Hsg T7 - 008 - Đề_Đáp.án - Lục Ngạn A.docx

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LỤC NGẠN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 1 trang)
Bài 1: (5,0 điểm)

46.95  69.120
C  4 12 11
 8 .3  6
1. Tính
2. Tính

S

1
1
1
1


 ... 
.
2.6 6.10 10.14
98.102
2

2 2020 2021
x  2  y  1   z  1 0

3. Cho x, y, z thỏa mãn:
. Tính giá trị của A 5 x y z .

Bài 2: (4,0 điểm)

a c

1. Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn b d và c d . Chứng minh rằng:

a

20

 b 20 

21

(c 20  d 20 ) 21

21

 b 21 

20

21

 d 21 

20

a

c

2
y
2. Tìm các số nguyên không âm x, y sao cho x 3  35 .

Bài 3: (4,0 điểm)
1. Xác định tổng các hệ số của đa thức

f  x   5  6 x  x 2 

2020

thu được sau khi khai triển.

2. Tổng các lũy thừa bậc 3 của ba số hữu tỉ là  1071 . Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai
3
6
là 4 , tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ ba là 7 . Tìm các số đó.

Bài 4: (6,0 điểm)
Cho ABC có ba góc nhọn, M là trung điểm của BC . Trên nửa mặt phẳng bờ

AB chứa điểm
C , vẽ đoạn thẳng AE vng góc và bằng với AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn
thẳng AD vng góc và bằng với AC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN MA.
1. Chứng minh: BD CE.

2. Chứng minh: ADE CAN .

AD 2  IE 2
1 
2
2
AM
.
DI

AE
I
DE
3. Gọi là giao điểm của
và
Chứng minh
Bài 5. (1 điểm)


A  x  y   y  z   z  x  12.
Cho ba số chính phương x, y, z . Chứng minh rằng:
ĐÁP ÁN
Bài 1: (5,0 điểm)

1. Tính

C

46.95  69.120
 84.312  611

S

1
1
1
1


 ... 
.
2.6 6.10 10.14
98.102

2. Tính

2

2 2020 2021
x  2  y  1   z  1 0
3. Cho x, y , z thỏa mãn:
. Tính giá trị của A 5 x y z .

Lời giải
1. Tính:
6

5

2

2
9 9 3
46.95  69.120  2  . 3   2 .3 .2 .3.5 212.310  212.310.5
C  4 12 11 
 12 12 11 11
3 4 12
11 11
 8 .3  6
 2 .3  2 .3
  2  .3  2 .3

212.310. 1  5 
2.6
4
 11 11


2 .3 . 1  2.3 3.  5  5

4
Vậy C = 5 .
2. Tính:

S

1
1
1
1



 ... 
.
2.6 6.10 10.14
98.102

4S 

4
4
4
4


 ... 
2.6 6.10 10.14
98.102

1 1 1 1
1
1
1
1
25
4S    
 ...  
 

2 6 6 10
98 102 2 102 51

S

25
25
:4 
.
51
204
2

2 2020 2021
x  2  y  1   z  1 0
3. Cho x, y , z thỏa mãn:
. Tính giá trị của A 5 x y z .
2

Ta có

x  2  y  1   z  1 0

(1)
2

Vì

x  2 0 x; y  1 0 y;  z | 1 0 x, y, z


2

Do đó

x  2  y  1   z  1 0 x, y , z

(2)
2

Từ (1) và (2) suy ra

 x  2 0

 y  1 0 

2
 z  1 0

 x  2 0

 y  1 0 
 z  1 0


2

khi

 x 2

 y 1
 z  1



2020

.( 1) 2021  20 .

Do đó A 5.2 .1
Vậy

x  2  y  1   z  1 0

A  20.

Bài 2: (4,0 điểm)

a c

1. Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn b d và c d . Chứng minh rằng:

a

20

 b 20 

21

(c 20  d 20 ) 21

21

 b 21 

20

21

 d 21 

20

a

c

2
y
2. Tìm các số nguyên không âm x, y sao cho x 3  35 .

Lời giải
1. (2,0 điểm)

a c
a b


Vì a, b, c, d là các số dương và c d , mà b d nên c d
21



20

20

21

21

20

20

a
b
a b
 20  20
20
c
d
c  d 20

20.21
a 20  b 20 

a 
 a b   a

(1)
  20   20

20 
c 20.21  c 20  d 20  21
c
c

d




20

21

20

20

21

20



a
b
 21
21
c
d

21.20
a 21  b 21 

a 
a b   a
a b

(2)
21.20
 21
  21   21
21
21 20
21
21 
c
c

d


c d
c 
c  d 
21

21

a


c
Từ (1) và (2)

20

20

21

21

21

20 21

21

 b 20 
d

a

 c

20

 b 20 

21

21

 b 21 

20

20

 d 20

21

21

 d 21 

20

a
c
Vậy

2. (2,0 điểm)

a

 c

20

21

 b 21 
d

21

20

21 20



.

20


2
2
+ Với y 0  x 1  35 36 6 vậy x 6 vì x  , x 0. .
2
y
y
2
+ Với y  0 thì x  1 3  36 3 mà 3  35 36  x 36  x 6

x  , x 0 nên x 3k ; x 3k  1; x 3k  2, k  N *
2

2
Với x 3k  x 1 9k  1 chia cho 3 dư 1, vậy khơng có giá trị nào thỏa mãn.
2
2
Với x 3k  1  x  1 9k  6k  2 chia cho 3 dư 2, vậy khơng có giá trị nào thỏa mãn.
2
2
Với x 3k  2  x 1 9k  12k  3  2 chia cho 3 dư 2, vậy khơng có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy

x 6; y 0.

Bài 3: (4,0 điểm)
1. Xác định tổng các hệ số của đa thức

f  x   5  6 x  x 2 

2020

thu được sau khi khai triển.

2. Tổng các lũy thừa bậc 3 của ba số hữu tỉ là  1071 . Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai
3
6
là 4 , tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ ba là 7 . Tìm các số đó.

Lời giải
1. ( 2,0 điểm)
Lập luận tổng các hệ số của đa thức

Mà đa thức
Có

f  x   5  6 x  x 2 

f  1  5  6.1  12 

2022

f  x  bằng f  1 .
2022

0

Vậy đa thức đã cho có tổng các hệ số bằng 0.
2. ( 2,0 điểm)

m n
m p


Gọi số thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là m, n, p ta có: 3 4 và 6 7 .
m n p
  k
Ta có 6 8 7
Do đó m 6k , n 8k , p 7k
3
3
3
3

3
3
3
Và m  n  p (6k )  (8k )  (7k ) 1071k  1071

 k 3  1  k  1

Vậy

m  6, n  8, p  7


Bài 4: (6,0 điểm)
Cho ABC có ba góc nhọn, M là trung điểm của BC . Trên nửa mặt phẳng bờ

AB chứa điểm
C , vẽ đoạn thẳng AE vng góc và bằng với AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn
thẳng AD vng góc và bằng với AC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN MA.
1. Chứng minh: BD CE.
2. Chứng minh: ADE CAN .

AD 2  IE 2
1 
2
2
3. Gọi I là giao điểm của DE và AM . Chứng minh DI  AE

A
E
I P

D

B

C

M

N
a) Xét




ABD và ACE có: AD  AC ( gt ); AE  AB ( gt ); BAD CAE (cùng phụ BAC )

 ABD AEC (c.g .c)  BD CE (hai cạnh tương ứng)
b) Xét

ABM và NCM có:


AM MN ( gt ); BM CM ( gt ); AMB NMC
(dd )
 ABM NCM (c.g.c)  AB CN (hai cạnh tương ứng)
ABM NCM

(hai góc tương ứng)
0







Ta có: ACN  ACB  BCN  ACB  ABC 180  BAC







DAE
DAC
 BAE
 BAC
1800  BAC
 DAE
 ACN
Lại có:
Xét



ADE và ACN có: CN  AE (cùng bằng AB ) ; AC  AD( gt ); DAE  ACN (cmt )

 ADE CAN (c.g.c)


ADE CAN (c.g.c)  NAC
 ADE (hai góc tương ứng)
Gọi P là giao điểm của DE và AC
0
0




Xét ADP vuông tại A  ADE  APD 90  NAC  APD 90  AI  DE
Xét ADI vuông tại I. theo định lý Pytago ta có:
c) Vì

AD 2 DI 2  AI 2  AI 2  AD 2  DI 2
Xét AIE vuông tại I. theo định lý Pytago ta có:
AE 2  AI 2  IE 2  AI 2  AE 2  IE 2
 AD 2  DI 2  AE 2  IE 2  AD 2  IE 2 DI 2  AE 2
AD 2  IE 2

1(dfcm)
DI 2  AE 2
Bài 5. (1 điểm)

A  x  y   y  z   z  x  12.
Cho ba số chính phương x, y, z . Chứng minh rằng:
Lời giải
x
;
y

;
z
Theo đề bài
là 3 số chính phương. Mà một số chính phương khi chia cho 3 hoặc cho 4 đều chỉ
có thể dư 0 hoặc dư 1
Do đó trong 3 số chính phương x; y; z khi chia cho 3 phải có hai số có cùng số dư, nên 3 số
x  y ; y  z ; z  x phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 suy ra

Chứng minh tương tự ta cũng có
Mà

 3, 4  1 nên

 x  y   y  z   z  x  4

A  x  y   y  z   z  x  12

.

 x  y   y  z   z  x  3