt và xuất bản năm
1972. Kết quả của Muckenhoupt trở thành một bước ngoặc trong lý thuyết bất đẳng
thức trọng bởi vì hầu hết các kết quả được biết trước đó cho các toán tử cổ điển chỉ
đạt được cho một số các hàm trọng đặc biệt (như hàm trọng lũy thừa). Trong lý
thuyết các lớp hàm Muckenhoupt thì các lớp hàm và các biến thể của nó là quan
trọng nhất. Tầm quan trọng của lớp hàm được nhận rõ sau công trình của
Muckenhoupt vì dùng lớp hàm này ta có thể xây dựng được các bất đẳng thức trọng
cho một số toán tử quan trọng khác trong giải tích Fourier tương tự như cách xây
dựng các bất đẳng thức trọng cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood.
Với tầm quan trọng của lớp hàm trọng , tôi tin rằng việc nghiên cứu lớp hàm
này là một chủ đề cần thiết và thú vị. Luận văn sẽ trình bày lý thuyết về lớp hàm
dùng để chứng minh các bất đẳng thức dạng yếu và dạng mạnh cho toán tử cực đại
Hardy – Littlewood và các toán tử cực đại khác. Các tính chất chính của các lớp
được nghiên cứu trong luận văn. Luận văn cũng đề cập các toán tử cực đại và các
hàm trọng được định nghĩa từ các cơ sở khác, đôi khi các tính chất của các lớp
thông thường mở rộng ngay lập tức tới các cơ sở này theo cách thiết lập tổng quát,
nhưng cũng có những tính chất phổ biến không đúng với một vài cơ sở.
2
2.
Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học,
đồng thời định hướng một số hướng nghiên cứu về sau, thuộc chuyên ngành Toán
giải tích. Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt được mục tiêu: tìm hiểu khái
niệm và tính bị chặn của toán tử cực đại Hardy – Littlewood và một số vấn đề quan
trọng trong lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt.
3.
Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này, tác giả sẽ thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm
hiểu, tổng hợp và trình bày một số kiến thức cơ bản về toán tử cực đại HardyLittlewood, các tính chất của hàm trọng Muckenhoupt.
Công việc đòi hỏi tác giả phải biết vận dụng các kiến thức chuyên sâu của giải
tích Fourier, giải tích hàm, độ đo - tích phân và giải tích thực.
4. Nội dung
Nội dung luận văn gồm ba chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương này trình bày một số khái niệm và kiến thức cần sử dụng cho các phần
sau của luận văn như Lý thuyết độ đo tích phân, Giải tích hàm, Giải tích thực.
Chương 2. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood và các lớp hàm trọng
.
Trong chương này nghiên cứu về toán tử cực đại Hardy-Littlewood và tính bị chặn của nó, mô tả đặc điểm của các hàm
trọng w mà toán tử cực đại Hardy – Littlewood bị chặn trên ( ) bằng điều kiện , tính chất của các lớp hàm trọng , cách xây dựng
các lớp hàm trọng từ các lớp hàm trọng 1 và phép phân tích nhân tử từ một hàm trọng thuộc lớp theo hai hàm trọng tḥc lớp 1.
Chương 3. Lớp hàm Hưlder ngược và lớp hàm trọng
∞.
Chương này dành cho việc nghiên cứu bất đẳng thức Hölder ngược, lớp hàm
Hölder ngược, lớp hàm trọng
∞ và
các điều kiện tương đương.
3
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm phân bố và các chuẩn
bố của
Cho ( , ) là một không gian đo được và
: ⟶ ℂ là một hàm đo được. Hàm được định nghĩa cho ∈ (0, +∞) bởi ({ ∈ ∶ | ( )| > }) là hàm phân
(liên kết với
).
Ta có thể sử dụng hàm phân bố để đại diện cho chuẩn
Bổ đề 1.1:
∫
Cho
∶ [0, ∞) ⟶ [0, ∞) khả vi, tăng và
∞
(| ( )|)
′
=∫
( ) của một hàm.
(0) = 0. Khi đó:
( ) ({ ∈ ∶ | ( )|> })
.
0
Để chứng minh kết quả này, cần lưu ý rằng vế trái tương đương với:
| ( )|
′
∫∫
()
0
và sau đó thay đổi thứ tự lấy tích phân.
Trong trường hợp đặc biệt,
với
()=
> 0, ta có:
∞
∫| ( )| = ∫
−1
({ ∈ ∶ | ( )|> })
.
(1.1)
0
Bất đẳng thức Chebyshev:
({ ∶|()|>})≤
|()|
∫
().
{ : | ( )|> }
1.2. Bất đẳng thức Jensen
Bổ đề 1.2: (xem [ ])
Cho là một độ đo xác suất trên (nghĩa là ( ) = 1) và là một hàm dương, khả tích trên . Khi đó hàm:
ℎ( ) = (∫
)
1/
là tăng trong (0, ∞) và
4
lim ℎ( ) = exp (∫ log
),
+
trong đó được hiểu là 0.
Bổ đề trên cho ta kết quả sau đây.
→0
−∞
Bất đẳng thức Jensen:
exp (∫ log
) ≤ (∫
)
.
1/
1.3. Bổ đề phủ
Trong trường hợp một chiều ta có một bổ đề phủ đơn giản.
Bổ đề 1.3: (xem [14])
Cho { ∶ = 1, . . . , } là một họ hữu hạn các khoảng trong ℝ. Khi đó tồn tại một họ con mà hợp của
chúng bằng với hợp của các khoảng ban đầu sao cho không có điểm nào thuộc về nhiều hơn hai khoảng trong
họ con được chọn.
Kết quả không đúng trong trường hợp nhiều chiều. Thay vào đó, ta có bổ đề phủ Vitali sau đây mà
một dạng của bổ đề này được sử dụng bởi Wiener trong [14] để giải quyết bất đẳng thức yếu (1,1) cho toán
tử cực đại.
Bổ đề 1.4: (xem [16], trang 102)
1, . . . ,
Cho { ∶ ∈ } là một họ hữu hạn các hình lập phương trong ℝ . Khi đó ta có thể trích từ đó một họ con {
} rời nhau các hình lập phương sao cho:
⋃
∈
∶ =
⊂⋃3 .
=1
Với Bổ đề 1.4 quá trình lựa chọn lặp phụ thuộc vào việc lấy hình lập phương
lớn nhất có thể không giao với các hình lập phương được chọn trước đó. Họ các
hình lập phương có được trong Bổ đề 1.4 được hình thành bởi các hình lập phương
rời nhau, nhưng ta cần mở rộng chúng để phủ họ ban đầu. Bổ đề phủ Besicovich
gần hơn với Bổ đề phủ một chiều 1.3, nhưng nó cần một giả thiết đặc biệt để bắt
5
đầu hình thành họ các hình lập phương.
Bổ đề 1.5: (xem [12])
Tồn tại một hằng số
chỉ phụ thuộc vào
với tính chất sau:
Cho là một tập con bị chặn của ℝ . Giả sử rằng với mỗi ∈ ta có một hình lập phương có tâm là . Khi đó có thể chọn từ
các hình lập phương một họ (có thể hữu hạn) các hình lập phương phủ sao cho với mỗi điểm ∈ thì thuộc tối đa hình lập phương
trong họ được chọn.
1.4. Nội suy
Ta phát biểu các định lý nội suy thường được sử dụng, định lý Marcinkiewicz
và định lý Riesz-Thorin. Định lý thứ hai được áp dụng cho các toán tử tuyến tính,
định lý thứ nhất được áp dụng cho các toán tử dưới tuyến tính. Ta nhắc lại rằng một
toán tử là dưới tuyến tính nếu:
| (1+ 2)( )|≤| (1)( )|+| ( 2)( )|,
)( )|=| || ( )( )|,
|(
∈ℂ.
Định lý 1.6: (Định lý nội suy Marcinkiewicz)
Cho ( , ) và ( , ) là các không gian độ đo. Cho 1 ≤ 0 < 1 ≤ ∞. Giả sử toán tử dưới tuyến tính được định nghĩa trên 0 ( , ) + 1 ( , )
thỏa các bất đẳng thức dạng yếu:
1
sup [ ({ ∈ ∶ | ( )| > })] ≤
‖‖
, = 0,1.
,
>0
(Nếu
= ∞ , ta giả sử rằng bị chặn từ
∞
( , ) đến
∞
( , ).)
1
Khi đó bị chặn từ
( , ) đến ( , ) với
< < .
0
1
Định lý 1.7: (Định lý nội suy Riesz-Thorin)
Cho 1 ≤
0, 1
≤ ∞, 1 ≤
0, 1
≤ ∞ và
cho 0 < < 1. Ta định nghĩa và
bởi:
1
1−
1
=
+
1−
=
+
∙
,
0
1
0
1
Cho là một toán tử tuyến tính trên 0( ) + 1 ( ) sao cho:
‖ ‖
Khi đó:
, ≤ ‖‖
,
với
∈ ( ), =0,1.
6
‖‖
≤
,
1−
0
1
‖‖
,
với ∈ ( ). Chứng minh có thể tìm thấy trong
[9]. Chú ý 1.8:
Yêu cầu tính chất tuyến tính của định lý nội suy Riesz-Thorin đôi khi có thể tránh
bằng cách sử dụng khái niệm "tuyến tính hóa" của toán tử. Một toán tử được định nghĩa
trong một không gian Banach là khả tuyến tính nếu với mỗi ∈ tồn tại một toán tử tuyến
tính phụ thuộc vào sao cho:
|
( )|, với mọi
( )| ≤ |
, và |
∈
( )| = |
( )|.
Nếu thỏa mãn giả thiết của định lý nội suy Riesz-Thorin, thì cũng thỏa bởi bất đẳng thức thứ
nhất. Định lý nội suy Riesz-Thorin được áp dụng cho toán tử tuyến tính , và kết luận đúng cho . Trong
thực hành ta thậm chí không cần | ( )| = | ( )|, chỉ cần có | ( )| ≥ | ( )| là đủ, với phụ thuộc vào .
1.5. Hội tụ từng điểm từ các bất đẳng thức dạng yếu Định lý 1.9: (xem [ ])
Cho { } là một họ các toán tử tuyến tính trên
∗
Nếu là dạng yếu (
là đóng trong
∗
( ) = sup|
( )|.
( , ) và định nghĩa :
, ) thì tập hợp
{ ∈
( , ) ∶ lim
()= ()ℎ
}
→ 0
( , ).
1.6. Bất đẳng thức Kolmogorov
(1.2)
(1.3)
Bổ đề 1.10:
Cho
là một toán tử thỏa mãn bất đẳng thức dạng yếu:
sup
({ ∶ |
>0
∫|
Cho 0 <
|
Chứng minh. Theo (1.1) và (1.2) ta có
( )| > }) ≤ ‖ ‖1, .
< 1, và một tập − đo đượco đo đượcược hữu hạn . Khi đó:
≤
()
1−
1−
.
‖‖
1,
7
∞
∫|
|
∫
=
−1
({ ∶|
()|>})
∞
0
≤ ∫
−1
‖‖
min ( ( ),
)
1,
0
∞
‖ ‖1, / ( )
=
−1
∫
() +
−2
∫
.
‖‖
1,
0
‖ ‖1, / ( )
Từ đây ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. □
Chú ý 1.11:
M.
> },
Cotlar quan sát thấy rằng mệnh đề đảo cũng đúng: nếu (1.3) đúng với 0 < < 1 nào đó, thì khi đó (1.2) đúng. Thật vậy, nếu = { ∶ | ( )|
(
thì bằng cách sử dụng (1.3) ta có bất đẳng thức dạng yếu.
)≤ ∫
|
|
,
8
Chương 2. TOÁN TỬ CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD VÀ
CÁC LỚP HÀM TRỌNG
2.1. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood
Ta định nghĩa toán tử cực đại Hardy-Littlewood cho một hàm khả tích địa phương trên ℝ như sau:
1
( ) = sup
∈
| | ∫| |,
trong đó cận trên đúng được lấy trên tất cả những hình lập phương trong ℝ chứa .
Nếu thay vì lấy cận trên đúng trên tất cả các hình lập phương chứa , ta chỉ lấy cận
trên đúng cho các hình lập phương có tâm là , thì ta gọi toán tử thu được là toán tử
cực đại trung tâm, ký hiệu là . Hai cách định nghĩa toán tử ở trên là tương đương với
nhau khi xét đến tính bị chặn, bởi vì ta có bất đẳng thức từng điểm sau:
()≤
()≤2 ().
Một kiểu định nghĩa khác sử dụng các quả cầu Euclide thay vì các hình lập
phương. Xây dựng dựa vào các quả cầu cũng có thể phân thành trung tâm hay
không trung tâm tương tự như dùng hình lập phương, và các toán tử thu được đều
tương đương với các cách xây dựng dùng hình lập phương.
Toán tử cực đại Hardy-Littlewood được giới thiệu bởi G. H. Hardy và J. E.
Littlewood năm 1930 trong trường hợp một chiều (thực ra là trong (0, +∞)) và được mở
rộng lên trường hợp nhiều chiều bởi N. Wiener năm 1939. Các tính chất bị chặn cơ bản của
đã được đề cập đến trong các tài liệu đó:
Với 1 < ≤ ∞,
thuộc dạng yếu (1,1), nghĩa là,
là bị chặn trên , nghĩa là, ‖‖ ≤ ‖ ‖ ;
sup |{ ∈ ℝ ∶ ( ) > }| ≤ ‖ ‖ .
1
>0
1
Tính bị chặn trong của toán tử cực đại Hardy-Littlewood không thỏa và bất đẳng thức dạng yếu (2.2) là sự thay thế tốt. Dễ dàng kiểm tra rằng toán tử cực
1
−
đại Hardy-Littlewood có thể không thỏa tính bị chặn trong trên toàn cục, bởi vì ( ) ≥ | | với lớn. Toán tử này cũng có thể không thỏa địa phương: nếu
9
()=
−1
−2
(log )
(0,1/2]
không khả tích gần gốc.
trong ℝ, thì
Chứng minh thông thường của dạng yếu (1,1) sử dụng bổ đề phủ thích hợp.
(i)
Định lý 2.1: (xem [5, trang 7])
> 0 ta có:
Cho
1
∈ (ℝ ). Khi đó tồn tại
> 0 chỉ phụ thuộc vào sao cho với mọi
|{ ∶ ()>}|≤
∫
| ( )|
.
(2.3)
{ : | ( )|> /2}
(ii)
Cho 1 <
≤ ∞. Khi đó tồn tại
và
> 0 chỉ phụ thuộc vào
‖
Chứng minh. Giả sử
Đặt
‖≤‖‖.
là một hàm không âm trong
sao cho:
1
.
( ) > }.
={ ∶
1
Nếu ∈ thì ( ) > . Suy ra: sup
∫ () > (()>0).
||
∈
Khi đo đượcó tồn tại một hình lập phương chứa sao cho:
1
∫ () > .
(2.4)
||
1
Để dễ áp dụng có thể viết (2.4) dưới dạng:
1<
∫ ()
.| |
.
Nếu là một tập con compact của thì ta có thể phủ với một họ hữu hạn các hình lập phương thỏa mãn (2.4). Áp
dụng bổ đề phủ Vitali (Bổ đề 1.4) ta có thể chọn ra một tập hữu hạn các hình lập phương { } rời nhau có kích thước gấp
3 lần phủ . Khi đó:
3
3
∫() =
| |≤∑|3 |=∑3 | |≤∑
=1
=1
=1
∫
()
⋃
=1
≤
3
∫ ()
.
ℝ
Lấy cận trên đúng trên các tập con compact
chứa trong
, ta có bất đẳng
10
thức dạng yếu (2.2). Để đạt được bất đẳng thức cải tiến (2.3) ta tiến hành như sau. Phân tích =
trong trường hợp còn lại.
1
+
2
, trong đó 1( ) = ( ) nếu ( ) ≤
/2, và 1( ) = 0
Ta có theo định nghĩa:
1
( ) = sup
1
∫| ( )|
= sup
∫| ()+ ()| ≤
1
||
∈
∈
1
1
sup
∫| ()|
+ sup
∫| ()| =
1
∈
∈
{∶
1(
( )> }⊂{ ∶
∈{ ∶
/2 hoặc
2(
()+ ()
2
||
Suy ra:
(Vì nếu
2
||
)> /2}∪{ ∶
()>}⇒
2(
()>
) > /2 ⇒
∈{ ∶
1(
1
2
||
1(
⇒
)> /2}∪{ ∶
2(
)+
)> /2}
2(
)> ⇒
1(
)>
)> /2}).
Tập hợp đầu tiên bên vế phải là tập rỗng
́
1
= ( )≤ /2 ⟹
()
(nêu ( ) ≤
1(
) = sup
∫|
( )|
1
/2 ⟹ 1
∈|
|
1
≤ sup
∈
Do đó: { ∶(
)>}⊂{ ∶
sup |{ ∈ ℝ ∶
2(
|| ∫
2
2
=
).
) > /2}. Suy ra:
∶ ()>
( ) > }| ≤ sup |{ ∈ ℝ
}|.
2
>0
2
>0
Áp dụng bất đẳng thức dạng yếu (2.2) ta được:
sup |{ ∈ ℝ ∶ ( ) >
∫|
/2}| ≤ ‖ ‖ =
2
2
1
( )|
2
>0
ℝ
= (
|2( )| +
∫
{ : | ( )|≤ /2}
=
∫
| 2( )|
{ : | ( )|> /2}
|2( )|
{ : | ( )|> /2}
Suy ra:
∫
)
11
sup |{ ∈ ℝ ∶ ( ) > }| ≤
∫
| ()|
=
∫
| ( )|
2
>0
{ : | ( )|>
}
{ : | ( )|>
}
2
2
Do đó ta được (2.3).
Để có (ii) ta biểu diễn dạng− chuẩn như trong (1.1) và sử dụng (2.3):
∞
∫ () = ∫
ℝ
−1
|{ ∶ ()>}|
0
∞
≤ ∫
−1
∫
(
| ( )|
0
)
{ : | ( )|> /2}
∞
≤ ∫
1
−2
(
∫
()
)
{ : ( )> /2} 2 ( )
=
∫()
ℝ
−2
(∫
)
0
2
−1
()
−1
= ∫()(
) =
∫() .□
−1
ℝ
ℝ
Chú ý 2.2 : Phần (ii) thường đạt được bằng cách áp dụng định lý nội suy Marcinkiewicz 1.6 với (2.2) và ước lượng tầm thường
là bước đầu tiên trong chứng minh định lý nội suy.
∞
. Thật ra, (2.3)
Một hệ quả của bất đẳng thức dạng yếu là định lý khả vi Lebesgue (sử dụng
Định lý 1.9) :
1
lim
→0
∫() =()
| ( , )|
( , )
với hầu hết ∈ ℝ , trong đó ( , ) là hình lập phương có tâm là và chiều dài cạnh là 2 . Đặc biệt, ( ) ≤ ( ) hầu khắp nơi.
2.2. Bất đẳng thức Fefferman – Stein
Trong phần này ta chỉ ra làm cách nào để thêm các hàm trọng vào các chứng
.
12
minh trước để đạt được các bất đẳng thức trọng.
Định lý 2.3: (xem [5, trang 8])
Cho
là một hàm đo được không âm. Khi đó:
( )
1
( ).
({ ∶ ()>})≤ ∫|()| () ,∀ ∈
2.5
ℝ
(dạng yếu ứng với = 1)
Hơn nữa, cho 1 < < ∞ ta có: (dạng mạnh)
‖ ‖
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng là hàm không âm và
1
∈ (
) và không thuộc
,
≤ ‖‖
,
.
1
∈ (ℝ ) (vì nếu
1
, là một dãy tăng các hàm khả tích
=
, xét
(0, )
từng điểm hội tụ về ). Với ký hiệu giống như trong chứng minh trước, lấy các hình lập phương được chọn {
viết:
( )=∫ ( )
≤
∫
⋃
=1
()
} phủ tập compact , ta
≤∑ (3 )
3
=1
1
(3
≤ ∑ (3 )
.|
|3
∫ () =∑3
)1
|
∫ ()
|
=1
=1
(3
)
(3 )
3
(
(3 )
̀̀
|3
=
3
∑
∫ ()
=
∑∫ ()
|
|3 |
|3
=1
=1
3
≤
∑∫ () ()
=1
1
1
∫ ()
= |3 |
≤ sup
∈
| | ∫|()| = ()).
3
Lập luận tương tự như định lý trước (Định lý 2.1) ta có:
|
13
3
()≤
3
∑∫() () =
∫
=1
() ()
⋃
=1
≤
3
∫ ()
()
.
ℝ
Điều này cho ta (2.5). □
Như trong định lý trước đó ta chỉ có thể lấy tích phân trên tập { : | ( )| > /2} trong vế phải của (2.5). Điều này đủ để rút ra bất đẳng thức dạng
mạnh như trên.
Độ đo xuất hiện trong cả hai vế của bất đẳng thức của Định lý 2.3 là khác nhau, ( ) và ( ) . Chúng có thể được lấy như nhau đối với các
hàm thỏa mãn bất đẳng thức từng điểm ( ) ≤ ( ) hầu khắp nơi. Điều kiện này sẽ xuất hiện trong phần tiếp theo (Định nghĩa 2.5) với tên là 1.
2.3. Các hàm trọng Muckenhoupt:
Trước hết ta thấy rằng để bất đẳng thức dạng yếu đúng thì độ đo đó là liên tục
tuyệt đối theo độ đo Lebesgue.
Định lý 2.4: (xem [5, trang 9])
Cho
là một độ đo dương hữu hạn trên các tập compact. Khi đó nếu bất đẳng
thức dạng yếu:
1
sup [ ({ ∈ ℝ ∶ ( ) > })]
≤ ‖‖
(2.6)
,
>0
đúng cho bất kỳ 1 ≤
là liên tục tuyệt đối theo độ đo Lebesgue.
< ∞, thì
Chứng minh. Cho là một tập compact sao cho | | = 0 và > 0. Khi đó tồn tại một tập mở chứa sao cho ( \ ) < (xem [16]). Lấy = \ .
Do
là tập có độ đo 0 nên
( ) = 1 với
∈
. Thật vậy:
|
∩ ( \ )|
||
1
( ) = sup
1
∫| ( )|
= sup
∫= sup
\
∈ ||
≤ sup
∈ ||
||
= 1.
∈ | |
