Nhân chia đa thức toán lớp 8

PHÒNG GIÁO DỤC THỊ XÃ TÂN CHÂU
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ LONG AN
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
Pr: 15:10:52 ~1~

gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
CHỦ ĐỀ: NHÂN, CHIA ĐA THỨC
A - MỤC TIÊU:
- Học sinh biết nhân đơn thức với đơn thức, nhân đơn thức với đa thức; Nắm vững ba
hằng đẳng thức đầu tiên; Biết phân tích đa thức thành nhân tử; Nắm được cách chia đơn thức
cho đơn thức và chia đa thức cho đơn thức.
- Học sinh hiểu được cách nhân, chia các đa thức; Các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử (phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức,
phương pháp nhóm nhiều hạng tử).
- Học sinh có kĩ năng vận dụng hằng đẳng thức, các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử, các phép toán nhân, chia đa thức để giải toán.
B - CÁC TÀI LIỆU HỖ TRỢ:
 SGK : § 1, 2 / Page: 4; 6.
§ 3 / Page: 9.
§ 6, 7, 8 / Page: 18; 19; 21.
§ 10, 11 / Page: 25; 27.
 Tài Liệu Khác:
Sách bài tập, sách giải bài tập đại số 8. v.v.v.
C - NỘI DUNG:
 Thời Lượng: 8 tiết/ 16 tuần.
Tiết: 1, 2 Phép Nhân Đa Thức (3 hằng đẳng thức đầu).
Tiết: 3,4, 5 Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử (PP đặt nhân tử chung;
PP dùng hằng đẳng thức; PP nhóm nhiều hạng tử).
Tiết: 6, 7 Phép Chia Các Đa Thức.
Tiết: 8 Ôn tập kiểm tra 1 tiết (Cả Đại Số và Hình Học).

 Gợi ý thực hiện:
Pr: 15:10:52 ~2~
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2
2 2 2 2
3 2 2 2 3
) 2 . 5 1 2 .5 2 .1
10 2
) 2 . 2 3 2 .2 2 . 3 2 .
4 6 2
a x x x x x
x x
b xy x y xy y xy x y xy xy xy y
x y x y xy
+ = +
= +
− − + = − + − − + −
= − + −
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
PHÉP NHÂN ĐA THỨC
I - TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1) Nhân đơn thức với đa thức:
2) Nhân đa thức với đa thức:
 Ví Dụ:
( )
( )

( ) ( )
2 2 2
3 2 2 2
) . 2 . .2 . .2
2 2
a x y x xy x x x xy y x y xy
x x y x y xy
− + = + + − + −
= + − −
Hoặc
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
3 2 2 2
. 2 . 2 . 2
. .2 . .2
2 2
x y x xy x x xy y x xy
x x x xy y x y xy
x x y x y xy
− + = + + − +
= + + − + −
= + − −
( )
( ) ( ) ( )
2 2

2 2 2 2
3 2 2 2 3 2 2
1
) 2 . 2
2
1 1
. . .2 2 . 2 . 2 .2
2 2
1
2 2 4
2
b x y x y xy y
x x y x xy x y y x y y xy y y
x y x y xy x y xy y
 
− − +
 ÷
 
   
= + − + + − + − − + −
 ÷  ÷
   
= − + − + −
Pr: 15:10:52 ~3~
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
II - PHẦN BÀI TẬP:
1) Làm tính nhân.
 Phương pháp: (Xem cách trình bày lời giải ở các ví dụ trên).
 Bài tập:
Bài 1:

( )
( )
( )
2
2
) 3 . 5 2 1
) . 2 3
a x x x
b xy x xy
− −
− + −

( )
( )
2 2
2 2
) 5 . 3 7 2
) 2 . 3
c x x x
d xy x y xy y
− +
+ −
Bài 2:
( )
2 2 2 3 2
2 1 2
) . 2 3 ) . 2 1
3 2 5
a xy x y xy y b x y x xy
 

− + − −
 ÷
 
Bài 3:
( ) ( )
( )
) 7 . 3
1
) 1 . 2 3
2
a x x
b x x
− −
 
− −
 ÷
 
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
) 2 3 . 5 2 1
) 5 2 . 1
c x x x x
d x y x xy
− − +
− − +
Bài 4:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

) 2. 2 1 . 3 1 ) 2 1 . 3 2 . 3a x x b x x x
+ − − + −
2) Rút gọn biểu thức.
 Phương pháp: + Làm tính nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức.
+ Thực hiện cộng, trừ các đa thức đồng dạng.
 Ví Dụ:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 . 1 3 . 1
. . 1 2. 2. 1 . .1 3 . 3 .1
2 2 3 3
2 2 3 3
2 3 2 3
3 1
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x
+ − − − +
= + − + + − − + + − + −
 
 
= − + − − + − −
= − + − − − + +

= − − + − + − +
= +
 Bài Tập:
Bài 1:
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2
) . 2 3 . 5 1
) 3 . 2 5 . 1 8 3
a x x x x x
b x x x x x
− − + +
− − − − −
Bài 2:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
1 1 1
) . 6 3 . . 4
2 2 2
) . 5 3 . 1 . 6 10 3
a x x x x x
b x x x x x x x x
 
− − + + +

 ÷
 
+ − − + − − +
Pr: 15:10:52 ~4~
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
3) Tìm x biết.
 Phương pháp:

Ví Dụ:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 . 5 . 3 2 26
2 . 2 . 5 .3 .2 26
2 10 3 2 26
2 2 10 3 26
13 26
26
13
2
x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x
x
x
− − + =
+ − + − + − =

− − − =
− − − =
− =
=
−
= −
 Bài Tập:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
) . 5 2 2 . 1 15
) 12 5 . 4 1 3 7 . 1 16 81
a x x x x
b x x x x
− + − =
− − + − − =
Pr: 15:10:52 ~5~
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
I - TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1) Bình phương của một tổng:
( )
2
2 2
2a b a ab b
+ = + +
 Ví dụ:
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2

2 2. . 2 2
4 4
x y x x y y
x xy y
+ = + +
= + +
2) Bình phương của một hiệu:
( )
2
2 2
2a b a ab b
− = − +
 Ví dụ:
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2
2 2. . 2 2
4 4
x y x x y y
x xy y
+ = + +
= + +
3) Hiệu hai bình phương:
( ) ( )
2 2
.a b a b a b− = − +
 Ví dụ:
( ) ( ) ( )
2 2

2
2 2
2 2. . 2 2
4 4
x y x x y y
x xy y
+ = + +
= + +
II - PHẦN BÀI TẬP:
1) Rút gọn biểu thức:
 Phương pháp:

Ví Dụ:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 . 2 3 . 1
2 . .1 3. 3.1
4 3 3
4 3 3
3 4 3
2 1
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x

x x x x
x
+ − − − +
= − − + − −
= − − + − −
= − − − + +
= − − + − +
= −
 Bài Tập:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
)
) 2. .
) 2 1 3 1 2. 2 1 . 3 1
) 6 1 6 1 2. 1 6 . 6 1
a x y x y
b x y x y x y x y
c x x x x
d x x x x
+ + −
− + + + + −
+ + − + + −
+ + − − + −
Pr: 15:10:52 ~6~

gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
2) Tính giá trị của biểu thức:
 Phương pháp:
 Ví Dụ:
2 2
4 4M x y xy
= + −
tại
18; 4x y
= =
( ) ( )
{ }
( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
4 4
4 4
2. .2 2 / / 4 2 . 2
2
M x y xy
x xy y
x x y y y y y
x y
= + −
= − +
= − + = =
= −

Ta có:
Thay x = 18; y = 4 vào biểu thức M ta được:
( )
( )
2
2
2
18 2.4
18 8
10 100
M = −
= −
= =
 Bài Tập:
2
2
2 2
) 49 70 25 5
) 4 4 98
) 4 12 9 6; 8
a A x x tai x
b B x x tai x
c C x xy y tai x y
= − + =
= + + =
= − + = = −
Pr: 15:10:52 ~7~
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I - TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số), là biến đổi đa thức đó thành một tích của những
đa thức.
II - PHẦN BÀI TẬP:
1) Phương Pháp Đặt Nhân Tử Chung:
( )
. . . .a b a c a d a b c d
+ − = + −
 Ví Dụ:
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
) 2 . 2.2 2 . 2
) 2 4 2 . 2.2
2 . 2
) 14 21 28 7 .2 7 .3 7 .4
7 . 2 3 4
a x x x x x
b x x x x x
x x
c x y xy x y xy x xy y xy xy
xy x y xy
+ = +
+ = +
= +
− + = − +
= − +
Hoặc:
( )

2 2 2 2
14 21 28 7.2. . . 7.3. . . 7.4. . . .
7 . 2 3 4
x y xy x y x x y x y y x x y y
x x y xy
− + = − +
= − +
2) Phương Pháp Dùng Hằng Đẳng Thức:
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 2
2 2
1) 2
2) 2
3) .
a ab b a b
a ab b a b
a b a b a b
+ + = +
− + = −
− = − +
 Ví Dụ:
( )
( ) ( )
( )
( )

( ) ( )
2 2 2
2
2
2 2
2
2
2 2 2
) 6 9 2. .3 3
3
) 9 12 4 3 2. 3 .2 2
3 2
) 4 2
2 . 2
a x x x x
x
b x x x x
x
c x y x y
x y x y
+ + = + +
= +
− + = − +
= −
− = −
= − +
3) Phương Pháp Nhóm Hạng Tử:
 Ví Dụ:
( ) ( )
( ) ( )

) 5 2 10
. 5 2. 5
5 . 2
a ab b a
b a a
a b
− + −
= − + −
= − +
1 2 3 1 2 3
Pr: 15:10:53 ~8~
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
2
2
) 4 4 9
2. .2 2 9
2 3
2 3 . 2 3
2 3 . 2 3
b a ab b
a a b b
a b
a b a b

a b a b
+ + −
= + + −
= + −
= + − + +
   
   
= + − + +
1 442 4 43
1 4 442 4 4 43
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 Bài 1:
2 2
) 12 18
) 3
a x y
b xy x y
−
+

2 2 2
3 2 2 3
) 12 18 30
) 17 34 51
c x y xy y
d x y x y xy
− −
− − +
 Bài 2
( ) ( )

( ) ( )
) . 2 1 3. 2 1
) 2 . 2 6. 2
a x y y
b y x z x z
− + −
− − −

( ) ( )
( )
) 5 . 1 3 . 1
) . 5 5
c x x x x
d x x y x y
− − −
+ − −
 Bài 3:
( ) ( )
( ) ( )
) . .
) . 4 5. 4
a x x y y y x
b x z y y z
− + −
− − −

( )
( )
2
) .

) 5.
c x x y x y
d xy x y x
− + −
− − −
 Bài 4:
2
2
6 6
) 9
) 4 25
)
a x
b x
c x y
−
−
−

2 2
2
2 2
) 9 6
) 6 9
) 2 4
d x xy y
e x x
f x y xy
+ +
− −

+ − −
 Bài 5:
2
) 5 5
) 3 3
) 5 5 10 10
a x y ax ay
b mx my x y
c x xy x y
− + −
+ + +
− − +

( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
)
)
) . . . 2
d ax cx ay ay cy cy
e ax ay bx b by a
f xy x y yz y z xz x z xyz
+ − + − +
+ − + − −
+ + + + + +
Pr: 15:10:53 ~9~
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
PHÉP CHIA ĐA THỨC
I - TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1) Chia đơn thức cho đơn thức:

Quy tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ( trường hợp A chia hết cho B) ta làm như
sau:
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
- Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B.
- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
2) Chia đa thức cho đơn thức:
Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ( trường hợp các hạng tử của đa thức A đều
chia hết cho đơn thức B) ta chia m ỗi h ạng t ử c ủa A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
II - PHẦN BÀI TẬP:
Lưu ý:
.
m n m n
x x x
+
=
Ví dụ:
3 2 3 2 5
.x x x x
+
= =
và
5 4 2 3
. .x x x x x= =
Với mọi
0, , ,x m n N m n≠ ∈ ≥
thì:
:
m
m n m n
n

x
x x x
x
−
= =
nếu
m n>
: 1
m
m n
n
x
x x
x
= =
nếu
m n=
Thực hiện phép chia
Bài 1: Ví dụ:
( ) ( )
( ) ( )
2 4 2 3 2 2 4 3
3 3 2 2 3 2 3 2
1 5 1
) 5 :10 5:10 ; : 1 ; :
2 10 2
3 1 3 3 1 3 2 3
) : : . ; : ; :
4 2 2 4 2 4 1 2
a x y x y y x x y y y

b x y x y xy x x x y y y
 
 
= = = = =
 ÷
 
 
 
− − 
   
− = − = = = =
 ÷  ÷
 
−
   
 
Hoặc
2 4 2 3 3
2 4 2
2 2
5 5. . .
) 5 :10
10 5.2. . 2
x y x y y y
a x y x y
x y x y
/
/
/
= = =

/
/
/

3 3
2 2
3 3 2 2
2 2
2 2
3
3 1 3 2 . . . 3
4
) : . .
1
4 2 4 1 . 2
2
x y
x x y y
b x y x y xy
x y
x y
   
/
/
− = = − = −
 ÷  ÷
   
/
/
−

sẽ nghiên cứu kỹ hơn ở chương II
Bài tập đề nghị:
( )
2
5 3 2 2
3 6 3 4
) 8 : 4
) 15 :5
) 7 : 3
a x y xy
b x y x y
c x y x y
−

( )
( )
3 2
4 2 4
2 5 3 2 3
) 5 : 2
) 27 : 9
) 18 :12
d a b a b
e x y z x y
f x y z x y z
−
−
Bài 2: Ví dụ:
( )
( ) ( )

5 2 3 2
5 2 2 2 3 2
3
) 2 3 4 : 2
2 : 2 3 : 2 4 : 2
3
2
2
a x x x x
x x x x x x
x x
− + −
= − + + −
= − + −
( )
( )
2 2 2 3
2 2 2 3
2
) 3 6 12 : 3
3 : 3 6 : 3 12 : 3
2 4
b x y x y xy xy
x y xy x y xy xy xy
xy xy
+ −
= + + −
= + −
Pr: 15:10:53 ~10~
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG

Hoặc
( )
( )
5 2 3 2
5
2 3
2 2 2
3 2 2 2
2 2 2
3
) 2 3 4 : 2
2
3 4
2 2 2
2. . 3 2.2. .
2. 2 2.
3
2
2
a x x x x
x
x x
x x x
x x x x x
x x x
x x
− + −
−
−
= + +

/ /
− −
/ / /
= + +
/ /
/ / /
= − + −

( )
2 2 2 3
2 2 2 3
2
2
) 3 6 12 :3
3 6 12
3 3 3
3. . . . 2.3. . . . 4.3. .
3. . 3. . 3. .
2 4
b x y x y xy xy
x y x y xy
xy xy xy
x x y y x x y y x y
x y x y x y
xy xy
+ −
−
= + +
/ / − /
/ / /

/ / /
= + +
/ / /
/ / /
/ / /
= + −
Bài tập đề nghị:
( )
( )
( )
( )
( )
4 3 2 2
2 3 4 2
3 2 2 3
2 2 2
) 5 3 : 3
) 3 8 5 :
4
) 4 16 :
3
) 5 9 :
a x x x x
b ab ab b b
c x y x y xy
d xy xy x y xy
− +
− +
−
 

− −
 ÷
 
+ − −
( )
2
3 2 2 3
3 3 2 3 3 2 2 2
6 3 3 4 5 2
) 18 12 6 : 6
1 1
) :
2 3
3 6 9 3
) :
4 5 10 5
e x y x y xy xy
f x y x y x y x y
g a x a x ax ax
− +
 
− −
 ÷
 
 
+ −
 ÷
 
Pr: 15:10:53 ~11~
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM CỦA CHỦ ĐỀ
Bài 1: Thực hiện phép tính
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
) 4 7 9
3
) 15 10
5
) 6 3 4
) 2 1 3 2 3
a x x x
b xy x y x y
c x y x xy y
d x x x
− +
− +
+ − +
− + −
( )
( )
( )
( ) ( )
23354453
2234

223
43223
5:252015)
3
1
:32)
2
1
:534)
2:642)
babababah
aaaag
mxyyxxf
mmnnmnme
−−−






−+−
+−
+−
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
)
)

a x axy bxy aby
b ab x y xy a b
− − +
+ + +

2 2
4 2 2
) 4 16 4
) 25 10
c x xy y
d x x y y
+ − +
− +
Bài 3: Tìm x biết
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
) 4 5 1 2 3 2 16
) 2 1 3 1 3 4 3 2 5
) 6 2 5 3 2 7
) 1 1 1 5
) 3 5 7 5 5 2 2 3 4
a x x x x
b x x x x

c x x x
d x x x x x
e x x x x
− + − + =
− + + − − =
− + − =
+ − − + − = −
− − − + − =
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
) 2 0
) 25 0
) 2 3 5 3 0
) 2 7 4 14 0
) 4 1 2 1 0
f x x
g x
h x x x
i x x x
j x x x
− =
− =
− + − =
− − − =
− − + =
Bài 4: Rút gọn biểu thức

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 3
) 3 5 2 11 2 3 3 7
) 3 2 1 6 1
) 8 5 5 4
) 2 3 4 6 9 2 4 1
a x x x x
b x x x x x x
c y y y y
d x x x x
− + − + +
+ − − + + −
+ + − − +
+ − + − −
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
)
) 2
) 6 1 6 1 2 1 6 6 1
e x y x y
f x y x y x y x y

g x x x x
+ + −
− + + + + −
+ + − − + −
Pr: 15:10:53 ~12~
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2
2 2
3 2
2
2
2 5
2 5
2 2
2 2
) 2 3 2 3, 5
1 2
) 2 1 1 2 ,
3 3
1 3
) 1 1 ,
2 2
5 1
) , 1987

3 5
12 3
) , 3, 1993
4 4
1
) , 1
2
1
) ,
3 3 2
a x y x y x y tai x y
b x x y y x y tai x y
c x y x x y y tai x y
a b
d tai a b
a b
x y z
e tai x y z
x z
x y
f tai x y
x y
ax a x a x x a
g voi a
a x
+ − − = − =
+ − − − + = − = −
+ − + − + = = −
= − =
− = − = − =

−
= = −
−
− − −
=
−
3x
= −
Pr: 15:10:53 ~13~
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
CHỦ ĐỀ:
HÌNH THANG,
HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH CHỮ NHẬT
PHẦN HÌNH HỌC
KHỐI: 8
A - MỤC TIÊU:
- Học sinh nắm được định nghĩa, các tính chất, các dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang
vuông, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật.
- Học sinh biết vẽ hình, tính số đo các góc, các cạnh của hình thang, hình thang vuông, hình thang
cân, hình bình hành, hình chữ nhật.
- Học sinh có kĩ năng vận dụng các kiến thức về hình thang, hình thang vuông, hình thang cân,
hình bình hành, hình chữ nhật trong tính toán và chứng minh.
B - CÁC TÀI LIỆU HỖ TRỢ:
 Sách giáo khoa: bài 2 trang 60; bài 3 trang 72; bài 4 trang 76; bài 7 trang 84; bài 9 trang 97.
 Tài liệu khác: Sách bài tập; sách giải. .v.v…
C - NỘI DUNG:
 Thời lượng:
Tiết 1, 2 : Hình thang (HTV, HTC, ĐTB của tam giác, ĐTB của hình thang).
Tiết 3, 4, 5 : Hình bình hành.
Tiết 6, 7 : Hình chữ nhật.

Tiết 8 : Ôn tập.
 Gợi ý thực hiện:
Pr: 15:10:53 ~14~
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Các Định Nghĩa:
1) Hình Thang:
 Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
2) Hình Thang Vuông:
 Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
3) Hình Thang Cân:
 Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
4) Đường Trung Bình Của Tam Giác:
 Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
5) Đường Trung Bình Của Hình Thang:
 Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình
thang.
6) Hình Bình Hành:
 Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
 Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song.

Hình bình hành là một hình thang đặc biệt.
Pr: 15:10:53 ~15~
ABCD là hình bình hành




⇔
BC//AD

CD//AB
A
B
C
D
ABCD là hình thang
CD//AB
⇔
A
B
C
D
ABCD là ht vuông
µ
µ
( )
0 0
/ /
90 90
AB CD
A D


⇔

= =


A
B

C
D
ABCD là ht cân
µ
µ
µ µ
( )
/ /AB CD
C D A B


⇔

= =


A
B
C
D
MN là đường TB
của tam giác ABC




=
=
⇔
NCNA

MBMA
A
B
C
M
N
MN là đường TB của hình
thang ABCD (AB // CD)




=
=
⇔
NCNB
MDMA
A
B
C
D
M
N
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
7) Hình Chữ Nhật:

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông.


Hình chữ nhật cũng là một hình thang cân, cũng là một hình bình hành.
8) Hình Thoi:
 Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
 Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
9) Hình Vuông:
 Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
 Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
II. Các Tính Chất:
1) Hình Thang:
2) Hình Thang Cân:

Trong hình thang cân: Hai cạnh bên bằng nhau; hai đường chéo bằng nhau; (hai góc ở
cùng một đáy bằng nhau)
3) Đường Trung Bình Của Tam Giác:
Pr: 15:10:53 ~16~
ABCD là hình chữ nhật

µ µ
µ
µ
0
90A B C D
⇔ = = = =
A
B
C
D
ABCD là hình thoi

DACDBCAB

===⇔
A
B
C
D
ABCD là hình vuông

µ µ
µ
µ
0
90A B C D
AB BC CD DA

= = = =

⇔

= = =


A
B
C
D
ABCD là hình thang
(AB // CD)
µ
µ
µ

µ
0
0
180
180
A D
B C

+ =

⇒

+ =


A
B
C
D
ABCD là ht cân
(AB // CD)



=
=
⇒
BDAC
BCAD
A

B
C
D
NCNA
BC//MN
MBMA
=⇒



=
A
B
C
M
N
⇔



=
=
NCNA
MBMA
MN là ĐTB của

ABC






=
⇔
2
BC
MN
BC//MN
A
B
C
M
N
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
4) Đường Trung Bình Của Hình Thang:
5) Hình Bình Hành:

Trong hình bình hành: Các cặp cạnh đối bằng nhau; (các cặp cạnh đối song song); các cặp
góc đối bằng nhau; hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
6) Hình Chữ Nhật:

Trong hình chữ nhật: Các cặp cạnh đối bằng nhau; các cặp cạnh đối song song; (các
góc đều bằng nhau và bằng 90
0
); hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường.
Pr: 15:10:53 ~17~
NCNB
MD MA
CD) // (AB hình thang là ABCD

=⇒



=
A
B
C
D
M
N
⇔





=
=
FCFA
EDEB
CD) // (AB hình thang là ABCD





−
=
2

CDAB
EF
CD//AB//EF
A
B
C
D
M
N
MN là đường TB của hình
thang ABCD (AB // CD)






+
=
⇔
2
CDAB
MN
CD//AB//MN
⇔






=
=
MCMB
MD MA
CD) // (AB hình thang là ABCD
A
B
C
D
M
N
ABCD là hình bình hành

µ
µ
µ
µ
;
/ / ; / /
;
;
AB CD AD BC
AB CD AD BC
A C B D
OA OC OB OD
= =



⇒


= =


= =

A
B
C
D
O
ABCD là hình chữ nhật

µ µ
µ
µ
0
;
/ / ; / /
90
AB CD AD BC
AB CD AD BC
A B C D
OA OC OB OD
AC BD
= =





⇒ = = = =


= = =

=


A
B
C
D
O
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
7) Hình Thoi:

Trong hình thoi: (Bốn cạnh bằng nhau); các cặp cạnh đối song song; các cặp góc đối bằng
nhau; hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, vuông góc với nhau và là các
đường phân giác của các góc.
8) Hình Vuông:

Trong hình vuông: (Bốn cạnh bằng nhau; bốn góc bằng nhau và bằng 90
0
); các cặp cạnh đối
song song; hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, vuông góc với nhau và là các đường phân
giác của các góc.
III. Các Dấu Hiệu Nhận Biết:
1) Hình Thang:
2) Hình Thang Vuông:
Pr: 15:10:53 ~18~

là tứ giác
là hình thang
là phân giác của
là phân giác của
là phân giác của
là phân giác của
ABCD là hình thoi

µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
/ / ; / /
;
;
AB CD AD BC
AB CD AD BC
A C B D
OA OC OB OD
AC BD
AC A
CA C
BD B
DB D

= = =





= =

= =


⇒ ⊥









A
B
C
D
O
ABCD là hình vuông

µ µ
µ
µ
µ

µ
µ
µ
0
/ / ; / /
90
AB CD AD BC
AB CD AD BC
A B C D
OA OC OB OD
AC BD
AC A
CA C
BD B
DB D

= = =




= = = =

= = =


⇒ ⊥










là phân giác của
là phân giác của
là phân giác của
là phân giác của
O
A
B
C
D
/ /
ABCD
ABCD
AB CD

⇒


là hình
thang
A
B
C
D
( )

µ
µ
( )
0 0
/ /
90 90
ABCD AB CD
ABCD
A D


⇒

= =


là HT Vuông
A
B
C
D
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
3) Hình Thang Cân:
3.1

Hình thang có hai góc kề đáy bằng nhau là hình thanh cân.
3.2

Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
4) Hình Bình Hành:

4.1

Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
4.2

Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
4.3
Hoặc

Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
4.4

Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
4.5

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình
hành.
Pr: 15:10:53 ~19~
/ /AD BC
ABCD
AD BC
 

⇒

 ÷
=


 
là hình bình
hành
( )
µ
µ
µ µ
( )
AB//CDABCD
ABCD
D C A B


⇒

= =


là hình thang
là HT Cân
A
B
C
D
( )
AB//CDABCD
ABCD
AC BD



⇒

=


là hình thang
là HT Cân
A
B
C
D
/ /
/ /
AB CD
ABCD
AD BC

⇒


là hình bình
hành
A
B
C
D
AB CD
ABCD
AD BC
=


⇒

=

là hình bình
hành
A
B
C
D
/ /AB CD
ABCD
AB CD

⇒

=

là hình bình
hành
A
B
C
D
µ
µ
µ
µ
A C

ABCD
B D

=

⇒

=


là hình bình
hành
A
B
C
D
OA OC
ABCD
OB OD
=

⇒

=

là hình bình
hành
A
B
C

D
O
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
5) Hình Chữ Nhật:
5.1

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
5.2

Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
5.3

Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
5.4

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
6) Hình Thoi:
6.1

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
6.2
Hoặc

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
6.3

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
6.4

Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của mộ t góc là hình thoi.

Pr: 15:10:53 ~20~
µ µ
µ
0
90A B C ABCD= = = ⇒
là hình chữ
nhật
A
B
C
D
µ
0
90
ABCD
ABCD
A


⇒

=


là HT Cân
là hình chữ
nhật
A
B
C

D
µ
0
90
ABCD
ABCD
A


⇒

=


là HBH
là hình chữ
nhật
A
B
C
D
ABCD
ABCD
AC BD

⇒

=

là HBH

là hình chữ
nhật
A
B
C
D
AB BC CD DA ABCD
= = = ⇒
là hình thoi
A
B
C
D
BC CD
CD DA
DA AB
ABCD
ABCD
AB BC

⇒

=

=
 
 ÷
=
 ÷
 ÷

=
 
là HBH
là hình thoi
A
B
C
D
ABCD
ABCD
AC BDtai O

⇒

⊥

là HBH
là hình thoi
A
B
C
D
O
µ
ABCD
ABCD
AC A


⇒




là phân giác của
là HBH
là hình thoi
A
B
C
D
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
7) Hình Vuông:
7.1

Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
7.2

Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
7.3

Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
7.4

Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
7.5

Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Pr: 15:10:53 ~21~
ABCD
ABCD

AB AD

⇒

=

là HCN
là hình vuông
A
B
C
D
µ
ABCD
ABCD
AC A


⇒



là HCN
là hình vuông
là phân giác của
A
B
C
D
µ

0
90
ABCD
ABCD
A


⇒

=


là hình thoi
là hình vuông
A
B
C
D
ABCD
ABCD
AC BD

⇒

=

là hình thoi
là hình vuông
A
B

C
D
ABCD
ABCD
AB ADtaiO

⇒

⊥

là HCN
là hình vuông
A
B
C
D
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
B - PHẦN BÀI TẬP
1) Cho hình vẽ
Tính số đo các góc ngoài của tứ giác?
1.1. Cho tứ giác ABCD có
µ
µ
µ
0 0 0
120 ; 50 ; 90 .B C D= = =
Tính góc A
và góc ngoài của tứ giác tại đỉnh A?
1.2 Cho tứ giác ABCD có
µ

µ
µ
0 0 0
100 ; 60 ; 90 .B C D= = =
Tính số đo góc A và góc ngoài tại A?
2) Cho hình thang ABCD có AB // CD biết
µ
µ
0 0
130 ; 70 .B D= =
Tính số đo các góc A v à C của
hình thang?
3) Tính các góc của hình thang ABCD (AB // CD). Biết rằng
µ
µ
µ
µ
0
3 ; 30 .A D B C= − =
3.1 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có
µ
µ
µ
µ
0
20 ; 2 .A D B C− = =
Tính các góc của hình thang?
4) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có
µ
0

60D =
và cạnh đáy AB bằng cạnh bên AD.
a) Tính số đo các góc còn lại của hình thang cân?
b) Chứng minh tia DB là tia phân giác của góc ADC. Tính số đo góc DBC?
5) Tứ giác ABCD có AB = BC và AC là phân giác của góc A. Chứng minh rằng ABCD là hình
thang?
5.1 Tứ giác ABCD có BC = CD và BD là phân giác của góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình
thang?
6) Cho tam giác ABC vuông tại A. Ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác BCD vuông cân tại
B. Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao?
Pr: 15:10:53 ~22~
A
B
C
D
0
9 0A C D
=
∧
0
9 0A
=
∧
A B D C l µ h × n h t h a n g v u « n g
A B / / C D
A CA BA CA B
⊥⊥
A
B
D

C
1
2
1
2
A B C D l a ø h ì n h t h a n g
A D / / B C
2
2
∧∧
=
CA
( Ô Û v ò t r í s o l e t r o n g )
E
F
C FD E
=
B C FA D E
∆=∆
0
9 0
==
∧∧
B F CA E D
B CA D
=
∧∧
=
B C FA D E
A B

C
D
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
7) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang.
Chứng minh DE = CF.
7.1 Hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng
DH = CK.
8) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng
EA = EB, EC = ED.
9) Cho tam giác cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho
AD = AE.
a) Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.
b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng
µ
0
50A =
9.1 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM =
CN.
a) Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
b) Tính các góc của tứ giác BMNC, biết rằng
µ
0
40A =
10) Cho tam giác ABC (AB < AC) với đường cao AH. Gọi I, M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh MN là đường trung trực của AH.
b) Chứng minh HIMN là hình thang cân.
Pr: 15:10:53 ~23~
A
M

N
C
I
H
B
A ) M N l a ø Ñ T T c u ûa A H
2
A B
N A
=
N HN A
=
M HM A
=
2
A B
N H
=
B ) H I M N l a ø h ì n h t h a n g c a ân
M HN I
=
2
A C
N I
=
2
A C
M H
=
A

B C
D E
0
5 0
A
B
C
D
E
1
2
1
2
E A = E B
A B E
∆
C a ân t a ïi E
11
BA
∧∧
=
c.c.c;c.g.cB A DA B C
∆=∆
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
11) Cho tam giác ABC, điểm D, E thuộc cạnh AC sao cho AD = DE = EC (D nằm giữa A và E).
Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và EM. Chứng minh rằng AI = IM.
12) Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, BD.
Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng.
12.1 Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.
Chứng minh ba điểm E, I, F thẳng hàng.

13) Cho hình thang ABCD (AB // CD), E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường
thẳng EF cắt BD tại I, cắt AC tại K.
a) Chứng minh rằng AK = KC, IB = ID; EI = IK = KF.
b) Cho AB = 6cm, CD = 10cm. Tính các độ dài EI, KF, IK?
13.1 Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I,
K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho biết AB = 6cm, CD = 14cm. Tính các độ dài
MI, IK, KN.
14) Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của
BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh rằng MI = IK = KN
Pr: 15:10:53 ~24~
A
B
C
D
E
F
KI
A
B
C
E
D
M
I
A
B
C
M
N
E

F
A
B
C
D
E
F
K
gef1403511043.doc Gv: NGUYỄN NGỌC TRUNG
HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH CHỮ NHẬT
15) Cho tam giác ABC và đường cao AH. Đường trung trực của đoạn BH cắt BH tại D và cạnh
AB tại E, đường trung trực của đoạn thẳng HC cắt HC tại G và cắt cạnh AC t ại F.
a) Ch ứng minh EF // DG.
b) Suy ra EF là đường trung trực của AH.
16) Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng
minh rằng BE = DF.
16.1 Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng DE
= BF.
17) Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác
của góc B cắt CD ở F.
a) Chứng minh rằng DE // BF.
b) Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ?
17.1 Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD ở M, tia phân giác của góc C
cắt AB ở N. Chứng minh rằng AMCN là h ình bình hành.
Pr: 15:10:53 ~25~
A
B
C
D
E

F
A
B
C
E
F
GD
H
A B
C
D
1
2
1
2