C:Program filesviet exluat so lon 2 chi soluat so lon 2 chi soluan van (thanh 2)luat so lon hai chi so (c) dvi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (227.79 KB, 36 trang )
Luận văn được hoàn thành tại
Trường Đại học Đại học KHTN - ĐHQGHN
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến
TIEU LUAN MOI download :
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Chương 1. Kiến Thức Chuẩn Bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Mảng phù hợp và mảng các hiệu martingale . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3. Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4. Một số dạng hội tụ của mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên .
9
1.5. Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.6. Khái niệm khả tích đều theo nghĩa Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Chương 2. Luật số lớn hai chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1. Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1.1. Luật yếu số lớn Feller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1.2. Luật yếu số lớn đối với mảng khả tích đều . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2. Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1
TIEU LUAN MOI download :
Kết luận chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Hướng phát triển khóa luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học khoa học tự nhiên ĐHQGHN dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo, GS.TSKH
Nguyễn Duy Tiến. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới
Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học
tập, nghiên cứu khoa học và các bài học trong cuộc sống.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn Cơ - Tin, Phịng sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại
học Quốc Gia Hà Nội.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo trong Bộ
môn Lý thuyết xác suất và thống kê toán, khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt
tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin gửi lời cảm ơn
chân thành tới gia đình, bạn bè đã góp ý, ủng hộ và động viên tác giả
trong q trình học tập và hồn thành khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực cịn hạn chế nên khóa
luận chắc chắn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong
nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cơ giáo và góp ý của
bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nguyễn Hữu Thành
3
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
Mở đầu
Luật số lớn đóng một vai trị vơ cùng quan trọng trong Lý thuyết Xác
suất. Luật số lớn đầu tiên của J.Bernoulli được công bố vào năm 1713. Về
sau kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov,... mở rộng.
Trong những năm qua có một hướng nghiên cứu luật số lớn là mở rộng các
kết quả về Luật số lớn trong trường hợp dãy (một chỉ số) ra cho trường hợp
nhiều chỉ số. Smythe (1972) đã thu được luật mạnh số lớn Kolmogorov cho
dãy nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên. Luật số lớn Marcinkiewicz - Zygmund
đối với dãy nhiều chiều được Gut (1987), Klesov (1996) thiết lập. Thời gian
gần đây có nhiều bài báo nghiên cứu trong trường hợp hai chỉ số cho biến
ngẫu nhiên thực hoặc nhận giá trị trên không gian Banach như: Nguyễn
Duy Tiến, Nguyễn Văn Quang, Nguyễn Văn Huấn, Lê Văn Thành,...Trên
cơ sở đó chúng tôi nghiên cứu đề tài LUẬT SỐ LỚN HAI CHỈ SỐ. Bố cục
khóa luận gồm 2 chương.
• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tơi trình bày
các khái niệm về không gian Banach p- trơn đều, không gian Banach
p- khả trơn, khái niệm về tính bị chặn ngẫu nhiên, khái niệm mảng
phù hợp, mảng các hiệu martingale, khả tích đều cấp r theo nghĩa
Cesàro(r > 0). Đồng thời chúng tôi cũng đưa ra một số bổ đề đây
chính là chìa khóa để có được các kết quả về Luật số lớn trong khóa
luận.
• Chương 2. Luật số lớn hai chỉ số. Nội dung chính của khóa luận được
trình bày trong chương này, bao gồn hai phần. Phần 2.1 chúng tơi trình
4
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
bày về luật yếu số lớn Feller và thiết lập điều kiện khả tích đều là điều
kiện đủ để thu được Luật yếu số lớn đối với tổng kép các biến ngẫu
nhiên có chỉ số ngẫu nhiên. Phần 2.2 chúng tôi thiết lập Luật mạnh
số lớn cho mảng các hiệu martingale, luật số lớn kiểu Marcinkiewicz
cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên.
5
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
Chương 1
Kiến Thức Chuẩn Bị
Trong toàn bộ luận văn, ta luôn giả sử (Ω, F , P ) là không gian xác suất
đầy đủ cố định. Với a, b ∈ R, min {a, b} và max {a, b} được kí hiệu là a ∧ b
và a ∨ b. Kí hiệu C là một hằng số dương, nhưng hằng số đó không nhất
thiết phải giống nhau trong những lần xuất hiện. Kí hiệu log chỉ logarit cơ
số 2 và log+ x = log (1 ∨ x). Với x ≥ 0, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất
không vượt quá x.
1.1. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Banach E được gọi là một không gian
p-trơn đều (1 ≤ p ≤ 2) nếu modun trơn ρ(τ ) thỏa mãn: ρ(τ ) = O(τ p )
(khi τ → 0) trong đó modun trơn được định nghĩa:
kx + yk + kx − yk
ρ(τ ) := Sup
− 1; x, y ∈ E, kxk = 1, kyk = τ .
2
Nhận xét 1.1.2. Đường thẳng thực R là trường hợp đặc biệt của không
gian Banach p-trơn đều với p = 2. Định lí sau đây của Assouad đưa ra
điều kiện cần và đủ để một không gian Banach khả ly X là không gian
Banach p-trơn đều.
Định lí 1.1.3. (Assouad). Khơng gian Banach khả ly X là không gian
Banach p-trơn đều (1 ≤ p ≤ 2) nếu và chỉ nếu với mọi q ≥ 1, tồn tại hằng
6
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
số C > 0 sao cho với mọi martingale {Sn , Fn , n ≥ 1} nhận giá trị trên X
đều có:
EkSn kp ≤ CE
n
X
kSi − Si−1kp
i=1
!q/
p
, ∀n ∈ N
(1.1)
(Bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund)
Định lí 1.1.4. (Assouad, Hoffmann Jørgensen).
Khơng gian Banach nhận giá trị thực X là p-trơn đều (1 ≤ p ≤ 2) khi
và chỉ khi tồn tại số dương L sao cho với mọi x, y ∈ X , ta có:
kx + ykp + kx − ykp ≤ 2kxkp + Lkykp
(1.2)
Hơn nữa, nếu E là không gian p-trơn đều (1 < p ≤ 2) thì nó là một không
gian r-trơn đều 1 ≤ r < p. Chi tiết hơn ta có đánh giá sau:
p
p
p
(kx + ykr + kx − ykr ) r ≤ 2 r−1 (2kxkp + Ckykp ) ≤ (2kxkr + Ckykr ) r
Định nghĩa 1.1.5. Không gian Banach E được gọi là không gian p-khả
trơn (1 ≤ p ≤ 2) nếu tồn tại một chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu
sao cho E cùng với chuẩn này trở thành một không gian p-trơn đều.
1.2. Mảng phù hợp và mảng các hiệu martingale
Cho (Ω, F , P ) là không gian xác suất, X là không gian Banach khả
li và B(X ) là σ - đại số tất cả các tập Borel trong X . Mảng 2 chiều
{Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} các σ - đại số con của F với chỉ số trong N x N. Khi
đó mảng 2 chiều {Xmn , Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là mảng phù hợp nếu
thỏa mãn các điều kiện sau đây.
(1) Xmn là Fmn /B(X ) đo được.
(2) Với mỗi n ∈ N và m2 > m1 thì Fm1 n ⊂ Fm2 n với mỗi m ∈ N và
n2 > n1 thì Fn1 m ⊂ Fn2 m .
S
S
Kí hiệu F∞n = σ ( m≥1 Fmn ) , Fm∞ = σ ( n≥1 Fmn ) và
∗
= σ (Fm−1,∞ ∪ F∞,n−1). Ta quy ước rằng F0,∞ = F∞,0 = {φ, Ω}
Fmn
Một mảng phù hợp {Xmn , Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là mảng các hiệu
7
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
∗
martingale nếu: E {Xmn |Fmn
} = 0, ∀m, n ∈ N.
Ví dụ sau đây cho chúng ta thấy được sự tồn tại của khái niệm mảng các
hiệu martingale
Ví dụ 1.2.1. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên
độc lập có kì vọng 0. Với mỗi m ≥ 1, n ≥ 1, gọi Fmn là σ - đại số sinh
∗
bởi Xmn , khi đó E {Xmn |Fmn
} = EXmn = 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} lập
thành một mảng các hiệu martingale.
Ví dụ 1.2.2. Cho dãy (Xn , Fn, n ≥ 1) là một hiệu martingale nào đó
nhưng (Xn , n ≥ 1) không độc lập. Với mọi n ≥ 1, đặt
Xmn = Xn nếu m = 1 và Xmn = 0 nếu m > 1;
Fmn = Fn , m ≥ 1.
Ta có
∗
Fmn
Xmn ∈ Fmn , ∀m, n ≥ 1
!
∞
[
∗
Fn nếu m > 1
= Fn−1, nếu m = 1; Fmn
=σ
n=1
Khi đó {Xmn , Fmn, m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các hiệu martingale nhưng không
là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0.
Từ hai ví dụ trên ta thấy rằng tập hợp tất cả mảng các hiệu martingale
thực sự rộng hơn tập hợp tất cả các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng
0.
1.3. Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên
Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là bị chặn
ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số C < ∞ thỏa
mãn:
P {kXmn k > t} ≤ CP {kXk > t} , ∀t ≥ 0, m ≥ 1, n ≥ 1
(1.3)
8
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
Nhận xét 1.3.1. Nếu {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu
nhiên cùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên
X11 và khi đó C=1
1.4. Một số dạng hội tụ của mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.4.1. Ta nói rằng mảng {xmn} ⊂ E hội tụ tới x ⊂ E khi
m ∨ n → ∞ nếu với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương n0 sao cho với
mọi (m, n) ∈ N2 mà m ∧ n ≥ n0 thì kxmn − xk < ε.
Định nghĩa 1.4.2. 1) Mảng các biến ngẫu nhiên E- giá trị {xmn; m ≥ 1, n ≥ 1}
được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên E- giá trị X khi
m ∧ n → ∞ nếu với mọi ε > 0,
lim P sup kXkl − Xk > ε = 0
m∧n→∞
Khi đó, ta kí hiệu
k≥m
l≥n
lim Xn = X h.c.c. Hoặc Xn → X h.c.c khi m ∧ n →
m∧n→∞
∞.
2) Cho mảng các biến ngẫu nhiên E- giá trị {xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1}, đặt
m P
n
∞ P
∞
P
P
Smn =
Xkl . Chuỗi
Xmn được gọi là hội tụ hầu chắc chắn
m=1 n=1
k=1 l=1
nếu Smn hội tụ hầu chắc chắn đến một biến ngẫu nhiên E- giá trị nào đó
khi m ∧ n → ∞.
∞ P
∞
P
Khi đó, ta nói
Xmn hội tụ h.c.c.
m=1 n=1
Định nghĩa 1.4.3. Mảng các biến ngẫu nhiên E- giá trị {xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1}
được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên E- giá trị X khi
m ∧ n → ∞ nếu với mọi ε > 0,
lim P (kXmn − Xk > ε) = 0
m∧n→∞
P
Khi đó, ta kí hiệu Xmn → X khi m ∧ n → ∞.
9
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
x n ; n ∈ Nd
được gọi là hội tụ theo trung bình bậc p (0 < p < ∞) đến biến ngẫu nhiên
E- giá trị X khi |n| → ∞ nếu
Định nghĩa 1.4.4. Mảng các biến ngẫu nhiên E- giá trị
lim EkXn − Xkp = 0
|n|→∞
Lp
Khi đó, ta kí hiệu Xn → X khi |n| → ∞.
1.5. Một số bổ đề
Bổ đề 1.5.1. Giả sử {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chiều các phần tử
ngẫu nhiên
(1) Với ε > 0 bất kì, nếu
∞ X
∞
X
P (kXmn k > ε) < ∞
m=1 n=1
thì Xmn → 0 hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞
(2) Với p > 0, nếu
∞
∞ X
X
E kXmn kp < ∞
m=1 n=1
thì Xmn → 0 hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞ trong Lp
Chứng minh. Đặt
Ak =
∞
[
(kXmn k > ε), k ≥ 1
m∨n=k
Khi đó dãy {Ak , k ≥ 1} là dãy giảm các biến cố, đặt
∞
\
A=
Ak
k=1
∞
∞ P
P
(1) Với mỗi k ≥ 1, vì chuỗi kép
P (kXmn k > ε) hội tụ nên phần
n=1
m=1
P
đi
P {kXmn k > ε} của nó sẽ dần tới 0 khi k → ∞. Ta có
m∨n≥k
P (Ak ) = P
sup kXmn k > ε
m∨n≥k
≤
X
P {kXmn k > ε} → 0
m∨n≥k
10
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
khi k → ∞. Từ đó
P (A) = lim P (Ak ) = lim P
k→∞
k→∞
sup kXmn k > ε
m∨n≥k
=0
nếu ω ∈
/ A thì tồn tại k0 sao cho ω ∈ Ak0 hay kXmn (ω)k ≤ ε với mọi
m ∨ n ≥ k0 , điều nay kéo theo lim Xmn (ω) = 0 vì P (A) = 0 nên
m∨n→∞
Xmn → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞.
∞ P
∞
P
(2) Với p > 0, do chuỗi kép
EkXmn kp hội tụ nên hiển nhiên suy ra
m=1 n=1
EkXmn k → 0 khi m∨n → ∞. Do đó Xmn → 0 trong Lp khi m∨n → ∞.
Mặt khác, với mọi k ≥ 1 và áp dụng bất đẳng thức Markov ta có
∞ X
∞
∞ ∞
X
1 XX
P (kXmn k > ε) ≤ p
EkXmn kp < ∞
ε m=1 n=1
m=1 n=1
p
Theo ý thứ nhất ta suy ra Xmn → 0 h.c.c m ∨ n → ∞.
Bổ đề 1.5.2. Cho 0 < p ≤ 2. Cho {Xij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là họ m.n
phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach khả li. Khi 1 < p ≤ 2 ta giả
thiết thêm {Xij , Fij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là mảng các hiệu martingale
trong không gian Banach p-trơn đều, thì:
p
X
k X
l
m X
n
X
E max
Xij
≤C
EkXij kp
1≤k≤m
i=1 j=1
i=1 j=1
(1.4)
1≤l≤n
Với C là hằng số không phụ thuộc vào m và n.
Chứng minh. Trong trường hợp 1 < p ≤ 2
l
k P
P
Đặt Skl =
Xij , Yl = max kSkl k với mỗi l = 1, 2...n. Nếu σl là σ
i=1 j=1
1≤k≤m
∗
-đại số sinh bởi {Xij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ l} thì σl ⊂ Fi,l+1
với mỗi i ≥ 1,
điều này kéo theo
∗
E (Xi,l+1 |σl ) = E E Xi,l+1
Fi,l+1
|σl = 0 h.c.c
Do đó ta có
E (Sk,l+1 |σl ) = E (Skl + X1,l+1 + ... + Xk,l+1 |σl )
11
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
= E (Skl |σl ) + E (X1,l+1 |σl ) + ... + E (Xk,l+1 |σl ) = Skl h.c.c
suy ra {Skl , σl ; 1 ≤ l ≤ n} là martingale. Vì {kSkl k , σl ; 1 ≤ l ≤ n} là martingale dưới
..., m
không âm với mỗi k = 1, 2,
Vì vậy max kSkl k = Yl , σl ; 1 ≤ l ≤ n là martingale dưới không âm.
1≤k≤m
Theo bất đẳng thức Doob
p
E max kSkl k = E max Yl
1≤k≤m
1≤l≤n
om
n
∗
Mặt khác, vì Skn , Fk+1,1
k=1
1≤l≤n
p
≤ CEYnp
om
n
∗
là martingale nên kSkl k , Fk+1,1
martingale dưới không âm. Áp dụng bất đẳng thức Doob ta có
EYnp
Ta lại có
n
= E max kSkn k
1≤k≤n
∗
Sml , F1,l+1
on
l=1
và
k
P
i=1
p
≤ CEkSmn kp
∗
Xil , Fk+1,l
p
k=1
là
(1.6)
(với mỗi l = 1, ..., n)
k=1
là các martingale. Vì
theo định lí 1.1.3
vậy
p ta có
n
n
P
P
EkSmn kp = E
≤
C
(S
−
S
)
EkSml − Sm,l−1kp
ml
m,l−1
l=1
l=1
m
p
m X
n
n
X
X
X
Xkl
≤ C
EkXkl kp
=C
E
l=1
(1.5)
k=1
(1.7)
k=1 l=1
Kết hợp (1.5),(1.6) và (1.7) cho ta kết luận (1.4).
Trường hợp 0 < p ≤ 1 ta có
p
X
l
k X
l
k X
X
≤ E max
E max
X
kXij kp
ij
1≤k≤m
1≤k≤m
i=1 j=1
i=1 j=1
1≤l≤n
1≤l≤n
=E
k X
l
X
i=1 j=1
Ta cũng nhận được (1.4)
kXij k
p
=
k X
l
X
EkXij kp
i=1 j=1
Bổ đề đã được chứng minh hoàn toàn
12
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
Bổ đề 1.5.3. Cho {Xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chiều biến ngẫu
nhiên, nếu
∞ X
∞
X
EkXmn kp < ∞,
p>0
m=1 n=1
Thì Xmn → 0 h.c.c và trong Lp với m ∨ n → ∞
Chứng minh. Trong Lp từ giả thiết của bổ đề ta có biểu thức sau:
X
P
sup kXmn k > ε ≤
P {kXmn k > ε}
m∨n≥k
≤
m∨n≥k
1 X
EkXmn kp → 0 khi k → ∞
p
ε m∨n≥k
(theo bất đẳng thức Markov)
Bổ đề 1.5.4. Cho {Xij ; 1 < i ≤ m, 1 < j ≤ n} là họ m.n phần tử ngẫu
nhiên. Nếu EXij = 0, ∀1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n thì
E max kSkl kp ≤ C
1≤k≤m
1≤l≤n
trong đó Skl =
l
k P
P
m X
n
X
EkXij kp , ∀0 < p ≤ 2
(1.8)
i=1 j=1
Xij và hằng số C độc lập với m và n.
i=1 j=1
Trong trường hợp 0 < p ≤ 1 thì giả thiết độc lập và EXij = 0, ∀1 ≤ i ≤
m, 1 ≤ j ≤ n là không cần thiết.
Chứng minh. Nếu EkXij kp = ∞, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n thì mệnh đề
hiển nhiên đúng. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp EkXij kp < ∞, 1 ≤ i ≤
m, 1 ≤ j ≤ n.
Đầu tiên, ta giả sử rằng 1 < p ≤ 2 và m ∧ n ≥ 2. Đặt
Yl = max kSkl k , Fl = σl (Xij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ l) , 1 ≤ l ≤ n
1≤k≤m
Với mỗi 1 ≤ k ≤ m và 2 ≤ l ≤ n ta có
E (Skl |Fl−1 ) = E (Sk,l−1 + X1l + ... + Xkl |Fl−1 )
13
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
= E (Sk,l−1 |Fl−1 ) + E (X1l |Fl−1 ) + ... + E (Xkl |Xl−1 )
= Sk,l−1 (h.c.c)
Do vậy {Skl , Fkl , 1 ≤ l ≤ n} là một martingale với k = 1, 2, ..., m. Theo
Scalora[11] {kSkl k , Fl , 1 ≤ l ≤ n} là martingale khơng âm.
Do đó {Yl , Fl , 1 ≤ l ≤ n} là martingale không âm. Theo bất đẳng thức
Doob ta có
p
E max kSkl k
1≤k≤m
1≤l≤n
≤
p
p−1
p
(1.9)
EYnp
Đặt gk = σ (Xij , 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n) , 1 ≤ k ≤ m
từ đó {kSkm k , gk , 1 ≤ k ≤ m} là một martingale. Áp dụng bất đẳng thức
Doob một lần nữa ta có
p
p X
p
m X
n
p
p
p
p
EkSmn k ≤ 2
EYn = E max kSkn k ≤
E kXij kp
1≤k≤m
p−1
p − 1 i=1 j=1
(1.10)
Từ (1.9) và (1.10) ta suy ra kết luân (1.8) của bổ đề.
Tiếp theo 1 < p ≤ 2, m ∧ n = 1 thì (1.8) được làm tương tự như trong
trường hợp m ∧ n ≥ 2
Cuối cùng, nếu 0 < p ≤ 1 thì ta có
E max kSkl kp ≤ E max
1≤k≤m
1≤l≤n
=E
k X
l
X
i=1 j=1
Bổ đề được chứng minh.
kXij k
p
k X
l
X
1≤k≤m
1≤l≤n i=1 j=1
=
l
k X
X
kXij kp
EkXij kp
i=1 j=1
Bổ đề 1.5.5. (xem [12]) Cho k là số nguyên dương. Gọi d (k) là số ước
số dương của k . Khi đó ta có
(1).
∞
X
log i
d (k)
, ∀p > r > 0
≤C
p
p
r
r −1
k
(i
+
1)
k=i+1
(1.11)
14
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
n
X
d (k)
(2).
1
k /r
k=1
1
≤ C.n1− r log n, ∀r > 1
(1.12)
Chứng minh của bổ đề trên có thể tìm thấy từ bổ đề 4 và 5 trong [12]
hoặc một số tài liệu về giải tích.
1.6. Khái niệm khả tích đều theo nghĩa Cesàro
Mảng các phần tử ngẫu nhiên khả tích {Xij ; i, j ≥ 1} được gọi là khả
tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro (r > 0) nếu
sup
m≥1,n≥1
và
Lim sup
a→∞ m≥1
n≥1
um X
vn
1 X
kmn
i=1 j=1
um X
vn
1 X
kmn
EkXij kr ≤ M < ∞
EkXij kr I (kXij kr > a) = 0
(1.13)
i=1 j=1
trong đó
{kmn; m ≥ 1, n ≥ 1} , {umn ; m ≥ 1, n ≥ 1} , {vmn; m ≥ 1, n ≥ 1}
là các mảng các số nguyên dương sao cho
lim kmn =
m∨n→∞
lim umn =
m∨n→∞
lim vmn = ∞
m∨n→∞
.
Bổ đề 1.6.1. (xem [13]) Giả sử mảng các phần tử ngẫu nhiên khả tích
{Xij , i ≥ 1, j ≥ 1} là khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro. Khi đó, nếu
r < β thì
um X
vn
1 X
EkXij kβ I (kXij kr ≤ kmn ) → 0 khi ∨ n → ∞
β/
kmnr i=1 j=1
(1.14)
Chứng minh của bổ đề trên xem tại bổ đề 2.1.2 trong tài liệu [13].
15
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
Chương 2
Luật số lớn hai chỉ số
2.1. Luật yếu số lớn
Trong chương nay chúng tôi thiết lập luật yếu số lớn Feller cho mảng
hai chiều các biến ngẫu nhiên E- giá trị với chỉ số ngẫu nhiên và không
ngẫu nhiên, luật yếu số lớn đối với tổng có chỉ số ngẫu nhiên đối với mảng
hai chiều dưới điều kiện khả tích.
2.1.1. Luật yếu số lớn Feller
Định lí 2.1.1. Cho {Xij ; i, j ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận
giá trị trong không gian Banach p-khả trơn X (1 ≤ p ≤ 2)
Cho {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} , {bmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là hai mảng các số dương
sao cho amn ր ∞ và bmn ր ∞ khi m ∨ n → ∞ .
′
Đặt Vmnij
= Vij I (kXij k ≤ bmn ). Nếu
un X
vn
X
P {kXij k > bmn } → 0 khi m ∨ n → ∞
(2.1)
i=1 j=1
Và
um X
vn
′
p
1 X
− Cmnij
→ 0 khi m ∨ n → ∞
E
Vmnij
p
amn i=1 j=1
(2.2)
16
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
Thì
k l
XX
P
1
max
(X
−
C
)
ij
mnij
→ 0 khi m ∨ n → ∞
1≤k≤um amn
i=1 j=1
(2.3)
1≤l≤vn
Trong đó Cmnij = E V ′mnij |Fij
Chứng minh. Với ε > 0 tùy ý
k
l
1 XX
max
P
E kXij − Cmnij k > ε
1≤k≤um amn i=1 j=1
1≤l≤vn
k
l
1 XX
′
ε
E Xij − V mnij > /2
≤P
max
1≤k≤um amn
i=1 j=1
1≤l≤vn
+P
max
1
k X
l
X
E
V ′mnij − Cmnij
> ε/2
1≤k≤um amn i=1 j=1
1≤l≤vn
l
k X
X
1
ε
=P
max
(Xij I (kXij k > bmn ))
> /2
1≤k≤um amn
i=1 j=1
1≤l≤vn
k
l
XX
1
′
ε
>
/
V
−
C
+P
max
mnij
mnij
2
1≤k≤um amn
i=1 j=1
1≤l≤vn
um [
vn
[
≤P
(kXij k > bmn )
i=1 j=1
X
l
k X
1
′
ε
V mnij − Cmnij
> /2
+P
max
1≤k≤um amn
i=1 j=1
1≤l≤vn
≤
um X
vn
X
P (kXij k > bmn )
i=1 j=1
17
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
X
k X
l
1
′
ε
V mnij − Cmnij
> /2
+P
max
1≤k≤um amn
i=1 j=1
1≤l≤vn
≤
um X
vn
X
P (kXij k > bmn )
i=1 j=1
p
X
k X
l
2
′
V mnij − Cmnij
+ p p E max
1≤k≤u
ε amn
m
i=1 j=1
p
1≤l≤vn
(theo bất đẳng thức Markov)
≤
um X
vn
X
P (kXij k > bmn )
i=1 j=1
+
C
εpapmn
um X
vn
X
i=1 j=1
p
E
V ′mnij − Cmnij
(theo bổ đề 1.5.2)
→ 0 khi m ∨ n → ∞ ( theo (2.1) và (2.2) )
Định lí được chứng minh hoàn toàn.
Hệ quả 2.1.2. Cho {Xij ; i, j ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận
giá trị trong không gian Banach p - khả trơn X (1 ≤ p ≤ 2).
Cho {amn ; m ≥ 1, n ≥ 1}, {bmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là hai mảng các số dương
′
sao cho amn ր ∞, bmn ր b khi m∨n → ∞. Đặt Vmnij
= Vij I (kXij k ≤ bmn )
, nếu
um X
vn
X
P {kXij k ≥ bmn} → 0 khi m ∨ n → ∞
i=1 j=1
X
k X
l
P
1
′
→ 0 khi m ∨ n → ∞
max
E
V
|F
ij
mnij
1≤k≤um amn
i=1 j=1
1≤l≤vn
Thì
um X
vn
′
p
1 X
′
E
Vmnij
− E Vmnij
|Fij
→ 0 khi m ∨ n → ∞
p
amn i=1 j=1
18
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
X
k X
l
P
1
X
max
ij
→ 0 khi m ∨ n → ∞
1≤k≤um amn
i=1 j=1
1≤l≤vn
.
Định lí 2.1.3. Cho {Xij ; i ≥ 1, j ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên
nhận giá trị trong không gian Banach p - khả trơn X (1 ≤ p ≤ 2).
Cho {amn ; m ≥ 1, n ≥ 1} , {bmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là hai mảng các số dương
sao cho amn ր ∞, bmn ր b khi m ∨ n → ∞.
′
Đặt Vmnij
= Vij I (kXij k < bmn). Giả sử {Tn ; n ≥ 1} , {τn ; n ≥ 1} là các
dãy đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương sao cho
Lim P {Tn > un } = Lim P {τn > vn} = 0
n→∞
n→∞
(2.4)
Nếu
um X
vn
X
P {kXij k > bmn } → 0 khi m ∧ n → ∞
(2.5)
i=1 j=1
Và
um X
vn
1 X
apmn
Thì
p
EkV ′ mnij − Cmnij k → 0 khi m ∧ n → ∞
(2.6)
i=1 j=1
Tm X
τn
1 X
amn
P
(Xij − Cmnij ) → 0 khi m ∧ n → ∞
(2.7)
i=1 j=1
′
Trong đó Cmnij = E Vmnij
|Fij .
Chứng minh. Với ε > 0 tùy ý
T
τ
m
n
1
X X
(Xij − Cmnij )
> ε
P
amn
i=1 j=1
19
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
T
τ
m
n
1
X X
ε
′
Xij − Vmnij
≤P
> 2
amn
i=1 j=1
T
τ
m
n
1
X X ′
ε
+P
Vmnij − Cmnij
> 2
amn
i=1 j=1
T
τ
m
n
1
X X
ε
=P
(Xij I (kXij k > bmn ))
> 2
amn
i=1 j=1
Tm X
τn
1
X
ε
′
V
−
C
+P
mnij
>
mnij
amn
i=1 j=1
2
= Amn + Bmn .
Đối với Amn , ta có
Amn
X
Tm X
τn
1
>
≤P
X
I
(kX
k
>
b
)
ij
ij
mn
amn
i=1 j=1
\
ε \
(Tm ≤ Um ) (τn ≤ vn )
2
+P {T
(m > um } + P {τn > v)n}
uS
vn
m S
≤P
(kXij k > bmn ) + P {Tm > um} + P {τn > vn }
≤
i=1 j=1
u
v
m
n
PP
P (kXij k > bmn) + P {Tm > um } + P {τn > vn}
i=1 j=1
→ 0 khi m ∨ n → ∞, (do (2.4) và (2.5)).
Cịn đối với Bmn , ta có
Tm τn
X X ′
1
Bmn ≤ P
Vmnij − Cmnij
>
amn
i=1 j=1
+P {Tm > um } + P {τn > vn}
X
k X
l
1
′
>
−
C
)
(V
max
≤P
mnij
mnij
1≤k≤u
a
m
mn
i=1 j=1
\
ε \
(Tm ≤ um ) (τn ≤ vn )
2
1≤l≤vn
ε
+P {Tm > um}+P {τn > vn}
2
20
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
Do (2.4) nên để chứng minh Bmn → 0 khi m ∧ n → ∞ ta chỉ cần chứng
minh rằng
X
k X
l
1
′
>
P
max
−
C
)
(V
mnij
mnij
1≤k≤u
a
m
mn
i=1 j=1
1≤l≤vm
ta có
ε
2
→ 0 khi m ∧ n → ∞
E (V ′ mnij − E (V ′ mnij |Fij ) |Fij ) = 0
với mọi m ≥ 1, n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ um, 1 ≤ j ≤ vn .
Áp dụng bất đẳng thức Markov và bổ đề (1.5.2) ta được
X
k X
l
1
′
max
P
−
C
)
(V
mnij
mnij
>
1≤k≤u
a
m
mn
i=1 j=1
1≤l≤vn
ε
2
p
k
l
X X ′
2p
≤ p p E max
(V
−
C
)
mnij
mnij
1≤k≤um
ε amn
i=1 j=1
1≤l≤vn
um X
vn
p
′
C X
E
Vmnij
− Cmnij
→ 0 khi m ∧ n → ∞ (do (2.6))
≤ p p
ε amn i=1 j=1
Định lí được chứng minh hồn tồn
Định lí 2.1.4. Cho {Xij ; i, j ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận
giá trị trong không gian Banach p - khả trơn X (1 ≤ p ≤ 2).
Cho {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} , {bmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là hai mảng các số dương
sao cho amn ր ∞ và bmn ր ∞ khi m ∨ n → ∞
Cho {kmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các số nguyên dương sao cho kmn → ∞
khi m ∨ n → ∞ và
kmn
→ 0 khi m ∨ n → ∞
apmn
(2.8)
21
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
Giả sử tồn tại hàm không giảm nhận giá trị dương g trên [0, ∞) thỏa
mãn
∞
X
1
Lim g (a) = 0,
g
<∞
a→0
j
j=1
Và
p
kmn −1 p
kmn X
g (j + 1) − g p (j)
Sup p
<∞
j
m≥1,n≥1 amn j=1
Nếu
Sup Sup
a>0 m≥1,n≥1
um X
vn
1 X
kmn
Và
Lim Sup
a→∞ m≥1,n≥1
(2.10)
(2.11)
i=1 j=1
um X
vn
1 X
kmn
Thì
aP {kXij k > g (a)} < ∞
(2.9)
aP {kXij k > g (a)} = 0
(2.12)
i=1 j=1
X
k X
l
P
1
max
(Xij − Cmnij )
→ 0 khi m ∨ n → ∞
1≤k≤um amn
i=1 j=1
(2.13)
1≤l≤vn
Hơn nữa, nếu {Tn ; n ≥ 1} , {τn ; n ≥ 1} là các dãy đại lượng ngẫu nhiên
nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện (2.4), khi đó
Tm X
τn
1 X
amn
P
(Xij − Cmnij ) → 0
(2.14)
i=1 j=1
Trong đó Cmnij = E (Xij I (kXij k < g (kmn )) |Fij ).
′
Chứng minh. Đặt bmn = g (kmn ) , Vmnij
= Vij I (kXij k < bmn). Để chứng
minh (2.13) ta sẽ chứng tỏ các giả thiết của định lí 2.1.1 được thỏa mãn.
Từ (2.12) lấy a = kmn và bmn = g (kmn ) thì (2.1) thỏa mãn.
Bây giờ ta sẽ chứng tỏ điều kiện (2.2) được thỏa mãn. Vì g là hàm không
giảm nên
um X
um X
vn
vn
p
′
′
p
1 X
1 X
E Vmnij − Cmnij ≤ C p
E
Vmnij
p
amn i=1 j=1
amn i=1 j=1
(2.15)
22
TIEU LUAN MOI download :
C:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dviC:Program.filesviet.exluat.so.lon.2.chi.soluat.so.lon.2.chi.soluan.van.(thanh.2)luat.so.lon.hai.chi.so.(c).dvi
