phương trình mặt cầu

HÖ trôc täa ®é
HÖ trôc täa ®é
trong kh«ng gian
trong kh«ng gian
(Ph¬ngtr×nhmÆtcÇu)
(Ph¬ngtr×nhmÆtcÇu)
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt
cầu(S)cótâmI(x
0
;

y
0
;z
0
)vàbánkínhR
Hay IM
2
= R
2
nghĩalà(x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
+(z-z
0
)

2
=R
2

6) Ph ơng trình mặt cầu
6) Ph ơng trình mặt cầu
I .
M
R
vàđiểmM(x;y;z)
Phơngtrình(x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
+(z-z
0
)
2
=R
2
đợc
gọilàphơngtrìnhmặtcầuS(I;R)
ĐiểmM(x;y;z)thuộc(S)khivàchỉkhiIM=R
Hãyxácđịnhvà
IM IM
uuur uuur

a) Định nghĩa:
VậymặtcầutâmI(x
0
;y
0
;z
0
)bánkínhRcóphơngtrình
(x-x
0
)
2
+ (y-y
0
)
2
+ (z-z
0
)
2
= R
2

Bài tập 1:ChoA
1
(a
1
;b
1
;

c
1
)vàA1 (a1; b1; c1 )
Hãyviếtphơngtrìnhmặtcầu(S)cóđờngkínhA
1
A
2
theohai

cáchsau:
1) Biếttâmvàbánkínhcủamặtcầu.
2) Nhậnxétrằngđiểm
1 2
( ) . 0M S A M A M =
uuuur uuuuur
I .
A
1
M
A
2
Bài tập 2:hãyviếtphơngtrìnhmặt
cầuSđiqua4điểmA(0;0;0),
B(1;0;0),C(0;1;0)vàD(0;0;1)
(x a)
2
+ (y b)
2
+ (z c)

2
= R
2
2 2 2
a b c d+ +
x
2
+ y
2
+ z
2
2ax 2by 2cz + d = 0

* Nhaọn xeựt:
KhiđótâmmặtcầulàđiểmI(-a;-b;-c)vàbànkính
mặtcầulàR=
(x a)
2
+ (y b )
2
+ (z c)
2
- (a
2
+ b
2
+ c
2
)+ d = 0
(x a)

2
+ (y b )
2
+ (z c)
2
= (a
2
+ b
2
+ c
2
)- d
Vậy: ph ơng trình x
2
+ y
2
+ z
2
2ax 2by 2cz + d = 0
laứ phửụng trỡnh maởt cau khi và chỉ khi a
2
+ b
2
+ c
2
d > 0
Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là:
x
2
+ y

2
+ z
2
= R
2
* Chó ý:
O
x
y
z
R
. I
a
b
c
Mặt cầu có tâm I(a ; b ; c)
và tiếp xúc với mp (Oxy) t¹i
®iĨm K th×
H
K
K( a ; b ; 0 )
 IK = OH =
c
* Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với (Oxy)
(hoặc (Oxz) ; (Oyz)) có phương trình :
(x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)

2
= c
2
( hoặc b
2
; a
2
)
O
x
y
z
a
b
c
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với trục Oz
. I
R
H
K
T¹i®iĨm H( 0 ; 0 ; c )
Th×
R = IH = OK =
2 2
a b+
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường
hợp sau:
Bán kính R =
(x + 1)
2

+ (y – )
2
+ (z – 4)
2
= 17
1
2
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
2 2
a +c = 1+16= 17
a) (S) có tâm I( –1 ; ; 4) và tiếp xúc với trục Oy
1
2
Gi¶i:
b) (S) có đường kính AB với A(3 ; 2 ; – 4) ;
b) (S) có đường kính AB với A(3 ; 2 ; – 4) ;
B(– 3 ; 0 ; –2)
B(– 3 ; 0 ; –2)
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các
trường hợp sau:
Tâm I của (S) là trung điểm
của AB ⇒ I (0 ; 1; –3)
Vậy phương trình mặt cầu (S):
x
2
+ (y – 1)
2
+ (z + 3)
2
= 11

A
B
. I
AB
2
Bán kính R =
36 4 4
11
2
+ +
= =
Gi¶i:
Bài tập 1:
Bài tập 1:
Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình mặt
cầu? Nếu là phương trình mặt cầu hãy tìm tâm và bán kính:
1) x
2
+

y
2
+z
2
- 2x - 6y - 8z + 1 = 0
2) x
2
+

y

2
+z
2
+ 10x + 4y + 2z + 30 = 0
3) x
2
+

y
2
+z
2
- y = 0
4) 2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
- 2x- 3y+5z - 2 = 0
5) x
2
+

y
2
+z
2
- 3x + 4y - 8z + 25 = 0
Tâm I(1;3;4) và R=5

Tâm

1 1
1; ;0 ;
2 2
R
 
=
 ÷
 
1 3 5 3 6
; ; ;
2 4 4 4
I R
 
− =
 ÷
 
Bài 2:
Bài 2:


Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
1) Tâm O(0; 0 ; 0) và tiếp xác với mặt cầu (S’) có tâm
I(3; -2; 4) và bán kính bằng 1
2) Tâm I(3;-2; 4) và đi qua điểm A(7; 2; 1)
3) Tâm I(2; -1; 3) và tiếp xúc với mp (Oxy)
Bài tập về nhà
Bài tập về nhà

Bài tập trong sách Bài tập Hình 12:
Bài 31, 32, 33, 34 trang 121
Bài tập trong sách gi
Bài tập trong sách gi
áo
áo
khoa
khoa
Hình h
Hình h
c 12: ọ
c 12: ọ


Bài 13; 14 trang 82
Bài 13; 14 trang 82