Bài giảng toán cao cấp 1 chương 1 hoàng văn thắng

§3. Các mối liên hệ tuyến tính trong

Các nội dung chính
I. Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn
tuyến tính
1. Tổ hợp tuyến tính
2. Phép biểu diễn tuyến tính
1


II. Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính
1. Khái niệm sự phụ thuộc – độc lập
tuyến tính.
2. Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính
của một hệ vectơ.
3. Một số ví dụ
III. Một số kết quả về sự PTTT – ĐLTT.
2


§3. Các mối liên hệ tuyến tính trong
I. Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn
tuyến tính
1. Tổ hợp tuyến tính:
Trong

Lấy m số thực bất kỳ
tổng

,

cho m véc tơ

+

,

+⋯+

,…,
,…,

(∗)
và lập

(1)
3


Định nghĩa: Mỗi tổng (1) được gọi là một
tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ (∗). Các
số

,

,...,

gọi là các hệ số của tổ

hợp tuyến tính đó.
Nhận xét:

+ Từ một hệ véc tơ cho trước có thể lập
được vô số các tổ hợp tuyến tính.
4


+ Tổng hai tổ hợp tuyến tính bất kỳ của

,

cùng một hệ véc tơ

,…,

là một

tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ đó:
+

+ ⋯+
+

=

+

+

+

+⋯+

+

+⋯
+

+
5


+ Tích của một tổ hợp tuyến tính bất kỳ

,

của hệ véc tơ

,…,

với một số

bất kỳ là một tổ hợp tuyến tính của hệ
véc tơ đó:

+
=

+

+ ⋯+
+ ⋯+

6


Định lý: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến

,

tính của hệ véc tơ n chiều

,…,

cho trước:
=

+

+⋯+

,

,..,

∈

là không gian véc tơ con của không gian
.
Hãy chứng minh định lý trên
7

2.Phép biểu diễn tuyến tính
Định nghĩa: Ta nói rằng vectơ X biểu
diễn tuyến tính qua các vectơ

,

,…,

nếu vectơ X là một tổ hợp tuyến
tính nào đó của hệ vectơ này.

8


Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến

,

tính qua hệ vectơ
tại bộ m số

=

,

,..,
+

,…,

nếu tồn

sao cho:
+ ⋯+

Chú ý: Nếu X biểu diễn tuyến tính qua Y,
tức là: tồn tại số
nói X, Y tỷ lệ

sao cho:

=

thì ta
9


Ví dụ 1: Cho các vectơ

=

=
=

,−
,
,

⇒

=

+

Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ
vectơ

,

hay không?

Trả lời: Có
10


Ví dụ 2: Cho các vectơ

=

,

− , ,

=

,

− , ,

= − ,

, ,

= − ,

, ,

Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ
vectơ

,

,

hay không?
11


=

,

− , ,

=

,

− , ,

= − ,

, ,

= − ,

, ,

Không
Trả lời:
?????

12


Nhận xét: Vectơ 0 luôn biểu diễn tuyến tính
qua mọi hệ vectơ cùng chiều:

0n  0.X1  0.X 2    0.X n
Biểu diễn tầm thường
Khi nào thì X biểu diễn tuyến tính được qua
hệ véc tơ

,

,…,

?
13

Trả lời:
Xét hệ thức:

=

+

+ ⋯+

Thay số ta được:

 X1 
 X2 
 Xm   X 








1    2      m   
 
 

  
  
  

   
 
 

  
14


Đây thực chất là hệ phương trình tuyến
tính m ẩn số:

 X1

A 

 


rộng là:

,

,…,

với ma trận mở

X2  Xm
  
  

X






Các véc tơ được xếp dạng cột
15


Thường giải hệ này bằng phương pháp
Gauss:
+ Nếu hệ vô nghiệm thì X không biểu
diễn tuyến tính được qua

,

,…,

+ Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì X biểu
diễn

,

tuyến

tính

duy

nhất

qua

,…,
16


+ Nếu hệ có vô số nghiệm thì X biểu
diễn tuyến tính được qua

,

,…,

bằng vô số cách.
Ví dụ 1: Hãy biểu diễn tuyến tính véc tơ
X = (2, 1, –1) qua hệ véc tơ:

Giải:

X1  1,3, 2 

X 2   2,5,1

X 3   3,7,5 

17

Thay số ta được

Đs:

= −30

+ 49

− 22
18


Ví dụ 2: Cho hệ véc tơ

X1  1,  2, 3, 0 

X 2   2, 3,  1, 5 

X


3,
4,
3,
2


3


Với giá trị nào của k thì véc tơ
X = (1, – 3, – 4, k) biểu diễn tuyến tính được
qua hệ véc tơ đã cho ?
19


Giải: Giả sử ta có:

X  k1X1  k 2 X 2  k 3 X 3

Thay số ta được:

1
2
 3  1 
 2 
 3 
 4   3 
k1    k 2    k 3     
 3 
 1 
 3   4 
 
 
   
0
5
 2  k 
20

Đồng nhất các thành phần tương ứng ta
được hệ:

 k1
2k

1


3k
1



 2k 2

 3k 3



1

 3k 2
 k2
5k 2

 4k 3
 3k 3
 2k 3

 3
 4
 k
21


“X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ đã
cho ⇔ hệ phương trình với các ẩn

,

,

có nghiệm”
Lập ma trận mở rộng của hệ và biến đổi
khử ẩn trên ma trận mở rộng ta có:

22


1
 1 2 3 1 
0
 2 3 4 3
 
A
0
 3 1 3 4 




0
5
2
k


0
1
1 
1 2 3
0
 0 1 2 1 
 

0 0 4
4 
0



0
0
12
k

5



0

2 3 1 
1 2 1

5 6 1

5 2 k
2 3
1 

1 2 1

0 4
4 

0 0 k  7

Hệ có nghiệm ⟺ k – 7 = 0 ⟺ k = 7
23


Sự phụ thuộc tuyến tính–độc lập tuyến tính
Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính
Định nghĩa:

,

,…,

Ta

nói

rằng

hệ

vectơ

phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ

khi tồn tại m số thực

,

,…,

trong đó

có ít nhất một số khác 0, sao cho:

1 X 1   2 X 2     m X m  0 n   
24


Ngược lại, nếu đẳng thức (∗) chỉ thỏa
mãn khi tất cả các hệ số ở vế trái bằng 0:

=

=⋯=

thì ta nói hệ vectơ

,

=0
,…,

độc lập

tuyến tính.
Như vậy, một hệ véc tơ cho trước chỉ có
hai khả năng: ĐLTT hoặc PTTT
25