Bài giảng đại số tuyến tính

Bài giảng đại số tuyến tính


ˆN - D
´.C (8+4)
- I.NH THU
Chu.o.ng 1. MA TRA
.
I. Ma trˆ
a.n
`om m × n
* Cho m, n nguyˆen du.o.ng. Ta go.i ma trˆ
a.n c˜
o. m × n l`
a mˆ
o.t ba’ng sˆ
o´ gˆ
.
.
.
.
sˆ
o´ thu. c d¯u o. c viˆe´t th`
anh m h`
ang, n cˆ
o.t c´
o da.ng nhu sau:


(ai,j )m×n

a1,1
a
=  2,1
...
am,1

a1,2
a2,2
...
am,2

...
...
...
...


a1,n
a2,n 

...
am,n

trong d¯´
o c´
ac sˆ
o´ thu..c
ai,j , i = 1, m, j = 1, n
`an tu’. cu’ a ma trˆ
d¯u.o..c go.i l`

a c´
ac phˆ
a.n, chı’ sˆ
o´ i chı’ h`
ang v`
a chı’ sˆ
o´ j chı’ cˆ
o.t cu’a
.
`an tu’ ma trˆ
a.n.
phˆ
a ma trˆ
a.n h`
ang, ma trˆ
a.n c˜
o. m × 1 d¯u.o..c go.i l`
a ma
* Ma trˆ
a.n c˜
o. 1 × n d¯u.o..c go.i l`
.
.
.
´
a ma trˆ
a.n vuˆ
ong cˆ
a p n.
trˆ

a.n cˆ
o.t, ma trˆ
a.n c˜
o n × n d¯u o. c go.i l`
`om c´
`an tu’.
o.ng ch´eo gˆ
ac phˆ
* Trˆen ma trˆ
a.n vuˆ
ong cˆ
a´p n, d¯u.`
ai,i , i = 1, n
`om c´
`an tu’.
ad
¯u.`
o.ng ch´eo gˆ
ac phˆ
d¯u.o..c go.i l`
o.ng ch´
eo ch´ınh, d¯u.`
ai,n+1−i , i = 1, n
ad
¯u.`
d¯u.o..c go.i l`
o.ng ch´
eo phu. cu’a ma trˆ
a.n.
.

`
`
´
`
’
o.ng ch´eo ch´ınh d¯`ˆeu b˘
a ng 0,
* Ma trˆ
a.n vuˆ
ong cˆ
a p n c´
o c´
ac phˆ
an tu n˘
a m ngo`
ai d¯u.`
ngh˜ıa l`
a:
ai,j = 0, ∀i 6= j
d¯u.o..c go.i l`
a ma trˆ
a.n ch´
eo.
* Ma trˆ
a.n ch´eo c´
o
ai,i = 1, i = 1, n
d¯u.o..c go.i l`
a ma trˆ
a.n d

¯o.n vi. cˆ
a´p n, k´
y hiˆe.u In .
.
o
* Ma trˆ
a.n c˜
o m × n c´
ai,j = 0, ∀i, j : i > j
a ma trˆ
a.n bˆ
a.c thang.
d¯u.o..c go.i l`
.
`
`an tu’. d¯`ˆeu b˘
o c´
ac phˆ
a ma trˆ
a.n khˆ
ong, k´
y
* Ma trˆ
a.n c˜
o m × n c´
a ng 0 d¯u.o..c go.i l`
hiˆe.u 0m,n .
* Ta go.i ma trˆ
a.n chuyˆ
e’n vi.



AT = (aj,i )n×m

a1,1
a
=  1,2
...
a1,n

a2,1
a2,2
...
a2,n

...
...
...
...


am,1
am,2 

...
am,n
Typeset by AMS-TEX


2

cu’a ma trˆ
a.n



A = (ai,j )m×n

a1,1
 a2,1
=
...
am,1

a1,2
a2,2
...
am,2

...
...
...
...


a1,n
a2,n 

...
am,n

` ng c´
u. A b˘
a
ach chuyˆe’n h`
ang th`
anh cˆ
o.t, cˆ
o.t th`
anh h`
ang.
l`
a ma trˆ
a.n c´
o d¯u.o..c t`
.
.
.
`
`an
a (bi,j )m×n d¯u o. c go.i l`
a b˘
a ng nhau nˆe´u c´
ac phˆ
* Hai ma trˆ
a.n c`
ung c˜
o (ai,j )m×n v`
` ng nhau:
`eu b˘

tu’. o’. t`
a
u.ng vi. tr´ı d¯ˆ
ai,j = bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
a mˆ
o.t ma trˆ
a.n c˜
o. m × n, trong d¯´
o
+ Tˆ
o’ng (hiˆe.u) cu’a hai ma trˆ
a.n c`
ung c˜
o. m × n l`
.
.
.
`an tu’ cu’a ma trˆ
`an tu’ o’ vi. tr´ı tu.o.ng u
´.ng:
phˆ
a.n tˆ
o’ng (hiˆe.u) l`
a tˆ
o’ng (hiˆe.u) c´
ac phˆ
(ci,j )m×n = (ai,j )m×n ± (bi,j )m×n
v´
o.i
ci,j = ai,j ± bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.

o.ng cu’a sˆ
o´ thu..c α v´
o.i ma trˆ
a.n c˜
o. m × n l`
a ma trˆ
a.n c˜
o. m × n, trong d¯´
o
+ T´ıch vˆ
o hu.´
.
.
.
.
.
.
.
`an tu’ o’ vi. tr´ı tu o ng u
`an tu’ l`
´ ng cu’a ma trˆ
a.n ban d¯`ˆ
au:
mˆ
o˜i phˆ
a t´ıch cu’a α v´
o i phˆ
(ci,j )m×n = α.(ai,j )m×n
v´
o.i

ci,j = α.bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
+ T´ıch vˆ
o hu.´
o.ng c´
o t´ınh phˆ
an bˆ
o´ v´
o.i ph´ep cˆ
o.ng c´
ac ma trˆ
a.n: α.(A + B) = α.A + α.B,
.
´
o.ng c´
ac hˆe. sˆ
o: (α + β).A = α.A + β.B, c´
o t´ınh kˆe´t ho..p:
v´
o i ph´ep cˆ
α.(β · A) = (α.β) · A.
+ T´ıch cu’a hai ma trˆ
a.n A = (ai,j )m×n v`
a B = (bj,k )n×q l`
a ma trˆ
a.n
C = A × B = (ci,k )m×q ,
v´
o.i
ci,k =

n
X

ai,j bj,k , ∀i = 1, m, ∀k = 1, q.

j=1

V´ı du..


1 3
2 4
3 5

 
 
2
1 3
1.1 + 3.1 + 2.3




7 × 1 −1 = 2.1 + 4.1 + 7.3
6
3 2
3.1 + 5.1 + 6.3

 


1.3 − 3.1 + 2.2
10 4
2.3 − 4.1 + 7.2  =  27 16 
3.3 − 5.1 + 6.2
26 16


3

+ Ph´ep nhˆ
an hai ma trˆ
a.n c´
o t´ınh kˆe´t ho..p: A × (B × C) = (A × B) × C, t´ınh phˆ
an
.
o.ng:
phˆ
o´i d¯ˆ
o´i v´
o i ph´ep cˆ
A × (B + C) = A × B + A × C; (A + B) × C = A × C + B × C.
Ngo`
ai ra, nˆe´u A c´
o c˜
o. m × n, th`ı
A × In = Im × A = A.
- i.nh th´
II. D
u.c
* Cho E = {1, 2, 3, . . . , n}. Ta go.i ho´

an vi. cu’ a tˆ
a.p E l`
a mˆ
o.t song ´
anh f : E → E,
k´
y hiˆe.u


1
2
...
n
f:
f (1) f (2) . . . f(n)
hay
(f (1), f(2), . . . , f (n))
(c´
o tˆ
a´t ca’ n! ho´
an vi. kh´
ac nhau).
´
V´ı du.. Cho E = {1, 2, 3}. Anh
xa. f : E → E x´
ac d¯.inh bo’.i: f (1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2
l`
a mˆ
o.t ho´
an vi. cu’a E, k´

y hiˆe.u l`
a


1 2 3
1 3 2
ho˘
a.c
(1, 3, 2).
* Cho mˆ
o.t ho´
an vi.
f:



1
f (1)

2
f (2)

...
...

n
f(n)



ta th`
anh lˆ
a.p c´
ac c˘
a.p th´
u. tu..
(f (i), f(j)), ∀i 6= j,
s˜e c´
o Cn2 c˘
a.p th´
u. tu.. nhu. thˆe´; mˆ
o.t c˘
a.p (f (i), f(j)) d¯u.o..c go.i l`
a nghi.ch thˆ
e´ nˆe´u
(i − j)(f (i) − f (j)) < 0.
Go.i N (f ) l`
a sˆ
o´ c´
ac nghi.ch thˆe´ cu’a ho´
an vi. f (c´
o trong Cn2 c˘
a.p th´
u. tu.. trˆen).
V´ı du.. T`ım sˆ
o´ nghi.ch thˆe´ cu’a ho´
an vi.
f :



1 2
3 2

3
1

4 5
5 4



.


4

T`
u. ho´
an vi. n`
ay, ta c´
o c´
ac c˘
a.p th´
u. tu..
(3, 2), (3, 1), (3, 5), (3, 4), (2, 1), (2, 5), (2, 4), (1, 5), (1, 4), (5, 4),
trong d¯´
o ta c´
o c´
ac nghi.ch thˆe´:

(3, 2), (3, 1), (2, 1), (5, 4),
suy ra N (f ) = 4
- i.nh th´
* Cho ma trˆ
a.n (A)n,n . D
u.c cu’ a A l`
y hiˆe.u v`
a x´
ac d¯i.nh nhu.
a mˆ
o.t sˆ
o´ thu..c, k´
sau:
X
(−1)N (f ) a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n)
det(A) =
f ∈Sn

`an tu’. {1, 2, . . . , n}. Nhu. vˆ
trong d¯´
o Sn l`
a tˆ
a.p tˆ
a´t ca’ n! ho`
an vi. cu’a n phˆ
a.y, d¯i.nh
.
´
’
a.n A l`

a mˆ
o.t sˆ
o:
th´
u c cua ma trˆ
`
+ b˘
a ng tˆ
o’ng d¯a.i sˆ
o´ cu’a n! ha.ng tu’. da.ng
a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n)
`an tu’. ai,j m`
+ mˆ
o˜i ha.ng tu’. l`
a mˆ
o˜i h`
ang, mˆ
o˜i cˆ
o.t pha’i c´
o mˆ
o.t
a t´ıch cu’a n phˆ
.
`an tu’ tham gia v`
v`
a chı’ mˆ
o.t phˆ
ao t´ıch d¯´
o.
´.ng.

o.c v`
ao sˆ
o´ nghi.ch thˆe´ cu’a ho´
an vi. tu.o.ng u
+ dˆ
a´u cu’a mˆ
o˜i ha.ng tu’. phu. thuˆ
.
.
.
.
.
a´p 2 l`
a gi´
a tri. t´ınh d¯u o. c t`
u ba’ng 2 h`
ang, 2 cˆ
o.t nhu sau:
* Ta go.i d
¯i.nh th´
u c cˆ





a1,1 a1,2

a2,1 a2,2
= a1,1 a2,2 − a2,1 a1,2
* Ta go.i d
¯i.nh th´
u.c cˆ
a´p 3 l`
a gi´
a tri. t´ınh d¯u.o..c t`
u. ba’ng 3 h`
ang, 3 cˆ
o.t nhu. sau:





a1,1 a1,2 a1,3






a2,1 a2,2 a2,3
= a1,1 a2,2 a3,3 + a2,1 a3,2 a1,3 + a3,1 a1,2 a2,3

a3,1 a3,2 a3,3

− a3,1 a2,2 a1,3 − a2,1 a1,2 a3,3 − a1,1 a3,2 a2,3
- ˆe’ t´ınh nhanh d¯i.nh th´
+ D
u.c cˆ
a´p 3, ta viˆe´t cˆ
o.t th´
u. nhˆ
a´t v`
a th´
u. hai tiˆe´p theo v`
ao bˆen
pha’i ba’ng n´
oi trˆen:
a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a1,2
a2,1 a2,2 a2,3 a2,1 a2,2
a3,1 a3,2 a3,3 a3,1 a3,2
.
` m trˆen c´
`an tu’ lˆ
`an tu’. n˘
th`ı 3 phˆ
o.ng ch´eo song song
a´y dˆ
a´u cˆ
o.ng l`

a t´ıch c´
ac phˆ
a
ac d¯u.`
.
.
.
.
.
` m trˆen c´
`an tu’ lˆ
`an tu’. n˘
o ng ch´eo ch´ınh, ba phˆ
a t´ıch c´
ac phˆ
v´
o i d¯u `
a´y dˆ
a´u tr`
u l`
a
ac
.
.
.
.
.
o ng ch´eo song song v´
o i d¯u `
o ng ch´eo phu. (quy t˘

a´c Serrhus)
d¯u `