bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_3 ppt

Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
11
Khi
1
x x

    
. Chọn
1 1
0 1 1M x M
x


        

Định lí 1.4. Cho hàm số
( ), ( ), ( )
f x u x v x
xác định trong một lân cận của
0
x
có thể trừ tại
0
x
và
( ) ( ) ( )
u x f x v x
 
với mọi x thuộc lân cận,

0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
u x v x L
 
 
. Khi đó
0
lim ( )
x x
f x L



Vidụ 5 Chứng minh
0
sin
lim 1
x
x
x



Thật vậy :0
2
x x

  
ta có bất đẳng thức

sin
cos 1
x
x
x
 
, mà
0
lim cos 1
x
x


suy ra
0
sin
lim 1
x
x
x



1.3.3 Một số tính chất
1) Nếu
0
lim ( )
x x
f x L



thì giới hạn đó là duy nhất
2)
0
lim
x x
C C


(C : hằng số)
3) Nếu
( ) ( ),
f x g x x
 
thuộc một lân cận nào đó của
0
x
hoặc ở vô cực thì
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x
 

(nếu các giới hạn này tồn tại).
4) Nếu
( ) ( ) ( ),
f x g x h x x
  
thuộc một lân cận nào đó của

0
x
hoặc ở vô cực và
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x L h x
 
 
thì
0
lim ( )
x x
g x L



5) Giả sử các hàm số
( ), ( )
f x g x
có giới hạn khi
0
x x

khi đó ta có các kết quả sau :

0 0 0
lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x g x f x g x

  
  


lim ( ) lim ( )
x x x x
o o
kf x k f x
 



lim ( ). ( ) lim ( ). lim ( )
x x x x x x
o o o
f x g x f x g x
  





0
0 0
0
,
lim ( )
( )
lim lim ( ) 0
( ) lim ( )

x x
x x x x
x x
f x
f x
g x
g x g x

 

 
1.3.4 Vô cùng bé, vô cùng lớn
Giả sử ta xét các hàm trong cùng một quá trình, chẳng hạn khi
o
x x

. (Những kết quả đạt
được vẫn đúng trong một quá trình khác)
1) Vô cùng bé (VCB)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
12
Hàm
( )
x

được gọi là một VCB trong một quá trình nào đó nếu
0

lim ( ) 0
x x
x




Ví dụ 6
sin , , 1 cos
x tgx x

là những VCB khi
0
x



2
1
2
x
x


là một VCB khi
x
 

2) So sánh hai VCB
Cho

( )
x

và
( )
x

là hai VCB trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi
o
x x

). Khi
đó:
(i) Nếu
( )
lim 0
( )
x
x



thì ta nói
( )
x

là VCB bậc cao hơn VCB
( )
x


trong quá trình đó
(
( )
x

dần tới 0 nhanh hơn
( )
x

)
(ii) Nếu
( )
lim 0
( )
x
L
x


 
thì ta nói
( )
x

và
( )
x

là hai VCB ngang cấp trong quá trình
đó (

( )
x

và
( )
x

dần tới 0 ngang nhau). Đặc biệt khi
1
L

ta nói
( )
x

và
( )
x

là hai
VCB tương đương, kí hiệu là
( ) ( )
x x
 

.
3) Một số VCB tương đương cơ bản khi
0
x


sin ; ; arcsin ; ;
x x tgx x x x arctgx x
   

2
( )
1 cos
2
ax
ax  ;
1
log (1 )
ln
x x
a
a
  ;


1 1
x x


  
;
ln(1 ) ; - 1 ln ; - 1 ;
x x
x x a x a e x
   

1
1
, ( , 0)
n n p p
n n p p p
a x a x a x a x n p a


     

Ví dụ 7 So sánh cấp của các VCB:
( ) sin ; ( ) 1 cos
x x tgx x x
 
   
, khi
0
x


Ta có:


0 0 0 0
1
sin 1
( ) sin sin
cos
lim lim lim lim 0

( ) 1 cos 1 cos cos
x x x x
x
x x tgx x
x
x x x x


   


   
 

Do đó,
( )
x

là VCB cấp cao hơn
( )
x


Ví dụ 8 So sánh cấp của các VCB:
2
( ) 1 cos , ( ) , 0
x x x x x
 
   

Ta có:
2
0 0
( ) 1 cos 1
lim lim 0
( ) 2
x x
x x
x x


 

  

Do đó,
( )
x

và
( )
x

là hai VCB cùng cấp.
4) Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
13

Định lí 1.5.
i) Nếu
1
( ) ( )
x x
 

và
1
( ) ( )
x x
 

thì trong cùng một quá trình thì trong quá trình ấy
1
1
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x x
x x
 
 

ii) Cho
( )
x

và
( )

x

là hai VCB trong một quá trình và
( )
x

có cấp cao hơn
( )
x

. Khi đó
( ) ( ) ( )
x x x
  


.
Từ hai kết quả trên ta suy ra quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao:
Giả sử (
( )
x

và
( )
x

là hai VCB trong một quá trình nào đó,
( )
x


và
( )
x

đều là tổng
của nhiều VCB . Khi đó giới hạn của tỉ số
( )
( )
x
x


bằng giới hạn của tỉ số hai VCB cấp thấp
nhất trong
( )
x

và
( )
x

.
Ví dụ 9 Tìm các giới hạn sau:
(1)
2 3
3 8
0
3 sin 4 sin
lim
5

x
x x x
x x x

 
 

Ta có
2 3
3 8
0 0
3 sin 4 sin 1
lim lim
5 5 5
x x
x x x x
x x x x
 
 
 
 

(2)
3
0
1 1
lim
1 1
x
x

x

 
 
.
Khi
0
x

ta có
1
2
1
1 1 (1 ) 1
2
x x x
      ;
3
1
3
1
1 1 (1 ) 1
3
x x x
     
Suy ra
3
1 1 3
1 1 2
x

x
 

 

Vậy
3
0
1 1 3
lim
1 1 2
x
x
x

 

 

(3)
0
sin
lim
x
tgx x
x



Khi

0
x

, ta có:

sin
2 khi 0
tgx x x x
x
x x
 
  
. Do đó
0
sin
lim 2
x
tgx x
x




(4) Tính
3
3
0
sin sin
lim
x

tgx x x
x

 
.
Ta có
2
3
1
.
sin (1 cos ) 1
2
sin
cos 1 2
x x
x x
tgx x x
x

   
khi
0
x


Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
14

Do đó
3 3 3 3
1 3
sin sin
2 2
tgx x x x x x
     khi
0
x


Suy ra
3
3
3 3
3
sin sin 3
2
2
x
tgx x x
x x
 
  khi
0
x


Vậy
0

3
3
sin sin 3
lim
2
x x
tgx x x
x

 


5) Vô cùng lớn (VCL)
Hàm
( )
f x
được gọi là một VCL trong một quá trình nào đó nếu
0
lim ( )
x x
f x

 

Ví dụ 10
(1)
1 1
, , cot
sin
gx

x x
là những VCL khi
0
x


(2)
2
, 2 1
x x

là những VCL khi
x
 

6) So sánh hai VCL
Cho
( )
f x
và
( )
g x
là hai VCL trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi
o
x x

). Khi đó:
(i) Nếu
( )
lim

( )
f x
g x
 
thì ta nói
( )
f x
là VCL cấp (bậc) cao hơn
( )
g x
(theo nghĩa
( )
f x

tiến tới

nhanh hơn
( )
g x

(ii) Nếu
( )
lim 0
( )
f x
L
g x
 
thì ta nói
( )

f x
và
( )
g x
là hai VCL ngang cấp trong quá trình
đó (
( )
x

và
( )
x

dần tới

ngang nhau). Đặc biệt khi
1
L

ta nói
( )
x

và
( )
x

là hai
VCL tương đương, kí hiệu là
( ) ( )

x x
 


Ví dụ 11
(1) So sánh cấp của các VCL
3
( ) 2, ( ) ;
f x x g x x x
    

Ta có
3
2
( ) 2 2
lim lim lim
( )
x x x
f x x
x x
g x x x
  

    
 







 

Do đó f (x) là một VCL có cấp cao hơn g(x)
(2) So sánh cấp của các VCL:
6
3
( ) 2 1
f x x x
  
và
8 2
4
( ) 2 4 2 1
g x x x x
   

khi
x
 

Ta có:

6
3
8 2
4
( ) 2 1
lim lim
( )

2 4 2 1
x x
f x x x
g x
x x x
 
 

  

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
15
3
5 6
4
4
6 7 8
2 1
1
1
lim
4 2 1
2
2
x
x x
x x x


 
 
  

Do đó,
6
3
( ) 2 1
f x x x
  
và
8 2
4
( ) 2 4 2 1
g x x x x
   
là hai VCL cùng cấp
7) Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp
Định lí 1.6. Cho
( )
f x
và
( )
g x
là hai VCL trong một quá trình nào đó, (chẳng hạn
x
 
)
và

1
( ) ( )
f x f x

,
1
( ) ( )
g x g x

. Khi đó trong cùng một quá trình ấy
1
1
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
f x f x
g x g x


Giả sử
( )
f x
và
( )
g x
là hai VCL trong quá trình nào đó,
( )
f x
và
( )

g x
đều là tổng của nhiều
VCL. Khi đó giới hạn của tỉ số
( )
( )
f x
g x
bằng giới hạn của tỉ số hai VCL cấp cao nhất trong
( )
f x
và
( )
g x
.
Ví dụ 12
4 3 4
4 4
3 4 1 3 3
lim lim
2 8 2 2
x x
x x x x
x x
 
  
 



1.4 Tính liên tục của hàm số

1.4.1 Các định nghĩa
1) Hàm số
( )
y f x

được gọi là liên tục tại
o
x D


nếu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x


. Khi đó
0
x
gọi là
điểm liên tục của hàm
( )
f x
.
2) Hàm số
( )
y f x


được gọi là liên tục trên
( , )
a b
nếu
( )
f x
liên tục tại mọi điểm thuộc
( , )
a b

3) Hàm số
( )
y f x

được gọi là liên tục bên trái (bên phải)
0
x D

nếu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x



(
0
0

lim ( ) ( )
x x
f x f x



)
4)
( )
f x
liên tục trên
[ , ]
a b
nếu
( )
f x
liên tục trên
( , )
a b
và liên tục bên phải tại a, bên trái tại
b.
Nhận xét:
( )
f x
liên tục tại
0
x D
 
liên tục bên phải và bên trái
0

x
. Nếu hàm số sơ cấp
( )
f x
có miền xác định là D thì
( )
f x
liên tục trên D. Nếu
( )
f x
liên tục trên
[ , ]
a b
thì đồ thị
của
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -