Bài giảng Toán cao cấp 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (577.01 KB, 155 trang )
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
BỘ MƠN TỐN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
Bài 1:
MA TRẬN
Nội dung chính:
♦ Khái niệm ma trận
♦ Các phép tốn trên ma trận
1|P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Định nghĩa ma trận
Ma trận cấp mn là một bảng hình chữ nhật có
m hàng, n cột chứa các số hoặc các giá trị phần tử.
Kí hiệu: Am×n
2|P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
Am×n
Trong đó:
a a a
1n
11 12
a a a
21
22
2n
=
....
a a a
mn
m 1 m 2
aij - phần tử nằm ở hàng thứ i, cột thứ j
của ma trận.
a a a - hàng thứ i
i 1
i2
in
3|P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
a
1j
a
2j
. - cột thứ j.
.
amj
Ký hiệu khác Am ×n là (aij )m×n . Cịn m × n gọi là cỡ
(hay cấp) của ma trận.
4|P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
2. Một số ma trận đặc biệt
+) Ma trận vuông cấp n là ma trận có số hàng bằng
số cột
a a a
1n
11 12
a a a
2n
An = 21 22
...................
a a a
nn
n1 n2
n×n
5|P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
Các phần tử aii , i = 1, n lập nên đường chéo
chính của nó.
+) Ma trận tam giác trên là ma trận vng có tất cả
các phần tử phía dưới đường chéo chính bằng 0.
a a a
1n
11 12
a a
22
2n
⋮⋮⋱⋮
a
nn
6|P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
+) Ma trận tam giác dưới
a
11 0
a
21 a22
⋮
⋮
a
n1 an1
7|P a g e
⋯ 0
⋯ 0
⋱ ⋮
⋯ ann
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
+) Ma trận đường chéo là ma trận vng có tất cả
các phần tử ngồi đường chéo chính bằng 0.
a
11 0
0 a
22
⋮
⋮
0
0
8|P a g e
⋯ 0
⋯ 0
⋱ ⋮
⋯ ann
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
+) Ma trận đơn vị I là ma trận đường chéo mà tất cả
các phần tử trên đường chéo chính bằng 1.
1
0
⋮
0
9|P a g e
0
1
⋮
0
⋯
⋯
⋱
⋯
0
0
⋮
1
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
1 0
: ma trận đơn vị cấp 2.
Ví dụ: I 2 =
0
1
10 | P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
+) Ma trận khơng là ma trận có tất cả các phần tử
bằng 0. Ma trận không thường ký hiệu là O.
+) Ma trận đối xứng : aij = a ji , ∀i, j = 1, n
1 4 5
Ví dụ: 4 2 6
5 6 3
11 | P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
+) Ma trận đối của A = (aij) m ×n là –A = (–aij ) m ×n .
+) Ma trận cột là ma trận chỉ gồm 1 cột. Đó chính là
véc tơ cột.
1
Ví dụ : B = −2
3
12 | P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
+) Hai ma trận trận bằng nhau :
( )
( )
Am×n = aij = Bm×n = bij ⇔ aij = bij , ∀i, j .
Lưu ý : Hai ma trận muốn bằng nhau phải cùng cấp.
13 | P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
II. CÁC PHÉP TỐN MA TRẬN
1. Phép tốn cộng ma trận
Định nghĩa:
( )
( )
Am×n = aij , Bm×n = bij ⇒ ( A + B )
Ví dụ:
14 | P a g e
6
7
2
m×n
−2 −1 3 5
9 + 2 −9 = 9
4 4
5 6
(
= aij + bij
1
0
9
)
m×n
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
Chú ý:
Phép cộng các ma trận chỉ thực hiện được khi
các ma trận là cùng cấp.
Phép toán trừ ma trận: A – B = A + (−B)
⇒ ( A − B)
m×n
15 | P a g e
(
= aij − bij
)
m×n
Bài giảng tóm tắt
Ví dụ:
Mơn Tốn cao cấp 1
2 −8 −13 2
−
5 4 7
0
2 −8 13 −2 15 −10
+
=
=
−7 0 −2
5
4
4
16 | P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
2. Phép nhân ma trận với 1 số
Định nghĩa: Am ×n = (aij )m ×n
⇒ cAm ×n = c(aij )m ×n = (caij )m ×n
Ví dụ:
2 39 4618
=
2
−2106
−
1
5
3
Nhận xét: Trường hợp riêng nhân 1 số với 1 véc
tơ chính là nhân 1 số với ma trận 1 cột.
17 | P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
3. Phép nhân 2 ma trận
Định nghĩa:
a11 a12
....
...
ai1 ai 2
... ...
am1 am2
Am×n .Bn× p = C m× p
... a1n b11 b1 j
...
... ain b21 b2 j
... ... ... ...
... amn bn1 bn 2
... b1 p c11 c1 j
...
... b2 p c
i1 cij
... ... ... ...
... bnp c
m1 cmj
cij ai1.b1 j ai 2 .b2 j .... ain .bnj
18 | P a g e
.. c1 p
....
.. cip
.. ...
.. cmp
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
Xác định cij : hàng i của A nhân với cột j của B
theo quy tắc nhân vô hướng.
19 | P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
Ví dụ: Tính các giá trị sau
12 1− 2
.
1. a)
−30
3
1
2− 1
071
2. 35 .
−
1
1
2
02
3.
20 | P a g e
11 11
.
11 −1− 1
1− 2 12
.
b)
31
−
3
0
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
Nhận xét: ♦ Hai ma trận chỉ nhân được với nhau
nếu số cột của ma trận đứng trước bằng số hàng
của ma trận đứng sau.
♦ Phép nhân 2 ma trận khơng có tính chất giao hốn.
♦ Từ A.B = 0 khơng suy ra A = 0 hoặc B = 0.
♦ AB = Ab1 Ab1 Ab p , b1 b2 b p là các cột tương
ứng của ma trận B.
21 | P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
Ví dụ: Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm I và II.
Cứ mỗi đô la ( $1) giá trị sản phẩm loại I ( tương ứng II)
công ty chi $0,45 ($0,4) cho nguyên liệu, $0,3 ($0,25)
cho lao động.
0.45 0, 4
với các cột của A là chi phí của
Gọi A =
0,
3
0,25
$1 giá trị sản phẩm loại I, II.
22 | P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
x1
Gọi X = là ma trận sản xuất với $ x1 giá trị của sp
x2
loại I, $ x2 giá trị của sp loại II.
0, 45 x1 + 0, 4 x2
Ta có: AX =
0,
3
x
+
0,25
x
1
2
Với 0, 45 x1 + 0, 4 x2 là tổng chi phí cho nguyên liệu,
0, 3 x1 + 0,25 x2 là tổng chi phí cho lao động.
23 | P a g e
Bài giảng tóm tắt
Mơn Tốn cao cấp 1
4. Tính chất của các phép tốn ma trận
Định lí: Với x, y ∈ ℝ , A, B, C là các ma trận bất kì
để các phép tốn dưới đây được xác định:
1. A + B = B + A
2. A + ( B + C ) = ( A + B) + C
3. A + θ = A
5. x( A + B) = xA + xB
24 | P a g e
4. A + (− A) = θ
