Skkn chuyên đề phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc khai thác lời giải một bài toán bất đẳng thức trong chương trình toán thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
Mơn: Tốn
PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH TỪ VIỆC KHAI THÁC LỜI
GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THCS.
Tác giả: Đỗ Minh Giáp – Trường THCS Lê Hồng Phong
Dành cho đối tượng: Học sinh giỏi THCS
Thời lượng: 20 tiết
I- ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong nhiều năm giảng dạy bộ mơn tốn ở trường THCS và nhiều năm bồi dưỡng học
sinh giỏi các cấp tôi nhận thấy vấn đề bất đẳng thức là một vấn đề khó nhưng lại có nhiều tác
dụng trong việc rèn luyện trí tuệ cho học sinh. Về kiến thức lý thuyết cũng như bài tập về phần
bất đẳng thức được ẩn tàng trong từng bài học và trong những bài tập từ trung bình đến nâng
cao. Giáo viên giảng dạy hiểu vấn đề này một cách đơn giản, chưa thấu đáo và triệt để. Chính
vì vậy mà khi giảng dạy giáo viên thường coi nhẹ hoặc cho vấn đề đó là khó, khơng quan
trọng. Mặt khác chính học sinh khi học, tiếp cận với vấn đề bất đẳng thức còn lơ mơ ngại khó.
Như chúng ta đều biết khi theo dõi đề thi học sinh giỏi các cấp nhiều năm gần đây thì thấy số
lượng các bài tốn về bất đẳng thức và vận dụng bất đẳng thức chiếm tỉ lệ cao trong mỗi đề.
Mặt khác trên báo học toán tuổi trẻ, báo toán tuổi thơ dành cho học sinh trung học cơ sở thì các
bài viết cũng như số lượng bài toán về bất đẳng thức chiếm tỉ lệ cao. Với tầm quan trọng và
tính cấp thiết của vấn đề tôi viết chuyên đề này giúp cho phần nào giáo viên trực tiếp giảng dạy
trên lớp cũng như đội ngũ giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi và những học sinh u thích bộ
mơn tốn có cách nhìn nhận và đánh giá về bài toán bất đẳng thức, tăng thêm một phần kiến
thức cũng như sự đam mê, thích thú khi nghiên cứu về vấn đề này. Mặt khác giúp cho sự phát
triển tư duy lơ gíc của học sinh: giúp cho các em cảm nhận được mạch tư duy, cách suy nghĩ,
cách đánh giá trước những vấn đề tưởng chừng đơn giản nhưng lại rất hay và lý thú. Một lần
nữa tơi viết chun đề này mong muốn đóng góp một phần nhỏ cho việc giảng dạy và học tập
của giáo viên và học sinh đạt kết quả cao hơn.

Nội dung chuyên đề bao gồm:
 Một số bài toán bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS .
 Một số bài tốn bất đẳng thức hay & khó .
II- NỘI DUNG
II.1. Định nghĩa và một số tính chất của bất đẳng thức :
1/Định nghĩa :
Ta nói rằng số a lớn hơn số b ( hoặc số a nhỏ hơn số b ) .Ký hiệu là : a> b ( hoặc aNếu a - b > o ( hoặc a - b < o ) . Ta gọi a>b (hoặc a < b ) là một bất đẳng thức .
+/Chú ý: Đơi khi ta cịn viết :a ≥ b  a-b ≥ 0 ;( hoặc : a≤ b  a-b ≤ 0 .
2/ Tính chất :
a/ T/C 1: a ≥ b  a + c ≥ b + c ( với c ) .
b/T/C 2 : nếu a ≥ b và b ≥ c => a ≥ c .
c/T/C 3 : nếu a ≥ b và c ≥ d thì a + c ≥ b + d .
d/ T/C 4 : nếu a ≥ b và c ≤ d thì a – c ≥ b – d .
e/ T/C 5 : với mọi c > 0 thì : a ≥ b  a . c ≥ b .c .
với mọi c < 0 thì : a≥ b  a . c ≤ b . c .
f/ T/C 6 : nếu a ≥ b ≥ 0 hoặc 0 ≥ a ≥ b thì :

1 1
 .
a b

21

skkn


Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
a c
a ac c
 thì : 
 .với  b ; d > 0.
b d
b bd d
h/T/C 8 : với mọi a ; b là số thực thì : a  b  a  b ; a  b  a  b

g/T/C 7 : nếu

a
a am
 1 và b > 0 thì : 
với  m  0 .
b
b bm
a
a am
a am
Nếu  1 và b > 0 thì : 
với  m  0 ; 
với  b > m  0 .
b
b bm
b bm
k/ T/C 10 : Với  n  N ; n lẻ thì : x  y  xn  yn ; x  y  n x  n y .

i/T/C 9 : nếu

Với  n  N ; n chẵn thì : │x│≥ │y│ xn ≥ yn ; │x│≥ │y│ n x ≥ n y .
m/ T/C 11 : Với  x ≥ 1 và m ; n  N* thì : m ≥ n  xm ≥ yn .
Với  x / o ≤ x ≤ 1 và m ; n  N* thì : m ≥ n  xm ≤ yn .
n/T/C 12 Một số bất đẳng thức cổ điển :
n.1/ Bất đẳng thức Cô Si : Với mọi số thực không âm : a1 ; a2 ; …; an .Thì :
a  a  ...  a ≥ n . ....
a1 a 2 a n . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
2
a1 = a2 = …= an
n2/ Bất đẳng thức Bu-Nhi-A-Cốp-SKi : Với hai dãy :( a1;a2;…;an ) và ( b1; b2 ;…; bn ) tùy ý thì :
( a1.b1 + a2.b2 +…+ an .bn )2 ≤ ( a21+a22+…+ ann ) .( b21 +b22 +…+ bnn)
Dấu bằng xảy ra khi và khi : ai = t . bi ; với mọi i = 1 ;2; 3 ;…; n
n3/ Bất đẳng thức Trê Bư Xép :
Với 2 dãy tăng hoặc giảm : ( a1  a 2  ...  a n ) và ( b1  b 2  ...  b n ) .
1

Hoặc : (

a a
1

2

2

n

 ...  a n ) và

b b
1

2

 ...  b 2 


 ...  a n
Thì : ( a1. b1+ a2.b2 +…+ an. bn ) ≥ a1 a 2
( b1+b2+…+bn)
n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a1= a2= …= an hoặc b1= b2= …= bn
Với 2 dãy : dãy này tăng dãy kia giảm :  a 1  a 2  ...  a n  và  b1  b 2  ...  b n 
Thì : ( a1. b1+ a2.b2 +…+ an. bn ) ≤

a a
1

2

 ...  a n
n

. ( b1+b2+…+bn)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a1= a2= …= an hoặc b1= b2= …= bn
II.2. Một số ví dụ minh họa
Bài tốn 1: Chứng minh rằng  x,y  R thì x2 + y2  2xy

Lời giải 1: Xét hiệu: x2 + y2 – 2xy = (x – y)2  0  x2 + y2  2xy (đpcm)
Lời giải 2: Ta ln có:  x,y thì (x – y)2  0  x2– 2xy + y2  0
 x2 + y2  2xy (đpcm)
2
2
Từ bài toán 1 ở trên ta thay x & y tương ứng bởi x ; y thì ta có bài tốn sau:
Bài tốn 1.1: Chứng minh rằng  x,y  0 thì: x + y  2 xy .
Ta lại thấy nếu áp dụng bài toán 1 ở trên cho 4 số trở lên và đặc biệt thay một số chữ bởi các số
cụ thể thì ta có :
Bài tốn 1.2: Chứng minh rằng  a,b thì : a2 + b2 + 2  2(a +b) .
Bài toán 1.3: Chứng minh rằng  a,b,c thì: a2 + b2 + c2 + 3  2(a + b + c) .
Như vậy từ 4 bài toán trên ta thấy rằng việc đưa ra bài toán tổng qt & giải bài tốn đó thật dễ
ràng .

22

skkn


Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
Bài toán 1.4: Chứng minh rằng:
a1 , a2 , a3 ....an thì: a12  a22  ...an 2  n  2(a1  a2  ...  an ) với  n  N, n  1.
Hãy vận dụng bài toán 1 giải bài toán sau :
Bài toán 1.5: Chứng minh rằng: Với  ai > 0; i = 1, n và a1.a2…an = 1 thì:

(a1 + 1)(a2 + 1)…(an + 1)  2n .
Trong chương trình tốn lớp 8 đã học hằng đẳng thức bình phương của một hiệu :

 x  y

2

2

 x  2 xy 

y

2

 0 => x2+ y2 => 2xy . Từ đó ta có bài toán sau :

Bài toán 2: Chứng minh rằng:  x,y,z thì: x2 + y2 + z2  xy + yz + zx
Lời giải 1: Ta có: x2 + y2  2xy (1)
y2 + z2  2yz (2)
z2 + x2  2xz (3)
Cộng các vế của ba bất đẳng thức cùng chiều ta được:
2(x2 + y2 + z2)  2(xy + yz + zx)
 x2 + y2 + z2  xy + yz + zx (đpcm)
Lời giải 2: Xét hiệu: x2 + y2 + z2 – (xy +yz +zx) =

1
1
(2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2xz – 2yz) =
2

2

( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2   0  x2 + y2 + z2  xy + yz +zx (đpcm)

Lời giải 3: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki cho hai dãy: (x,y,z) và (y,z,x) ta có:
(xy +yz +zx)2  (x2 +y2 + z2)(y2 + z2 + x2)
 (xy +yz +zx)2  (x2 + y2 + z2)2
 xy  yz  zx  x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2  xy + yz + zx (đpcm)
Từ bài toán 2, ta đề suất các bài toán sau:
Bài toán 2.1: Chứng minh rằng  x1, x2, …,xn thì x12 + x22 +… + xn2  x1x2 + x2x3 +… + xnx1
Bài toán 2.2 (bài tốn đặc biệt hóa):
Chứng minh rằng a2 + b2 + 1  ab + b + a .
Vận dụng bài toán 1& t/c xắp thứ tự trong R để giải bài toán sau :
Bài toán 2.3: Cho 5 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng ta có thể sắp xếp 5 số đó trên
một vịng trịn sao cho tổng của tích hai số liền nhau khơng lớn hơn

1
.
5

Hướng dẫn: Xét 5 số x1, x2, x3, x4, x5 > 0 và x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1
Khi đó: 1 = x12 + x22 + x32 + x42 + x52 + 2

 ( x1 x  x2 x3  x3 x4  x4 x5  x5 x1 )  ( x1 x4  x2 x4  x2 x5  x3 x5  x1 x3 ) 

Khơng giảm tính tổng qt giả sử: (x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5)  (x1x3 + x1x4 + x2x4+ x2x5 + x3x5).
Khi đó
1  5(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1)  x1x2 + …+ x5x1 

1

(đpcm) .
5

Tiếp tục ta xét bài toán sau :
Bài toán 3: Xác định số thực p để bất đẳng thức sau thỏa mãn với  x1, x2, x3 > 0
x12 + x22 + x32  p(x1x2 + x1x3)

23

skkn
Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs


Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS

p2 2
x1  x2 2  px1 x2 
p 2

4
2
2
Lời giải: Ta có: 2
  x1  x2  x3  p ( x1.x2  x4 .x3 )

2
p 2
x1  x32  px1 x3 

4


Để x12 + x22 + x32 ≥ p(x1x2 + x1x3) ;  x1, x2, x3 > 0

p2 2
p2
x1  x22  x32  1 
 p 2
2
2
Vậy  p  R/ p  2 thì: x12 + x22 + x32  p(x1x2 + x1x3) với  x1, x2, x3 > 0

Ta cho x12 + x22 + x32 ≥

Ta mở rộng cho bài toán 3 :
Bài toán 3.1: Xác định số thực p để bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi số thực x1, x2, x3, x4 > 0
x12 + x22 + x32 + x42  p(x1x2 + x1x3 + x1x4) .
Giải tương tự như bài tốn 3 :
Ta có :

p

2

4

2
1

p

2

x + x2 ≥ px1x2 (1)

2

4

2

2
3

x1 + x ≥ px1x3 (2)

p

2

x12 + x42 ≥ px1x4 (3)

4

Cộng các vế của 3 BĐT trên lại ta được :

3p
4

2

x12+ x22+ x32+x42 ≥ px1x2+ px1x3+ px1x4 .

Ta cho : x + x2 + x + x4 
2
1

2

2
3

2

3p
4

2

2
1

2
2

2

3

x + x + x +x4

2

==> 1 ≥ 3p
4

2

=>

2
 p .
3

Vậy: x12 + x22 + x32 + x42  p(x1x2 + x1x3 + x1x4) ; với  x1; x2; x3; x4 khi :

2
 p .
3

Bài toán 3.2: (Bài toán tổng quát): Xác định số thực p  R để bất đẳng thức sau thỏa mãn với 
n

xi > 0; i = 1, n :

x
i 1

2
i

 p(x1x2 + x1x3 +… + x1xn) .

Chúng ta xét tiếp bài toán :
Bài toán 4: Cho 2 số dương x, y thỏa mãn x + y = 2. Chứng minh rằng:
x2y2(x2 + y2)  2 (1)
Lời giải: Từ x + y = 2  x2 + y2 = 4 – 2xy
Mặt khác theo bất đẳng thức Cơsi ta có 2 = x + y  2 xy  xy  1 <=>xy  1
Cách1: Ta có (1)  2 – x2y2(x2 +y2)  0 2 – x2y2(4 – 2xy)  0


2
+ 2xy – 4  0 (2)
x y2
2

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương:
2
4
2
=
2 + 2xy  2
x y
xy
2

2

; 2xy và vì: 0 < xy  1 ta có:
x y2
2

4
 4  Bđt (2) đúng  Bđt (1) đúng
xy

Cách 2: áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương: 2xy, x2 +y2 ta có:
2 2 xy ( x 2  y 2 )  2xy + x2 + y2 = (x + y)2 = 4
 xy(x2 + y2)  2  x2y2(x2 +y2)  2xy  2 (do 0< xy  1)
 x2y2(x2 + y2)  2 (đpcm) .

24

skkn
Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs


Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
Cách 3: Xét tỉ số :
x2 y2 ( x2  y2 )
xy ( x 2  y 2 )
 A 

(do 0  xy  1 nên x2y2  xy)
2
2
xy ( x 2  y 2 )
1 2 xy  x 2  y 2 2
1
24
 A 
 (
)  ( x  y)4 
=1
4
4
2
16
16
 x2y2(x2 + y2)  2

A=

Cách 4: Xét hiệu: B = x2y2(x2 + y2) - 2 = x2y2(4 – 2xy) – 2
Đặt xy = t với 0 < t  1. Ta có: B = t2(4 – 2t) – 2
= -2t3 + 4t2 – 2
= 2(1 – t)(t2 – t -1)
2
= 2(1 –t)  (t  1)  t   0
(vì t  1  1-t  0 và (t2 -1) – t  -1 < 0)
2
2
2

2
2
 B  0  x y (x + y )  2 (đpcm) .
Cách 5: Xét biểu thức T = x2y2(x2 + y2)  T = xy(4 – 2xy)
 2(xy)2 – 4xy + T = 0(*)
Coi (*) là phương trình bậc 2 đối với ẩn (xy) thì phương trình có nghiệm khi  ' = 4 – 2T 
0  T  2 mà x2y2(x2 + y2)  T  2 ( vì 0  xy  1) => (đpcm) .
Vận dụng lời giải bài toán trên hãy giải các bài tốn sau:
Bài tốn 4.1: Tìm nghiệm ngun dương của hệ phương trình:
x  y  2
 2 2 2
2
x y (x  y )  2

Bài toán 4.2: Cho 2 số nguyên dương x, y thỏa mãn x + y = a. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức A = xy(x2 + y2) .
Xuất phát từ bài toán :
Bài toán 5: Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc (*)
Lời giải:
Cách 1: Ta có: a2  a2 – (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c)  0 (1) ( do a, b, c là độ dài ba cạnh
trong một tam giác)
Tương tự ta có: b2  (b – c + a)(b + c – a)  0 (2)
c2  (c – a + b)(c + a – b)  0(3)
Nhân các vế của 3 bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:
2
a2.b2.c2   (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b) 
 abc  (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) (đpcm) .Nếu ta thay, đổi biến mới thì ta có một lời giải
khác :
Cách 2: Đặt x = a + b – c; y = c + a – b; z = b + c – a với x, y, z > 0 do a, b, c là độ dài ba cạnh

tam giác.
Khi đó: a =

x y
x z
yz
,b=
,c=
thay vào bđt (*)
2
2
2

( x  y )( y  z )( z  x)
 xyz  (x +y)(y+z)(z+x)  8xyz (**)
8
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: x + y  2 xy > 0;

Ta có:

y + z  2 yz > 0 ;z + x  2 xz > 0 .

25

skkn
Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs


Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
Nhân các vế của 3 bất đẳng thức cùng chiều có 2 vế đều dương ta có:
(x +y)(y+z)(z+x)  8xyz  bất đẳng thức (**) đúng  bất đẳng thức (*)
đúng.
Ta thay đổi bđt (*)  (a + b + c – 2c)(b + c + a – 2a)(a + b + c – 2b)  abc
 (2p – 2c)(2p – 2a)(2p – 2b)  abc
 (p – a)(p – b)(p – c) 

abc
( vì p là nửa chu vi của tam giác)
8

Từ đó ta có :
Bài tốn 5.1: Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh tam giác và p là nửa chu vi. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
A=

( p  a )( p  b)( p  c )
abc

Ta có thể mở rộng giả thiết: a, b, c là độ dài của ba cạnh của một tam giác thành: a, b, c là
ba số dương thì bất đẳng thức (*) vẫn đúng.
Do a, b, c có vai trị như nhau khơng mất tính tổng quát, giả sử 0< a  b  c
Khi đó: hai trong ba thừa số: (a + b – c); (b + c – a); (a + c – b) ln có giá trị dương.
Nếu ba thừa số đều dương chứng minh tương tự như trên thì bất đẳng thức (*) đúng.
Nếu có một thừa số khơng dương thì (*) ln đúng do đó ta lại có bài tốn.

Bài tốn 5.2: Cho a, b, c là ba số dương.
Chứng minh rằng (a + b – c)(b + c – a)(c + a –b)  abc .
áp dụng bài toán 5.2 cho ba số dương: a, 1,

1
và thêm giả thiết a.b.c = 1.
b

1
1
1
a
)(a + - 1)( + 1 – a) 
b
b
b
b
1 1
- 1)(a +1 - )( + 1 – a)  1
b b
1 1
- 1)(ab – b – 1)(  - 1)  1
ab a
1
1
- 1)(b + - 1)(c + - 1)  1
c
a

Ta có: (a +1 1

b
1
 (a +
b
1
 (a +
b
 (a +

Từ đó ta có bài tốn mở rộng sau:
Bài toán 5.3: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a.b.c = 1. Chứng minh rằng: (a +
- 1)(b +

1
1
- 1)(c + - 1)  1
c
a

Theo bài tốn 5 ta có: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc
áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: 8abc  (a + b)(b + c)(c +a)
Khi đó: 8(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  (a + b)(b + c)(c +a)
a b c b c a c  a b 1
.
.

ab
bc
ca
8

c
a
b
1
 (1 
)(1 
)(1 
)
ab
bc
ac 8


Ta lại có bài tốn sau :
Bài tốn 5.4: Cho ba số dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

26

skkn
Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

1
b


Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
P = (1 

c
a
b
)(1 
)(1 
).
ab
bc
ac

Một bđt rất quen thuộc & được sử dụng nhiều trong chứng minh cũng như tìm cực trị đó là bài
tốn sau :
Bài tốn 6: Chứng minh rằng  x,y > 0 thì

1 1
4
 
x y x y

Lời giải:
1 1
4
x y
4
( x  y ) 2  4 xy
( x  y)2

 

 0
=
=
=
x y x y
x. y x  y
xy ( x  y )
xy ( x  y )
1 1
4
Với  x,y > 0   
x y x y
1 1
4
x y
4


Cách 2:  
(x + y)2  4xy (do x, y > 0)
x y x y
x. y
x y
 (x – y)2  0 bất đẳng thức luôn đúng  bất đẳng thức (1) đúng 

Cách 1: Xét hiệu:

(đpcm)

Cách 3: Ta có: (x – y)2  0 x2 + y2  2xy  (x2 + 2xy + y2)  4xy
x y
4

(do x,y > 0)
x. y
x y
1 1
4
 

(đpcm)
x y x y

(x + y)2  4xy 

Ta thay x = a + b – c; y = c + a – b; z = b + c – a với a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác. Khi đó
vận dụng bài tốn 6 ta có bài tốn sau:
Bài tốn 6.1: Chứng minh rằng với a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thì:
1
1
1
1 1 1


   .
a b c b c a c  a b a b c
1
1
1

11 1 1


     ; với p là nửa chu vi của tam giác ABC .
Hay :
p a p b p c 2  a b c 

Tiếp tục áp dụng bài tốn 6 ta có:
1
1


n
x
y

n

2
n

xy


n

2
x  y .Khi đó thay x= a+b-c ; y= b+c-a ; z = c+a-b
2

Ta được :
n

n

n

1
1
2
n
n
abc
bca
b
1
1
2
n
n
bca
a c b
c
1
1
2
n
n
a c b
a bc

a

Từ đó ta có kết quả :
Bài tập 6.2: Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

27

skkn
Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs


Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
1
1
1
1
1
1
n

 n  n  n ( Với  n   *)
abc
bca cab
a

b
c
Ta lại thấy nếu giả sử: a  b  c thì: b + c – a  a + c – b  a + b – c
1
1
1



b c a c  a b a b c
n

áp dụng bất đẳng thức Trê bư xép cho hai dãy: ( n a  n b  n c ) và (

1
1
1


b c a c  a b a b c

)
Ta có:
3(

n
n
1
1
1

a
b
c


)  ( n a  n b  n c )(
)


b c a c  a b a b c
b c a a c b a b c
n

1 1 1
 ( n a  n b  n c )(   ) (nhớ bài toán 6.1)
a b c

áp dụng bất đẳng thức Trê bư xép một lần nữa cho hai dãy:
1 1 1
a b c
1
1
1
1 1 1
3( n a  n b  n c  ( n a  n b  n c )(   )
a
b
c
a b c

( n a  n b  n c ) &(   ) ta có:

Từ đó ta lại có bài tốn:
Bài tốn 6.3: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
n
n
a
b
c  1  1  1


b  c  a a  c  b a  b  c n a n 1 n b n 1 n c n 1
n

; ( Với  n  N*) .

Để vận dụng bài tốn 6 tơi xin đề suất một số bài tập áp dụng sau :
Bài toán 6.4: Cho các số dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = 1
Chứng minh rằng:

1 1 1 1
    16
x y z t

Bài toán 6.5: Cho các số dương x, y thỏa mãn: x + y = 1. Chứng minh rằng
1
2
 2
 8
xy x  y 2

Bài toán 6.6: Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:
a c bd ca d b



4
ab bc cd d a

Bài toán 6.7: Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
1
1





x  3 y y  3z z  3x x  2 y  z y  2 z  x z  2 x  y
1
1
4
2



Hướng dẫn:

(1)
x  3 y y  2 z  x 2( x  2 y  z ) x  2 y  z
1
1
4
2



Chứng minh tương tự:
(2)
y  3 z z  2 x  y 2( y  2 z  x ) y  2 z  x
1
1
4
2



(3)
z  3x x  2 y  z 2( z  2 x  y ) z  2 x  y

28

skkn
Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs


Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
Cộng các vế của 3 bất đẳng thức và rút gọn ta có kết quả
Bài tốn 6.8: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc = ab + bc + ca
1
1
1
3



.
a  2b  3c 2a  3b  c 3a  b  2c 16
1
1
1 1
1  1 1 1 1
1 

 

Hướng dẫn :
       (1) .
a  2b  3c  a  c   2  b  c  4  a  c 2  b  c   16  a b 2b 2c 

Chứng minh rằng:

1
1 1 1 1
1 
      (2) .
b  2c  3a 16  b a 2c 2a 
1
1 1 1 1
1 
   
  (3) .
c  2a  3b 16  c b 2a 2b 

Tương tự :

Cộng 3 BĐT (1) ; (2) & (3) ta được :
1
1
1
3 1 1 1

     (4)
a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 16  a b c 
1 1 1
Từ giả thiết : abc = ab + bc + ca với a> 0 ; b> 0 ; c > 0 =>   = 1 (5) .
a b c

Kết hợp (4) & (5) ta có ( đpcm ) .
Bài tốn 6.8 : Chứng minh rằng, với mọi số thực dương a, b, c ta có :
ab
bc

ca
abc



..
a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b
6
ab
ab  1
1 
  
Hướng dẫn :
 (1) .
a  3b  2c 4  3b a  2c 
2bc
2bc 
1
1 



 (2) .
b  3c  2a
4  a  b  c a  2c 

Cộng các vế của 2 BĐT (1) & (2) ta được :
ab
2bc
1a

2bc 

  b
 (3)
a  3b  2c b  3c  2a 4  3
abc
bc
2ca
1b
2ca


  
 c  (4)
b  3c  2a c  3a  2b 4  3 a  b  c

ca
2ab
1c
2ab 

  a
 (5)
c  3a  2b a  3b  2c 4  3
abc 

Cộng các BĐT (3), (4) & (5) ta được :
ab
bc
ca

1  4a  4b  4c 2ab  2bc  2ca 


 


a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b 12 
3
abc



1  4 a  b  c 2 a  b  c  a  b  c

(đpcm) .

=
12 
3
3
6


Trong giải tốn một điều khơng thể thiếu được là phải xem xét , phân tích một các kỹ càng, sử
dụng các phương pháp giải một cách triệt để nhất cụ thể từ bài toán 7 ta thay số 1 bởi a2&b2, ta
có bài tốn sau:
Bài tốn 7: Cho các số a, b, c là các số bất kì và x, y, z là những số thực dương thì:

29

skkn
Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs


Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
a 2 b 2 (a  b) 2
 
(1)
x
y
x y
Lời giải: Bất đẳng thức (1)  (a2y + b2x)(x + y)  (a + b)2xy (do x, y > 0)
a2xy + a2y2 + b2x2 + b2xy – a2xy – 2abxy – b2xy  0
 (ay – bx)2  0
Bất đẳng thức luôn đúng  bất đẳng thức (1) đúng.

Ta lại thấy từ bài tốn 7 thì mở rộng để có bài toán sau :
Bài toán 7.1: Với a, b, c, là các số thực tùy ý, x, y, z là các số thực dương thì:
a 2 b 2 c 2 (a  b  c)2
  
x
y z
x y z

Lời giải:

a 2 b 2 (a  b) 2
a 2 b 2 c 2 (a  b) 2 c 2
(a  b  c) 2

 
  


(đpcm) .
x
y
x y
x
y z
x y
z
x yz

Xuất phát từ 2 bài toán trên ta đưa ra bài toán tổng quát sau:
Bài toán 7.2: Cho n số thực bất kì a1, a2, …an và n số thực dương b1, b2,…bn thì:
a 2 (a  a  ...  an ) 2
a12 a2 2

 ...  n  1 2
b1 b2
bn
b1  b2  ...  bn

Vận dụng bài toán 7.1 để giải bài toán :
Bài toán 7.3: Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a2
b2
c2
a bc



bc ca
ab
2

Bài toán 7.4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b +c = 1.
Chứng minh rằng :

1
1
1
 2
 2
 9
a  2bc b  2ac c  2ab
2

Bài toán 7.5: Với a, b, c là ba số dương cho trước; x, y, z là các số dương thỏa mãn đẳng thức:
1 1 1
  = 1. Chứng minh rằng:
x y z
1

1
1
1



P=
ax  by  cz bx  cy  az cx  ay  bz a  b  c
a 2 b 2 c 2 (a  b  c ) 2
  
đặt a + b + c = s
ax by cz ax  by  cz
1
1 a b c
 2 (   ) (1)

ax  by  cz S x y z
1
1 b c a
 2 (   ) (2)
Tương tự:
bx  cy  az S x y z
1
1 c a b
 2 (   ) (3)
cx  ay  bz S x y z
S 1 1 1
1 1 1
1
1

 P 
Từ (1), (2)& (3) ==> P  2 (   ) 
(vì   = 1)
S x y z
x y z
S
abc
a
x

b
y

c
z

Hướng dẫn: Ta có:   

Vận dụng bài toán 7 để giải các bài tốn sau:
Bài tốn 7.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =

2
1

; với 0 < x <1
1 x x

30

skkn

Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs


Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
Hướng dẫn: y =

( 2) 2 12

1 x
x

Bài toán 7.6: Cho các số dương x, y, z, thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng: A =
3
2
 2
> 14
xy  yz  zx x  y 2  z 2
2

( 2)
( 6) 2
Hướng dẫn: A =
.(Lưu ý : tại sao dấu “ = ” không xảy ra )
 2

2( xy  yz  zx) x  y 2  z 2
1
1

Bài tốn 7.7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=
biết a, b, c là ba số
1  2(ab  bc  ca ) abc

thực dương có tổng bằng 1.
Hướng dẫn: (a + b + c)2 = 1  1 -2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 nên viết lại:

1
abc
1
1
1 1
1
9

 2 2 2
   2 2 2
2
2
a b c
abc
a  b  c ab bc ca a  b  c ab  bc  ca
2
2
1
1

12
7
32
7
( 2


)



2
2
2
a b c
ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca (a  b  c ) ab  bc  ca

M=

2

(a  b  c) 2 1
  M  9 + 21 = 30
3
3
1
đẳng thức xảy ra khi a = b = c =  Mmin = 30 ; Khi a= b = c .
3

Mà : (ab + bc + ca) 

Chúng ta lại để ý đến bài toán :
Bài toán 8: Với a, b dương ta ln có: a3 + b3  ab(a + b) (*)
Lời giải: Bất đẳng thức (*)  (a + b)(a2 – ab + b2) – ab(a+b)  0
 (a+b)(a-b)2  0
Cách 2: Ta có: a3 + b3 = (a + b)(a2 -2ab + b2)
Vì a2 – ab + b2  ab  (a + b)(a2 – ab + b2)  ab(a + b)
Với  a,b > 0  a3 + b3  ab(a+ b)
Ta có bất đẳng thức (*) 

a3
 b 2  a (a  b) (do b > 0)
b

a3
 b 2  a 2  ab
b
b3
c3
Tương tự với a, b, c > 0 thì  c 2  b 2  bc ;  a 2  c 2  ac
c
a


Từ đó ta có bài tốn sau:
Bài toán 8.2: Với ba số dương a, b, c.
Chứng minh rằng:

a 3 b3 c 3
   ab + bc + ca .

b c a

Vận dụng kết quả của bài tập 8 ta có bài tốn sau:
Bài tốn 8.3: Với a, b, c dương, Chứng minh rằng:
a 3  b 3 b3  c 3 c 3  a 3


 a+b+c.
2ab
2bc
2ca
Lại có 4(a3 + b3)  (a3 + b3) + 3ab(a + b) với  a, b > 0

31

skkn
Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs


Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
 4(a3 + b3)  (a + b)3

Ta đề xuất được bài toán:
Bài toán 8.4: Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

8(a3 + b3 + c3) ≥ (a + b) 3 + (b + c)3 + (c + a)3
Lại thấy nếu bổ sung thêm giả thiết: abc = 1 thì từ bài tốn 8 ta lại có:
a 3 + b3 + abc  ab (a +b) + abc
1
1

(với a, b, c > 0)
3
a  b  1 ab(a  b  c)
1
1
1
1

Tương tự: 3 3 
và
3
3
b  c  1 bc (a  b  c)
c  a  1 ac(a  b  c)
1
1
1
 3 3
 3
1 .
3
3
a  b  1 b  c  1 c  a3  1

a3 + b3 +1  ab(a + b + c) > 0 

3

Từ đó ta đề xuất được bài toán:
Bài toán 8.5: Cho a, b, c dương, abc = 1.
Chứng minh rằng:

1
1
1
 3 3
 3
1 .
3
a  b  1 b  c  1 c  a3  1
3

Với cách làm tương tự như trên Tơi xin đề xuất một số bài tốn sau đây :
Bài toán 8.6: Cho a, b, c dương và abc = 1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
 5 5
 5
 1 (1)
5
a  b  ab b  c  bc c  a 5  ac
5

Hướng dẫn: Chứng minh : vế trái của (1) 

1
1
1
 3 3
 3
3
a  b  1 b  c  1 c  a3  1
3

Bài tốn 8.7 : Cho a, b, c bất kì không âm.
Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3  a2 bc + b2 ac + c2 ab
Hướng dẫn: a3 + b3 + c3 + 3abc  2a2 bc + 2b2 ac + 2c2 ab
2a2 bc + 2b2 ac + 2c2 ab  a2 bc + b2 ac + c2 ab + 3abc .
Một bài toán tưởng chừng rất đơn giản nhưng ứng dụng kết quả của nó lại cho chúng ta một kết
quả không ngờ bạn hãy thử xem :
Bài tốn 9: Cho hai số khơng âm a, b thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh rằng: a + b  2
(1)
Lời giải: Ta thấy với a, b  0 thì a  b  a2  b2. Khi đó ta có các cách giải sau:
Cách 1: a + b  2  ( a + b )2  2  a + b + 2 ab  2  1 + 2 ab  2  2 ab 
1  2 ab  a + b  a+ b - 2 ab  0  ( a - b )2  0
Với a, b, 0 bất đẳng thức trên luôn đúng bất đẳng thức (1) đúng
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Bunhia cơpski ta có:
(1. a + 1. b )2  (12 + 12)(a + b) = 2  ( a + b )2  2  a + b  2
Ta thay đổi điều kiện của bài toán a + b = 1, ta có bài tốn
Bài tốn 9.1: Cho nai số a, b không âm thỏa mãn a + b = n. Chứng minh rằng
a + b  2n ; (n  N, n  1)
Mở rộng bài toán 9.1:
Cho ba số a, b, c  0 thỏa mãn: a + b + c = n ((n  N, n  1)

Ta được bài toán 9.2:

32

skkn
Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs


Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn a + b + c =n (n  N, n  1). Chứng minh rằng: a +
b + c  3n
Từ ba bài tốn trên ta có thể tổng qt hố bài tốn:
Bài tốn 9.3: Cho n số khơng âm a1, a2, …am thỏa mãn a1+ a2+ …+ am = n
(n, m  N, n, m  1). Chứng minh rằng: a1 + a2 +…+ am  mn
Hãy vận dụng để giải các bài toán sau:
Bài toán 9.4: Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: a  b + b  c + c  a  6
Bài tốn 9.5: Cho bốn số khơng âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 1.
Chứng minh rằng:
a/ a  b + b  c + c  d + d  a  2 2
b/ a  b  c + b  c  d + c  d  a + d  a  b  2 3
Bài toán 9.6: Cho x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2  27. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x
+ y + z + xy + yz + zx
Trong khi giải các bài toán bất đẳng thức thì việc nhận xét và đánh giá bài toán là một vấn đề

rất quan trong. Nhiều bài toán chỉ cần sử dụng một mẹo nhỏ ta đã tìm được lời giải khơng
những thế ta cịn tổng qt được bài tốn. Thật vậy ví dụ như bài tốn sau:
Bài toán 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

25a 16b
c


< 8 (1) .
bc ca a b

Lời giải : Đặt : x= b+ c ; y = c+ a ; z = a +b .
Khi đó suy ra a =

x  y  z
x yz
x yz
,b=
,c=
2
2
2

Vì a, b, c > 0 nên x + y > z, y + z > x, z + x > y (2)

Ta có:

16( x  y  z ) x  y  z
25a 16b
c

25( x  y  z )


=
+
+
2y
bc ca a b
2x
2z

=

25 16 1
25 y 16 x
25 z x
16 z y
(

 )(

)(
 )(
 ) 
2
2
2
2x
2y
2x 2z

2 y 2z
21  2

25 y 16 x
25 z x
16 z y
2
2
= -21 + 20 + 5 + 4 = 8
2x 2 y
2x 2z
2 y 2z

 25 y 16 x
x y
 2x  2 y
5  4


x y z yz
 25 z x
x

  z    
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
2
x
2
z
5

5
4 1
5


y
16 z
y
 2 y  2z
4  z


 x = y + z mâu thuẫn với (2) đẳng thức khơng xảy ra
25a 16b
c


Vậy ta có
>8
bc ca a b

Dựa vào cách giải bài toán trên ta đề xuất bài toán sau:
Bài toán 10.1: Cho m, n, p, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

33

skkn
Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh từ việc

Đỗ Minh Giáp –THCS Lê Hồng Phong

khai thác lời giải một bài tốn bất đẳng thức trong chương trình tốn THCS
ma
nb
pc
1


 ( m  n  p ) 2 - (m + n + p) (*)
bc ca ab 2

Lời giải: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z với x, y, z > 0
Ta có:

a=

x  y  z
x yz
x yz
,b=
,c=
.
2
2
2

với x + y > z, y + z > x, z + x > y ; (do a, b, c > 0)
Khi đó biến đổi ta có:
my nx
mz px
nz py
 )(
 )(  )
2x 2 y
2x 2z
2 y 2z
1
mn  p  np = ( m  n  np ) 2 - (m + n + p)
2

1
2

Vế trái (*) =  (m + n + p) + ( (
1
  (m + n + p) +
2

Tương tự như bài 10 ta lí luận dấu “ =” khơng xảy ra
1
2

2
Vậy Vế trái (*)  ( m  n  p ) - (m + n + p)  (đpcm)

Trong khi giải bài tốn bất đẳng thức ngồi việc sử dụng các phương pháp chứng minh, biến
đổi đại số mà ta biết liện hệ, vận dụng mơn hình học vào để chứng minh thì cơng việc giải tốn
lại trở thành đơn giản, dễ hiểu. Sau đây tôi xin đưa ra một bài toán:
Bài toán 11: Cho a1 , a2 , b1 , b2 ,, là các số dương. Chứng minh rằng :
2

2

1

1

a b



2

2

2

2

a b



 a  a  b b 
2

1

2

1

2

2

Bài giải:Xét trên mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy :
Ta đặt trên tia Oy các đoạn thẳng: OA = a1, AB = a2 , OC = b1 , CD = b2. Qua A, B vẽ các
đường thẳng song song với Ox; qua C, D vẽ các đường thẳng song song với Oy, chúng cắt
nhau tại M, N, P, Q. Ta có OA2 + OC2 = OM2
2
2
y
(do OAMC là hình chữ nhật) => a1  b1  OM2 (1)
MN2+MQ2 = MP2
B
N
P
2
2
=> a 2  b 2  MP2 (2)
OB2 +OD2 = OP2
=> ( a1+ a2 )2 +( b1+ b2 )2 = OP2 (3)
a2
Từ (1);(2)&(3) suy ra :

OM +MB ≥ OB hay :

A

M

Q

a1
Xuất phát từ bài toán 11 ở trên ta phát triển
O
thành bài toán sau:
Bài toán 11.1 :
Cho 2n số dương : ( a1; a2; …; an.) & ( b1 ; b2; …: bn) .
2

Ta có :

2

n
 n
  n



  ai    bi  
i 1
 i 1   i 1 



2

2

i

i

a b

b1 C

D

b2

x

 . Dấu “ =’’ xảy ra khi : a =t.b ; với i=1; 2;…;n
i

i

Hướng dẫn: Trên trục 0y ta đặt liên tiếp các đoạn OA1= a1; A1A2= a2; …; An-1An= an.

34

skkn

Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs


Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs

Skkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcsSkkn.chuyen.de.phat.trien.tu.duy.sang.tao.cua.hoc.sinh.tu.viec.khai.thac.loi.giai.mot.bai.toan.bat.dang.thuc.trong.chuong.trinh.toan.thcs