Phương pháp hàm lyapunov đối với hệ phương trình vi phân cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Phương Anh

PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Phương Anh

PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Trần Văn Bằng

Hà Nội – Năm 2016


Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng người đã tận tình hướng dẫn
để em có thể hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành đến toàn thể thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại Học
Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập
tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình
học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Phương Anh

i


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm
ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2015

Sinh viên
Nguyễn Phương Anh

ii


Mục lục

Lời mở đầu

1

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

3

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Ổn định theo nghĩa Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Ổn định mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

Hàm liên tục Lipschitz địa phương . . . . . . . . . . . .

12

1.5

Hàm mũ của ma trận

13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Phương pháp hàm Lyapunov đối với hệ phương trình vi
phân cấp một

17

2.1

Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ 2 chiều . . . . . . .

17

2.1.1

Hệ trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2

Ổn định Lyapunov của nghiệm 0 . . . . . . . . .

18

2.1.3

Ổn định tiệm cận của nghiệm 0 . . . . . . . . . .

21

Lý thuyết tổng quát cho hệ ô-tô-nôm . . . . . . . . . . .

22

2.2

Tài liệu tham khảo

40

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

Lời mở đầu
Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định
tính phương trình vi phân, được nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới
nghiên cứu. Các bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có ý nghĩa về
mặt lý thuyết lẫn thực tiễn, có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải các
bài toán xuất phát từ thực tế, đòi hỏi phải dùng các lý thuyết và công
cụ toán học hiện đại trong nhiều lĩnh vực (Giải tích, Giải tích hàm, lý
thuyết ma trận,. . . .). Một trong những phương pháp nghiên cứu sự ổn
định quan trọng là phương pháp hàm Lyapunov. Khóa luận "Phương
pháp hàm Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân cấp một"
tìm hiểu về phương pháp hàm Lyapunov và những vấn đề liên quan.
Khóa luận gồm hai chương:
Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" trình bày các kiến thức cần thiết để
sử dụng trong chương 2.
Chương 2 "Phương pháp hàm Lyapunov đối với hệ phương trình vi
phân cấp một".
Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS. Trần Văn Bằng đã tận tình
hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận

1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận
này.
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế
nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác
giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy
cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01/05/2016
Tác giả khóa luận
Nguyễn Phương Anh

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
R

tập số thực

Rn

không gian Euclid n chiều

x∈M

x thuộc tập M

x∈
/M

x không thuộc tập M

∀ x ∈ M với mọi x thuộc tập M
∃x

tồn tại x

M ∩N

giao của hai tập hợp M và N

M ∪N

hợp của hai tập hợp M và N

M \N

hiệu của hai tập hợp M và N

M ⊂N

M là một tập con thực sự của N

M ⊆N

M là một tập con của N

[x1 , x2 ]

đoạn thẳng nối hai điểm x1 và x2

x

chuẩn của x

|x|

giá trị tuyệt đối của x

AT

ma trận chuyển vị của ma trận A

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Hệ phương trình vi phân cấp một

Định nghĩa 1.1. Hệ n phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc
là hệ phương trình:

dx1



= f1 (t, x1 , x2 , ..., xn )


dt




 dx2 = f2 (t, x1 , x2 , ..., xn )
dt



.....................................






 dxn = fn (t, x1 , x2 , ..., xn ).
dt

(1.1)

Trong đó, t gọi là biến độc lập, x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), ..., xn = xn (t)
là các hàm phải tìm. Các hàm fi (i = 1, 2, ..., n) xác định trong miền G
dx1 dx2
dxn
của không gian n + 1 chiều.
,
, ...,
là đạo hàm của các hàm
dt dt
dt
cần tìm.
Định nghĩa 1.2. Nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) là tập hợp
n hàm khả vi x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), ..., xn = xn (t) trên khoảng (a, b) nào
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

đó sao cho chúng thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (1.1).
Bài toán Cauchy
Cho hệ phương trình vi phân (1.1).
Yêu cầu tìm nghiệm x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), ..., xn = xn (t) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x1 (t0 ) = x01 , x2 (t0 ) = x02 , ..., xn (t0 ) = x0n , trong đó
t0 , x01 , x02 , ..., x0n là các giá trị cho trước tùy ý.
Định lý 1.1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Giả sử
1. Các hàm f1 , f2 , ..., fn liên tục trong miền
G = |t − t0 |

a; x1 − x01

b; x2 − x02

b; ...; xn − x0n

b ,

và do đó giới nội |fi (t, x1 , x2 , ..., xn )| ≤ M (i = 1, 2, ..., n);
2. Các hàm f1 , f2 , ..., fn thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x1 , x2 , ..., xn
trong miền G với cùng hằng số Lipschitz L>0.
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm
x(t) = (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t))
của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu
x1 (t0 ) = x01 , x2 (t0 ) = x02 , ..., xn (t0 ) = x0n .
Nghiệm này xác định khoảng đóng
[t0 − h, t0 + h] với h = min a, Mb .

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

Định nghĩa 1.3. (Hệ phương trình vi phân)

Hệ phương trình vi phân thường có dạng
dxj
= fj (t, x1 , x2 , ..., xn ), (j = 1, 2, ..., n)
dt
trong đó t là biến độc lập ( thời gian) , x1 , ..., xn là các hàm cần tìm, fj
là các hàm xác định trong một bán trụ
T = It+ × Dx , It+ = {t0 < t < +∞}
và Dx là một miền mở thuộc Rn .
Định nghĩa 1.4. (Nghiệm tổng quát) Hệ n hàm khả vi liên tục theo t,
phụ thuộc n hằng số tùy ý C1 , C2 , ..., Cn





x1 = ϕ1 (t, C1 , C2 , ..., Cn )






x2 = ϕ2 (t, C1 , C2 , ..., Cn )

(1.2)




....................................







xn = ϕn (t, C1 , C2 , ..., Cn )
được gọi là nghiệm tổng quát của hệ (1.1) nếu:
• Ứng với mỗi (t0 , x01 , x02 , ..., x0n ) ∈ G từ hệ (1.2) (sau khi đã thay
t, x1 , x2 , ..., xn bằng t0 , x01 , x02 , ..., x0n ) ta có thể xác định được các

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

hằng số




C1 = ψ1 (t0 , x01 , ..., x0n )







C2 = ψ2 (t0 , x01 , ..., x0n )

(1.3)




..................................






Cn = ψn (t0 , x01 , ..., x0n ).
• Hệ hàm (1.2) nghiệm đúng hệ phương trình (1.1) với C1 , C2 , ..., Cn
xác định từ (1.3).
Định nghĩa 1.5. (Tích phân tổng quát) Hệ hàm




φ1 (t, x1 , x2 , ..., xn ) = C1






φ2 (t, x1 , x2 , ..., xn ) = C2

(1.4)




...................................






φn (t, x1 , x2 , ..., xn ) = Cn
được gọi là tích phân tổng quát của hệ (1.1) trong miền G nếu nó xác
định nghiệm tổng quát của hệ (1.1) trong G.
Định nghĩa 1.6. (Nghiệm riêng) Nghiệm của hệ (1.1) mà tại mỗi điểm
của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Côsi được bảo đảm được gọi
là nghiệm riêng. Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với các hằng
số C1 , C2 , ..., Cn xác định từ (1.3) là nghiệm riêng.
Định nghĩa 1.7. (Nghiệm kỳ dị) Nghiệm của hệ (1.1) mà tại mỗi điểm
của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Côsi bị phá vỡ được gọi là
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

nghiệm kì dị.

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một
a) Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

dy1


= p11 (x)y1 + p12 (x)y2 + ... + p1n (x)yn



dx



dy

 2 = p21 (x)y1 + p22 (x)y2 + ... + p2n (x)yn
dx



...........................................................





dy

 n = pn1 (x)y1 + pn2 (x)y2 + ... + pnn (x)yn .

dx

(1.5)

Ta giả thiết hàm pij (x)(i, j = 1, 2, ..., n) liên tục trên khoảng (a, b).
b) Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng

dy1


= p11 (x)y1 + p12 (x)y2 + ... + p1n (x)yn + f1 (x)



dx



dy

 2 = p21 (x)y1 + p22 (x)y2 + ... + p2n (x)yn + f2 (x)
dx



...............................................................






dy

 n = pn1 (x)y1 + pn2 (x)y2 + ... + pnn (x) + fn (x) .
dx

(1.6)

Hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một
Một hệ phương trình vi phân được cho là phi tuyến nếu nó không
phải là một hệ tuyến tính.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Nguyễn Phương Anh

Ổn định theo nghĩa Lyapunov

Trong lý thuyết định tính phương trình vi phân, tính ổn định rất quan
trọng. Có nhiều khái niệm khác nhau về ổn định. Phần này ta trình bày
một số khái niệm và tiêu chuẩn ổn định Lyapunov.
Xét hệ phương trình phi tuyến có mô hình thay đổi theo thời gian,
hay còn gọi là hệ không dừng:
x˙ = f (x, t), t ≥ 0,

(1.7)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ gồm n biến trạng thái của hệ, f (x, t) là vectơ
của n hàm thực f (x, t) = (f1 (x, t), f2 (x, t)..., fn (x, t))T , ký hiệu số mũ T
ở đây được hiểu là phép chuyển vị vectơ hay ma trận. Để thỏa mãn định
lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm cũng như có thể kéo dài nghiệm về
bên phải ta giả thiết rằng các hàm f (t, x) với t ≥ 0 liên tục theo t và có
các đạo hàm riêng cấp một theo các biến y1 , y2 , ..., yn liên tục. Giả thiết
hệ (1.7) cân bằng tại gốc tọa độ nghĩa là f (0, t) = 0 với mọi t.
Định nghĩa 1.8. Nghiệm x(t) của (1.7) xác định trên khoảng [t0 , +∞)
được gọi là ổn định Lyapunov nếu với mọi ε > 0, mọi t0 > 0 tồn tại
δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho nếu các nghiệm y(t) của hệ (1.7) thỏa mãn điều
kiện
y(t0 ) − x(t0 ) < δ
thì
y(t) − x(t) < ε, ∀t > t0 .

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

Nói cách khác, nghiệm x(t) ổn định nếu các nghiệm y(t) khá gần với
nó ở thời điểm t0 thì sau đó sẽ nằm trong một ống ε nhỏ tùy ý được dựng
quanh nghiệm x(t). Trường hợp đặc biệt, khi f (0, t) = 0, nghiệm tầm
thường x(t) = 0 ổn định nếu mọi ε > 0, ∀t0 > 0 tồn tại δ = δ(ε, t0 ) > 0
sao cho nếu

y(t0 ) < δ
thì
y(t) < ε, ∀t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.9. Nghiệm x(t) của (1.7) gọi là ổn định tiệm cận nếu
nó ổn định Lyapunov và với mọi t0 > 0 tồn tại β = β(t0 ) sao cho mọi
nghiệm y(t) với y(t0 ) − x(t0 ) < β đều có tính chất
lim

t→+∞

y(t) − x(t) = 0.

Như vậy ổn định tiệm cận tức là ổn định kèm theo điều kiện. Đặc
biệt, nghiệm tầm thường x(t) = 0 ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và
lim

t→+∞

y(t) = 0

khi y(t0 ) < β.
Định nghĩa 1.10. Nếu các số δ, β trong các Định nghĩa 1.8 và Định
nghĩa 1.9 không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu t0 thì ta có các khái
niệm ổn định đều và ổn định tiệm cận đều.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

Ví dụ 1.2.1. Xét hệ phương trình vi phân

 x˙ = −y
 y˙ = x.
Nghiệm tổng quát của hệ này là

 x(t) = x(t0 ) cos(t − t0 ) sin(t − t0 )
 y(t) = x(t ) sin(t − t ) + y(t ) cos(t − t ).
0
0
0
0
Dễ thấy x2 (t) + y 2 (t) = x2 (t0 ) + y 2 (t0 ). Nên với mọi ε > 0, đặt
δ = δ(ε) = ε, ta có x2 (t) + y 2 (t) < δ = ε nếu x2 (t0 ) + y 2 (t0 ) < δ.
Vậy nghiệm (x, y) = (0, 0) của hệ ổn định đều.
Nhận xét Bằng cách đặt z(t) = y(t) − x(t), hệ phương trình (1.7) sẽ
được đưa về dạng quy đổi
z˙ = f (t, z(t) + x(t)) − f (t, x(t)) = F (t, z(t)), ∀t ≥ t0 .

(1.8)

Khi đó sự ổn định của nghiệm x(t) nào đó của hệ (1.7) sẽ được đưa về
nghiên cứu tính ổn định của nghiệm z = 0 của hệ (1.8). Để ngắn gọn, ta
quy ước sẽ nói hệ (1.8) ổn định thay cho nói nghiệm z = 0 là ổn định.
Từ nay về sau ta luôn giả thiết f (t, x) trong (1.7) thỏa mãn điều kiện
f (t, 0) = 0, do đó (1.7) có ngiệm x ≡ 0.

1.3

Ổn định mũ

Định nghĩa 1.11. Nghiệm x = 0 của hệ x˙ = f (x) được gọi là ổn định
mũ nếu tồn tại các hằng số dương β, γ, c sao cho với mọi nghiệm x(t)
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

của hệ thỏa mãn
x(0) < β
kéo theo x(t) < ce−γt với t > 0.
Ví dụ 1.3.1. Xét phương trình vi phân ( hệ một phương trình)
x˙ = −x.
Hệ có nghiệm tổng quát x = Ae−t . Tồn tại β = 2, γ = 1, c = 2 sao
cho mọi nghiệm x(t) của hệ thỏa mãn
x(0) < β ⇔ |A| < β
Thay số ta được x(0) < 2 ⇔ |A| < 2. Ta có
x(t) = |x(t)| = Ae−t < 2e−t = ce−t , ∀t > 0.
Vậy nghiệm x = 0 là ổn định mũ.

1.4

Hàm liên tục Lipschitz địa phương

Định nghĩa 1.12.
Cho hàm f : Rn −→ Rn

i) Hàm f được gọi là liên tục Lipschitz trên tập U ⊂ Rn nếu tồn tại
k > 0 sao cho với mọi x, y ⊂ U ta có f (x) − f (y) ≤ k x − y .
ii Hàm f được gọi là liên tục Lipschitz địa phương nếu với mọi x0 ∈ Rn ,
tồn tại lân cận U = U (x0 ) của x0 sao cho f liên tục Lipschitz trên
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

U.
Ví dụ 1.4.1. Hàm f : R −→ R, f (x) = x2 liên tục Lipschittz địa
phương vì với mọi x0 ∈ R tồn tại lân cận U (x0 ) = [x0 − 1, x0 + 1] và
f (x) − f (y) = x2 − y 2 = |x + y| |x − y|

2(|x0 | + 1) |x − y|.

Định lý 1.2. Nếu hàm f trong (1.7) liên tục Lipschitz địa phương thì
tính ổn định mũ của (1.7) sẽ suy ra tính ổn định tiệm cận của hệ đó.

1.5

Hàm mũ của ma trận

Cho A là ma trận không suy biến cấp n × n, khi đó eA là ma trận xác
định bởi
eA = I + A +

1 2 1 3

A + A ...
2!
3!

nếu chuối đó hội tụ. Tổng riêng của chuỗi về phải là ma trận cấp n × n
và chuỗi hội tụ nếu từng phần tử của ma trận tổng riêng hội tụ, trong
trường hợp đó eA là ma trận cấp n × n. Thực tế, chuỗi hội tụ với mọi
ma trận A, vì với mọi r:
I + A + ... +

1 r
A
r!

1 + A + ... +

1
A r,
r!

và khi r → ∞ chuỗi vế phải luôn hội tụ tới eA . Ta có:
1. eA ≤ e

A

.

2. e0 = I , 0 là ma trận không.
3. eA eB = eA+B khi AB = BA.
4. e−A = (eA )−1 (do đó e±A không suy biến).

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

5.

Nguyễn Phương Anh

d At
e = AeAt = eAt A.
dt
T

6. (eAt )T = eA t .
7. Giả sử các giá trị riêng của A là λ1 , λ2 , ..., λn . Khi đó với bất kỳ γ
sao cho γ > max (λi ), tồn tại hằng số c > 0 sao cho eAt < ceγt .
1≤i≤n

8. Hàm mũ ma trận có thể được sử dụng để biểu diễn nghiệm của hệ
x˙ = Ax, trong đó A là hằng số. Đặt x = eAt c với c là véc tơ hằng.
Khi đó x(0) = e0 c = Ic = c và x˙ = AeAt c = Ax, hay x là nghiệm
của hệ. Thực tế eAt là một ma trận cơ bản của hệ vì eAt không suy
biến.
9. Mối quan hệ giữa nghiệm qua ma trận mũ và nghiệm qua ma trận
cơ bản của hệ x˙ = Ax có thể thu được như sau. Giả sử rằng A là
ma trận cấp n × n với n giá trị riêng phân biệt λ1 , λ2 , ..., λn . Gọi
các véc tơ riêng liên kết với λr là cr , tức là [A − λr I] cr = 0
1,2,...,n).
Đặt

C = [c1 , c2 , ..., cn ] .

14

(r =


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

Khi đó
AC = A [c1 , cn , .., cn ]
= [Ac1 , Acn , .., Acn ]
= [λc1 , λcn , .., λcn ]
= [c1 , cn , .., cn ] D
= CD

Trong đó D là ma trận chéo


λ 0
 1

 0 λ2
D=

 ... ...

0 0

... 0





... 0 
.

... ... 

... λn

Do đó
A = A(CC −1 ) = (AC)C −1 = CDC −1
An = (CDC −1 )(CDC −1 )...(CDC −1 ) = CDn C −1

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

Nghiệm của x˙ = Ax là
∞

r r

∞

r

−1 r

∞

r r

A t
CD C t
D t
−1
x = eAt =
=C
r! =
r!
r! C
r=0
r=0
 r=0
r r
λ t /r!
0
...
0

 1



r
r
∞ 
 −1
0
λ2 t /r! ...
0
C

=C


r=0 
...
...
...
... 


0
0
... λrn tr /r!


λ1 t
e
0 ... 0





λ
t
2
 0 e
... 0  −1
C ,
=C


 ... ... ... ... 


λn t
0
0 ... e

là ma trận cơ bản Φ(t) thỏa mãn Φ(0) = CIC −1 = I.

16


Chương 2
Phương pháp hàm Lyapunov đối với
hệ phương trình vi phân cấp một
2.1
2.1.1

Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ 2 chiều

Hệ trắc địa

Bài toán. Khảo sát quỹ đạo chuyển động của hệ

 x˙ = −x3
 y˙ = −y 3 .
Hê này có điểm cân bằng tại gốc. Xét họ đường tròn V (x, y) = x2 +
y 2 = α với 0 < α < ∞ mà có tâm ở gốc và lấp đầy mặt phẳng. Xét bất
kỳ quỹ đạo riêng P, tương ứng với nghiệm x(t), y(t). Trên quỹ đạo này
V(x,y) = V(x(t),y(t)), nên
∂V
∂V
dV
=
x˙ +
y˙ = 2x(−x3 ) + 2y(−y 3 ) = −2x4 − 2y 4 .
dt
dx
dy
Trừ điểm gốc, (dV /dt) < 0 trên mọi quỹ đạo P. Nên V là giảm thực sự
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

dọc theo P. Họ các đường cong V (x, y) = x2 + y 2 = α như trong bài
toán trên được gọi là một hệ trắc địa (topographic system).
Ta cần xác đinh một lớp hệ trắc địa tổng quát mà có cấu trúc tương

tự như họ đường tròn ở bài toán trên. Giả sử V(x,y) = α, α > 0 là một
họ các đường cong đóng, bao quanh điểm gốc, hội tụ đến điểm gốc (liên
tục) khi α → 0 .
Định nghĩa 2.1. Trong lân cận liên thông N của gốc. Giả sử V(x,y)
thỏa mãn
1. V(x,y) là liên tục,
∂V ∂V
,
∂x ∂y
là liên tục, có thể trừ ra tại điểm gốc.
2. V(0,0) = 0 và V(x,y) > 0 trong N .
3. Tồn tại giá trị µ > 0 sao cho với mọi giá trị của tham số α trong
khoảng 0 > α < µ, phương trình V(x,y) = α với (x, y) ∈ N xác
định duy nhất một đường cong đơn đóng Tα trong N bao quanh
gốc. Khi đó họ các đường cong V(x,y) = α, 0 < α < µ được gọi là
hệ trắc địa trong Nµ , trong đó Nµ là lân cận liên thông của gốc xác
định bởi V (x, y) < µ, với Nµ ⊂ N .
2.1.2

Ổn định Lyapunov của nghiệm 0

Xét hệ ô-tô-nôm có dạng

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh



x˙ = X(x, y)

(2.1)


y˙ = Y (x, y)
với điểm cân bằng ở gốc: X(0,0) = Y(0,0) = 0. Ta định nghĩa hàm số
V˙ (x, y) có dấu tại điểm P được xác định sao cho quỹ đạo của hệ (2.1)
chuyển động qua P cắt đường cong trắc địa hướng vào trong nếu α giảm
và hướng ra ngoài nếu α tăng. Ký hiệu T là đường cong trắc địa và P
có quỹ đạo chuyển động qua điểm
 P tùy ý. Giả sử nghiệm theo thời gian

 x = x(t)
Tốc độ biến đổi theo thời gian
của (2.1) tương ứng với P là

 y = y(t).
của V(x(t),y(t)) dọc theo P tại điểm P xác định bởi
dV (x(t), y(t))
∂V
∂V
∂V
∂V
= x˙
+ y˙
=X
+Y

. Ta có
dt
∂x
∂y
∂x
∂y
• Nếu V˙ (x, y) > 0 ở điểm P, P hướng ra ngoài T ;
• Nếu V˙ (x, y) < 0 ở điểm P, P hướng vào trong T ;
• Nếu V˙ (x, y) = 0 ở điểm P, P tiếp xúc với T .
Chúng ta gọi V(x,y) là hàm Lyapunov cho hệ (2.1).
Định lý 2.1. Cho Tα là đường cong trắc địa trong Nµ , xác định bởi
V (x, y) = α < µ, và giả sử rằng V˙ (x, y)

0 trong Nµ .

Cho H là nửa quỹ đạo bắt đầu từ điểm P ở trên, hoặc ở bên trong Tα .
Khi đó H không bao giờ thoát khỏi vùng này.
Chứng minh. Cho B là điểm bên ngoài bất kỳ đến Tα . Từ đó α < µ, tồn
tại α1 với α < α1 < µ, sao cho đường cong trắc địa Tα1 nằm giữa Tα và
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

điểm B. Để đạt được đến B, điểm P phải đi ra ngoài Tα1 , trái vời giả
thiết V˙ (x, y)

0. Vậy H không bao giờ thoát khỏi Tα .

Định lý 2.2.
 Cho V(x,y) thỏa mãn các điều kiện của Định nghĩa 2.1,
 x˙ = X(x, y)
và cho hệ
chính quy trong Nµ , có điểm cân bằng tại gốc.
 y˙ = Y (x, y)
Giả sử rằng V˙ (x, y) 0 trong miền Nµ trừ gốc.
Khi đó nghiệm 0 là ổn định theo nghĩa Lyapunov.
Chứng minh. Trên mặt phẳng Nµ , gọi Cε là đường tròn, tâm là gốc, bán
kính là ε và bao bọc miền không có điểm cân bằng nào trừ gốc, T là
đường cong trắc địa nằm trong Cε , và Cδ là đường tròn bất kỳ nằm trong
T với bán kính δ. P là bất kỳ điểm nằm trong Cδ và H là nửa quỹ đạo
bắt đầu từ P ứng với thời điểm t0 . Do V˙ (x, y)

0 trong Nµ nên H

không thể thoát khỏi T và do đó H không thể đạt được tới đường tròn
Cε . Cho nghiệm tương ứng với nửa quỹ đạo H là x(t), y(t) , với t

t0 .

Cho bất kỳ ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu
(x(t0 ), y(t0 ) < δ
thì
(x(t), y(t)) < ε
với t

t0 . Do đó hệ trên thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa ổn định

Lyapunov. Ngoài ra, δ không phụ thuộc vào t0 nên nghiệm 0 là ổn định
đều.

20