skkn mới nhất skkn phát triển tư duy cho học sinh từ một bài toán thi học sinh giỏi cấp tỉnh thanh ho

Mục lục
Trang
1. Mở đầu.................................................................................................... 01
1.1. Lý do chọn đề tài....................................................................... 02
1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................. 03
1.3. Đối tượng nghiên cứu................................................................ 03
1.4. Phương pháp nghiên cứu.......................................................... 03
2. Nội dung.................................................................................................. 04
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm................................. 04
2.2 Thực trạng vấn đề ..................................................................... 04
2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:………………………… .....05
Bài toán 1.......................................................................................... 05
Bài toán 2.......................................................................................... 06
Bài toán 3.......................................................................................... 07
Bài toán 4.......................................................................................... 09
Bài toán 5.......................................................................................... 10
Bài toán 6.......................................................................................... 11
Bài toán 7.......................................................................................... 12
Bài toán 8.......................................................................................... 13
Bài toán 9.......................................................................................... 13
Bài toán 10........................................................................................ 13
Bài toán 11........................................................................................ 14
Bài tập rèn luyện.............................................................................. 15
2.4.Kết quả đạt được…………………………………………… 17
3. Kết luận.................................................................................................... 18
Tài liệu tham khảo...................................................................................... 19

0

download by :

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình THCS, tốn học chiếm một vai trị rất quan trọng. Với đặc
thù là mơn khoa học tự nhiên, tốn học khơng chỉ giúp học sinh phát triển tư duy,
óc sáng tạo, khả năng tìm tịi và khám phá tri thức, vận dụng những hiểu biết của
mình vào trong thực tế, cuộc sống mà tốn học cịn là cơng cụ giúp các em học tốt
các mơn học khác và góp phần giúp các em học sinh phát triển một cách toàn diện.
Từ vai trị quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh u thích, say mê tốn
học giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức là một
yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy tốn. Trong q trình giảng dạy toán cần
thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối
với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh.
Trong chương trình Tốn THCS khối lượng kiến thức rất phong phú và đa
dạng, các dạng toán cũng đề cập khơng ít. Trong số đó có bất đẳng thức là một
dạng toán quan trọng và khá phổ biến. Trong các kì thi hoc sinh giỏi các cấp và thi
váo lớp 10 chuyên thì bất đẳng thức thường hay gặp trong các đề thi. Bởi vậy muốn
bồi dưỡng và phát triển các đối tượng học sinh khá, giỏi bản thân người dạy phải
nghiên cứu tài liệu, tìm tịi các phương pháp giải. Nhằm bổ trợ và nâng cao kịp thời
cho các em.
Ở dạng tốn bất đẳng thức thì mỗi bài tốn với số liệu riêng của nó, địi hỏi ta
phải vận dụng cách giải phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện tính tư duy tốn
học linh hoạt và sáng tạo của người học.
Không những thế bất đẳng thức luôn là một đề tài thú vị của môn Đại số, vì nó
cịn tiếp tục được giới thiệu và nghiên cứu ở cấp THPT. Do đó bất đẳng thức mãi
mãi là đối tượng nghiên cứu của Toán học, là vấn đề đa số người học quan tâm
trong các kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và thi vào lớp 10.

1

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó. Tơi đã tìm tịi và nghiên cứu đề tài
“ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TỪ MỘT BÀI TOÁN THI HỌC
SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HỐ’’.
Nhằm tìm ra các biện pháp hữu hiệu nhất để có một phương án đúng đắn giúp
học sinh tiếp cận với các bài toán về bất đẳng thức chủ động hơn, có hứng thú trong
q trình học.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp giáo viên dạy tốn THCS nói riêng có quan điểm coi trọng việc nghiên cứu,
dạy bất đẳng thức.
Giúp học sinh có kiến thức sâu hơn về bất đẳng thức, góp phần học tốt hơn
mơn tốn.
Đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và một số phương pháp
chứng minh bất đẳng thức phù hợp trình độ học sinh .
Qua việc triển khai đề tài này góp phần nâng cao chất lượng dạy - học tốt nội
dung bất đẳng thức và do đó sẽ dạy - học tốt mơn tốn trong trường THCS.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng là một số vấn đề, thực trạng về dạy và học bất đẳng thức của học
sinh THCS.
Một số tài liệu được tham khảo được sử dụng cho học sinh THCS, hiện đang
được nghiên cứu, thử nghiệm tại trường THCS.
Tôi áp dụng đề tài này trong qua trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi mơn
tốn lớp 9 trường THCS Lê Đình Kiên và đội tuyển Toán huyện Yên Định.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp tôi sử dụng để nghiên cứu trong đề tài này chủ yếu là các phương
pháp sau:

Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
Phương pháp nghiên cứu lý luận.
2

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

Phương pháp điều tra.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Trong quá trình giảng dạy tốn cần thường xun rèn luyện cho học sinh
các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và
tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh. Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn
luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán
của trí tuệ là những điều kiện cần thiết vô cùng trong việc học tốn.
Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo Tốn học, trước mỗi bài
tập tơi đã cho học sinh tìm hiểu cách giải,đồng thời người thầy giáo cũng phải gợi ý
và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải.Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải
hợp lí nhất.Phát hiện ra những cách giải tương tự và khái quát đường lối
chung.Trên cơ sở đó với mỗi bài tốn cụ thể các em có thể khái quát hoá bài toán
thành bài toán tổng quát và xây dựng bài toán tương tự.
Điều mong muốn thứ hai đó là mong muốn thay đổi phương pháp bồi dưỡng
học sinh khá giỏi từ trước tới nay. Xây dựng một phương pháp mới đó là rèn luyện
khả năng sáng tạo Toán cho học sinh sao cho mọi lúc mọi nơi các em có thể phát
huy năng lực độc lập sáng tạo của mình.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Qua các năm giảng dạy trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi thì bản thân nhận

thấy trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào trường chuyên, hầu hết đều có
các bài toán về bất đẳng thức nhưng các em học sinh đang còn lung túng, chưa xác
định rõ cách làm như thế nào. Xuất phát từ điều mong muốn học sinh rèn luyện
được khả năng sáng tạo, tìm được và xác định được cách giải. Do đó bản thân
người thầy phải tìm tịi,tổng hợp các dạng khác nhau để giúp các em học sinh hiểu
và biết vận dụng thành thạo các dạng toán.
3

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:
Trong đề thi HSG lớp 9 tỉnh Thanh Hóa năm học 2015- 2016 có bài tốn sau:
Cho các số dương

thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Theo thơng tin chúng tơi có được thì có nhiều thí sinh bế tắc trước bài tốn này,
phần lớn các em khơng biết tiếp cận bài tốn bằng cách nào. Thực ra loại bài này
cũng khơng cịn mới mẻ, nhưng có thể các em chưa nắm bắt được phương pháp nên
khơng làm được. Trong chương trình tốn THCS ta thường hay gặp bài toán quen
thuộc sau:
Bài toán 1:
2

Cho

, chứng minh rằng:

2

2

a
b
c
a+b+ c
+
+
≥
a+b b+c c + a
2

Có nhiều cách giải cho bài toán này, cách đơn giản thường gặp ở đây là sử dụng
bất đẳng thức Côsi hoặc bất đẳng thức Bunnhiacopxki. Chẳng hạn, sử dụng bất
đẳng thức Côsi, ta ghép cặp như sau:
2

2

a
a+b
a
3 a−b
+

≥a⇔
≥
(1)
a+b 4
a+b
4
2

Tương tự, ta cũng có:

2

b
3 b−c
≥
(2)
b+c
4
.

c
3 c−a
≥
(3)
c+a
4

Cộng (1),(2),(3) ta có điều phải chứng minh.
Ở đây có một câu hỏi đặt ra là, nếu không sử dụng bất đẳng thức Cơsi thì có
tìm được đánh giá (1) hay khơng? Nếu được thì làm như thế nào?

Câu trả lời là có và ta sẽ làm như sau:
2

Ta đi tìm các hệ số m, n sao cho:

a
≥ma+nb (4 )
a+b

4

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

Chú ý rằng bất đẳng thức trong bài toán trên xảy ra dấu đẳng thức khi
Với

, từ (1) ta có:

.

, để dấu “ = ” xảy ra ta chọn m, n sao cho

. Khi đó (4) trở thành:
2

a

1
≥ma+( −m )b ⇔2(m−1 )a2 −ab+(2 m−1)b2 ≥0(∗)
a+b
2

Chia cả hai vế (*) cho

, đặt

khi đó (4) trở thành:

Để (5) đúng ta chọn m thỏa mãn:

. Từ đó suy ra (1).

Lời giải bài tốn trình bày như sau:
Lời giải:
Ta có:

(đúng)

Chứng minh tương tự, ta cũng có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) ta có:
2

2

2

3 ( a+b+ c )−(a+b+ c ) a+b+ c

a
b
c
+
+
≥
=
a+b b+c c + a
4
2

(đpcm).

Nhận xét:
Bài toán trên là một bài toán khá đơn giản, song với cách tiếp cận như trên đã đem
đến cho chúng ta một ý tưởng giải lớp các bài toán đồng bậc một cách dễ dàng.
Với ý tưởng trên, ta xem xét tiếp bài toán sau:
Bài toán 2:
Cho

, chứng minh rằng:
5

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

Phân tích:

Dự đốn dấu “ = ” xảy ra khi

.

Tiếp theo tìm m, n sao cho
Các hệ số m, n được chọn phải đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra, do đó:

. Khi đó (6) trở thành:

Chia cả 2 vế (6) cho

Nếu (8) đúng với mọi

Thay

Do đó

, đặt

được:

thì

phải có nghiệm

vào phương trình ta được

thỏa mãn, suy ra

. Với

.

, (8) trở thành:

.

Lời giải:
Ta có:
(đúng)
Tương tự, ta cũng có:
6

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

Cộng theo vế các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 3: (HSG toán 9, Thanh Hóa năm học 2015 - 2016)
Cho các số dương

thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích:
Ta nhận thấy rằng dấu đẳng thức xảy ra khi

. Bất đẳng thức được viết lại

như sau:

Dựa vào ý tưởng trên, ta sẽ tìm m, n, p sao cho:

Ta có
Sau khi chia cả 2 vế của (10) cho

, đặt

ta được:

Dấu “ = ” xảy ra ở (13) khi
Do đó để (13) đúng thì vế trái của nó phải có nhân tử
chia hết cho

, suy ra

.

Thực hiện phép chia đa thức và cho phần dư bằng 0, ta được:

.

Khi đó:

7

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

. Đến đây cần lựa chọn m sao cho:
là được. Gỉa sử giá trị này của m là

. Như vậy, (9)

trở thành:

Tương tự có:

Cộng các vế (i),(ii),(iii) được:

Để có điều cần chứng minh, chọn

Vậy

. Với

là giá trị thỏa mãn, suy ra

,

.

Lời giải:

Ta có:

Chứng minh tương tự, cũng có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 4. (Đề dự bị HSG lớp 9 cấp tỉnh, Thanh hoá năm học 2014-2015)
Cho ba số dương

thay đổi thỏa mãn điều kiện

.
8

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Nhận xét:

Bài này có cùng ý tưởng giống bài trên, sau khi đặt

, Q trở thành:

Đến đây thì đơn giản rồi, làm tương tự trên ta có đánh giá:
.
Bất đẳng thức này đúng, vì nó tương đương với

.

Cũng thế cho các đánh giá khác, có ngay điều cần chứng minh.
Có lẽ, biểu thức Q ban đầu giống như (*), nhưng người ra đề muốn gây một chút
khó khăn cho thí sinh, bằng cách đặt ngược lại trên.
Cũng tương tự đối với học sinh giỏi cấp huyện yên định năm học 2016-2017
như sau:

Cho ba số thực x, y, z thoả mãn điều kiện:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
Qua kết quả kỳ thi vừa rồi, gần như có rất ít thí sinh làm được bài này. Điều
đó chứng tỏ các em học sinh chưa được trang bị đầy đủ. Hy vọng rằng qua bài viết
này các em sẽ có thêm cơng cụ giải bất đẳng thức.

9

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

Tiếp theo ta xét bài tốn sau khơng cịn là đồng bậc nữa nhưng vẫn giải được
với ý tưởng trên tuy nhiên cần thêm đánh giá phụ:
Bài toán 5 . (Chọn đội tuyển quốc gia Moldova 2005)
Cho

là các số thực dương thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích:
Ở bài này ta khơng thể tìm được m,n,p để có đánh giá

.

Chú ý là

, vì thế

và dấu đẳng thức xảy ra khi

ta sẽ nghĩ đến đánh giá
.

Đặt

, do

nên

.

Sau khi biến đổi và rút gọn ta có

.

Đến đây thực hiện giống như trên tìm được
Lời giải:
Ta chứng minh:

Thật vậy,
.

Bất đẳng thức này đúng, vì
Tương tự ta có:

10

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

Cộng các các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) trên vế theo vế ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Có những BĐT không thể xây dựng ngay các đánh giá trực tiếp như trên mà cần
thông qua một số đánh giá trung gian. Bài tốn sau đây là một ví dụ.

Bài tốn 6. Cho

thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích:
Nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi

hoặc

. Nếu ta đánh giá trực tiếp

ta sẽ gặp bế tắc ngay. Thế phải xử lý

theo hướng nào? Tất nhiên, ta vẫn sử dụng ý tưởng giống như trên và đánh giá

, song không phải trực tiếp mà cần có các đánh giá trung gian.

Chú ý
11

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

Suy ra

.

Tiếp theo ta tìm m, n sao cho bất đẳng thức sau là đúng
Đến đây dễ dàng tìm được

.

.

Lời giải:
Ta có:

Suy ra

.

Mà

Thật vậy,
(đúng)

Từ (13),(14) suy ra:

Chứng minh tương tự được:
Cộng các các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) theo vế được điều chứng minh.
Qua một số bài toán trên chắc hẳn bạn đọc đã hình dung được phương pháp giải
và cảm nhận được tính đơn giản, hiệu quả của nó. Vẫn với suy nghĩ đó, ta sẽ giải
quyết một lớp các bài toán dạng (phân li các biến):
12

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

(Có thể coi lớp bài này là một trường hợp đặc biệt của lớp các bài trên)

Bài toán 7. Cho

là các số thực dương thỏa mãn

.

Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 ≥2
a +1 b +1 c +1 d +1
2

Hướng dẫn:
Tìm các hệ số m,n sao cho

. Dễ dàng tìm được

Lời giải:
Ta có:

(đúng)

Tương tự với các biến cịn lại. Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Bài toán 8.

Cho

là các số thực dương thỏa mãn a+b +c=3 .

Chứng minh rằng:

1
1
1
+ 2
+ 2
≤1
a +b +c b +c +a c +a+ b
2

Hướng dẫn:
Ở đây ta cần tìm m, n để bất đẳng thức dưới là đúng

Tương tự như trên ta tìm được

thì bất đẳng thức phụ đúng.

Thật vậy
(a−1)2 (3−a)
(a−1)2 (b+c )
1
4 a
≤
−
⇔

0≤
⇔
0≤
a2 −a+3 9 9
3( a2 −a+3 )
3(a 2−a+3 )

Bài toán 9.
13

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

2
2
2
2
là các số thực không âm thỏa a +b + c +d =4 . Chứng minh rằng:

Cho

2( a3 +b3 +c 3 + d3 )≥2+

3
√2+ab+ ac +ad +bc +bd+ dc
√2

Hướng dẫn:
Theo bài ra

là các số thực dương thỏa mãn:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
3
2( a3 +b3 +c 3 + d3 )≥2+ ( a+ b+c +d )
2

Ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức sau đúng

Dễ dàng tìm được

. Ta sẽ chứng minh điều đó, thật vậy:

Điều này hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài toán 10. (HSG Toán 9, Hà Nội 2016)
Cho

là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh:

Phân tích:
Để đơn giản ta đưa về dạng phân li các biến bằng cách chuẩn hóa

.

Bất đẳng thức trở thành:

14

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

Tìm các số m, n sao cho bất đẳng thức sau đúng:

tìm đánh giá

Mà

?). Dễ có

(Tại sao lại khơng

suy ra:

. Thật vậy (15) tương đương với

Do vậy,

.

Tương tự với các biến khác, rồi cộng lại có điều cần chứng minh.
Bài toán 11.
3
3
3

là các số thực dương thỏa mãn a +b +c =3 . Chứng minh rằng:

Cho

4

( 1a + 1b + 1c )+5( a +b +c )≥27
2

2

2

Hướng dẫn:
Ta cần tìm hệ số m, n sao cho

Ta dễ dàng nhận ra đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Khi cho

thì ta có thể dự đốn rằng

. Ta sẽ chứng minh rằng với

thì bất đẳng thức (16) đúng. Thật vậy:
2

2

( a−1) (−2 a + a+ 4 )
4

+5 a2 ≥7+2 a 3 ⇔
≥0
a
a
3

2
Do a≤√ 3 ⇒−2 a +a+ 4≥0 . Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
15

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

Như vậy chúng ta đã cùng nhau trải qua một số các bài tốn thú vị, tuy
khơng nhiều nhưng có lẽ bạn đọc đã nắm được ý tưởng của phương pháp… Tất
nhiên, trong một bài viết nhỏ khơng thể nói được nhiều những vấn đề liên quan,
chẳng hạn sự mở rộng, kết nối phương pháp với các kỹ thuật khác (như kết hợp các
bất đẳng thức cổ điển, Schur hoặc phân tích bình phương …) để có thể xử lý những
bài tốn có độ phức tạp cao hơn, nhưng hy vọng bài viết nhỏ này đem lại cho bạn
đọc được một vài điều bổ ích nho nhỏ và niềm vui giải các bài toán bất đẳng thức.
Để củng cố phương pháp chúng tôi nêu một số bài tập tương tự để bạn đọc
rèn luyện .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho

. Chứng minh rằng :

Bài 2. Cho

. Chứng minh rằng :

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

trong đó

là các số dương thỏa mãn điều kiện

Bài 4. Cho

.

. CMR:

Bài 5. (Olympic tốn Mỹ 2003)
Cho

là các sớ thực dương. Chứng minh rằng:

Bài 6. Cho

là các số thực dương thỏa mãn

.
16

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

Chứng minh rằng:

Bài 7. Cho

là các số thực không âm thỏa mãn

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 8. Cho

là các số thực không âm thỏa mãn

.

Chứng minh rằng:

Bài 9. Cho

là các số thực dương thỏa mãn

.

Chứng minh rằng:
Bài 10. Cho

là các số thực dương nhỏ thỏa mãn

.

là các số thực dương nhỏ thỏa mãn

.

Chứng minh rằng:
Bài 11. Cho
Chứng minh rằng:
Bài 12. Cho

là các số thực dương. Chứng minh rằng:

2.4.Kết quả đạt được:
Trong thực tế giảng dạy việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi mơn Tốn, với cách
làm trên đã mang lại hiệu quả cao trong việc rèn luyện năng lực sáng tạo học toán
cho học sinh. Cụ thể các em học sinh đã thực sự có hứng thú học toán bồi dưỡng
17

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

học sinh giỏi, tự độc lập tìm tịi cách giải. Qua sáng kiến kinh nghiệm này tơi mong
muốn có nhiều học sinh sẽ đam mê và đạt đượckết quả cao trong học tập.
Qua điều tra học sinh đội tuyển Toán Huyện Yên định (35 học sinh) năm học
2017-2018 thì kết quả đạt được trước và sau khi dạy xong nội dung này thì kết quả
đạt được như sau:
Số học sinh

Số HS làm được trước khi dạy

Số HS làm được sau khi dạy

35

0

15

Trong năm học 2017-2018 tôi được nhà trường và phòng giáo dục giao nhiệm
vụ là bồi dưỡng học sinh lớp 9 đi thi cấp huyện và cấp tỉnh:
+) Cấp huyện: 2 giải nhì, 2 giải ba và 5 khuyến khích.
Đồng đội xếp thứ nhất cấp huyện.
+) Cấp tỉnh: 4 giải nhì, 3 giải ba và 2 khuyến khích.
Đồng đội xếp thứ 2 toàn tỉnh.

3.KẾT LUẬN:
- Giảng dạy áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây đã mang lại hiệu quả của
việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn.Nhiều học sinh đã chủ động tìm tịi,định
18

download by :

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

hướng và sáng tạo ra nhiều cách giải tốn khơng cần sự góp ý của giáo viên.Từ đó
giúp các em phát triển năng lực tư duy hơn trong quá trình học tốn.
- Ngồi ra mức độ u thích mơn tốn của học sinh được nâng lên và các em say
sưa hứng thú học toán nhiều hơn.
- Đa số các em đã nắm được các phương pháp giải,biết sử dụng các phương pháp
hợp lý vào từng bài cụ thể.
- Các em đã từng bước khai thác bài toán đã cho thành các bài toán khác nhằm
mở rộng và rèn luyện kiến thức.
- Chính vì vậy mỗi giáo viên nói chung và bản thân tơi nói riêng cần tìm tịi tham
khảo nhiều tài liệu để tìm ra các bài tốn hay, với nhiều cách giải khác nhau để
tung ra cho học sinh cùng làm,cùng phát hiện cách giải hay và tạo hứng thú trong
q trình học tốn, đặc biệt là phát triển tư duy cho học sinh.
Trong bài viết nhỏ này,chúng tôi nêu một hướng giải quyết lớp các bài toán
như vậy trao đổi cùng các thầy cơ giáo dạy tốn và các em học sinh. Do điều kiện
thời gian hạn chế nên trong bài viết có thể cịn có thiếu sót, mong các thầy cơ giáo
và các em học sinh góp ý.

Tài liệu tham khảo:
TT

Tài liệu
19

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

1

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh Thanh hoá.

2

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Yên Định.

3

Tuyển tập các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức.

4

Toán Nâng cao và phát triển lớp 9( Vũ Hữu Bình)

5

Sáng tạo bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng)

6

Những viên kim cương trong bất đẳng thức (Trần Phương)

Các đề tài SKKN đã được đánh giá xếp loại:
TT

Tên đề tài

Xếp loại

1

Một vài ý kiến về dạy phương pháp hình học

Loại A cấp huyện năm

cho học sinh thơng qua một bài tốn.

học 2008 - 2009

Rèn luyện khả năng tìm lời giải bài tốn hình

Loại A cấp huyện năm

học cho học sinh khá, giỏi lớp 9.

học 2010 – 2011

Dạy một định lí tốn học như thế nào để phát

Loại B cấp huyện năm

huy tính tích cực của học sinh.

học 2011 – 2012

Hướng dẫn học sinh giải một số phương trình

Loại A cấp huyện năm

quy về phương trình bậc hai.

học 2013 – 2014

2

3

4

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Yên Định, ngày 10 tháng 4 năm 2018
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
20

download by :
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho


skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.hoskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.tu.mot.bai.toan.thi.hoc.sinh.gioi.cap.tinh.thanh.ho