CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Chuyên đề phương trình vi phân cấp 2
Biên soạn thầy Lê Dũng Trí
FB Tri Tri Le

Xét phương trình Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng có dạng tổng quát là:
y " a1 y ' a2 y  e x f ( x) (1)
Cách giải xét phương trình đặc trưng k 2  a1k  a2  0

 Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt k1,k2
y  c1ek1x  c2e k2 x

Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép k1=k2=k
y  (c1  c2 x)ekx

 Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức
 k1    i

k 2    i
y  ex (c1 cos x  c2 sin x)
Các e chú í y là nghiệm của pt tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng tức là nghiệm của pt

y"a1 y'a2 y  0
Chúng ta dùng phương pháp hệ số bất định để GPT (1)
Gọi nghiệm riêng của pt 1 là
-Nếu



,yr để tìm được yr các e cần chú í

 k1, k 2 thì yr = e x .g(x)


Nếu



trùng với 1 trong 2 giá trị k1, hoặc k2 thì yr = e x .g(x).x

Nếu



trùng với cả k1 và k2 thì yr = e x .g(x). x 2

Chú í g(x) là 1 đa thức cùng bậc với f(x)
Sau đó tính y 'r và y ''r xem yr là y , y 'r là y’ và y ''r là y’’ thay vào pt 1 ban đầu tìm cụ thể yr =?
 (quá trình tìm yr sử dụng đồng nhất hệ số)

Kết luận vậy nghiệm của pt là y= y + yr
Ví dụ 1 Giải phương trình sau y " 3 y ' 2 y  e3 x ( x 2  x) (2)
GIẢI
Xét phương trình đặc trưng k 2  3k  2  0 có k1  1, k2  2  y  c1e x  c2e2 x

α=3

 k1, k 2 , trường hợp 1 yr = e3 x .( Ax2  Bx  C ) vì f(x) = x 2  x là đa thức bậc 2 nên g(x) cũng là

đa thức bậc 2, 1 đa thức bậc 2 có dạng Ax2  Bx  C
ta dễ dàng tính được y 'r và y ''r thay vào pt 2 thu được A= ½ , B=-1, C=1

1
2

vậy yr = e3 x ( x 2  x  1)

1
2

kl vậy nghiệm pt là y= (c1e x  c2e2 x )  e3 x ( x 2  x  1)
Ví dụ 2 Giải phương trình sau y " 4 y ' 4 y  xe2 x (3)
Xét phương trình đặc trưng k 2  4k  4  0 nghiệm kép

k1  k2  2  y  (c1  c2 x)e2 x ta có α = 2 trùng với cả k1, k2 và f(x)=x là 1 đa thức bậc

nhất nên g(x) cũng sẽ là đa thức bậc nhất vậy g(x)=Ax+B
Theo lí thuyết trên rơi vào trường hợp 3 vậy yr =x2e2x.(Ax + B), tính y 'r
*

1
6

thế vào phương trình ( 3 ) ta tính được A  , B  0

và y ''r


1
6

vậy yr = x 2 ( x).e2 x

1
6

KL vậy nghiệm pt là y= (c1  c2 x)e2 x  x 2 ( x).e2 x
Ví dụ 3 Giải phương trình sau y " 3 y ' 2 y = e3x (4)
Xét phương trình đặc trưng k 2  3k  2  0 có k1  1, k2  2  y  c1e x  c2e2 x

α=3

 k1, k 2 , trường hợp 1 yr = e3x .A (Vì hàm f(x)=1 là đa thức bậc O Nên g(x) sẽ là đa thức bậc

O vậy g(x) có dạng g(x)=A
TA CĨ y 'r = e3x .3A và y ''r = e3x .9A Thay vào pt (4) ta có e3x .9A- e3x .9A+2. e3x .A = e3x
A=1/2
VẬY yr = e3x .1/2
Kl vậy nghiệm pt là y= c1e x  c2e2 x + e3x .1/2
Chú í phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng dạng

y " a1 y ' a2 y  e x . f ( x)  e x [ P( x)(cos  x  Q( x).sin  x]
Cách giải ta cũng xét phương trình đặc trưng k 2  a1k  a2  0

 y nhu tren
Cái khác so với dạng toán trên nằm ở chỗ

yr

 Nếu α ± iβ khơng phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì

yr  e x [ H ( x) cos  x  K ( x)sin  x]
 Nếu α ± iβ là nghiệm của của phương trình đặc trưng thì


yr  x.e x [ H ( x) cos  x  K ( x)sin  x] trong đó H(x) và K(x) là 2 đa thức có bậc =max bậc của 2
đa thức P(x) và Q(x)

Tính y 'r và y ''r

xem yr là y , y 'r là y’ và y ''r là y’’ thay vào pt 1 ban đầu tìm cụ thể yr =?

 (quá trình tìm yr sử dụng đồng nhất hệ số)



Ví dụ 1

giải phương trình sau y " 9 y  18cos3x  30sin 3x (6)

Phương trình đặc trưng

k 2  9  0 có nghiệm

k1  3i, k2  3i nên  y  eox (c1 cos3x  c2 sin 3x)

  0, 3

Ta có

  i  3i là nghiệm của pt đặc trưng và p(x)=18 và Q(x)=-30 đây là 2 đa thức bậc O

NÊN H(x) và K(x) LÀ 2 ĐA THỨC BẬC O
H(x)=A
K(x)=B

yr  xeox ( A cos3x  B sin 3x) ta tính y 'r và y ''r , thay vào pt (6)
Tìm cụ thể được A  5, B  3

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đầu là

y  y  yr

 (c1 cos 3x  c2 sin 3x)  x(5 cos 3x  3 sin 3x)

Ví dụ 2 giải phương trình sau y " y '   sin 2 x

(8)

Ta có   i  2i không phải là nghiệm của pt đặc trưng vì phương trifnhd dặc trưng là k 2  1  0
cho nghiệm 1 và -1

(  0,   2, P(x)  0,Q (x) 1)


P(x) và Q(x)
đây là 2 đa thức bậc O nên H(x)=A và K(x)=B nên

yr  A cos 2 x  B sin 2 x

Tính y 'r và y ''r , thay vào pt (8)

Thu được A  

1
1
, B  vậy yr =
10
5

( 1 cos2x  1sin2x)
5
10

Kết luận

y  (c eox c ex)5xex ( 1 cos2x  1sin2x)
1
2
5
10