Tính chất ba đường phân giác trong tam giác (

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Bài tốn: Cho , tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I.
Chứng minh rằng: I cách đều ba cạnh của

A Kẻ tại H, tại K, tại L
H Vì I thuộc phân giác (gt)

LI (tính chất điểm thuộc phân giác của một góc) (1)
B KD Vì I thuộc phân giác (gt)

(tính chất điểm thuộc phân giác của một góc) (2)
Từ (1) và (2)

I cách đều ba cạnh của

C

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
I. ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

A - Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt
E cạnh BC tại điểm D, khi đó đoạn thẳng AD được
gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của
F tam giác ABC.

- Chú ý:

+) Đường thẳng AD cũng gọi là đường phân giác

B D C của .

+) Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

A Vì cân tại A (gt) ⇒ AB = AC

B D C AD là phân giác ⇒ ^ BAD= ^ DAC

GT cân tại A AD là đường phân giác Xét và có:
(cmt)
KL AD là đường trung tuyến của
(cmt)
AD chung
(c.g.c)
(2 cạnh tương ứng)

D là trung điểm BC

AD là đường trung tuyến của

Tính chất: Trong một tam giác cân,
đường phân giác xuất phát từ đỉnh
đối diện với đáy đồng thời là
đường trung tuyến ứng với cạnh
đáy

II. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

A Ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
F HE

Trong :
L I +) Ba đường phân giác AD, BE, CF cùng đi qua điểm I
(hay đồng quy tại điểm I)
B KD
C +)

A

Đường phân giác trong tam giác

A

B D C

Tính chất ba đường Trong một tam giác cân, đường
phân giác trong tam giác phân giác xuất phát từ đỉnh đối
diện với đáy đồng thời là đường
trung tuyến ứng với cạnh đáy.

A Ba đường phân giác của tam giác B D C
HE cùng đi qua một điểm, điểm này
cách đều ba cạnh của tam giác
FI
L đó.

B KD C

III. BÀI TẬP

Bài 1: Cho , các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a)BI = 23 B D Sai A

b) Điểm I cách đều ba đỉnh của Sai

c) Điểm I cách đều baccạạnnhh của Đúng EI D

B F C

Bài 2: Cho có , các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I.
a) Tính
b) Tính
c) Chứng minh điểm I cách đều ba cạnh của

A a) Tính

6 2o Vì BD là đường phân giác của (gt) Sơ đồ phân tích

E ID ⇒ ^B1= 12 ^ ABC

Vì CE là đường phân giác của (gt)
⇒ C^1= 12 ^ ACB
⇒ ^B1+C^1= 12 ^ ABC + 12 ^ ACB B^1 +C^1=?

2 1 2

1 ⇒ ^B1+C^1= 12 ( ^ ABC + ^ ACB()1)

B C B^1= 1 ^ ABC^ ABC + ^ ACB=?

, Xét có: 2
GT BD là của CE là của
(tổng 3 góc trong tam giác) C^1= 12 ^ ACB Tổng 3 góc

BD cắt CE tại I Mà (gt) trong

a) ⇒ ^ ABC + ^ ACB=118o(2) BD, CE là
KL b) Từ (1) và (2) B^1 +C^1= 12 ⋅ 1 18o =59o của

c) I cách đều ba cạnh của Xét có:

(tổng ba góc trong tam giác)

⇒ ^ BIC=180o− 59o=121o

A a) Tính b) Tính

6 2o Vì BD là đường phân giác của (gt) Xét có:
⇒ ^B1= 12 ^ ABC BD là
ED CE là
I Vì CE là đường phân giác của (gt)
⇒ C^1= 12 ^ ACB BD cắt CE tại I

⇒ ^B1+C^1= 12 ^ ABC + 12 ^ ACB I là giao ba đường phân giác
của

AI là tia phân giác của

1

B C ⇒ ^B1+C^1= 1 ( ^ ABC + ^ ACB()1) ⇒ ^ BAI= 2 B^ AC
2
, Mà (gt)
GT BD là của CE là của Xét có:
⇒ ^ BAI= 1 ⋅ 6 2o=3 1o
(tổng 3 góc trong tam giác) 2

BD cắt CE tại I Mà (gt) c) I cách đều ba cạnh của

a) ⇒ ^ ABC + ^ ACB=118(o2) Vì I là giao ba đường phân giác
KL b) Từ (1) và (2) B^1 +C^1= 12 ⋅ 1 18o =59o của (cmt) I cách đều ba cạnh của
Xét có:
c) I cách đều ba cạnh của (tính chất giao ba đường phân
(tổng ba góc trong tam giác) giác trong tam giác)
⇒ ^ BIC=180o− 59o=121o

Bài 3: Cho có đường phân giác DA đồng thời là đường trung tuyến.
Chứng minh rằng cân tại D

D Trên tia đối tia AD lấy điểm B sao cho Sơ đồ phân tích

1 2 Vì DA là đường trung tuyến của (gt) A là trung điểm của EF ⇒ AE = AF cân tại D

Xét và có: DE =DF
(cách vẽ)
E A F (cmt)

(đối đỉnh) DE =BF DF =BF

Δ ≝¿ B { (c.g.c) cân

GT DA là đường trung tuyến ⇒ D^1 =B^(2 g ó c t ươ ng ứ ng ) (1) tại F

DE=BF(2 c ạ nh t ươ ng ứ ng) D^1 =B^^B = ^ D2

DA là đường phân giác Mà DA là đường phân giác của (gt)
⇒ D A l à ph â n giá c ^ EDF ⇒ D^1 = ^ D2(2)
KL cân tại D Từ (1) và (2) ^B = ^ D2

cân tại F ⇒ FD=FB (cách vẽ) AE= AF^ DAE=^ BAF

Mà (cmt) DA là đường trung tuyến

⇒ FD=DE cân tại D

Bài 3: Cho có đường phân giác DA đồng thời là đường trung tuyến.
Chứng minh rằng cân tại D

D Trên tia đối tia AD lấy điểm B sao cho Định lý: Nếu tam giác có
một đường trung tuyến
1 2 Vì DA là đường trung tuyến của (gt) A là trung điểm của EF ⇒ AE = AF đồng thời là đường phân
giác thì tam giác đó là một
Xét và có: tam giác cân.
(cách vẽ)
E A F (cmt)

(đối đỉnh)

Δ ≝¿ B { (c.g.c)
GT DA là đường trung tuyến ⇒ D^1 =B^(2 g ó c t ươ ng ứ ng ) (1)

DE=BF(2 c ạ nh t ươ ng ứ ng)

DA là đường phân giác Mà DA là đường phân giác của (gt)
⇒ D A l à ph â n giá c ^ EDF ⇒ D^1 = ^ D2(2)
KL cân tại D Từ (1) và (2) ^B = ^ D2

cân tại F ⇒ FD=FB

Mà (cmt)

⇒ FD=DE cân tại D

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

- Ôn tập phần lý thuyết và các bài tập đã làm
- Làm các bài 48, 49, 50 (SBT – trang 46)
- Chuẩn bị bài sau: “Ôn tập chương IV – Biểu thức đại số”