Bài giảng Giải tích hàm một biến

Đây là bài giảng mơn Giải tích hàm số một biến dành cho sinh viên năm thứ nhất của hầu
hết các Khoa (trừ Khoa Kinh tế, Khoa Cơ khí, Khoa Điện – Điện tử) của Trường đại học thủy lợi.

Giáo trình chính
Giải tích hàm một biến (Lưu hành nội bộ)
Sách dịch, do Bộ Mơn Tốn Trường Đại học Thủy Lợi biên dịch
(đã chỉnh lý lần thứ nhất năm 2010)

1.

CÁCH ĐÁNH GIÁ ĐIỂM
Bài giảng
mơn
Điểm q trình: chiếm 40%
tích
+Giải
Điểm chun
cần hàm một biến

+ Điểm tích cực
TS. NGUYỄN HỮU THỌ
+ Điểm Kiểm tra giữa kỳ (1 bài KT 50 phút)

2.

Điểm kiểm tra cuối kỳ: chiếm 60%

3.

Điểm học phần = ĐQT + ĐThi

2021-2022

Bµi sè 1
BỘ MƠN TỐN HỌC – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Th

2021 -2022

Bi s 1
Hàm số một biến. giới hạn và tính liên tục

I. Hm s mt bin
1. Định nghĩa hàm số
Cho 2 tập hợp D và E : D ℝ, E ⊆ ℝ , t−¬ng øng f : D E cho tơng ứng mỗi phần tử x D với một
phần tử duy nhất y E đợc gäi lµ mét hµm sè mét biÕn sè thùc.
+ TËp D đợc gọi là miền xác định, kí hiệu D f của hàm số f
+ Tập f (X ) đợc gọi là miền giá trị, kí hiệu Rf của hàm sè f
+ x ∈ Df : biÕn sè ®éc lËp ( hay ®èi sè)
+ f (x ) ∈ Rf : biến số phụ thuộc ( hay hàm số)
+ Cách viết: f : D → E

hc x ֏ f (x ) hc y = f (x )

x ֏ y = f (x )

{

2. Đồ thị của hàm số: G f = (x , f (x ) x ∈ D

}

+ C¸ch nhËn biết đồ thị: Một đờng cong trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đồ thị của một hàm số nếu và
chỉ nếu đờng thẳng cùng phơng với Oy cắt đờng cong đó tại nhiều nhất một điểm.

Đồ thị hàm số

2|P a g e

Không là đồ thị hàm số


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2021 -2022

II. Giới hạm của hàm số
1. VÝ dô: XÐt hµm sè y = f (x ) = x 2 x + 2 . Ta lập bảng các giá trị của hàm số tại những điểm x gần
x0 = 2 .

+ NhËn xÐt : khi x → x 0 = 2 thì các giá trị của hàm số f (x ) → 4 , vµ ta nãi r»ng hµm sè cã giíi h¹n b»ng
4 khi x → x 0 = 2 .

+ Chó ý: Hµm sè y = f (x ) có thể không xác định tại x 0 = a , tuy nhiên nó phải xác định tại những điểm
thuộc lân cận của điểm đó.

Chẳng hạn: xét hàm sè y = f (x ) =

x −1
, hµm sè không xác định tại x 0 = 1 , tuy nhiên theo bảng giá trị
x2 1

dới đây ta nhận thấy khi x 1 thì giá trị của hàm số dần tới 0, 5 .

2. Định nghĩa giới hạn hàm sè
3|P a g e


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Th

2021 -2022

Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f (x ) có giới hạn L (hữu hạn) khi x x 0 vµ viÕt lim f (x ) = L nếu với bất
x x 0

kì dÃy {x n } mà x n → x 0 th× lim f (x n ) = L .
n

Định nghĩa 2: Theo ngôn ngữ  - 
lim f (x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : x − x 0 < δ ⇒ f (x ) − L < ε

x x 0

Chú ý: Trong khi tìm giới hạn ta quan tâm đến x dần tới x 0 chứ không phải xét khi x = x 0 .

Ví dụ 1 : Cho f (x ) = C , víi C lµ h»ng sè. Chøng minh r»ng lim = C
x →x 0

ThËt vËy, cho tr−íc ε > 0 , v× f (x ) = C , ∀x nên với bÊt k×  > 0: x − x 0 < δ , lu«n cã
f (x ) − C = C − C = 0 < ε

VÝ dô 2 : Cho f (x ) = x . Chøng minh

lim f (x ) = x 0

x →x 0

ThËt vËy, cho tr−íc  > 0, chän  =   víi x − x 0 < δ → f (x ) − x 0 = x x 0 < . (ĐPCM)
Định nghĩa 3

a)
b)
c)
d)

lim f (x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃A > 0 : ∀x > A ⇒ f (x ) − L < ε

x →+∞

lim f (x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃A > 0 : ∀x < −A ⇒ f (x ) − L < ε

x →−∞

lim f (x ) = +∞ ⇔ ∀E > 0, ∃δ > 0 : x − x 0 < δ ⇒ f (x ) > E

x →x 0

lim f (x ) = −∞ ⇔ ∀E > 0, ∃δ > 0 : x − x 0 < δ ⇒ f (x ) < −E

x →x 0

1
=0
x →+∞ x

VÝ dô 3 : Chứng minh rằng lim

3. Tính chất của giới hạn hàm số
Định lí : Cho lim f (x ) = L1, lim g(x ) = L2 ; L1, L2 hữu hạn . Khi ®ã:
x →a

a)

lim( f (x ) ± g(x )) = L1 ± L2

b)

lim(Cf (x )) = CL1, (C = const )

c)

lim( f (x ).g(x )) = L1.L2

d)

lim

NhËn xÐt
4|P a g e

x →a

x →a

x →a

x →a

x →a

f (x ) L1
= , (L2 ≠ 0)
g(x ) L2

( víi A ®đ lín và E đủ lớn)


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2021 -2022

a) Cho Pn (x ) = an x + an −1x + ... + a1x + a 0 th× lim Pn (x ) = Pn (x 0 )
x →x 0

b) Cho R(x ) =

a 0 + a1x + ... + an x n
b0 + b1x + ... + bm x

m

=

Pn (x )
Qm (x )

th× lim R(x ) =
x →x 0

Pn (x 0 )
Qm (x 0 )

,

(Qm (x 0 ) 0)

c) Khi L1;2 = , ta nhận đợc các giới hạn dạng vô định và Định lí nói chung không còn đúng.
Ví dụ 4: Ta có

(

)

lim x 2 − 2x x + 1 = lim(x 2 ) − lim(2x x ) + lim(1) = 16 − 2.4.2 + 1 = 1
x →4

x →4

(

x →4

x →4

)

lim x 3 − x + 3
x3 −x + 3
13 − 1 + 3
x →1
lim
=
=
= −3 .
x →1
x2 − 2
12 − 2
lim x 2 2

Ví dụ 5: Ta có:

x 1

(

)

Định lí: Giả sử hµm sè f (x ), g(x ) vµ h(x ) thoả mÃn bất đẳng thức: f (x ) g(x ) ≤ h(x ), trong l©n cËn cđa
x 0 . Khi ®ã: nÕu lim f (x ) = lim h(x ) = L th× lim g (x ) = L
x x 0

x x 0

x x 0

Định lí : Cho f (x ) là hàm số xác định, tăng (giảm) khi x → +∞ (hc khi x → −∞ ); khi đó nếu f (x ) bị

chặn trên nghĩâ là M : f (x ) ≤ M, ∀x ∈ D (hc bị chặn dới nghĩa là m : f (x ) ≥ m, ∀x ∈ D)
∃ lim f (x ) = L .
x →+∞
(x →−∞)

4. Giíi h¹n mét phÝa.
a) VÝ dơ: XÐt L = lim−
x →3

2x
x −3

,


x < a 

−


x
→
a
⇔




→
x
a




x < 3
- NhËn xÐt: Khi x → 3− ⇔ 
th× 2x → 6 trong khi x − 3 < 0 vµ x − 3 → 0 .
x → 3


Nh− vËy: L = lim−
x →3

2x
= −∞ .
x −3

x > 3
- NhËn xÐt: Khi x → 3+ ⇔ 
th× 2x → 6 trong khi x − 3 > 0 vµ x − 3 → 0 .
x → 3


Nh− vËy: L = lim−
x →3

2x
= + .
x 3

Từ đó ta nhận thấy rằng: có những hàm số chỉ có giới hạn một phía.
b) Định nghĩa:
5|P a g e

th×


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2021 -2022

+ Ta nãi hµm sè y = f (x ) có giới hạn trái là L tại x = a khi vµ chØ khi víi ∀ε > 0 nhá tùy ý, > 0
sao cho với những điểm x thuộc lân cận trái của a thì ta phải có f (x ) − L < ε . Ký hiÖu : lim f (x ) = L
x a

Lân cận trái của điểm a

+ Ta nói hàm số y = f (x ) có giới hạn phải là L tại x = a khi vµ chØ
khi víi ∀ε > 0 nhá tùy ý, > 0 sao cho với những điểm x thuộc lân
cận phải của a thì ta phải có X . Ký hiƯu: lim+ f (x ) = L

L©n cận phải của điểm a

x a


lim f (x )
x a
c) Định lý: Tồn tại lim f (x ) = L khi vµ chØ khi ∃ lim+ f (x )
.
x →a
 x →a
 lim f (x ) = lim f (x ) = L
x →a −
x →a +
1

1

VÝ dô 6: Ta cã : lim− e x −1 = 0 , trong khi ®ã lim+ e x −1 = +∞ , do đó không tồn tại giới hạn khi x → 1 .
x →1

x →1

 −x , x < 0


f (x ) = 3 − x , 0 ≤ x < 3

(x − 3)2 , x > 3


VÝ dô 7: XÐt hµm sè :

+ Ta cã lim− f (x ) = lim− −x = 0 ,
x →0

x →0

lim− f (x ) = lim(3
− x) = 0 ,
−

x →3

x →3

lim f (x ) = lim(3
− x) = 3 .
−

x → 0+

x →0

lim+ f (x ) = lim(
x − 3)2 = 0 .
+

x 3

+ Nh vậy hàm số không có giới hạn khi x → 0 vµ

x →3

lim f (x ) = 0 .
x 3

Ví dụ 8: Tìm a , b để hàm số sau có giới hạn khi x


:
2


2 sin x , x ≤ − π

2

π
π

f (x ) = a sin x + b, − < x <

2
2

π
cos x , x ≥
2

π
+ NhËn xÐt: vỊ hai phÝa cđa x =
hàm số đợc xác định bởi các công thức khác nhau, do đó hàm số sẽ
2
có giới hạn khi x → ±

6|P a g e

π
khi vµ chØ khi
2


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

 lim− f (x ) = lim+ f (x )  lim−(−2 sin x ) = lim+(a sin x + b)
x →− π
x →− π
π

π
x →−
x →−
 2
2
2
⇔  2
 lim− f (x ) = lim+ f (x )
 lim−(a sin x + b) = lim+(cos x )
π
π
x → π
x → π
x→
x→
2
2
 2
 2
2 = −a + b
a = −1
⇔ 
⇔ 
a + b = 0
b = 1
+ VËy: Hµm sè cã giíi h¹n khi x → ±

π
nÕu a = − 1, b = 1.
2

Bµi tËp vỊ nhµ: Tr.88, 91.
Đọc trước các Mục: 2.3, 2.4 , 2.5
Chuẩn bị cho Bài số 2
Giới hạn dạng vô định. Hàm số liên tục

7|P a g e

2021 -2022


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

Bài số 2
GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH. TÍNH LIÊN TỤC

VÊn đề: Khi giới hạn có dạng vô định thì sẽ tìm đợc giá trị của giới hạn theo cách nào?
Giải quyết: Ta sẽ tìm cách biến đổi để khử dạng vô định.

I. Một số ví dụ về khử dạng vô ®Þnh
VÝ dơ 1 : TÝnh lim
x →1

Ta cã:

xn − 1
xm − 1

(D¹ng

0
)
0

xn −1
(x − 1)(1 + x + ... + x n −1 )
1 + x + ... + x n −1
=
=
x m − 1 (x − 1)(1 + x + ... + x m −1 ) 1 + x + ... + x m −1

xn − 1
1 + x + ... + x n−1
n
=
lim
= .
x →1 x m − 1
x →1 1 + x + ... + x m−1
m

VËy lim

1− x −1
x

VÝ dơ 2: TÝnh lim
x →0

Ta cã:

(D¹ng

0
)
0

1−x −1
1− x −1
−1
1−x −1
−1
−1
=
=
→ lim
= lim
=
x →0
x →0
x
x
2
x ( 1 − x + 1)
1−x +1
1−x +1
3

VÝ dô 3: TÝnh lim
x →0

1+x − 5 1+x
x

(D¹ng

0
)
0

Ta cã:
3

lim
x →0

 3 1 + x − 1 5 1 + x − 1 
3
1+x − 5 1+x
1+ x −1+1− 5 1+ x


= lim
= lim 
−

x
→

0
x
→
0
x
x
x
x






1 + x −1
1 + x −1

= lim 
−
x →0 
 x ( 3 (1 + x )2 + 3 1 + x + 1) x ( 5 (1 + x )4 + 5 (1 + x )3 + 5 (1 + x )2 + 5 1 + x + 1)
=

1 1
2
− =
3 5 15

(áp dụng hằng đẳng thức a n 1 = (a − 1)(a n −1 + a n −1 + ... + a + 1) ).
VÝ dô 4: TÝnh lim

x →+∞

8|P a g e

x+ x
x +1

( D¹ng

∞
)
∞

2021 -2022


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

x+ x

Ta cã: lim

x →+∞

x +1

TS. Nguyễn Hữu Thọ

1

1+

x

= lim

x →+∞

1+

x+ x − x =

= 1 (v×

1
x



VÝ dơ 5: TÝnh lim  x + x − x 
x →+∞ 


Ta cã:

1

→ 0 khi x → +∞ vµ

x

1
→ 0 khi x → +∞ )
x

( D¹ng ∞ − ∞ )

x + x −x

x

=

x+ x + x

1

=

x+ x + x

1+

1

+1

x



→ lim  x + x − x  = lim
x →+∞ 
 x →+∞

1
1+

=

1

+1

1
2

x

 3
2 

VÝ dô 6: TÝnh lim 
−
x →1 
1 − x 1 3 x

( Dạng )

Đặt x = y 6 . Khi ®ã:

3
1− x

−

2
1− 3 x

=

3
2
3(1 + y ) − 2(1 + y + y 2 )
1 + 2y
−
=
=
3
2
2
1−y
1−y
(1 − y )(1 + y )(1 + y + y ) (1 + y )(1 + y + y 2 )


 1
 3
2 
1 + 2y

 =
 = lim 
→ lim 
−
2
x →1 
1 − x 1 − 3 x  x →1 (1 + y )(1 + y + y ) 2

Giới hạn điển hình: lim
x 0

Ví dô 7: lim
x →0

sin x
=1
x

 sin x
tan x
1 
 = 1.1 = 1
= lim 
⋅
x →0  x
x
cos x 





x
 sin x 
2 sin

1 − cos x
2 = 1 lim 
2  = 1
VÝ dô 8: lim
= lim


2
2
x →0
x
→
0
x
→
0
2
2
x
x
 x 
 2 
2

2

VÝ dô 9: lim
x →0

 sin mx
sin mx
nx
m
m m
= lim 
⋅
⋅  = 1.1. =


x
→
0
sin nx
sin nx n 
n
n
 mx

1 − cos x .cos 2x
(1 − cos x ) cos 2x + 1 − cos 2x
= lim
x →0
x →0
1 − cos x
1 − cos x

VÝ dô 10: lim

( áp dụng hằng đẳng thức 1- ab = (1-a)b + 1- b)
9|P a g e

2021 -2022


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2021 -2022



1 − cos 2x
x2
 = 1+ 4⋅ 1 = 3
= lim cos 2x +
⋅
4
⋅
2
x →0
1 − cos x 
2
(2x )

1

1
Giới hạn điển hình: lim 1 + = lim (1 + x )x = e
x →∞ 
x →0
x 

x

x2

 x 2 1
( Dạng vô định 1 )
VÝ dô 11: lim  2
x →+∞  x + 1


−2x 2

x 2 +1 

 2x 2 
x 2 +1
−

lim −

 2 
 x 2 +1

x →+∞
2
1






= lim 1 − 2
=e
= e2 = 2


x +

x + 1
e



1

( Dạng vô ®Þnh 1∞ )

VÝ dơ 12: lim(1 + sin x )x
x →0

1 


= lim (1 + sin x )sin x 
x →0



sin x
x

1

=e

sin x
x →0 x
lim

3
 cos x x 2
 = e 2 .
= e 1 = e . VËy lim 
x →0 
 cos 2x 

II. V« cïng bÐ, v« cùng lớn(t c)
1. Định nghĩa: + Hàm số f (x ) đợc gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x → x 0 nÕu lim f (x ) = 0 .
x x 0

+ Hàm số f (x ) đợc gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x x 0 nÕu lim f (x ) = ∞ .
x →x 0

NhËn xÐt:
i) NÕu f (x ) lµ mét VCB khi x x 0 thì

1
là một VCL khi x x 0 .
f (x )

ii) x 0 ở đây có thể là hữu hạn hoặc vô cùng.
Ví dụ : y = sin x lµ 1 VCB khi x → 0

y = 1 − cos x lµ 1 VCB khi x 0

2. So sánh các vô cùng bé.
Giả sử f (x ); g(x ) đều là VCB khi x → x 0 .

f (x )
→ 0 th× f (x ) là 1 VCB có bậc cao hơn g(x ) .
x →x 0 g(x )

a) NÕu lim

b) NÕu lim
x →x 0

f (x )
= 1 ⇒ f (x ) vµ g(x ) là 2 VCB tơng đơng, khi đó kí hiệu:
g(x )

VÝ dô : Ta đã biết sin x ; 1 − cos x lµ VCB khi x → 0
10 | P a g e

f (x ) ∼ g(x ) .


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

1 − cos x
Ta cã: lim
= lim
x →0
x →0
sin x

TS. Nguyễn Hữu Thọ

x
2 =0
= lim
x →0
x
x
x
2 sin cos
cos
2
2
2
2 sin2

x

2

2021 -2022

sin

VËy 1 − cos x là VCB có bậc cao hơn sin x khi x → 0 .
sin x ∼ x khi x → 0 v× lim

VÝ dơ :

x →0

sin x
=1
x

ex − 1
=1
x →0
x

e x − 1 ∼ x khi x → 0 v× lim

ln(1 + x ) ∼ x khi x → 0 vì lim
x 0

ln(1 + x )
= 1.
x

3. Định lí : NÕu f (x ) vµ g(x ) lµ 2 VCB trong cùng một quá trình ( x x 0 ) và trong quá trình ấy ta có

f (x ) ∼ f *(x )
f (x )
f * (x )

. Khi ®ã: lim
= lim *
.

*
x →x 0 g (x )
x →x 0 g (x )
g(x ) ∼ g (x )

VÝ dô : TÝnh lim
x →0

e 2x − 1
.
ln(1 + sin 3x )

Ta cã: e 2x − 1 ∼ 2x khi x → 0 ; ln(1 + sin 3x ) ∼ sin 3x ∼ 3x khi x → 0
Do ®ã : lim
x →0

e 2x − 1
2x
2

= lim
= .
x
0
→
ln(1 + sin 3x )
3x
3

 1
1 
1 − cos x
 = lim
VÝ dô: lim 
−
.
x → 0  sin x
tan x  x →0 sin x

1
1 − cos x
Ta cã: 1 − cos x ∼ x 2 khi x → 0 v× lim
= 1 ; sin x ∼ x khi x → 0 .
x
→
0
2
1 2
x
2

1 2
x
 1

1 
1
 = lim 2 = lim  x  = 0
Tõ ®ã: → lim 
−
x → 0 sin x
x →0  2 
tan x  x →0 x

 

NhËn xÐt:

NÕu lim f (x ) = L th× cã thÓ viÕt: f (x ) = L + α(x ) , víi  (x ) lµ 1 VCB khi x x 0 .
x x 0

Các giới hạn cơ bản
11 | P a g e


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Th

Ta có một số giới hạn cơ bản sau:

1)
2)
3)
Từ (1) → lim
x →0

loga (1 + x )

= loga e
x
ax − 1
lim
= ln a
x →0
x
(1 + x )m − 1
lim
=m
x →0
x

lim
x →0

ln(1 + x )
=1
x

ex − 1

= 1 vµ lim n ( n a − 1) = ln a .
x →0
x 0
x

Từ (2) lim

III. Tớnh liờn tc
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1: Hàm số y = f (x ) liên tục tại điểm x 0 nếu lim f (x ) = f (x 0 ) .
x →x 0

Hµm sè y = f (x ) liªn tơc trªn miỊn D nÕu nã liên tục tại mọi điểm thuộc miền D .

Chú ý: Từ Định nghĩa 1 ta thấy: Hàm số y = f (x ) liên tục tại x 0
đòi hỏi thỏa mÃn 3 điều kiện sau:
+ x 0 thuộc TXĐ của hàm số
+ Tồn tại lim f (x )
x x 0

+ lim f (x ) = f (x 0 ) .
x x 0

Định nghĩa 2: Hàm số y = f (x ) đợc gọi là liên tục trái tại x 0 nÕu lim− f (x ) = f (x 0 ) .
x x 0

Hàm số y = f (x ) đợc gọi là liên tục phải tại x 0 nếu lim+ f (x ) = f (x 0 ) .
x →x 0

Hàm số y = f (x ) liên tục tại x 0 khi và chỉ khi nó vừa liên tục trái vừa liên tục phải tại x 0 .

Ví dụ 1: + Hµm sè y = 3x 3 − 5x + 1 liên tục tại mọi điểm x 0 thuộc tập xác định.

x 2 x 2

, x ≠2
+ XÐt hµm sè f (x ) =  x − 2
,

a
,
x
=
2


12 | P a g e

ta cã

2021 -2022


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

lim f (x ) = lim
x →2

x →2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2021 -2022

x2 − x − 2
(x − 2)(x + 1)
= lim
= lim(x + 1) = 3 , trong khi f (2) = a . Do đó, hàm số sẽ
x 2
x 2
x 2
x 2

liên tơc t¹i x = 2 nÕu a = 3 , hàm số không liên tục tại x = 2 nếu a ≠ 3 .
 2
 x − 4 , x < 2
 x − 2
VÝ dơ 2: XÐt hµm sè f (x ) = ax 2 − bx + 3 , 2 ≤ x < 3

2x − a + b, x 3



Xác định a, b sao cho hàm số liên tục trên .
Giải: + Dễ thấy hàm số xác định trên
+ Hàm số liên tục trên miền (−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞)
+ Do ®ã hàm số sẽ liên tục trên khi và chỉ khi nó liên tục tại x = 2 và x = 3 , tøc lµ khi vµ chØ khi
2


 lim x − 4 = lim ax 2 − bx + 3 = f (2)

f
(
x
)
=
lim
f
(
x
)
=
f
(2)

xlim
−
x →2+
x →2+
⇔ x →2− x − 2
 →2
 lim− f (x ) = lim+ f (x ) = f (3)
 lim ax 2 − bx + 3 = lim 2x − a + b = f (3)
(
)
x →3
x →3
x → 3+
x →3−

(

)

(

)


2

a = 1
4a − 2b = 1
x
+
2)
=
lim
ax
−
bx
+
3
=
f
(2)
xlim(
−
x →2+
2.
⇔ 
⇔ 

 →2
 lim ax 2 − bx + 3 = lim (2x − a + b ) = f (3)
10a − 4b = 3

1

x →3−
b =
x 3+
2


(

(
)

)

Nh vậy, hàm số đà cho liên tục trên nếu a = b =

1
.
2

Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f (x ) xác định trong một lân cận của x 0 (có thể không xác định t¹i x 0 ). Ta

nãi r»ng y = f (x ) gián đoạn tại x 0 nếu hàm số y = f (x ) không liên tục tại điểm đó và khi đó x 0 đợc gọi
là điểm gián đoạn của hàm số y = f (x ) .

Từ Định nghĩa 3 suy ra: x 0 là điểm gián đoạn cđa f (x ) nÕu x¶y ra 1 trong 3 tr−êng hỵp sau:
x ∉ D
f
i)  0
,
(x 0 − ε, x 0 + ε) \ x 0 ∈ Df


tøc lµ hàm số f (x) không xác định tại x 0 nhng nó xác định tại những điểm rất gần với x 0 .
ii) x 0 ∈ Df nh−ng lim f (x ) ≠ f (x 0 )
x →x 0

iii) x 0 Df nhng không tồn tại giới hạn khi x → x 0 .

13 | P a g e


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Th

2021 -2022

Trên hình vẽ, các điểm gián đoạn là x = 2, 2, 4, 6 .
Định lí : 1) Cho f (x ) vµ g(x ) lµ hai hµm số liên tục trong (a;b) . Khi đó:

a) f (x ) g (x ) là hàm liên tục trong (a;b)
b) f (x ).g (x ) là hàm liên tục trong (a;b)
c)

f (x )
là hàm liên tục trong (a;b) , trừ những điểm làm g(x ) = 0 .
g(x )

2) Nếu g (x ) liên tục tại x = a và f (x ) liên tục tại b = g (a ) thì hàm hợp f
(Để ý: ( f

g liên tơc t¹i x = a .

g )(x ) = f (g (x )) .

Nhận xét:
1) Các đa thức, các phân thức hữu tỉ, các hàm số lợng giác, hàm số mũ, hàm số logarit liên tục trên miền
xác định.
2) Hàm sè y = f (x ) liªn tơc trªn (a , b ) thì đồ thị của nó là một đờng cong trơn (không bị gÃy, không bị
đứt đoạn).
Định lý: Nếu f (x ) là hàm số liên tục tại b và lim g(x ) = b thì lim f (g(x )) = f (b) , nãi c¸ch kh¸c: khi ®ã ta
x →a

(

x →a

)

cã lim f (g (x )) = f lim g(x )
x →a

x →a

2. C¸c tÝnh chÊt cđa hàm liên tục (T c)
a. Định lí về giá trị trung gian 1: Cho f (x ) lµ mét hµm số xác định trờn an a ; b , liên tục trong khoảng

(a;b ), a < b và f (a ).f (b) < 0 . Khi ®ã: ∃c ∈ (a;b) : f (c) = 0 .

VÝ dô : Chứng minh rằng phơng trình sau có ít nhất một nghiƯm trong kho¶g (0; 3) :

x3 −x −1 = 0
Gi¶i: §Ỉt f (x ) = x 3 − x − 1 : là hàm xác định và liên tục trên (0, 3) .
14 | P a g e


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2021 -2022

NhËn thÊy: f (1) = −1 < 0, f (2) = 5 > 0 ⇒ f (1).f (2) < 0 , theo Định lý
x 0 (1; 2) (0; 3) : f (x 0 ) = 0 ⇒ x 0 chính là nghiệm của phơng trình

Vậy phơng trình x 3 − x − 1 = 0 cã Ýt nhất một nghiệm trong (0, 3)
b. Định lý giá trị trung gian 2: Cho f (x ) lµ hµm sè xác định, liên tục trong a ; b . Khi đó f (x ) lấy ít nhất


một lần mọi giá trị nằm giữa f (a ) và f (b) . Nói cách khác nếu f (x ) liên tục trong đoạn a ; b và cho N là
là một số nằm giữa f (a ) và f (b) , ë ®ã f (a ) ≠ f (b ) ; khi đó sẽ tồn tại c (a , b ) : f (c ) = N .

VÝ dơ : XÐt hµm sè f (x ) = sin x liªn tơc trªn ℝ .

 π
π
XÐt trong  0,  , cã f (0) = 0, f ( ) = 1 . Do vËy víi 0 < r < 1 thì phơng trình sin x = r có ít nhÊt mét
 2
2


 π
nghiÖm x 0 ∈  0,  .
2


c. Định lí Weierstrass: Cho f (x ) là hàm số xác định, liên tục trong a ; b  . Khi ®ã tËp
 

{

}

I = f (x )| x a,b là giới nội. Hơn nữa:

c, d ∈ a;b  : M = max f (x ) = f (c); m = min f (x ) = f (d ) .
[a ;b ]
[a ;b ]

Bµi tËp vỊ nhµ: Tr.88, 91
Đọc trước các Mục:2.1, 2.2, 2.3; 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5; 5.2 ; 8.4, 8.5 ; 9.2
Chuẩn bị cho Bài số 3
Đạo hàm và vi phân của hàm một biến số

15 | P a g e


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

2021 -2022

TS. Nguyễn Hữu Thọ

Bài số 3
ĐẠO HÀM VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
I. Bài tốn tiếp tuyến và khái niệm đạo hàm

Hình 2.3. Ý tưởng của Fermat
1. Khái niệm tiếp tuyến : Xét đường cong y = f (x ) với x = 0 và P là một điểm cố định trên đường
cong này . Gọi Q là điểm thứ hai gần P trên đường cong, ta vẽ cát tuyến PQ . Khi đó, tiếp tuyến tại P là
vị trí giới hạn của cát tuyến, khi Q trượt dọc theo đường cong đến P .
2. Tính độ dốc tiếp tuyến

Hình 2.4
 Cho P (x 0, y0 ) là điểm cố định bất kỳ trên parabol y = x 2 . Ta sẽ tính độ dốc của tiếp tuyến của
parabol này tại điểm P .
+ Đầu tiên, ta chọn điểm thứ hai Q(x1, y1) trên đường cong, gần với P .
+ Vẽ cát tuyến PQ , độ dốc của cát tuyến :

m sec = độ dốc PQ =

y1 − y 0

(1)

x1 − x 0

+ Cho Q trượt đến điểm cố định P dọc theo đường cong , khi đó x 1 tiến dần đến x 0 và cát tuyến đổi
phương và tiến đến một vị trí giới hạn là tiếp tuyến tại điểm P .
+ Dễ thấy rằng độ dốc m của tiếp tuyến sẽ là giá trị giới hạn của độ dốc msec của cát tuyến:

m = lim msec = lim
Q →P

x 1 →x 0

y1 − y 0
x1 − x 0

(2)

+ Vì P và Q đều nằm trên đường cong, ta có y 0 = x 02 và . y1 = x 12 ., từ (1) có thể được viết

m sec =
16 | P a g e

y1 − y 0
x1 − x 0

=

x 12 − x 02
x1 − x 0

(3)


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

và (2) trở thành :

m = lim
x →x 0

TS. Nguyễn Hữu Thọ

y1 − y 0
x1 − x 0

2021 -2022

= lim(x 1 + x 0 )
x →x 0

Tức là : m = 2x 0 là độ dốc tiếp tuyến của đường cong y = x 2 tại điểm (x 0, y0 ) .

m=

2

y

m
=

 1 1
− , 
 2 4 

(1, 1)

1

x

Hình 2.5
 Khi biến độc lập x thay đổi từ giá trị ban đầu x 0 đến giá trị thứ hai x 1 . Ký hiệu chuẩn đối với sự
thay đổi này là △x (đọc là ‘‘delta x ’’) :

hay là:

△x = x 1 − x 0

(5)

x1 = x 0 +△x

(6)

+ Độ dốc của cát tuyến ở trên có thể được viết dưới dạng:

m sec =

x 12 − x 02

x1 − x 0

=

(x 0 + ∆x )2 − x 02
∆x

(7)

+ Rút gọn kết quả, sẽ có :

(x 0 + ∆x )2 − x 02 = x 02 + 2x 0∆x + (∆x )2 − x 02

= 2x 0∆x + (∆x )2 = ∆x (2x 0 + ∆x )
+ Vì vậy : m sec = 2x 0 + ∆x
+ Lúc này : x 1 → x 0 tương đương với ∆x → 0 , và khi đó ta nhận được kết quả như trước.

m = lim (2x 0 + ∆x ) = 2x 0 ,
∆x →0

 Tổng quát : đối với đồ thị của hàm bất kỳ y = f (x ) .
+ Đầu tiên, ta tính độ dốc của cát tuyến qua 2 điểm P và Q ứng với x 0 và x 0 + ∆x ,
m sec =

17 | P a g e

f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 )
∆x

Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2021 -2022

y = f(x)
y
Q
f(x 0 +Dx) - f(x 0)
P
Dx

x0

x0 + Dx

x

+ Sau đó, ta tìm giới hạn (nếu tồn tại) của msec khi ∆x tiến đến 0 để nhận được độ dốc của tiếp tuyến
của đường cong tại điểm P :
m = lim

f (x 0 +∆x ) − f (x 0 )

∆x → 0

∆x

+ Giá trị của giới hạn này thường được ký hiệu là f '(x 0 ) , đọc là ‘‘ f phẩy tại x 0 ’’ để nhấn mạnh sự phụ

thuộc của nó vào cả x 0 và hàm f (x ) :
f '(x 0 ) = lim

f (x 0 +∆x ) − f (x 0 )
∆x

∆x → 0

+ Ví dụ : Nếu f (x ) = x 2 , thì f '(x 0 ) = 2x 0 .
● Ví dụ 1. Tính f '(x 0 ) nếu f (x ) = 2x 2 − 3x .

Giải: + Ta có :
f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) = 2(x 0 + ∆x )2 − 3(x 0 + ∆x ) − 2x 02 − 3x 0 

 

= ∆x (4x 0 + 2∆x − 3)

+ Do đó
f (x 0 +∆x ) − f (x 0 )
∆x

và

= 4x 0 + 2∆x − 3

f '(x 0 ) = lim (4x 0 + 2∆x − 3) = 4x0 - 3
∆x →0

 Chú ý : Những lập luận trên đúng với giả thiết đường cong có tiếp

tuyến xác định ở điểm P .
+ Có đường cong khơng có tiếp tuyến tại một điểm nào đó.
+ Khi tồn tại một tiếp tuyến, cát tuyến PQ sẽ tiến đến cùng một vị trí
giới hạn khi Q tiến đến P từ bên phải hoặc từ bên trái : tương ứng với
∆x dần tới 0 theo cả hai phía.
+ Trên thực tế ta gặp nhiều bài tốn (chẳng hạn bài tốn tính vận tốc tức
thời cuả một chuyển động) mà mơ hình tốn học của nó trong q trình tính
tốn dẫn đến việc cần tính giới hạn dạng :
f (x 0 +∆x ) − f (x 0 )
,
lim
∆x → 0
∆x
và đó là những lý do dẫn đến sự ra đời của phép toán đạo hàm của hàm số.

18 | P a g e

(8)


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2021 -2022

3. Định nghĩa về đạo hàm
a. Định nghĩa:
Cho hàm y = f (x ) , đạo hàm của nó , f '(x ), là một hàm số mới có giá trị tại điểm x được xác định bởi
giới hạn sau (khi giới hạn này tồn tại):

f (x + ∆x ) − f (x )
f '(x ) = lim
∆x → 0
∆x
+ Nếu giới hạn tồn tại với x = a , thì hàm số y = f (x ) được gọi là khả vi tại a .
+ Hàm khả vi là hàm số khả vi tại mọi điểm trong tập xác định của nó.
● Chú ý : f '(x ) là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong y = f (x ) tại P .
dy
còn được gọi là suất biến đổi của y theo x .
dx
dy
+ Nếu mô tả một chuyển động thì
= v(t ) là vận tốc của chuyển động đó, và khi đó
dt

+ Nếu y = f (x ) thì

dy
= v(t ) = f '(t ) được gọi là tốc độ của chuyển động đó .
dt
b. Quy tắc tìm đạo hàm tại một điểm theo định nghĩa:
● Bước 1. Tìm số gia f (x + ∆x ) − f (x ) và tiến hành rút gọn
● Bước 2. Thiết lập tỷ số
f (x 0 +∆x ) − f (x 0 )
∆x
● Bước 3. Tính giới hạn của tỷ số trên khi ∆x → 0 . Nếu giới hạn đó tồn tại thì đó chính là đạo hàm của
hàm số tại điểm cần tìm :
f (x + ∆x ) − f (x )
.
f '(x ) = lim

∆x → 0
∆x

Ví dụ (tự đọc). Tìm f '(x ) nếu y = f (x ) = x 3 .
Bước 1.

f (x + ∆x ) − f (x ) = (x + ∆x )3
= x 3 + 3x 2∆x + 3x (∆x )2 + (∆x )3 − x 3
= 3x 2∆x + 3x (∆x )2 + (∆x )3
= ∆x [(3x 2 + 3x ∆x + (∆x )2 ]
Bước 2.
f (x 0 +∆x ) − f (x 0 )
∆x

= 3x 2 + 3x ∆x + (∆x )2

Bước 3. Kết luận

f '(x ) = lim[3x 2 + 3x ∆x + (∆x )2 = 3x 2
∆x →0

19 | P a g e


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

Ví dụ (tự đọc). Tìm f '(x ) nếu y = f (x ) =

2021 -2022

1
.
x

Bước 1:
f (x + ∆x ) − f (x ) =

1
1 x − (x + ∆x )
−∆x
− =
=
x + ∆x x
x (x + ∆x )
x (x + ∆x )

Bước 2.

f (x 0 +∆x ) − f (x 0 )
∆x

=

−1
x (x + ∆x )

Bước 3. Kết luận
−1

1
=− 2
∆x →0 x (x + ∆x )
x

f '(x ) = lim

Ví dụ (tự đọc). Tìm f '(x ) nếu y = f (x ) = x .
Bước 1.
f (x + ∆x ) − f (x ) = x + ∆x − x

Bước 2.
f (x 0 +∆x ) − f (x 0 )
∆x

f (x 0 +∆x ) − f (x 0 )
∆x

x + ∆x − x
∆x

=

=

x + ∆x − x
x + ∆x + x
.
∆x
x + ∆x + x

(x + ∆x ) − x
1
=
=
∆x ( x + ∆x + x )
x + ∆x + x

Bước 3. Kết luận

f '(x ) = lim

∆x →0

1
x + ∆x + x

=

1
x + x

=

1

, với ∀x > 0 .

2 x

c. Một số chú ý về ký hiệu:

+ Ta thường viết dạo hàm của hàm số tại một điểm bất kỳ trong miền đang xét là:
df (x )
dx

d
f (x )
dx

và

Ở cách viết thứ hai này, ký hiệu
hàm f '(x ) :

d
được coi là một phép toán mà khi tác động vào hàm f (x ) sẽ có đạo
dx

+ Nếu ta muốn viết giá trị số của đạo hàm tại một điểm cụ thể x = 3 , ta viết :

dy 
 
dx 

x =3

hoặc

dy
dx

,

hoặc f '(3) .

x =3

 Chú ý: + Nếu hàm số y = f (x ) liên tục tại điểm x thì lim ∆y = 0.
∆x →0

20 | P a g e


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

+ Một hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó vì:

∆y
∆y  
dy
lim ∆y = lim
⋅ ∆x =  lim
lim ∆x  =
⋅0 = 0 .
 ∆x →0 ∆x   ∆x →0
∆x → 0
∆x →0 ∆x

dx



+ Một hàm có thể liên tục tại một điểm mà khơng khả vi tại điểm đó.
+ Một hàm số khơng liên tục tại x 0 thì sẽ khơng khả vi tại điểm đó.
II. Quy tắc tính đạo hàm
1. Các phép toán cơ bản về đạo hàm
1. Đạo hàm của hàm hằng: f (x ) = c ⇒
2 Đạo hàm của đối số: f (x ) = x ⇒

f '(x ) = 0 .

f '(x ) = 1

3. Giả sử f (x ), g(x ) có đạo hàm trong (a;b) .
Khi đó trong (a;b) ta có :
i)
ii )
iii )
iv )

 f (x )  g(x ) '  f '(x )  g '(x )
 f (x ).g(x ) '  f '(x ).g(x )  f (x ).g '(x )
Cf (x ) '  Cf '(x )
 f (x ) 
f '(x ).g(x )  f (x ).g '(x )
;  g(x )  0 

' 
g(x )
g (x )



2



Ví dụ 1. + Ta có :
d 3 4
d
d
(x ⋅ x ) = x 3 ⋅ x 4 + x 4 ⋅ x 3 = x 3 ⋅ 4x 3 + x 4 ⋅ 3x 2 = 7x 6
dx
dx
dx

+ Ta có: y = (x 3 − 4x )(3x 4 + 2) :

dy
d
d
= (x 3 − 4x ) (3x 4 + 2) + (3x 4 + 2) (x 3 − 4x )
dx
dx
dx
= (x 3 − 4x )(12x 3 ) + (3x 4 + 2)(3x 2 − 4)
= 12x 6 − 48x 4 + 9x 6 − 12x 4 + 6x 2 − 8
= 21x 6 − 60x 4 + 6x 2 − 8
Ví dụ 2. Tính đạo hàm thương y =

● Ta có:

3x 2 − 2
.
x2 + 1

d n
x = nx n−1
dx

III. Hàm hợp và quy tắc dây chuyền
21 | P a g e

(9)

2021 -2022


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2021 -2022

a. Hàm hợp

 Xét hàm số : y = (x 3 + 2)5

(10)

+ Đặt : u = x 3 + 2 , khi đó: y = u 5 trong đó

+ Ngược lại, bằng việc thay thế u = x 3 + 2 vào y = u 5 ta có thể lập lại (10).
+ Hàm như vậy được gọi là hàm hợp, hoặc đơi khi là hàm của hàm.
Nói chung, nếu y là một hàm của u , trong đó u là hàm của x , thì ta nói:
y = f (u ) trong đó u = g (x )
dy
dy du
=
⋅
dx
du dx

b. Quy tắc dây chuyền:

(11)

Ví dụ 1: Tính đạo hàm y = (x 3 + 2)100
trong đó u = x 3 + 2 ,

Giải: Ta viết y = u 100

dy
dy du
=
⋅
= 100u 99 ⋅ 3x 2 = 300x 2 (x 3 + 2)99 .
dx
du dx
● Hệ quả: Quy tắc lũy thừa:

sử dụng (11) sẽ có :

d n
du
u = nu n −1
dx
dx

.

(12)

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của y = (3x 4 + 1)7 .
Ví dụ 3 . Tính đạo hàm y = (3x 4 + 1)7 + 1



5

 1 − 2x 
 .
Ví dụ 4. Tính đạo hàm của y = 
 1 + 2x 


4

Ví dụ 4. Tính đạo hàm của y = (x 2 − 1)3 (x 2 + 1)−2 .
VI. Hàm ẩn
a. Hàm ẩn : Hàm y là hàm của x và được xác định bởi phương trình : F (x , y ) = 0 (*),
khơng giải được đối với y , nhưng trong đó x và y có liên quan với nhau. Khi đó, ta nói phương trình (*)

xác định y như là một (hoặc nhiều) hàm ẩn của x .
Ví dụ 1.
1
+ P/trình xy = 1 xác định một hàm ẩn của x mà ta có thể viết một cách tường minh là y = .
x
+ P/trình 2x 2 − 2xy = 5 − y 2 xác định hai hàm ẩn: y = x + 5 − x 2
b. Đạo hàm của hàm ẩn :
Ví dụ 2.

(i) Xét p/trình xy = 1 . Lấy đạo hàm hai vế theo x :
x

22 | P a g e

dy
+y = 0
dx

hoặc

dy
y
=−
dx
x

và

y = x − 5 − x2 .

Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

+ Từ phương trình ta có y =

1
dy
y
1
1 1
1
, nên:
=− =− y =− ⋅ =− 2
x
dx
x
x
x x
x

+ Nếu đạo hàm trực tiếp y =

1
dy
1
, cũng có
=− 2 .
x

dx
x

(ii) Từ phương trình x 2 + y 2 = 25 ta có :

dy
−x
=
;y ≠ 0 .
dx
y

Bµi tËp vỊ nhµ: Tr.72, 82, 96, 100, 104, 108, 250, 254, 296.
Đọc trước các Mục: 3.5;5.2, 8.3, 9.5
Chuẩn bị cho Bài số 4
Đạo hàm hàm ngược. Đạo hàm cấp cao

23 | P a g e

2021 -2022


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2021 -2022

Bài số 4
ĐẠO HÀM HÀM NGƯỢC. ĐẠO HÀM CẤP CAO

I. Hàm ngược. Đạo hàm của hàm ngược
a. Định nghĩa : Cho hàm số :
f :X
x

Nếu tương ứng ngược : Y



 Y
 y  f (x )

X sao cho y  x | y  f (x ) cũng là một hàm số thì ta nói rằng hàm số

y  f (x ) có hàm số ngược
f 1 : Y
y

Có hàm số ngược f 1(x )




X
x  f 1(y )

Không có hàm số ngược

b. Cơng thức hàm số ngược : Xét hàm số :
f :X

x

Xét phương trình ẩn x :

f (x )  y

 Y
 y  f (x )

(*)

Nếu với mỗi y Y phương trình (*) có duy nhất một nghiệm x  X thì hàm số y  f (x ) có hàm số
ngược :
f 1 : Y  X
y

x  f 1(y )
trong đó x  f 1(y ) chính là cơng thức nghiệm duy nhất của phương trình (*).
c Điều kiện tồn tại hàm số ngược
Khái niệm : Hàm số y  f (x ) được gọi là hàm một – một nếu với x 1  x 2 thì ta có f (x 1 ) f (x 2 ) .

Không là hàm một - mét
24 | P a g e


Bài giảng mơn Giải tích hàm một biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2021 -2022

NhËn xÐt : + Hµm y  f (x ) là hàm một một trên một miền nào đó thì một đờng thẳng cùng phơng với
trục hoành sẽ cắt đồ thị của hàm số trên miền đó nhiều nhất tại một điểm.
+ Một hàm số đơn điệu là hàm một một.
Điều kiện : Nếu y f (x ) là hàm số một một có TXĐ là X và MGT là Y . Khi đó tồn tại hàm ngợc f 1

với MXĐ là Y và TXĐ là X , hơn nữa y f (x )  x  f 1(y ) .

Chú ý : : + Nếu y  f (x ) có hàm ngược f 1 thì
+ f 1  f (x )  x ,



x  X .



+ f f 1(y )  y,

y Y

d. Đồ thị : Nếu y  f (x ) có hàm số ngược y  f 1(x ) thì đồ thị của hai
hàm số đó sẽ đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất y  x .
e. Hàm ngược của một số hàm sơ cấp
i) Hàm số:

f :

ℝ+ →

x

ℝ+

֏

y = f (x ) = x

có hàm số ngược là y  x 2 .

ii) Hàm số ngược của hàm y  sin x :
Nếu xét hàm số :
sin :   / 2,  / 2 
x

 1,1
 y  sin x



Khi đó tồn tại hàm số ngược :
sin−1 : −1,1 →


y →

−π / 2, π / 2


x = sin−1 y

Ký hiệu khác : sin1 x  arcsin x .

 Chú ý : a  sin 1 b  arcsin b chính là số đo góc mà sin a  b .
25 | P a g e