Skkn giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn toán lớp 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (427.27 KB, 25 trang )

3
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết
Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS mơn Tốn, tơi nhận thấy các
em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các dạng tốn bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình. Mặc dù các em đã biết cách giải dạng toán đố ở Tiểu
học, các bài toán số học ở lớp 6, 7, các dạng phương trình ở lớp 8, giải hệ phương
trình ở lớp 9, phương trình bậc hai ở lớp 9. Nhưng khi gặp bài toán giải bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình thì các em lại thấy khó mặc dù các em đã nắm được
quy tắc chung (các bước giải). Có nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại
không biết vận dụng vào giải bài tập vì các em khơng biết xuất phát từ đâu để tìm lời
giải hoặc khơng biết tìm sự liên quan giữa các đại lượng để lập phương trình, hệ
phương trình. Mà dạng tốn này là một dạng toán cơ bản, thường xuất hiện trong các
bài kiểm tra học kỳ, các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, nhưng đại đa số học sinh
bị mất điểm ở bài này do khơng nắm chắc cách giải, cũng có những học sinh biết cách
làm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu nhiều ý.
Trong phân phối chương trình mơn Toán THCS ở lớp 9 số lượng tiết học về
giải bài tốn bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là 6 tiết nên bản thân giáo
viên và học sinh cũng chưa có sự tìm hiểu một cách thấu đáo, sách vở tài liệu tham
khảo ở các trường về dạng bài tập này cũng cịn thiếu.
Trường tơi đang giảng dạy là một trường DTNT nên đa số các em đều là đồng
bào dân tộc thiểu số nên trình độ tiếp thu còn rất hạn chế đặc biệt là về các môn khoa
học tự nhiên, nhiều em con đọc viết rất chậm khi lên lớp 6 do đó q trình tiếp thu
mơn Tốn của các em tương đối cịn yếu, còn chậm.
Từ một vài kinh nghiệm của bản thân khi giảng dạy “Giải bài tốn bằng cách
lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình mơn Tốn lớp 9” đã thơi
thúc tơi ý tưởng trình bày sáng kiến của mình để cùng trao đổi kinh nghiệm với các
đồng nghiệp trong q trình dạy học mơn Tốn.

skkn

4
2. Mục đích nghiên cứu
Để giảng dạy học sinh lớp 9 thực hiện dễ dàng hơn trong việc “Giải bài tốn
bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình mơn Tốn lớp
9”, ứng dụng của Tốn học trong cuộc sống, kích thích sự u thích, tìm hiểu mơn
Tốn cũng như các mơn khoa học khác.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hướng dẫn học sinh cách lập phương trình, hệ phương trình rồi giải phương
trình, hệ phương trình một cách kỹ càng, chính xác.
Giúp các em học sinh có kỹ năng thực hành giải toán tương đối thành thục khi
gặp bài tốn địi hỏi bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Các phương pháp tìm lời giải bài toán, các bài toán giải bằng cách lập phương trình
và hệ phương trình trong chương trình tốn THCS ở lớp 9
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài được nghiên cứu và áp dụng giảng dạy cho học sinh THCS ở lớp 9 trên
cơ sở các bài toán về “Giải bài tốn bằng cách lập hệ phƣơng trình” của Chương
III - Đại số Toán 9 tập 2, các bài tốn “Giải bài tốn bằng cách lập phƣơng trình”
của Chương IV - Đại số Toán 9 tập 2, các bài tốn giải bằng cách lập phương trình và
hệ phương trình trong các sách tham khảo.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp trực quan
Phương pháp tìm tịi
Phương pháp làm việc với sách
7. Đóng góp khoa học của sáng kiến
Kinh nghiệm “Giải bài tốn bằng cách lập phương trình và hệ phương trình
trong chương trình mơn Tốn lớp 9” đã được vận dụng trong q trình giảng dạy
mơn Tốn lớp 9 ở trường PT DTNT Tây Nguyên và bước đầu đã giúp cho học sinh
hứng thú hơn trong việc học Toán.

skkn

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

5
Việc vận dụng đề tài áp dụng vào giảng dạy mơn Tốn, đặc biệt là đối với học
sinh lớp 8, lớp 9 sẽ giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài tốn bằng
cách lập phương trình và hệ phương trình qua đó kích thích lịng say mê tìm hiểu mơn
Tốn, u thích mơn Tốn cũng như các môn khoa học khác.
8. Kết cấu của đề tài gồm Mở đầu, hai phần, kết luận, tài liệu tham khảo.
Phần 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG VIỆC GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP
PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH CỦA HỌC SINH LỚP 9
1.1 Cơ sở lý luận
Tốn học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa
học. Ngay từ thế kỉ 13, nhà tư tưởng Anh R. Bêcơn (R. Bacon) đã nói rằng: “Ai
khơng hiểu biết tốn học thì khơng thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và
cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình.”. Đến giữa thế kỉ 20, nhà
vật lí học nổi tiếng (P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí “khơng
được tin vào mọi quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ
đồ này thoạt đầu có thể khơng liên hệ gì với vật lí cả.”. Sự phát triển của các khoa học
đã chứng minh lời tiên đoán của C.Mac (K. Marx): “Một khoa học chỉ thực sự phát
triển nếu nó sử dụng được phương pháp của toán học.”.
Mục tiêu cơ bản của Giáo dục nói chung, của Nhà trường nói riêng là đào tạo
và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có
đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay.
Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy
học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết

vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh.
Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự giác, tích cực tìm ra những
phương pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực,

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

6
tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các mơn học, đặc biệt là mơn học có
tính đặc thù cao là mơn Tốn.
Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa
học hiện đại. Các mơn học đều địi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh. Đặc
biệt là mơn Tốn, nó địi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu
kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để giúp các em học tập
mơn tốn có kết quả tốt giáo viên khơng chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầy
nhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một
cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất.
1.2 Thực trạng của vấn đề
Chương trình mơn Tốn ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em được lĩnh hội
nhiều kiến thức. Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong suốt quá trình
học tập là phương trình. Ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã
được giải phương trình. Đó là những phương trình rất đơn giản dưới dạng điền số
thích hợp vào ơ trống và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong một đẳng thức và
cao hơn nữa các em phải làm một số bài toán phức tạp. Đến lớp 8, lớp 9 các đề tốn
trong chương trình đại số về phương trình là bài tốn có lời. Các em căn cứ vào lời

bài tốn đã cho phải tự mình thành lập phương trình, hệ phương trình và giải phương
trình, hệ phương trình. Kết quả tìm được khơng chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải
phương trình, hệ phương trình mà cịn phụ thuộc rất nhiều vào việc thành lập phương
trình, hệ phương trình. Đó là dạng tốn “Giải bài tốn bằng cách lập phƣơng trình,
hệ phƣơng trình”. Dạng tốn này tương đối khó và mới mẻ, nó mang tính trừu tượng
rất cao, địi hỏi học sinh phải có các kiến thức về số học, đại số, hình học, vật lí và
phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán đã cho với thực tiễn đời sống.
Nhưng thực tế cho thấy phần đông học sinh không đáp ứng được những khả năng trên
nên không giải được các dạng của bài tốn lập phương trình.
Việc giải các bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình đối với học
sinh THCS là một việc làm mới mẻ. Đề bài cho khơng phải là những phương trình, hệ

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

7
phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mơ tả mối quan hệ giữa các đại lượng, học
sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mơ tả bằng lời văn
sang mối quan hệ tốn học. Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn
bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,… Do đó trong q
trình giải học sinh thường qn, khơng quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số
vô lý. Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền
với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên
quan đến thực tế. Do đó khi giải tốn học sinh thường mắc sai lầm và thốt ly thực tế.
Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặc khác, cũng có
thể trong q trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học
sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán,

chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh
còn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc
học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại tốn này. Đối
với việc giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình các em mới được
học nên chưa quen với dạng tốn tự mình làm ra phương trình, hệ phương trình. Xuất
phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý
thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại khơng làm được. Do vậy
việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải tốn, ngồi việc nắm
lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy,
đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài tốn, tơi thấy
cần phải tạo ra cho các em có niềm u thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu
hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài tốn khó, phải có nghị lực, tập trung
tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó
khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng cách lập phƣơng
trình, hệ phƣơng trình” lớp 8, lớp 9 tơi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

8
phương trình, hệ phương trình rồi giải phương trình, hệ phương trình một cách kỹ
càng, u cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải tốn phù hợp với từng dạng
bài là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, khơng
chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà cịn phải tạo ra cho các em có một phương
pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được điều

đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.
Kết luận phần 1
Từ những lí do nêu trên, do đó giáo viên khơng chỉ truyền thụ cho học sinh
những kiến thức như trong sách giáo khoa (SGK) mà còn dạy cho học sinh cách giải
bài tập. Giáo viên khi hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này phải dựa
trên các quy tắc chung là: yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải bài tốn bằng
cách lập phương trình, phân loại các dạng tốn, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại
lượng dẫn đến lập được phương trình dễ dàng. Và khi lập được phương trình rồi thì
địi hỏi phải giải cho chính xác, tìm ra kết quả rồi sau cùng mới kết luận bài toán. Đây
là bước đặc biệt quan trọng và khó khăn khơng những đối với học sinh mà cịn đối với
giáo viên. Do đó giáo viên khơng những cố gắng rèn luyện cho học sinh cách giải mà
cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư
duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài tốn, tạo được lịng say mê, sáng tạo, ngày
càng tự tin, khơng cịn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình.

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

9
Phần 2
GIẢI PHÁP HƢỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP
PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH CỦA HỌC SINH LỚP 9
2.1 Phân tích, tìm hiểu dạng tốn “Giải bài tốn bằng cách lập phƣơng
trình và hệ phƣơng trình”
Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan
khác, tơi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao

trong cơng tác. Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải bài tốn bằng cách
lập phương trình nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù
hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng. Các bài tập ở dạng từ thấp đến cao để
các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời
kích thích sự tìm tịi và sáng tạo của những học sinh khá, giỏi.
Bên cạnh đó tơi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng
nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân cịn phải tham gia trao
đổi nhóm khi cần thiết. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách
nhiệm với bản thân và tập thể.
Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng
bộ nhưng khi giải bài tốn bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa vào một
quy tắc chung: Đó là các bước giải bài tốn bằng cách lập phương trình. Cụ thể như
sau :
Bƣớc 1: Lập phƣơng trình (hệ phƣơng trình) gồm các cơng việc sau
- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bƣớc 2: Giải phƣơng trình (hệ phƣơng trình)
- Tùy từng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn
và phù hợp.

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

10
Bƣớc 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình ( nghiệm
của hệ phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi

kết luận).
Lƣu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận dạng
bài toán là dạng tốn nào, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải. Bước 1 có tính chất quyết
định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số. Xác định đơn vị
và điều kiện của ẩn phải phù hợp với thực tế cuộc sống.
2.2 Phân tích, tìm hiểu những u cầu khi giải bài tốn bằng cách lập
phƣơng trình và hệ phƣơng trình
Tuy đã có quy tắc trên nhưng người giáo viên trong quá trình hướng dẫn cần
đảm bảo cho học sinh thực hiện theo các yêu cầu sau :
Yêu cầu 1 : Lời giải khơng phạm sai lầm và khơng có sai sót mặc dù nhỏ.
Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn học
sinh tìm hiểu đề tốn. Do đó trước khi giải giáo viên phải u cầu học sinh đọc thật kỹ
đề bài, đọc lại đề bài nhiều lần, từng câu, từng chữ trong đề bài để nắm được đề bài đã
cho những gì, yêu cầu tìm những gì. Từ đó giúp học sinh hiểu kỹ đề tốn và trong q
trình giải khơng có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm. Việc hiểu kỹ nội dung đề
bài là tiền đề quan trọng trong việc giải bài tập tốn. Nó giúp học sinh rất nhiều trong
việc chọn ẩn, đặt điều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ năng tính tốn, …
Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiều với
điều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kết luận bài tốn.
Ví dụ 1 : Bài tập 37 SBT Toán 9 tập 2 - trang 09
Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn
hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho
Phân tích :
Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân:
+ số có hai chữ số

ab

thì được biểu diễn là 1 0 a

)

Theo đề bài ta có :
Số ban đầu cần tìm là :

xy

10 x

y

Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là :

yx

10 y

x

Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình :

Giải hệ ta được :

x

1

y

8

10 y

x

10 x

y

63

10 x

y

10 y

x

99

x
x

y
y

7
9

Vậy số ban đầu cần tìm là : 18
Sau khi tìm ra

x

1

y

8

, giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện ban đầu

của đề bài xem đã thỏa mãn các điều kiện chưa.
Yêu cầu 2 : Lời giải phải có căn cứ chính xác.
Khi giải bài tốn bằng cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lập
luận phải có căn cứ và phải chính xác, khoa học. Vì mỗi câu lập luận trong bài giải
đều liên quan đến ẩn số và các dữ kiện đã cho trong đề tốn. Do đó giáo viên cần phải
giúp học sinh hiểu được đâu là ẩn số, đâu là các dữ kiện đã cho trong bài tốn, để từ
đó dựa vào những yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng đã cho và ẩn số để
lập luận và lập nên phương trình. Vì thế, trước khi hướng dẫn học sinh giải bài tốn
bằng cách lập phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyện tập các phương
pháp biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thức chứa ẩn, trong đó
ẩn số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết. Học sinh có thể sử dụng cách lập

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

12
bảng (có thể viết ngồi giấy nháp) để biểu diễn các đại lượng chưa biết bởi những
biểu thức của ẩn cùng với các quan hệ của chúng.
Ví dụ 2 : Bài toán SGK toán 9 tập 2 - trang 22
Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi
ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi
đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?
Phân tích :
Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được xem
là xong 1 công việc), ta suy ra trong một ngày cả hai đội làm chung

1

công việc.

24

Tương tự, số phần công việc mà mỗi đội làm trong một ngày và số ngày cần thiết để
đội đó hồn thành cơng việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Khi đó nếu gọi :
+ x là số ngày để đội A làm một một mình hồn thành tồn bộ cơng việc
+ y là số ngày để đội B làm một một mình hồn thành tồn bộ cơng việc
Ta có bảng sau :
Cơng việc
Đội A

1

Đội B

1

Cả hai
đội

1

Năng suất

Thời gian

1

x ngày (x > 0)

x

1

y ngày (y > 0)

y
1

1

1

x

y

24

Hệ PT

24 ngày

1

1

1

x

y

24

1

3

x

2

.

1
y

Trong ví dụ trên, nếu chọn ẩn số theo cách khác :
Nếu gọi :
+ x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

13
+ y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B
Ta có bảng sau :
Cơng việc

Năng suất

Đội A

1

x

Đội B

1

y

Cả hai đội

1

x

Thời gian
1

1

ngày (y > 0)

y
1

y

24 ngày

24

x

ngày (x > 0)

x

1

y

24

Hệ PT
x

3

.y

2

Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là “thời gian” thì hệ phương trình phức tạp
hơn so với khi chọn ẩn là “năng suất làm việc”. Do đó khi giải cần chú ý đến việc
chọn ẩn.
Yêu cầu 3 : Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.
Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại tốn này cần phải chú ý đến tính
tồn diện của bài giải. Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác, khơng
thừa cũng khơng thiếu. Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đề bài, khơng
bỏ sót một dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cả các dữ kiện
của bài toán, lập được phương trình, giải tìm được kết quả thì cuối cùng các em phải
chú ý đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn hoặc có thể thử lại kết quả để trả lời, kết
luận bài tốn cho chính xác. Có như vậy mới thể hiện được tính đầy đủ và tồn diện
nhất.
Ví dụ 3: Bài tập 30 SGK Tốn 9 tập 2- trang 22
Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc

35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ
đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất
phát của ôtô tại A.

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

14
Hướng dẫn giải :
Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km)
thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ)
Ta có bảng sau :
Quãng đường (km)

Vận tốc (km/h)

Thời gian (giờ)

Dự định

x (x > 0)

-

y (y > 0)

Đi chậm

x

35 km/h

Đi nhanh

x

50 km/h
x

x

giờ

35
x

giờ

50

2

y

1

y

35

Hệ PT

x
50

Giải hệ ta được :

x

350

y

8

Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát của ôtô là : 12 – 8 = 4 giờ sáng
Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt
Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang tính
tồn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm
được
Ví dụ 4: Bài tốn cổ SGK toán 8 tập 2 - trang 24
“Vừa gà vừa chó
Bó lại cho trịn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”
Hướng dẫn :

Gọi số con gà cần tìm là x ( x

Z

,0

x

36

)

và số con chó cần tìm là y ( y

Z ,0

y

36

)

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

15
Theo đề ra ta có hệ phương trình :

x

y

2x

36
4 y

100

Nếu ta giải quyết bài tốn theo hướng trên thì lời giải ngắn gọn, hệ phương
trình dễ giải hơn
Nhưng nếu ta chọn ẩn số như sau :
Gọi số chân gà là x ( x

Z

,0

x

100

x

Theo đề ra ta có hệ phương trình :

) và số chân chó là y ( y

y

x

y

2

4

Z ,0

y

100

)

100
36

Nếu ta giải quyết bài tốn theo hướng trên thì việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai
lầm hơn.
Yêu cầu 5 : Lời giải phải trình bày khoa học.
Khi giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần lập
luận dựa vào các dữ kiện của đề bài. Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải
có thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau. Giữa các bước
lập luận biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau,
bước sau là sự kế thừa của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý cho bước sau
tiếp nối. Không nên diễn giải lung tung, khơng có trình tự, dài dịng giữa các bước.

Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi thực hiện giải bài tốn bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh. Ngoài việc
nhắc nhở học sinh nắm vững các bước giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình,
phương trình, nắm vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối tượng
để giải tốt các bài tập, nhưng việc quan trọng nhất trong thành công dạy học vẫn là do
người giáo viên. Để học sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được lý thuyết để
giải bài tập thì trước hết giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống các
câu hỏi phù hợp, một số bài tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với từng đối
tượng học sinh. Phân tích thật rõ ràng và tỉ mỉ các ví dụ trong sách giáo khoa ở các
tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ các bài tập mẫu cho học sinh qua các giờ học tự
chọn để làm nền tảng cho học sinh giải các bài tập khác. Mặt khác giáo viên có thể

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

16
chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có một nhóm trưởng tổ chức thảo luận
các bài tập mẫu để các em học sinh yếu kém có thể hiểu được bài một cách sâu hơn,
giúp các em có thể giải được một số bài tập tương tự, làm cho các em khơng chán
nản, khơng ngại khó khi giải bài tập giải bài tốn bằng cách lập phương trình. Từ đó
giúp các em có hứng thú giải những bài tập dạng khó hơn. Do vậy giáo viên cần phải
cho học sinh những bài tập tương tự để các em tự làm và cũng cần phải phân loại rõ
ràng cho học sinh từng dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình để từ đó
học sinh có thể chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
2.3 Phân loại và hƣớng dẫn giải các dạng toán cụ thể về giải bài tốn bằng
cách lập phƣơng trình và hệ phƣơng trình
2.3.1 Dạng bài tốn về chuyển động

- Phương pháp giải
Tốn chuyển động gồm 3 đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian.
S = v.t
t=
v=

S

thời gian = quãng đường : vận tốc

v
S
t

quãng đường = vận tốc ´ thời gian

vận tốc = quãng đường : thời gian

Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn;
Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;
Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn;
Đến muộn hơn ( đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn.
Thường chọn vận tốc làm ẩn và phương trình là phương trình thời gian.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
+ Dạng “Khởi hành cùng lúc, cùng nơi và đi cùng chiều” :
Ví dụ 5: Bài 47/Trang 59 (SGK)
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km,
khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3
km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.

30

3
x

30

Phương trình

t(h)

3

30

1

x

2

3

+ Dạng “Tìm vận tốc thực, tìm vận tốc xi (ngược) dịng”:
Vận tốc thực : Là vận tốc của vật đi được khi dịng chảy đứng n.
vxi = vthực + vdịng

vngược = vthực - vdịng

vdịng = (vxi - vngược ) : 2

vthực = (vxi + vngược ) : 2.

Ví dụ 6: Bài 52 /Trang 60 (SGK)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một canô đi từ bến A đến bến
B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A
hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canơ trong khi nước n lặng, biết rằng vận tốc
của nước chảy là 3 km/h.
Đk: x > 3

S(km)

v(km/h)

Ca nơ đi khi nước đứng n

t(h)

x
30

Khi xi dịng

30

x

Khi ngược dịng

30

x

3
x

3
30

3
x

30

Phương trình
x

30
3

x

2
3

3

6

3

+ Dạng “có nghỉ ở dọc đường và thay đổi vận tốc”:
Ví dụ 7: Bài 43/Trang 58 (SGK).
Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông
dài 120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

18
đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc
đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.
Đk: x >0

S(km)

v(km/h)

Lúc đi

(nhanh)

120

x

Lúc về (chậm)

125

x

Phương trình

120

t(h)
120
x

125

1

x

5

x

5

125
x

5

2.3.2 Loại tốn “lao động sản xuất”
- Phương pháp giải
Tổng số lƣợng công việc = số đối tƣợng

lƣợng c.việc của mỗi đối tƣợng

Lượng c.việc của mỗi đối tượng = (Tổng số lượng c. việc) : (số đối tượng)
Lượng công việc : số tấn hàng, số cây, số m2, số bàn ghế,…
Đối tượng : số xe, số người, số tàu,…
Thường chọn số đối tượng làm ẩn.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 8:
Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh được giao nhiệm vụ trồng 56
cây. Vì có 1 bạn trong tổ được phân cơng đi làm việc khác nên để trồng đủ số cây được
giao, mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây so với dự định lúc đầu. Hỏi tổ
học sinh có bao nhiêu bạn, biết rằng số cây phân cho mỗi bạn trồng đều bằng nhau.
(ĐS: 8 h/s).

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

19
Đk: x

Lúc đầu

Lúc sau

Số cây

Số h/s

Số cây của mỗi h/s

(cây)

(nguời)

(cây/ người)

x

56
x



56



56

1

56
56

Phương trình

x

56
1



x

x


1

1

x

2.3.3 Loại tốn “cơng việc”
- Phương pháp giải
Năng suất lao động : là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
Lượng công việc = thời gian ´ năng suất
Năng suất = lượng công việc : thời gian
Năng suất và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau.
Thường chọn thời gian làm ẩn.
“Công việc” = 1
Làm nhanh hơn ( năng suất cao hơn) thì ít thời gian hơn;

làm chậm hơn ( năng suất thấp hơn) thì nhiều thời gian hơn.
công việc = thời gian

năng suất

Năng suất = công việc : thời gian
Thường chọn thời gian làm ẩn x. Đk : x > thời gian cả hai.
Phương trình thường là : Năng suất I + Năng suất II = Năng suất cả hai
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 9:
Hai đội học sinh tham gia ngày “Lao động xây dựng Tổ quốc” cùng làm chung
trong 4 giờ thì xong cơng việc đã được phân cơng. Nếu để mỗi đội làm một mình thì

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

20
đội I làm nhanh hơn đội II là 6 giờ. Tính xem nếu mỗi đội làm một mình thì phải bao
nhiêu thời gian mới xong công việc.
(Đáp số: 6 giờ và 12 giờ)
Đk : x > 4

Công việc

Đội I (nhanh)

1

Đội II (chậm)

1

Thời gian (giờ)

1



x

x

Năng suất ( cv/giờ)

1



6



x

x



6

1

Cả hai đội

1

4

4

Phương trình

1
x

1
x

1
6

4

2.3.4 Loại tốn “liên quan đến hình học”
- Phương pháp giải
Nên vẽ hình (ngồi nháp cũng được).
Các kích thước của hình: là độ dài các cạnh của hình.
Phải thuộc các hệ thức, công thức, định lý, hệ quả … liên quan đến hình để

vận dụng vào bài tốn.
Đối với hình chữ nhật:
chu vi = ( dài + rộng). 2 ;
Þ

Dài =

chu vi

- rộng ;

diện tích = dài ´ rộng
Rộng =

chu vi

2

- dài

2

Nếu chọn chiều rộng là ẩn thì điều kiện là: 0 < rộng <
Nếu chọn chiều dài làm ẩn thì điều kiện là:

chu vi

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

4

chu vi
4

< dài <

.

chu vi
2

:

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

21
Đối với tam giác vng:
Nếu chọn một cạnh góc vng làm ẩn x thì Đk là: 0 < x < cạnh huyền.
Diện tích tam giác =

đ a ùy ´

cao

2

- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 10:

Cạnh huyền của một tam giác vng bằng 10 m. Hai cạnh góc vng hơn kém
nhau 2 m. Tìm các cạnh góc vng của tam giác đó.
Giải
Gọi độ dài của cạnh góc vng nhỏ là x (m),( 0 < x < 10 );
Độ dài của cạnh góc vng lớn là x + 2 (m)
Áp dụng định lý Pitago, ta có phương trình: ( x + 2)2 + x2 = 102
Ví dụ 11 : Bài 48/Trang 59 (SGK)
Từ một miếng tơn hình chữ nhật người ta cắt ở 4 góc bốn hình vng có cạnh
bằng 5 dm để làm thành một cái thùng khơng nắp có dung tích 1500 dm 3. Hãy tính
kích thước của miếng tơn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đơi chiều rộng.
Giải

5 dm

Gọi chiều rộng miếng tôn là x (dm), (x > 10)

5 dm

5 dm

Chiều dài miếng tôn là 2x (dm)

x

Chiều rộng của thùng là x – 10 (dm)
Chiều dài của thùng là 2x – 10 (dm)

5 dm

Vì thể tích của thùng = dài ´ rộng ´ cao nên ta có phương trình:

2x

1500 = (2x – 10).(x – 10). 5
(ĐS: rộng= 20dm và dài =40 cm).
2.3.5 Loại tốn “liên quan vật lí, hóa học”
- Phương pháp giải
Cần nắm vững các cơng thức vật lý, hóa học cũng nhƣ các cơng thức suy
ra để vận dụng vào bài toán.

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

22
D=

M
V

ìï D : la ø k h o ái lư ô ïn g r ie ân g ( k g / m 3 )
ï
ï
ï
Þ
í M : la ø k h o ái lư ơ ïn g ( k g )
ï
ï

ï V : la ø t h e å t íc h ( m 3 ) :
ïỵ

V =

M
D

và M = V. D

Ví dụ về dung dịch:
Nồng độ dung dịch muối là 12 % thì ta nên hiểu:
Trong 100 gam dung dịch có 12 gam muối.
m dd

m ct
m ct

C%

m

H 2O

.1 0 0 %

m dd

Nếu các đơn vị đo của cùng một đại lượng chưa cùng đơn vị thì phải đổi về
cùng một đơn vị.

- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 12 : Bài 50/Trang 59 (SGK)
Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g. Thể
tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm3, nhưng khối
lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1
g/cm3. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.
(ĐS: 8,8 g/cm3 và 7,8 g/cm3).
Khối lượng (M)

Đk: x >

Thể tích (V)
(cm3)

(g)

Miếng thứ nhất

880

Miếng thứ hai

858

858
x

1

(g/cm3)

880

x

x

858
x

Phương trình

Khối lượng riêng (D)

880

1

10

x

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

x

1

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

23
Ví dụ 13 : Bài 51/Trang 59(SGK)
Người ta đổ thêm 200 g nước vào một dung dịch chứa 40 g muối thì nồng độ
của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao
nhiêu nước ?
Đk: x > 0

Số gam nước

Số gam muối

Lúc đầu

x

40

Lúc sau

x + 200

40
40

Phương trình

x

40

Nồng độ dung dịch
40
x

40

40
x

40
x

240

200

40
40

x

240

10
100

2.3.6 Loại tốn “Quan hệ giữa các số”
- Phương pháp giải

Cần phân biệt tổng các bình phương với bình phương của tổng.
+ Tổng các bình phương của hai số a và b là a2 + b2
+ Bình phương của tổng hai số a và b là (a + b)2.
a
b

và

b

là nghịch đảo của nhau. Số x có nghịch đảo là

a

1

.

x

Phân tích một số ra hai thừa số là biến đổi số đó thành hai số khác nhân với nhau.
Ví dụ: 6 = 2 . 3
Cho tổng hai số : Nếu gọi số thứ nhất là x, thì số thứ hai là: Tổng – x
Cho hiệu hai số : Nếu gọi số lớn là x, thì số nhỏ là : x – hiệu .
Nếu gọi số nhỏ là x, thì số lớn là : x + hiệu.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 14: Bài 41/Trang 58 (SGK)
Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn
một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy
hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào ?

(ĐS: 10 và 15 hoặc: – 10 và –15).

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

24
Giải
Gọi số nhỏ mà một bạn đã chọn là x
Số lớn bạn kia chọn là x + 5
Theo bài ra ta có phương trình x(x + 5) = 150. (HS tự giải tiếp)
Ví dụ 15 : Bài 44/Trang 58 (SGK)
Đố. Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân
với một nửa của nó bằng một nửa đơn vị. (ĐS: 2 hoặc –1).
Giải :
Gọi số phải tìm là x thì một nửa của nó là
Một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là
Theo bài ra ta có phương trình

x
2

x
2

-

1
2

ỉx 1 ử x
1
ỗ - ữ
ữ. =
ỗỗ
ữ 2
ố2 2 ứ
2

Vớ d 16 : Bài 45/Trang 58 (SGK)
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109.
Tìm hai số đó. (ĐS: 11 và 12).
Giải
Gọi số tự nhiên bé là x , (x

Ỵ

N, x > 0)

Số tự nhiên liền sau là: x + 1
Tích của chúng là: x.(x + 1) = x2 + x
Tổng của chúng là: x + (x + 1) = 2x + 1
Theo bài ra ta có phương trình (x2 + x) – (2x + 1) = 109
2.3.7 Một số bài tập đề nghị :
Bài 1: Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai
50 cuốn thì số sách ở giá thứ hai bằng

4

số sách ở giá thứ nhất.Tìm số sách lúc đầu ở

5

mỗi giá.

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

25
Bài 2: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì
1 xe phải điều đi làm cơng việc khác, nên mỗi xe cịn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn
hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối
lượng hàng mỗi xe chở như nhau)
Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể khơng có nước trong 6 giờ thì đầy
bể. Nếu để riêng vịi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vịi thứ hai
chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được

2

bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể

5

trong bao lâu?

Bài 4: Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sau đó 75
phút, trên cùng tuyến đường đó một Ơ tơ khởi hành từ Quy Nhơn đi Hồi Ân với vận
tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/giờ. Hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận
tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hoài Ân 100 km và Quy Nhơn cách Phù
Cát 30 km.
Bài 5: Một Ơ tơ khách và một Ơ tơ tải cùng xuất phát từ địa điểm A đi đến địa
điểm B đường dài 180 km do vận tốc của Ô tơ khách lớn hơn Ơ tơ tải 10 km/h nên Ô
tô khách đến B trước Ô tô tải 36 phút. Tính vận tốc của mỗi Ơ tơ. Biết rằng trong quá
trình đi từ A đến B vận tốc của mỗi Ô tô không đổi.
Bài 6: Một mô tô đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc và thời gian đó
dự định. Nếu mơ tơ tăng vận tốc thêm 5km/h thỡ đến B sớm hơn thời gian dự định là
20 phút. Nếu mô tô giảm vận tốc 5km/h thì đến B chậm hơn 24 phút so với thời gian
dự định. Tính độ dài quảng đường từ thành phố A đến thành phố B.
Bài 7: Một ca nô xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách nhau 24 km ;
cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trơi với vận tốc dịng nước là 4 km/h. Khi đến
B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực
của ca nơ.

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

26
Bài 8: Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một Ơ tơ đi từ A đến
B, nghỉ 90 phút ở B, rồi lại từ B về A. Thời gian lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ. Biết
vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của Ơ tơ.
Bài 9: Cho một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích 100m2. Tính độ dài các
cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2m và giảm

chiều dài của thửa ruộng đi 5m thì diện tích của thửa ruộng tăng thêm 5m2.
Bài 10: Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và
nữ) đã trồng được tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng được và số cây
các bạn nữ trồng được là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ
3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ.
Bài 11: Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách nhau 24 km,
cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trơi với vận tốc dịng nước 4 km /h. Khi đến B ca nô
quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực
của ca nô.
Bài 12: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu
người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm được 25% cơng việc.
Hỏi mỗi người làm một mình cơng việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bài 13: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai
tổ 1 vượt 15%.tổ 2 vượt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản
phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm
Bài 14: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nước 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi
hợp tác xã đã bán cho nhà nước. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho
nhà nước nhiều hơn hai lần số thóc hợp tác xã thứ hai bán là 280 tÊn.
Bài 15: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai
tổ 1 vượt 15%.tổ 2 vượt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản
phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm

skkn
Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9Skkn.giai.bai.toan.bang.cach.lap.phuong.trinh.va.he.phuong.trinh.trong.chuong.trinh.mon.toan.lop.9

Skkn giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn toán lớp 9

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về