Chuyên đề 2 phương trình đường thẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (454.72 KB, 19 trang )
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6
CHUYÊN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm A(1; 2;3) và trung điểm
Câu 2:
Câu 3: của BC với B(2;1; 3) và C(2;3;5) là
A. x 1 y 2 z 3. B. x 1 y 2 z 3 .
1 2 3 212
C. x 2 y 2 z 1 . D. x 1 y 2 z 3 .
1 4 2 1 2 2
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1;2); B(2;3; 5); C(4; 0; 7) . Điểm M thuộc
cạnh BC sao cho SABM 2SACM . Phương trình đường thẳng AM là:
A. x y 1 z 2 . B. x y 1 z 2 .
1 3 3 21 2
C. x 2 y 1 z 3. D. x y 1 z 2 .
2 2 5 22 5
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;3;2); B(1;2;1); C(1;1;3). Viết
phương trình tham số của đường thẳng đi qua ∆ trọng tâm G của tam giác ABC và vng góc
với mặt phẳng (ABC)
x 1 3t x 1 3t x 1 x 1 3t
A. : y 2 t B. : y 2 2t C. : y 2 2t D. : y 2
z 2 z 2 t z 2
z 2 t
Câu 4: Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm M (-1;1;3) và hai đường thẳng
: x 1 y 3 z 1; ' : x 1 y z . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường
3 2 1 1 3 2
thẳng đi qua M, vng góc với ∆ và ∆’?
x t x 1 t x 1 t x 1 t
A. y 1 t B. y 1 t C. y 1 t D. y 1 t
z 3 t z 3 t
z 3 t z 1 3t
Câu 5: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho (P) : x y z 1 0, (Q) : x y z 2 0 và điểm
A(1; 2;3) . Phương trình nào đưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A, song song với
(P) và (Q)?
x 1 t x 1 x 1 2t x 1 t
A. y 2 . B. y 2 . C. y 2 . D. y 2 .
z 3 t
z 3 2t z 3 2t z 3 t
Câu 6: Cho mặt phẳng (P) : 4x y z 1 0 và đường thẳng d : x 1 y 1 z . Phương trình đường
Câu 7: 2 2 1
thẳng qua A(1;2;3) song song với (P) đồng thời vng góc với d là:
A. x 1 y 2 z 3 B. x 1 y 2 z 3
1 2 1 1 2 2
C. x 1 y 2 z 3 D. x 1 y 2 z 3
2 1 3 2 1 1
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 2x y 1 0; (Q): x y z 1 0. Viết
phương trình đường thẳng d giao tuyến của hai mặt phẳng.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
A. d : x y 1 z . B. d : x y 1 z .
1 2 3 1 2 3
C. d : x y 1 z . D. d : x y 1 z .
1 2 3 1 2 3
Câu 8: Cho điểm A1; 2; 1 và đường thẳng d : x 2 y 1 z 3 . Phương trình đường thẳng qua A
Câu 9: 2 1 2
cắt và vng góc với d là:
A. x 1 y 2 z 1 B. x y z 1
1 2 2 1 2 2
C. x 1 y 2 z 1 D. x y z 1
2 1 2 1 2 2
Trong không gian tọa độ, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d : x 3 y 1 z 7 . Đường
2 1 2
thẳng qua A, vng góc với d và cắt Ox có phương trình là :
x 1 2t x 1 t x 1 2t x 1 t
A. y 2t B. y 2 2t C. y 2t D. y 2 2t
z 3t z t
z 3 2t z 3 2t
Câu 10: Cho đường thẳng d : x 1 y z 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;0; 2) ,
112
vng góc và cắt d.
A. : x 1 y z 2 B. x 1 y z 2
111 1 1 1
C. x 1 y z 2 D. x 1 y z 2
221 1 3 1
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là
x 1 2t
x y1 z 2
và y 1 t (t ) . Phương trình đường thẳng vng góc với
2 1 1
z 3
(P) : 7x y 4z 0 và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 là
A. x y 1 z 2 B. x 2 y z 1
7 1 4 7 1 4
C. x 1 y 1 z 3 x 12 y 1 z 12
7 1 4 D.
7 1 4
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2;3) và hai đường thẳng
d1 : x 2 y 2 z 3 ; d2 : x 1 y 1 z 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A,
2 1 1 1 2 1
vng góc với d1 và cắt d2:
A. : x 1 y 2 z 3 B. x 1 y 2 z 3
1 3 5 1 3 5
C. x 1 y 2 z 3 D. x 1 y 2 z 3
1 3 5 1 3 5
------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x 2y z 4 0 và đường thẳng có
phương trình d : x 1 y z 2 . Phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), đồng
21 3
thời cắt và vng góc với đường thẳng d là:
A. : x 1 y 1 z 1 B. x 1 y 1 z 1
1 1 3 5 1 2
C. x 1 y 1 z 1 D. x 1 y 3 z 1 Lời giải
523 5 1 3
Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x 3 y 3 z 2 và
1 2 1
d2 : x 5 y 1 z 2 và mặt phẳng (P) : x 2y 3z 5 0 . Đường thẳng vng góc với (P)
3 2 1
cắt d1 và d2 có phương trình là
A. x 1 y 1 z B. x 2 y 3 z 1
1 23 1 2 3
C. x 3 y 3 z 2 D. x 1 y 1 z
1 2 3 3 21
Câu 15: x 1 3t
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho đường thẳng d : y 1 4t . Gọi ∆ là đường
z 1
thẳng qua A(1;1;1) và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 2 . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi
d và ∆ có phương trình là :
x 1 7t x 1 2t x 1 2t x 1 3t
A. y 1 t B. y 10 11t C. y 10 11t D. y 1 4t
z 1 5t z 6 5t z 6 5t z 1 5t
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB có A2; 2;1 và B 0; 4;3. Độ dài đường phân
giác trong góc AOB bằng
A. 30 . B. 30 . C. 9 . D. 15 .
5 4 8 8
Câu 17: Trong không gian tọa độ cho mặt cầu (S) : (x1)2 (y 2)2 z2 9 và điểm M(2; 0; 2) .
Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (S) tại M và tạo với mặt phẳng (P) : x y 3 0 một
góc là :
30
x 2 x 2 x 2 x 2
A. d : y t B. d : y t C. d : y t D. d : y t
z 2 t z 2 t z 2 t z 2 t
Câu 18: Trong không gian tọa độ cho mặt cầu x2 y2 z2 4x 2y 6z 12 0 và đường thẳng
(d) : x 5 2t; y 4; z 7 t . Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm
M(5;0;1) và ∆ tạo với d góc sao cho cos 1 là:
7
x 5 3t x 5 3t x 5 3t x 5 3t
A. y 5t B. d : y 5t C. d : y 5t D. d : y 5t
z 1 t z 1 t
z 1 t z 1 t
------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 3; 4 , mặt phẳng P : x 2y z 12 0 và mặt cầu
S có tâm I 1; 2;3, bán kính R 5 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường
thẳng đi qua M , nằm trong P và cắt S theo dây cung dài nhất?
x 2t x 2 3t x 1 3t x 3t
A. y 3 2t . B. y 3 9t . C. y 1 2t . D. y 2 t .
z 4 3t z 4 3t z 1 5t z 5 t
Câu 20: 8 4 8
Cho A2, 2,1 , B , , . Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và
3 3 3
vng góc với OAB có phương trình là
A. x 1 y 3 z 1 . B. x 1 y 8 z 4 .
1 2 2 1 2 2
x 1 y 5 z 11 D. x y 1 z 1 .
C. 3 3 6 . 1 2 2
1 2 2
Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và hai đường thẳng
1 : x 1 y z , 2 : x y z 1 . Biết rằng có hai đường thẳng d1, d2 nằm trong P , cắt
1 1 1 11 3
2 và cách 1 một khoảng bằng 6 . Gọi u1 a ;b;1, u2 1; c; d lần lượt là véctơ chỉ
2
phương của d1, d2 . Tính S a b c d .
A. S 0 . B. S 2 . C. S 4 . D. S 1 .
Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : x 1 y z 2 và mặt phẳng
2 1 1
P : x y z 3 0 . Đường thẳng d là hình chiếu vng góc của đường thẳng d trên mặt
phẳng P . Đường thẳng d đi qua điểm nào sau đây?
A. K 3;1;7 . B. M 3;1;5 . C. N 3;1;7 . D. I 2;1;2 .
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A2;0;1 , B 2;2;1 , C 4;2;3 . Gọi d là
đường thẳng đi qua tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vng góc với mặt
phẳng ABC . Đường thẳng d đi qua điểm M a;b; 1 , tổng a b bằng
A. 6 . B. 4 . C. 5 . D. 7 .
Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x y z 5 0 và đường thẳng
d : x 3 y 3 z 2 . Biết rằng trong mặt phằng P có hai đường thằng d1, d2 cũng đi qua
2 1 1
A3; 1; 0 và cùng cách đường thẳng d một khoảng cách bằng 3 . Tính sin với là góc
giữa hai đường thẳng d1, d2 .
A. 4 . B. 3 5 . C. 5 . D. 3 .
7 7 7 7
------------------------------------------------------------------------------------------------------
4
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : x 1 y 2 z ;
1 21
2 : x 2 y 1 z 1 . Đường thẳng d song song với mặt phẳng P: x y 2z 5 0
2 1 1
và cắt hai đường thẳng 1,2 lần lượt tại A, B sao cho AB là ngắn nhất. Phương trình đường
thẳng d là:
A. x 1 y 2 z 2. B. x 1 y 2 z 2 .
C. x 1 y 2 z 2 . D. x 1 y 2 z 2 .
2 1 1 2 1 1
Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : x 2 y 5 z 2 ,
1 2 1
d : x 2 y 1 z 2 và hai điểm Aa;0;0, A0;0;b . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và
1 2 1
d ; H là giao điểm của đường thẳng AA và mặt phẳng (P). Một đường thẳng thay đổi trên
(P) nhưng luôn đi qua H đồng thời cắt d và d lần lượt tại B, B . Hai đường thẳng
AB, AB cắt nhau tại điểm M. Biết điểm M luôn thuộc một đường thẳng cố định có véc tơ chỉ
phương u 15; 10; 1 (tham khảo hình vẽ).
Phương trình đường thẳng AB.
x 2 2t x 2t x 2t x 4t
A. y 0 . B. y 0 . C. y 0 . D. y 0 .
z 4t z 2t z 2t z 2t
------------------------------------------------------------------------------------------------------
5
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
Câu 1: ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6
CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm A(1; 2;3) và trung điểm
của BC với B(2;1; 3) và C(2;3;5) là
A. x 1 y 2 z 3. B. x 1 y 2 z 3 .
1 2 3 2 1 2
C. x 2 y 2 z 1 . D. x 1 y 2 z 3 .
1 4 2 1 2 2
Lời giải
x 2 y2 z 1
Trung điểm của BC là M(2; 2;1) u AM (1; 4; 2) d : . Chọn
1 4 2
C.
Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1;2); B(2;3; 5); C(4; 0; 7) . Điểm M thuộc
cạnh BC sao cho SABM 2SACM . Phương trình đường thẳng AM là:
A. x y 1 z 2 . B. x y 1 z 2 .
1 3 3 21 2
C. x 2 y 1 z 3. D. x y 1 z 2 .
2 2 5 22 5
Lời giải
Ta có SABM 2SACM và M thuộc cạnh BC nên BM 2MC
(xM 2; yM 3; zM 5) 2(4 xM ; yM ; 7 zM ) M(2;1; 3) AM (2; 2; 5)
Phương trình dường thẳng AM là: x 2 y 1 z 3 . Chọn C.
2 2 5
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;3;2); B(1;2;1); C(1;1;3). Viết
phương trình tham số của đường thẳng đi qua ∆ trọng tâm G của tam giác ABC và vng góc
với mặt phẳng (ABC)
x 1 3t x 1 3t x 1 x 1 3t
A. : y 2 t B. : y 2 2t C. : y 2 2t D. : y 2
z 2 z 2
z 2 t z 2 t
Lời giải
xG 111 3 1
321
Giả sử G(xG ; yG; zG ) . Khi đó: yG 2 G(1; 2; 2)
3
213
zG 2
3
AB; AC
Ta có: AB (0; 1; 1); AC (0; 2;1) u (3; 0;0) 3(1;0; 0)
x 1 3t
Đường thẳng qua G và nhận u là vtcp : y 2 . Chọn D.
z 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------
6
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
Câu 4: Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm M (-1;1;3) và hai đường thẳng
: x 1 y 3 z 1; ' : x 1 y z . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường
3 2 1 1 3 2
thẳng đi qua M, vng góc với ∆ và ∆’?
x t x 1 t x 1 t x 1 t
A. y 1 t B. y 1 t C. y 1 t D. y 1 t
z 3 t z 3 t
z 3 t z 1 3t
Lời giải
Các vtcp của ∆ và ∆’ lần lượt là: u1 (3; 2;1); u2 (1;3; 2) vtcp của đường thẳng cần tìm là:
u1;
u u2 (7; 7; 7) 7(1;1;1) . Chọn D.
Câu 5: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho (P) : x y z 1 0, (Q) : x y z 2 0 và điểm
A(1; 2;3) . Phương trình nào đưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A, song song với
(P) và (Q)?
x 1 t x 1 x 1 2t x 1 t
A. y 2 . B. y 2 . C. y 2 . D. y 2 .
z 3 t
z 3 2t z 3 2t z 3 t
Lời giải
Đường thẳng cần tìm song song với (P) và (Q) nên ud n ( p ) ; n ( Q ) 2(1;0; 1) .
x 1 t
Do đó d: y 2 . Chọn A.
z 3 t
Câu 6: Cho mặt phẳng (P) : 4x y z 1 0 và đường thẳng d : x 1 y 1 z . Phương trình đường
2 2 1
thẳng qua A(1;2;3) song song với (P) đồng thời vng góc với d là:
A. x 1 y 2 z 3 B. x 1 y 2 z 3
1 2 1 1 2 2
C. x 1 y 2 z 3 D. x 1 y 2 z 3
2 1 3 2 1 1
Lời giải
Ta có: ud (2; 2;1); n(p) (4; 1; 1) . Suy ra u u d ; n P (3;6; 6) 3(1; 2; 2)
Do vậy : x 1 y 2 z 3 . Chọn B.
1 2 2
Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 2x y 1 0; (Q): x y z 1 0. Viết
phương trình đường thẳng d giao tuyến của hai mặt phẳng.
A. d : x y 1 z . B. d : x y 1 z .
1 2 3 1 2 3
------------------------------------------------------------------------------------------------------
7
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
C. d : x y 1 z . D. d : x y 1 z .
1 2 3 1 2 3
Lời giải
Tác giả: Phạm Huy; Fb: Huypham01.
Chọn A
Ta thấy điểm M 0; 1; 0 thuộc hai mặt phẳng P;Q ,vậy điểm M 0; 1; 0 thuộc
đường
thẳng d . (1)
Ta thấy:
(P) : 2x y 1 0 có VTPT nP 2;1;0.
(Q): x y z 1 0 có VTPT nP 1; 1;1.
Đường thẳng d giao tuyến của hai mặt phẳng P;Q, có VTCP
ud n P ; nQ (1; 2; 3).
(2)
Từ (1) ; (2) ta có phương trình đường thẳng d là: x y 1 z .
1 2 3
Câu 8: Cho điểm A1; 2; 1 và đường thẳng d : x 2 y 1 z 3 . Phương trình đường thẳng qua A
212
cắt và vng góc với d là:
A. x 1 y 2 z 1 B. x y z 1
1 2 2 1 2 2
C. x 1 y 2 z 1 D. x y z 1
212 1 2 2
Lời giải
Gọi H(2 2t;1 t;3 2t) d AH (1 2t; t 1; 4 2t)
x y z 1
Ta có: AH.ud 4t 2 t 1 4t 8 0 t 1 H(0;0;1) AH : 1 2 2 . Chọn
D.
Câu 9: Trong không gian tọa độ, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d : x 3 y 1 z 7 . Đường
2 1 2
thẳng qua A, vng góc với d và cắt Ox có phương trình là :
x 1 2t x 1 t x 1 2t x 1 t
A. y 2t B. y 2 2t C. y 2t D. y 2 2t
z 3t z t
z 3 2t z 3 2t
Lời giải
Gọi là đường thẳng cần tìm, ta có B Ox B(x; 0; 0)
Khi đó AB (x1; 2; 3), ud (2;1;2)
Do d AB.ud 2(x 1) 2 6 0 x 1 B(1;0; 0) AB(2;2;3)
x 1 2t
Vậy : y 2t . Chọn A.
z 3t
------------------------------------------------------------------------------------------------------
8
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
Câu 10: Cho đường thẳng d : x 1 y z 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;0; 2) ,
112
vng góc và cắt d.
A. : x 1 y z 2 B. x 1 y z 2
111 1 1 1
C. x 1 y z 2 D. x 1 y z 2
221 1 3 1
Lời giải
Gọi H(1 t; t; 1 2t) d là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d
Ta có : AH (t; t; 2 t 3) suy ra AH.ud t t 4t 6 0 t 1 H(2;1;1); AH (1;1; 1)
Suy ra AH : x 1 y z 2 . Chọn B.
1 1 1
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là
x 1 2t
x y1 z 2
và y 1 t (t ) . Phương trình đường thẳng vng góc với
2 1 1
z 3
(P) : 7x y 4z 0 và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 là
A. x y 1 z 2 B. x 2 y z 1
7 1 4 7 1 4
C. x 1 y 1 z 3 D. x 12 y 1 z 12
7 1 4
7 1 4
Lời giải
Giả sử d d1 A A d1 nên A(2u;1 u; u 2)
d d2 B B d2 nên B(2t 1; t1;3)
Vì thế AB 2t 2u 1;t u;5 u là vecto chỉ phương của d.
Do d (P) nên AB / /n (7;1; 4) ở đây n là vecto pháp tuyến của mp (P)
2t 2u 1 t u 5 u 2t 2u 1 7t 7u
Từ đó có hệ phương trình
7 1 4 4(t u) u 5
t 2
AB (7; 1; 4) và đường thẳng d đi qua điểm A(2;0; 1) nên
u 1
(d) : x 2 y z 1 . Chọn B.
7 1 4
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2;3) và hai đường thẳng
d1 : x 2 y 2 z 3 ; d2 : x 1 y 1 z 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A,
2 1 1 1 2 1
vng góc với d1 và cắt d2:
A. : x 1 y 2 z 3 B. x 1 y 2 z 3
1 3 5 1 3 5
------------------------------------------------------------------------------------------------------
9
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
C. x 1 y 2 z 3 D. x 1 y 2 z 3
1 3 5 1 3 5
Lời giải
Gọi (P) là mặt phẳng qua A(1; 2;3) và vng góc với
d1 nP (2; 1;1) (P) : 2x y z 3 0
Khi đó gọi B (P) d2 . Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT sau:
2x y z 3 0 x 2
x 1 y 1 z 1 y 1 B(2; 1; 2)
1 2 1 z 2
Đường thẳng cần lập chính là đường thẳng AB: qua A(1; 2;3) và có vecto chỉ phương
uAB (1; 3; 5)
AB : x 1 y 2 z 3 là đường thẳng cần tìm. Chọn D.
1 3 5
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x 2y z 4 0 và đường thẳng có
phương trình d : x 1 y z 2 . Phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), đồng
21 3
thời cắt và vng góc với đường thẳng d là:
A. : x 1 y 1 z 1 B. x 1 y 1 z 1
1 1 3 5 1 2
C. x 1 y 1 z 1 D. x 1 y 3 z 1 Lời giải
523 5 1 3
Gọi M () (d ) M d M (2t 1;t;3t 2)
Mà M (P) 2t 1 2t 3t 2 4 0 t 1 M (1;1;1)
u n(P)
Ta có u n(P) ; ud (5; 1; 3) phương trình : x 1 y1 z 1 . Chọn
1 1 3
u ud
A.
Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x 3 y 3 z 2 và
1 2 1
d2 : x 5 y 1 z 2 và mặt phẳng (P) : x 2y 3z 5 0 . Đường thẳng vuông góc với (P)
3 2 1
cắt d1 và d2 có phương trình là
A. x 1 y 1 z B. x 2 y 3 z 1
1 23 1 2 3
C. x 3 y 3 z 2 D. x 1 y 1 z
1 2 3 3 21
Lời giải
Giả sử đường thẳng d cắt d1, d2 lần lượt tại
M , N M (1 t1;3 2t1; 2 t1), N(5 3 t2; 1 2t2; 2 t2 )
Ta có MN t1 3t2 2; 2t1 2t2 4; t1 t2 4 và nP 1; 2;3
------------------------------------------------------------------------------------------------------
10
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
t1 3t2 2 k t1 2 M (1; 1; 0)
Mà d vng góc với (P) nên MN k.nP 2t1 2t2 4 2k t2 1
N (2;1;3)
t1 t2 4 3k k 1
x 1 y1 z
MN (1; 2;3) d : . Chọn A.
1 23
Câu 15: x 1 3t
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho đường thẳng d : y 1 4t . Gọi ∆ là đường
z 1
thẳng qua A(1;1;1) và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 2 . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi
d và ∆ có phương trình là :
x 1 7t x 1 2t x 1 2t x 1 3t
A. y 1 t B. y 10 11t C. y 10 11t D. y 1 4t
z 1 5t z 6 5t z 1 5t
z 6 5t
Lời giải
Đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại A(1;1;1)
Ta có: ud (3; 4;0) ud 5 và u (1; 2; 2) u 3
Do u.ud 5 0 cos u.ud 0 u.ud là góc tù
Một VTCP của đường phân giác d’ cần lập là:
ud u 3; 4;0 1; 2; 2 2
ud ' 2;11; 5
5 3 15
ud u
x 1 2t x 1 2t
Vậy phương trình đường phân giác cần tìm là: d ' : y 111t hay y 10 11t .
z 1 5t z 6 5t
Chọn C.
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB có A2; 2; 1 và B 0; 4;3. Độ dài đường phân
giác trong góc AOB bằng
A. 30 . B. 30 . C. 9 . D. 15 .
5 4 8 8
Chọn B Lời giải
------------------------------------------------------------------------------------------------------
11
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
Gọi M là chân đường phân giác trong góc AOB .
Ta có: OA 3,OB 5, theo tính chất đường phân giác trong:
MA OA 3 MA MA OA 3 3
MA AB
MB OB 5 AB MA MB OA OB 8 8
2 xM 38 0 2 xM 54
3 1 5 1 1 30
Nên: 2 yM 4 2 yM M ; ; OM .
8 4 4 4 2 4
1 zM 3 3 1 1
8 zM
2
Câu 17: Trong không gian tọa độ cho mặt cầu (S) : (x1)2 (y 2)2 z2 9 và điểm M(2; 0; 2) .
Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (S) tại M và tạo với mặt phẳng (P) : x y 3 0 một
góc 30 là :
x 2 x 2 x 2 x 2
A. d : y t B. d : y t C. d : y t D. d : y t
z 2 t z 2 t z 2 t z 2 t
22 2 Lời giải
Gọi ud (a; b; c), (a b c 0) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2;0) . Vì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M nên:
Ta có: IM (1; 2; 2) ud a 2b 2c 0 a 2c 2b
Mặt khác đường thẳng d tạo với mặt phẳng (P) một góc 30 nên:
Ta có: sin 30 cos ud ; n(P) ab 2c b 1
2 5b2 5c2 8bc 2
2 a2 b2 c2
2(b 2c)2 5b2 5c2 8bc 3b2 3c2 b c
b c
x 2
Với b = c chọn b c 1; a 0 ta có: d : y t
z 2 t
x 2 4u
Với b = - c chọn b 1; c 1; a 4 ta có: d : y u . Chọn A.
z 2 u
Câu 18: Trong không gian tọa độ cho mặt cầu x2 y2 z2 4x 2y 6z 12 0 và đường thẳng
(d) : x 5 2t; y 4; z 7 t . Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm
M(5;0;1) và ∆ tạo với d góc sao cho cos 1 là:
7
x 5 3t x 5 3t x 5 3t x 5 3t
A. y 5t B. d : y 5t C. d : y 5t D. d : y 5t
z 1 t z 1 t
z 1 t z 1 t
------------------------------------------------------------------------------------------------------
12
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
Lời giải
Ta có (S) : (x 2)2 (y 1)2 (z 3)2 26 (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R 26
IM (3;1; 4), u1 (2;0;1) là 1 VTCP của d. 2 2 2
Giả sử u2 (a; b;c) là 1 VTCP của đường thẳng ∆, (a b c 0)
Do ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M IM u2 3a b 4c 0 b 3a 4c (1)
Mà góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng d bằng
u1.u2 1 2a c 1 (2)
cos u1, u2 cos
u1 . u2 7 a2 b2 c2. 5 7
Thay (1) và (2) ta được 7 2a c 5. a2 (3a 4c)2 c2
a 3c
7(4a2 4ac c2 ) 5(a2 9a2 24ac16 c2 c2 ) 22a2 92ac 78c2 0 a 13 c
11
x 5 3t
Với a 3c , do a2 b2 c2 0c 0. Chọn c 1 a 3;b 5 :y 5t
z 1 t
13 x 5 3t
Với a c chọn c 11 a 13;b 5 : y 5t . Chọn C.
11
z 111t
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 3; 4 , mặt phẳng P : x 2y z 12 0 và mặt cầu
S có tâm I 1; 2;3, bán kính R 5 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường
thẳng đi qua M , nằm trong P và cắt S theo dây cung dài nhất?
x 2t x 2 3t x 1 3t x 3t
A. y 3 2t . B. y 3 9t . C. y 1 2t . D. y 2 t .
z 4 3t z 4 3t z 1 5t z 5 t
Lời giải
Chọn D
Vì d I , P 2 6 R 5 nên P cắt S theo một đường trịn C có tâm là hình chiếu
vng góc của I lên P .
x 1 t
Đường thẳng d đi qua I vng góc với P có ptts là: y 2 2t .
z 3 t
Suy ra d P K 3; 2;5 . Do vậy tâm của C là K 3; 2;5 .
Gọi đường thẳng là đường thẳng cần tìm.
Vì đường thẳng đi nằm trong P và cắt S theo dây cung dài nhất nên cắt C theo
dây cung dài nhất. Suy ra đi qua tâm của C hay đường thẳng là đường thẳng MK .
Ta có MK 1;1;1 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------
13
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
x 3t
Đường thẳng MK đi qua K có vtcp là MK 1;1;1 có ptts là y 2 t .
z 5 t
Câu 20: 8 4 8
Cho A2, 2,1 , B , , . Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và
3 3 3
vng góc với OAB có phương trình là
A. x 1 y 3 z 1 . B. x 1 y 8 z 4 .
1 2 2 1 2 2
x 1 y 5 z 11 D. x y 1 z 1 .
C. 3 3 6 . 1 2 2
1 2 2
Lời giải.
Tác giả: Nguyễn Kim Đông; Fb: Nguyễn Kim Đông
Chọn D
Gọi là đường thẳng đi qua tâm đường trịn nội tiếp tam giác OAB và vng góc với
OAB
14 2 5
Ta có OA 3, OB 4 và AB , , AB 5 .
3 3 3
Gọi I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác OAB , ta có
5IO 4IA 3IB 0 OI OA OB 1 1 .
34
Suy ra, I 0,1,1 .
Ta có OA,OB 4, 8,8 là một vecto chỉ phương của đường thẳng , suy ra
u 1, 2, 2 cũng là một vecto chỉ phương của đường thẳng .
Phương trình đường thẳng là x y 1 z 1 .
1 2 2
Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và hai đường thẳng
1 : x 1 y z , 2 : x y z 1 . Biết rằng có hai đường thẳng d1, d2 nằm trong P , cắt
1 1 1 11 3
2 và cách 1 một khoảng bằng 6 . Gọi u1 a ;b;1, u2 1; c; d lần lượt là véctơ chỉ
2
phương của d1, d2 . Tính S a b c d .
A. S 0 . B. S 2 . C. S 4 . D. S 1 .
Chọn A Lời giải
------------------------------------------------------------------------------------------------------
14
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
2
1
d
B
A
P
Đường thẳng 1 đi qua điểm A1; 0; 0 và có một véctơ chỉ phương v1 1; 1;1 .
Đường thẳng 2 đi qua điểm B 0; 0; 1 và có một véctơ chỉ phương v2 1;1;3 .
Nhận thấy A, B P .
Đường thẳng d nằm trong P , cắt 2 và cách 1 một khoảng bằng 6 , giả sử d có một
véctơ chỉ phương u m;n; p , m2 n2 p2 2 0 . Mặt phẳng P có một véctơ pháp tuyến
n 1;1; 1 .
Vì d nằm trong P nên u n u.n 0 m n p 0 p m n .
Khi đó d đi qua B và có một véctơ chỉ phương u m; n; p .
v1, p;m n ; AB 1;0;1 .
Ta có: u n p;m
Khoảng cách giữa d và 1 là:
v1,u .AB
n pnm 6
d d; 1
2
v1, u n p m p m n 22 2
m2 mn 0 m 0 .
m n
Với m 0 ta chọn n 1 p 1 suy ra một véctơ chỉ phương của d là u1 0;1;1 .
Với m n ta chọn n 1 p 0 suy ra một véctơ chỉ phương của d là u2 1; 1; 0 . Vậy
a 0;b 1;c 1;d 0 suy ra S a b c d 0 .
Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : x 1 y z 2 và mặt phẳng
2 1 1
P : x y z 3 0 . Đường thẳng d là hình chiếu vng góc của đường thẳng d trên mặt
phẳng P . Đường thẳng d đi qua điểm nào sau đây?
A. K 3;1;7 . B. M 3;1;5 . C. N 3;1;7 . D. I 2;1;2 .
Lời giải
Chọn C
Ta có: ud 2; 1;1 , nP 1; 1; 1 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
Gọi Q là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vng góc với mặt phẳng P :
Mặt phẳng Q có một vtpt là: u 2;3;1
nQ d ; n P
Đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng Q và mặt phẳng P :
Đường thẳng d có một vtcp là: nP 4;1;5
ud ; nQ
Gọi E là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P . Tọa độ của E là nghiệm của hệ:
x 1 y
2 1 x 2y 1 x 1
y z2
⇔ y z 2 ⇔ y 0 ⇒ E 1; 0; 2 .
1 1
x y z 3 0 x y z 3 z 2
x 1 4t
Phương trình tham số của đường thẳng d là: d : y t .
z 2 5t
Với t 1 ⇒ N 3; 1;7 d .
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A2; 0;1 , B 2;2;1 , C 4; 2;3 . Gọi d là
đường thẳng đi qua tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vng góc với mặt
phẳng ABC . Đường thẳng d đi qua điểm M a;b; 1 , tổng a b bằng
A. 6 . B. 4 . C. 5 . D. 7 .
Lời giải
Chọn D
Ta có AB 0; 2; 0 , AC 2; 2; 2 .
VTPT nABC 4; 0; 4 41; 0; 1 .
Phương trình mặt phẳng ABC : x z 1 0 (1)
Gọi M là trung điểm AB , suy ra M 2; 1;1 .
Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn AB . Khi đó : y 1 0 (2)
Gọi N là trung điểm AC , suy ra N 3;1; 2 .
Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn AC . Khi đó : x y z 6 0 (3)
x z 1 0 x 4
Từ (1),(2),(3) ta có hệ y 1 0 y 1.
x y z 6 0 z 3
Suy ra tọa độ I 4; 1;3 .
x 4t
Phương trình tham số của đường thẳng d : y 1 .
z 3 t
Đường thẳng d đi qua điểm M a;b; 1 suy ra t 4 M 8; 1;1 .
Suy ra a b 7 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------
16
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x y z 5 0 và đường thẳng
d : x 3 y 3 z 2 . Biết rằng trong mặt phằng P có hai đường thằng d1, d2 cũng đi qua
2 1 1
A3; 1; 0 và cùng cách đường thẳng d một khoảng cách bằng 3 . Tính sin với là góc
giữa hai đường thẳng d1, d2 .
A. 4 . B. 3 5 . C. 5 . D. 3 .
7 7 7 7
Chọn B Lời giải
d
K d1
I d2 A
H
P
Ta có mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là n 2;1;1 cũng là vectơ chỉ phương của đường
thẳng d .
Suy ra d P , gọi I d P thì toạ độ điểm I là nghiệm hệ phương trình
2x y z 5 0 2x y z 5 0 2x y z 5 x 1
x3 y3
x3 y3 z2 x 2 y 3 y 2 I 1; 2;1 .
2 1
2 1 1 yz 1 z 1
y3 z2
1 1
Ta có IA 14 .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của I trên d1, d2 , có IH IK 3 .
Vì là góc giữa hai đường thẳng d1, d2 nên H AK I AH .
2
IH 3 3 70
Xét tam giác IAH vng tại H có sin IAH sin cos .
IA 14 2 14 2 14
------------------------------------------------------------------------------------------------------
17
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
Vậy sin 2sin .cos 2. 3 . 70 3 5 .
22 14 14 7
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : x 1 y 2 z ;
1 21
2 : x 2 y 1 z 1 . Đường thẳng d song song với mặt phẳng P: x y 2z 5 0
2 1 1
và cắt hai đường thẳng 1,2 lần lượt tại A, B sao cho AB là ngắn nhất. Phương trình đường
thẳng d là:
A. x 1 y 2 z 2. B. x 1 y 2 z 2 .
C. x 1 y 2 z 2 . D. x 1 y 2 z 2 .
2 1 1 2 1 1
Lời giải
FB tác giả: Oanh Trần
Do d cắt hai đường thẳng 1,2 lần lượt tại A, B ta có
A1 u;2 2u;u, B2 2v;1 v;1 v, u, v .
AB 3 2v u;3 v 2u;1 v u
Có P: x y 2z 5 0 nP 1;1;2.
Đường thẳng d song song với mặt phẳng P: x y 2z 5 0 .
Suy ra AB.nP 0 3 2v u 3 v 2u 2 2v 2u 0 u v 4.
AB v 1; v 5;3
AB2 v 12 v 52 9 2v2 8v 35 27v ; AB2 27 khi v 2.
Suy ra AB là ngắn nhất bằng 3 3 khi v 2,u 2 .
Như vậy: AB 3;3;3 , A1; 2; 2 .
Vậy phương trình đường thẳng d là x 1 y 2 z 2 .
Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : x 2 y 5 z 2 ,
1 2 1
x 2 y 1 z 2
d: và hai điểm Aa;0;0, A 0;0;b . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và
1 2 1
d ; H là giao điểm của đường thẳng AA và mặt phẳng (P). Một đường thẳng thay đổi trên
(P) nhưng luôn đi qua H đồng thời cắt d và d lần lượt tại B, B . Hai đường thẳng
AB, AB cắt nhau tại điểm M. Biết điểm M luôn thuộc một đường thẳng cố định có véc tơ chỉ
phương u 15; 10; 1 (tham khảo hình vẽ).
------------------------------------------------------------------------------------------------------
18
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC
Phương trình đường thẳng AB.
x 2 2t x 2t x 2t x 4t
A. y 0 . B. y 0 . C. y 0 . D. y 0 .
z 4t z 2t z 2t z 2t
Lời giải
Tác giả: Phước Bảo Phan Fb: Phuocbaohue
Chọn B
Ta có d đi qua N 2;5;2 , chỉ phương ud 1;2;1 , d đi qua N2;1;2 , chỉ phương ud 1; 2;1
.
Gọi (R) là mặt phẳng chứa A và d, gọi (Q) là mặt phẳng chứa A và d .
Từ giả thiết ta nhận thấy điểm M nằm trong các mặt phẳng (R), (Q) nên đường thẳng cố định
chứa M chính là giao tuyến của các mặt phẳng (R), (Q).
Vậy (R) đi qua N 2;5;2 , có cặp chỉ phương là ud 1;2;1, u 15;10; 1
nP 1; 2;5 R : x 2 y 5z 2 0 . (R) đi qua Aa;0;0 a 2 .
Tương tự (Q) đi qua N2;1;2 , có cặp chỉ phương ud 1; 2;1,u 15; 10; 1
nQ 3;4;5 Q : 3x 4 y 5z 20 0 . (Q) đi qua A0;0;b b 4.
A2;0; 0, B 0, 0, 4 AB 2, 0, 4
x 2 t
ptAB y 0
z 2t
------------------------------------------------------------------------------------------------------
19
