Lý thuyết + vdmh phương trình mũ, phương trình logarit

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

LÝ THUYẾT

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

1


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1. Phương trình mũ cơ bản a x = b , ( a  0, a  1).
➢ Nếu b  0 thì phương trình ax = b  x = log a b.
➢ Nếu b  0 thì phương trình a x = b vơ nghiệm.
2. Phương trình đưa về cùng cơ số
➢ Cách giải:
f x
g x
Sử dụng tính chất a ( ) = a ( )  f ( x ) = g ( x ) ( 0  a  1) .

t = a ( )  0
g x
3. Phương pháp đặt ẩn phụ: với 0  a  1 , f  a ( )  = 0  
.


f
t
=
0
(
)


f x
➢ Đặt t = a ( ) , t  0 đưa phương trình ( 1) về dạng phương trình bậc 2: mt 2 + nt + p = 0 .

➢ Giải phương trình tìm nghiệm t và kiểm tra điều kiện t  0 .
f x
➢ Sau đó thế vào phương trình t = a ( ) tìm nghiệm x .

1
f x
f x
f x
f x
➢ Dạng 2: m.a ( ) + n.b ( ) + p = 0 , trong đó a.b = 1 . Đặt . t = a ( ) , t  0 . suy ra b ( ) = .
t

➢ Dạng 3: m.a

2 f ( x)

+ n. ( a.b )

f ( x)

+ p.b

2 f ( x)

= 0 . Chia hai vế cho b

2 f ( x)

a
và đặt  
b

f ( x)

=t 0.

4. Phương pháp logarit hóa.
 f ( x )  0
g x
➢ Dạng 1: a ( ) = f ( x )  
với 0  a  1 .
 g ( x ) = log a f ( x )

f x
g x
f x
g x
➢ Dạng 2: a ( ) = b ( )  log a a ( ) = log a b ( )  f ( x ) = g ( x ) .log a b .

5. Phương pháp hàm số
➢ Định nghĩa
➢ Hàm số f được gọi là đồng biến trên K khi và chỉ khi u, v  ( a; b ) ; u  v  f ( u )  f ( v ) .
➢ Hàm số f được gọi là nghịch biến trên ( a; b ) khi và chỉ khi

HQ MATHS – 0827.360.796 –

2f x
f x
➢ Dạng 1: Phương trình có dạng: m.a ( ) + n.a ( ) + p = 0 (1)

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

g x

u, v  ( a; b ) ; u  v  f ( u )  f ( v ) .

➢ Định lí, tính chất
➢ Định lí. Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) .

(

)

Nếu f  ( x )  0 f  ( x )  0 x  ( a; b ) và f  ( x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng
biến (nghịch biến) trên khoảng ( a; b ) .
➢ Tính chất 1. Nếu hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a; b ) thì phương trình
f ( x ) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng ( a; b ) .
HQ MATHS –

2

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

❖ Tính chất 2. Nếu phương trình f  ( x ) = 0 có một nghiệm trên khoảng ( a; b ) thì phương trình
f ( x ) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên khoảng ( a; b ) .

❖ Tính chất 3. Nếu hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a; b ) thì u, v  ( a; b ) ;
f (u) = f ( v )  u = v .

❖ Tính chất 4. Nếu hàm số f liên tục, đồng biến trên khoảng ( a; b ) và hàm số g liên tục, nghịch
biến (hoặc hàm hằng) trên khoảng ( a; b ) phương trình f ( x ) = g ( x ) có nhiều nhất một nghiệm trên
Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

khoảng ( a; b ) .
❖ Nhận xét
❖ Khi bài tốn u cầu giải phương trình f ( x ) = 0 , ta có thể chứng minh f ( x ) đơn điệu bằng cách
khảo sát hàm số, sau đó tìm nghiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất.
❖ Ta cũng có thể thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa về phương trình dạng

f ( u ) = f ( v ) (trong đó u = u ( x ) , v = v ( x ) ) hoặc f ( x ) = g ( x ) và sử dụng các tính chất đã nêu trên.

❖ Khi bài tốn u cầu giải phương trình f ( x ) = m thì số nghiệm của phương trình sẽ là số giao
điểm giữa đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = m .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

6. Phương pháp đánh giá
❖ Quy tắc 1. Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) .
❖ Bước 1: Xác định x = x0 là một nghiệm của phương trình.
 x  x0
❖ Bước 2: Chứng minh với mọi 
thì phương trình vơ nghiệm.
 x  x0

❖ Kết luận x = x0 là nghiệm duy nhất.
❖ Quy tắc 2. Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) .
 f ( x )  m , x  D
 f ( x )  m  g ( x ) , x  D .
❖ Xét trên tập xác định D ta có 
 g ( x )  m , x  D

❖ Phương trình thỏa mãn khi f ( x ) = g ( x ) = m .
❖ Áp dụng tương tự với bài toán bất phương trình f ( x )  g ( x ) .
❖ Quy tắc 3. Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.
❖ Ta có: sin x  −
 1;1 ; cos x  −
 1;1 .
❖ Điều kiện để hàm số lượng giác a cos x + b sin x = c có nghiệm là a2 + b2  c 2 .
❖ Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt.

❖ Quy tắc 4. Sử dụng tính chất của hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm của
phương trình bậc 2 …

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

3


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

VÍ DỤ MINH HỌA
VÍ DỤ 1. Giải các phương trình sau:
a) 3x
c) 2

2

−4 x+5

28
x+4
3

= 9.

b) 3x

= 16 x

2

−1

2

−3 x+8

= 9 2 x −1 .

( )

d) 28− x .58− x = 0,001. 105
2

.

e) 2 x + 2 x+1 = 3x + 3x +1 .

2

1− x

.

f) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20 .

2

−4 x+ 5

x = 1
= 9  x2 − 4 x + 5 = 2  x2 − 4 x + 3 = 0  
. Vậy S = 1; 3 .
x = 3

b) Ta có: 3x

2

−3 x+8

= 9 2 x −1  3 x

2

−3 x+8

x = 5
= 34 x −2  x2 − 3x + 8 = 4 x − 2  x2 − 7 x + 10 = 0  
x = 2

Vậy S = 2; 5 .
28
x+ 4
3

c) 2

= 16

x 2 −1

 x  −1  x  1

28
2

x + 4 = 4 x − 1    7 x + 3 = 3x2 − 3
3
 7 x + 3 = −3x 2 + 3


(

)

 x  −1  x  1

 x=3
 x = 3  x = − 2
 7 



. Vậy S = − ; 3  .
7

3
x = −
 3 


7
3

 x = 0 x = −
3
 

d) ( 2.5 )

 x = −1
2
= 10 −3.10 5−5 x  108 − x = 10 2 −5 x  8 − x2 = 2 − 5 x  
. Vậy S = −1; 6 .
x = 6

8 − x2


3
3
3
 3.2 = 4.3    =  x = log 3 . Vậy S = log 3
4
4


2
2
2
x

e) 2 + 2
x

x +1

=3 +3
x

x +1

x

x

(

) (

)

f) 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20  3.3x 5x + 4 − 5 5x + 4 = 0

(

)(

)

 5x + 4 3x+1 − 5 = 0  x = log 3 5 − 1 . Vậy S = log 3 5 − 1 .

VÍ DỤ 2. Giải phương trình sau
a) 3x

2

−4 x+5

b) 4.4 x − 9.2 x+1 + 8 = 0.

= 9.

 1 
d) 9 + 9. 

 3
x
2

c) 9 − 5.3 + 6 = 0 .
x

e) 9 x

x

2

+ x −1

− 10.3x

2

+ x−2

(

f) 7 + 4 3

+ 1 = 0.

2 x+2

−4 =0 .

) + (2 + 3 )
x

x

=6.

Lời giải
a) Đặt t = 3x ( t  0 ), khi đó phương trình 9 x − 5.3x + 6 = 0 tương đương với
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 4

3 
.
4 

HQ MATHS – 0827.360.796 –

a) Ta có: 3x

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Lời giải


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 x = log 3 2
t = 2
. Vậy S = log 3 2;1 .
t 2 − 5t + 6 = 0  

t = 3
x = 1

b) Đặt t = 2x , t  0 khi đó phương trình 4.4 x − 9.2 x+1 + 8 = 0 tương đương với
t = 4
x = 2

. Vậy S = 2; −1 .
4t − 18t + 8 = 0   1   1
t =
x2 = −1

 2
2

x

x

3
1
1
1
c) 9 − 5.3 + 6 = 0  x = 2 +    3.   = 2 +  
3
9
 3
3
x

2x

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

x

t = 1

1
Đặt t =   , t  0 . Phương trình trở thành 3t = 2 + t 2  t 2 − 3t + 2 = 0  
3
t = 2
x

x

1
Với t = 1 , ta được   = 1  x = 0
3
x

1
Với t = 2 , ta được   = 2  x = log 1 2 = − log 3 2
3
3

Vậy S = − log 3 2; 0 .

 3x + 3.

2 x+ 2

1
− 4 = 0  3x + 9.  
3

x +1

x

1
− 4 = 0  3 x + 3.   − 4 = 0
3

1
− 4 = 0  32 x − 4.3x + 3 = 0
3x

t = 1
Đặt t = 3x , t  0 . Phương trình trở thành t 2 − 4t + 3 = 0  
t = 3

Với t = 1 , ta được 3x = 1  x = 0
Với t = 3 , ta được 3x = 3  x = 1
Vậy phương trình có nghiệm x = 0 , x = 1 .
e) Đặt t = 3x

2

+ x −1

( t  0 ), khi đó phương trình 9 x

2

+ x −1

− 10.3x

2

+ x−2

+ 1 = 0 tương đương với

 x = −2
 3 x 2 + x −1 = 3
t = 3

x=1
3t 2 − 10t + 3 = 0   1   x2 + x −1 1  
. Vậy S = −1;1; 0; 2 .
3
t =
x = 0
=

 3

3
 x = −1

(

)

(

x

f) Đặt t = 2 + 3 , t  0 . Khi đó phương trình 7 + 4 3
t = 2
t2 + t − 6 = 0  
. Với t = 2  2 + 3
t = −3 ( loai )

(



Vậy S = log 2 +

(

3

)

)

x

) (
x

+ 2+ 3

)

x

= 2  x = log 2 +

(

HQ MATHS – 0827.360.796 –

x
 1 
2
9
+ 9. 
d)

 3

= 6 tương đương với

3

)

2



2 .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

5


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

VÍ DỤ 3. Giải các phương trình sau:
b) 33+ 3 x + 33−3 x + 34 + x + 34 − x = 103.

2

2

c) 9sin x + 9cos x = 6 .

d) 2 x

2

+4

=2

(

) + 2 2( x + 2 ) − 2 x + 3 + 1 .

2 x2 +1

2

2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

a) 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 0.

Lời giải
 3  x 3
  =
2x
x
x = 1
2
3
3
 2
x
x
x
a) 6.4 − 13.6 + 6.9 = 0  6   − 13   + 6 = 0    x

2
2
 x = −1

 3  = 2


 2 
3
27
81
+ 81.3 x + x = 10
3x
3
3

b) 33+ 3 x + 33− 3 x + 34 + x + 34 − x = 10 3  27.33 x +

HQ MATHS – 0827.360.796 –

1 Côsi
1

1 

1
 27.  33 x + 3 x  + 81.  3x + x  = 10 3 (1) . Đặt t = 3x + x  2 3x. x = 2
3
3
3 
3 


3


1
1
1
1
1
 t =  3x + x  = 33 x + 3.32 x. x + 3.3x. 2 x + 3 x  33 x + 3 x = t 3 − 3t
3 
3
3
3
3

3

(

)

Khi đó: (1)  27 t 3 − 3t + 81t = 10 3  t 3 =
Với t =

10 3
10
t=
2
27
3

(N)

10
1 10
 3x + x =
(2)
3
3
3

y = 3 ( N )
1 10
2
 3 y − 10 y + 3 = 0  
Đặt y = 3  0 . Khi đó ( 2 )  y + =
y = 1 N
y 3
( )

3
x

Với y = 3  3x = 3  x = 1 ; Với y =

1
1
 3x =  x = −1 . Vậy S = −1;1 .
3
3

c) 9sin x + 9cos x = 6  91−cos x + 9cos x = 6 
2

2

2

Đặt t = 9cos x , (1  t  9 ) . Khi đó: ( 1) 
2

2

9

2

9

cos2 x

+ 9 cos x − 6 = 0 (1)
2

9
+ t − 6 = 0  t 2 − 6t + 9 = 0  t = 3
t

2

Với t = 3  9cos x = 3  32cos x = 31  2cos2 x − 1 = 0  cos 2 x = 0  x =

d) 2 x
HQ MATHS –

6

2

+4

=2

(


4

+

k
,( k 
2

) + 22( x + 2) − 2 x + 3 + 1  8.2 x +1 = 22( x +1) + 4.22( x +1) − 4.2 x +1 + 1

2 x2 +1

2

2

2

2

2

2

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

)


HQ MATHS – 0827.360.796 –
Đặt t = 2 x

2

+1

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

( t  2 ) , phương trình trên tương đương với

8t = t 2 + 4t 2 − 4t + 1  t 2 − 6t − 1 = 0  t = 3 + 10 (vì t  2 ).

Từ đó suy ra 2 x

2

+1


3 + 10
 x1 = log 2
2
= 3 + 10  

 x = − log 3 + 10
2
 2
2

x

2

b) 3x.2 x = 1

c) 5x.8

x −1
x

= 500

d) 2x

2

−4

= 7 x−2

Lời giải
x

( )

x

( )

a) 35 = 53  log 3 35 = log 3 53
x

 x = log  5  ( log 3 5 )

x

x

5
 5x = 3x log 3 5    = log 3 5
3

 
3

Phương trình có một nghiệm x = log  5  ( log 3 5 ) .

 
3

(

)

b) 3x.2 x = 1  log 2 3x.2 x = log 2 1  log 2 3x + log 2 2 x = 0  x log 2 3 + x2 = 0
2

2

2

x = 0
 x ( log 2 3 + x ) = 0  
. Phương trình có hai nghiệm: x = 0 , x = − log 2 3 .
 x = − log 2 3

c) 5x.8

x −1
x

 log 2 5

= 500  5x.2
x−3

+ log 2 2

x−3
x

3

x −1
x

= 53.2 2  5x − 3.2

x−3
x

= 0  ( x − 3 ) log 2 5 +

x−3


= 1  log 2  5x − 3.2 x  = 0



x = 3
x−3
log 2 2 = 0  
x
 x = − log 5 2

HQ MATHS – 0827.360.796 –

x

a) 35 = 53

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

VÍ DỤ 4. Giải các phương trình sau:

Phương trình có hai nghiệm: x = 3 , x = − log 5 2 .
d) 2x

2

−4

= 7 x−2  log 2 2 x

2

−4

 ( x − 2 )( x + 2 − log 2 7 ) = 0

(

)

= log 2 7 x −2  x2 − 4 log 2 2 = ( x − 2 ) log 2 7

x = 2

 x = log 2 7 − 2

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

7


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Phương trình có hai nghiệm: x = 2 , x = log 2 7 − 2 .
VÍ DỤ 5. Giải các phương trình sau:
a) Giải phương trình 3x + 4 x = 5x .
b) Gọi S là tập hợp mọi nghiệm thực của phương trình 2 x
tử của S là.

2

−3 x+ 2

− 2x

2

− x−2

= 2 x − 4 . Số phần

c) Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình 6 x + ( 3 − m ) .2 x − m = 0 có nghiệm thuộc
khoảng ( 0;1) .

x

x

x

x

3 4
3  4
a) 3 + 4 = 5    +   = 1    +   − 1 = 0 (1)
5  5
5  5
x

x

x

3 4
Xét hàm số f ( x ) =   +   − 1 , x 
5  5
x

x

3
3 4
4
Ta có: f  ( x ) =   ln +   ln  0, x 
5 5
5
5

 hàm số f ( x ) nghịch biến trên

 f ( x ) = 0 có tối đa một nghiệm trên tập số thực

Mà f ( 2 ) = 0  phương trình ( 1) có nghiệm duy nhất x = 2 .
b) 2 x

2

−3 x+ 2

− 2x

2

− x−2

= 2x − 4

(1)  2

x2 − 3 x + 2

+ x 2 − 3x + 2 = 2 x

2

− x−2

+ x2 − x − 2

Xét hàm số f ( u ) = 2u + u
Ta có: f  ( u ) = 2u.ln 2 + 1  0, u 

(

) (

 Hàm số f ( u ) = 2u + u đồng biến trên

)

Do đó (1)  f x2 − 3x + 2 = f x2 − x − 2  x2 − 3x + 2 = x2 − x − 2  x = 2
Vậy S có 1 phần tử.
c) 6 x + ( 3 − m ) .2 x − m = 0  m =
Xét hàm số f ( x ) =

6 x + 3.2 x
2x + 1

12 x.ln 3 + 6 x.ln 6 + 3.2 x.ln 2
6 x + 3.2 x

f
x
=
 0, x  ( 0;1)
có
,

x

0;1
( )
( )
2
x
2x + 1
2 +1

(

)

 Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( 0;1) . Ta có bảng biến thiên:

HQ MATHS –

8

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

x

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Lời giải
x


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi 2  m  4 . Vậy m  ( 2; 4 ) .
VÍ DỤ 6. Giải các phương trình sau:
a) Giải phương trình 3x+1 + 4 x+1 = 32 x+1 − 42 x+1 .
b) Giải phương trình 2 x

2

+1

= 2− x .

c) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a  0 và a  1 , biết phương trình a x −

1

= 2cos ( bx ) có
ax

7 nghiệm phân biệt. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình:
Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

a 2 x − 2a x ( cos bx + 2 ) + 1 = 0 .

Lời giải
a) 3

x +1

+4

x +1

=3

2 x +1

+4

2 x +1

3

x +1

− 3 2 x + 1 = 4 2 x + 1 − 4 x + 1 ( 1)

Nhận xét x = 0 là nghiệm của phương trình ( 1)
x +1
2 x +1
 3 x +1 − 3 2 x +1  0
3  3
Với x  0 , ta có: x + 1  2 x + 1   x +1
do đó VT  0  VP nên
2 x +1
 4 2 x +1 − 4 x +1  0
4  4

phương trình ( 1) vơ nghiệm

phương trình ( 1) vơ nghiệm. Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất.
b) Điều kiện xác định: x  0
x2  0  x2 + 1  1  2 x

2

+1

 2 hay VT  2

x  0  − x  0  2 − x  2 hay VP  2
2 x2 +1 = 2
VT = 2

x=0
Suy ra VT  2  VP , do đó phương trình có nghiệm khi 

VP = 2
2 − x = 2

Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất.
c) Ta có a2 x − 2a x ( cos bx + 2 ) + 1 = 0  a x − 2 +

 x
1
  a2 − x

a2


2


 x
 = 4cos 2 bx   a 2 − 1
x


2
2
a









2

1

bx 
= 2  cos 2 + 1 
x
2
a



 2x 1
bx
 a − x = 2cos
2

2
bx
= 4cos 2
 x a
2
 a 2 − 1 = −2cos bx
x

2

a2

Nếu phương trình ( 1) và phương trình ( 2 ) có nghiệm chung là x0 thì 2cos
 cos

HQ MATHS – 0827.360.796 –

3x +1  32 x +1  3x +1 − 32 x +1  0
Với x  0 , ta có: x + 1  2 x + 1   x +1
do đó VT  0  VP nên
2 x +1
 4 2 x +1 − 4 x +1  0
4  4

( 1)
(2)
bx0
bx
= −2cos 0
2
2

x0
bx0
bx
1
= 0  a 2 − x = 0  x0 = 0  cos 0 = 1 (Vơ lí)
0
2
2
a2

Do đó phương trình ( 1) và phương trình ( 2 ) khơng có nghiệm chung
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

9


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Mặt khác theo giả thiết phương trình ( 1) và phương trình ( 2 ) đều có 7 nghiệm phân biệt

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Vậy phương trình đã cho có 14 nghiệm phân biệt.

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
LÝ THUYẾT

HQ MATHS –

10

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1. Phương trình logarit có dạng log a x = b ( a  0, a  1) .
➢ Nếu log a x = b  x = ab .
2. Phương trình đưa về cùng cơ số
Cho 0  a  1 . Khi đó:
•

 f ( x )  0 ( g ( x )  0 )
log a f ( x ) = log a g ( x )  
.
 f ( x ) = g ( x )

•

log a f ( x ) = g ( x )  f ( x ) = a g ( x ) (mũ hóa).

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

•

3. Phương pháp đặt ẩn phụ:
•

Phương trình có dạng P ( log a f ( x ) ) = 0 với 0  a  1

Đăt t = log a f ( x )

P ( log a f ( x ) ) = 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
P (t ) = 0
4. Phương pháp đánh giá
❖ Quy tắc 1. Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

❖ Bước 1: Xác định x = x0 là một nghiệm của phương trình.
 x  x0
❖ Bước 2: Chứng minh với mọi 
thì phương trình vơ nghiệm.
 x  x0

❖ Kết luận x = x0 là nghiệm duy nhất.
❖ Quy tắc 2. Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) .
 f ( x )  m , x  D
 f ( x )  m  g ( x ) , x  D .
❖ Xét trên tập xác định D ta có 
g
x

m
,

x

D
(
)


❖ Phương trình thỏa mãn khi f ( x ) = g ( x ) = m .
❖ Áp dụng tương tự với bài tốn bất phương trình f ( x )  g ( x ) .
❖ Quy tắc 3. Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.
❖ Ta có: sin x  −
 1;1 ; cos x  −
 1;1 .
❖ Điều kiện để hàm số lượng giác a cos x + b sin x = c có nghiệm là a2 + b2  c 2 .
❖ Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt.
❖ Quy tắc 4. Sử dụng tính chất của hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm của
phương trình bậc 2 …
•

Ngồi ra, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hàm số như dạng bài tập phương trình mũ. Việc
sử dụng linh hoạt các phương pháp sẽ giúp các em tối ưu hơn trong việc giải toán.

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

11


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

VÍ DỤ MINH HỌA
VÍ DỤ 1. Giải các phương trình sau:

(

)

b) log 2 x + log 4 x + log8 x = 11 .

a) ln x 2 − 1 = ln x
c) log

3

d) log 2 ( x 2 − 1) = 1 + log 2 x .

x.log 3 x.log 9 x = 8 .

f) log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 1) = 3 .

2
e) log 2 x = 2log 2 ( 3 x + 4 ) .


1+ 5
x=

x −1
x −1
2
ln ( x 2 − 1) = ln x  ln
=0
= 1  x2 − x − 1 = 0  

x
x

1− 5
x =

2
2

2

( loai )

b) Điều kiện: x  0.

1
1
log 2 x + log 4 x + log8 x = 11  log 2 x + log 2 x + log 2 x = 11
2
3
11
 log 2 x = 11  log 2 x = 6  x = 64.
6
c) Điều kiện: x  0.

log

3

1

3
x.log 3 x.log 9 x = 8  2 log 3 x.log 3 x. log 3 x = 8  ( log 3 x ) = 8  log 3 x = 2  x = 9.
2

d) Điều kiện: 0  x  1.

HQ MATHS – 0827.360.796 –

x  0
a) Điều kiện:  2
 x 1
 x −1  0
Với x  1 :

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Lời giải

x = 1+ 2
log 2 ( x 2 − 1) = 1 + log 2 x  log 2 ( x 2 − 1) = log 2 2 x  x 2 − 1 = 2 x  x 2 − 2 x − 1 = 0  
 x = 1 − 2





Vậy S = 1 + 2;1 − 2 .

4
e) Điều kiện: x  − , x  0.

3
 x = 3x + 4
 x = −2
2
log 2 x 2 = 2log 2 ( 3x + 4 )  x 2 = ( 3x + 4 )  

 x = −3x − 4  x = −1
So sánh điều kiện ta có phương trình có một nghiệm x = −1.
f) Điều kiện: x  1.
Ta có: log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 1) = 3  log 2 ( x 2 − 1) = 3  x 2 − 1 = 8  x 2 = 9  x = 3.
Vậy S = 3 .

HQ MATHS –

12

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

VÍ DỤ 2. Giải các phương trình sau:
b) 2log 2 x + 3log x 2 = 7 .

a) log32 x − 2log3 x − 7 = 0
c) log 22 ( 4 x ) − log

2

( 2x) = 5 .
Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

2
d) Tìm tất cả các giá trị của tham m để phương trình log 2 ( 2 x ) − 2m log 2 ( x ) + m − 1 = 0 có

tích hai nghiệm của phương trình bằng 16.
Lời giải
a) Điều kiện: x  0 . Đặt log 3 x = t , ( t 

)  x=3

t

Với t = 1 − 2 2  log 3 x = 1 − 2 2  x = 31−2

2

Với t = 1 + 2 2  log3 x = 1 + 2 2  x = 31+ 2

2

x  0
b) Điều kiện: 
. Đặt log 2 x = t , t 
x

1


.

t = 3
1
2
Phương trình 2log 2 x + 3log x 2 = 7 trở thành: 2t + 3. = 7  2t − 7t + 3 = 0   1
t =
t
 2

Với t = 3  log 2 x = 3  x = 8
Với t =

1
1
 log 2 x =  x = 2
2
2

c) Điều kiện: x  0. Ta có: log 22 ( 4 x ) − log

2

( 2 x ) = 5  (1 + log 2 ( 2 x ) )

2

− 2 log 2 ( 2 x ) − 5 = 0

x = 2
log 2 ( 2 x ) = 2
 1
. Vậy S = 2;  .
 log ( 2 x ) = 4  

1
x =
 8
log 2 ( 2 x ) = −2
8


HQ MATHS – 0827.360.796 –

t = 1 − 2 2
Phương trình log32 x − 2log3 x − 7 = 0 trở thành t 2 − 2t − 7 = 0  
t = 1 + 2 2

2
2

d) Điều kiện xác định: x  0
Đặt t = log 2 x. Phương trình trở thành (1 + t ) − 2mt + m − 1 = 0  t 2 + 2 (1 − m ) t + m = 0 (1)
2

Phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 ; x2 khi phương trình (1) có 2 nghiệm t1 ; t2 .


3− 5

m 
2 .
Khi đó  '  0  m 2 − 3m + 1  0  

3+ 5
m 

2

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

13


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Theo giả thiết

2 (1 − m )
= 4  m = 3 ( thoa man ) .
1

x1 x2 = 16  log 2 x1 x2 = log 2 16  t1 + t2 = 4  −
VÍ DỤ 3. Giải các phương trình sau:

a) Giải phương trình log 3 x + log 4 ( x + 1) = 2 .

(

)

b) Tìm số nghiệm của phương trình log3 9 − x − 1 = log 2 ( x 2 − 2 x + 5 ) .

)

 1

x − 2 + 4  log 3 
+ 8 .
 x −1 

d) Có tất cả bao nhiêu cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

3 x2 − 2 x −3 −log3 5 = 5−( y + 4)


2
4 y − y − 1 + ( y + 3)  8
Lời giải
a) Nhận xét x = 3 là nghiệm của phương trình

log 3 x  1
Với x  3 , ta có 
 log 3 x + log 4 ( x + 1)  2 hay VT  VP nên phương trình
log
x

+
1

1
(
)

4


vơ nghiệm

log 3 x  1
Với x  3 , ta có 
 log 3 x + log 4 ( x + 1)  2 hay VT  VP nên phương trình
log
x
+
1

1
(
)

4


vơ nghiệm. Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất.

x −1  0


x  1

 1  x  82
b) Điều kiện xác định: 9 − x − 1  0
x

82

 x 2 − 2 x + 5  0 TM
( )


(

)

VT = log 3 9 − x − 1  log 3 9 = 2
2
VP = log 2 ( x 2 − 2 x + 5 ) = log 2 ( x − 1) + 4   log 2 4 = 2




VT = 2
 x −1 = 0
Suy ra VT  2  VP . Do đó phương trình có nghiệm khi 

 x =1


VP = 2
x −1 = 0

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất.

x − 2  0
c) Điều kiện xác định: 
 x  2 . VT = log 2
x −1  0
Ta có x  2  x − 1  1 

(

)

x − 2 + 4  log 2 ( 4 ) = 2

1
1
1
+8  9
x −1
x −1

 1

VP = log3 
+ 8   log3 9 = 2
 x −1 
HQ MATHS –

14

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

(

HQ MATHS – 0827.360.796 –

c) Tìm số nghiệm của phương trình log 2


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 x−2 =0
VT = 2 
 1
x=2
Suy ra VT  2  VP . Do đó phương trình có nghiệm khi 
=
1
VP = 2

 x −1
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất.
3 x2 − 2 x −3 −log3 5 = 5−( y + 4)


d) Ta có: 
2
4 y − y − 1 + ( y + 3)  8

Do x 2 − 2 x − 3  0, x 

3

x 2 − 2 x −3

x 2 − 2 x −3

= 5− y − 3

 1, x 

 5− y − 3  1  − y − 3  0  y  − 3

Với y  −3 , ta có bất phương trình ( 2 )  −4 y + y − 1 + ( y + 3)  8  y 2 + 3 y  0  y  −3
2

 x = −1
.
 y = −3  x 2 − 2 x − 3 = 0  
x = 3
Vậy có hai cặp ( x; y ) thỏa mãn ( 3; −3) , ( −1; −3) .
VÍ DỤ 4. Giải các phương trình sau:

(

)

( )

2
log 5 x = log 7 ( x + 2 ) có nghiệm duy nhất x = a , tính giá trị log 5 7a .

f) Tìm số nghiệm của phương trình biểu thức x + 2.3log2 x = 3 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

e) Tìm số nghiệm của phương trình log3 9 − x − 1 = log 2 ( x 2 − 2 x + 5 ) . Biết phương trình

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Biến đổi phương trình (1) ta được 3

(1)
( 2)

g) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x3 − 3x + 2 + log3 m = 0 có hai nghiệm
phân biệt?

log 22 x − log 2 x − 3 = m ( log 2 x − 3) có

h) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình
nghiệm thuộc 32; + ) .
i)

Lời giải
t
t
(1)
log5 x = t
 x = 5
 x = 5


a) log 5 x = log 7 ( x + 2 )  

t
t
t
log 7 ( x + 2 ) = t
 x + 2 = 7
5 + 2 = 7 ( 2 )

t

t

t

t

5
1
5
1

Ta có ( 2 )    + 2.   = 1 . Xét hàm số f ( t ) =   + 2.   , t 
7
7
7
7
t

t

5 5
1 1
f ' ( t ) =   ln + 2.   ln  0, t 
7 7
7 7

 Hàm số f ( t ) nghịch biến trên

Mà f ( t ) = 1  f ( t ) = f (1) nên t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình ( 2 )
Từ (1) ta có x = 5
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

15


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

( )

Do đó log5 7a 2 = log5 7 + log5 a 2 = log5 7 + 2log 5 a = log 5 7 + 2log 5 5 = 2 + log 5 7 .
b) Điều kiện xác định: x  0
Ta có: x + 2.3log2 x = 3  2.3log2 x = 3 − x . Xét hàm số f ( x ) = 2.3log x , x  ( 0; + )
2

2
f  ( x ) = .3log2 x.log 2 3  0, x  ( 0; + )  Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0; + ) (1)
x

Xét hàm số g ( x ) = 3 − x, x  ( 0; + )
g  ( x ) = −1  0, x  ( 0; + )  Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; + ) ( 2 )

c) Điều kiện xác định: m  0
Ta có: x3 − 3x + 2 + log3 m = 0  − x3 + 3x − 2 = log 3 m

 x = −1
Xét hàm số f ( x ) = − x 3 + 3x − 2 có f  ( x ) = −3x 2 + 3, f  ( x ) = 0  
x = 1
Ta có bảng biến thiên:

3
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì hai đồ thị y = − x + 3x + 2 và y = log 3 m phải

cắt nhau tại 2 điểm.

1

 m = 3−4

m=
log 3 m = −4
1 



m

Dựa vào bảng biến thiên, ta có 
.
Vậy
81
 ;1 .
0

m
=
3
 81 
log 3 m = 0

m = 1
d) Đặt log 2 x = t vì x  32  t  5
t 2 − t − 3 = m ( t − 3)  m =

Ta có phương trình:
Xét hàm số f ( t ) =

t2 − t − 3
t −3

−5t + 9
t2 − t − 3
 0, t  5; + )
, t  5; + ) có f  ( t ) =
2
2
t −3
2 ( t − 3) t − t − 3

Ta có bảng biến thiên:

HQ MATHS –

16

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Mà f (1) = g (1) nên x = 1 là nghiệm duy nhất.

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Từ (1) và ( 2 )  phương trình f ( x ) = g ( x ) có nhiều nhất một nghiệm


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi 1  m  3 .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

17