Đề học sinh gioi toán 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN
TẠO TP PHÚC YÊN NĂM HỌC 2022 - 2023
Môn thi : Toán - Lớp 8
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 01 trang )

Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích đa thức Q thành nhân tử, biết Q x4  2023x2  2022x  2023.
(CĐ8)

2x  9 x 3 2x 1

Câu 2. (2,5 điểm). Cho biểu thức A  x2  5x  6  x  2  3  x với x 2; x 3. Rút gọn A và
tìm các giá trị nguyên của x để A chia hết cho 2 . (CĐ10)

13  x  1 2  x  x
Câu 3. (2,0 điểm). Giải phương trình 2010 2021 2023 .(CĐ8)

Câu 4. (2,5 điểm). Cho đa thức P  x thỏa mãn: P  x chia cho x  3 dư 1, chia cho x  4 dư 8

, chia cho  x  3  x  4 được thương là 3x và còn dư. Chứng minh rằng P   1  P 1 là

một số nguyên tố. (CĐ11)

Câu 5. (2,0 điểm). Giải phương trình nghiệm nguyên y2  2xy  3x  2 0 .(CĐ4)

Câu 6. (2,0 điểm). Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số ab sao cho 2.ab 1và 3.ab 1 đều
là các số chính phương. (CĐ3)

Câu 7. (5,0 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD , gọi O là giao điểm của AC và BD . Qua điểm A
kẻ đường thẳng d vuông góc với AC , đường thẳng d cắt tia CD tại E . Kẻ DK vng góc

với AE ( K thuộc AE ).

a) Chứng minh: DA2 DC.DE .

b) Gọi P là giao điểm của OE và KD . Chứng minh rằng PK PD .

c) Chứng minh ba đường thẳng CK, AD,OE đồng quy. (CĐ12.2)

Câu 8. (1,0 điểm). Cho a,b,c 1 là các số thực dương thoả mãn a  1b  1c 2023. Tìm giá trị

T 1  1  1

lớn nhất của biểu thức: 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b .(CĐ7)

Câu 9. (1,0 điểm). Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x  x và x3 2 đều là số hữu tỉ. Chứng minh
rằng x là số hữu tỉ. (CĐ16)

---------------------Hết--------------------
Thí sinh khơng sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh………………………………………......……Số báo danh……..……………

NHĨM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN
TẠO BÌNH SƠN NĂM HỌC 2022 - 2023
Mơn thi : Tốn - Lớp 8

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: /4/2023

(Đề thi có 01 trang )

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Chứng minh rằng : n3  3n2  5n  3 chia hết cho 3 , với mọi số nguyên n . (CĐ1)

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 – 20  y( y  6) . (CĐ4)

3. Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là số chính phương.

(CĐ3)

Câu 2. (4,0 điểm)

 x2  2x 2x2  1 2 
A  2  2 3 1  2 
1. Rút gọn biểu thức  2x  8 8  4x  2x  x   x x  , với x 0; x 2 . (CĐ10)

bc ac ab

2. Cho a, b, c 0 thỏa mãn: 2ab  bc  2ca 0 . Tính A 8a2  b2  c2 . (CĐ10)

Câu 3. (4,0 điểm)

x  214  x  132  x  54 6
1. Giải phương trình: 86 84 82 (CĐ8)

2. Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a2  b2  c2 3abc.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q 3a2a1  3b2b1  3c2c1 . (CĐ7)

Câu 4. (8,0 điểm)
1. Cho ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D và E theo thứ tự là các điểm đối xứng

của điểm H qua các cạnh AB, AC .

a. Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng và tứ giác BDEC là hình thang.

b. Gọi M là giao điểm của AB và HD , N là giao điểm của AC và HE .

Chứng minh DE  2MN . (CĐ13)

2. Cho ABC vuông tại A  AC  AB , đường cao AH . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K

sao cho HK  HA . Qua K kẻ đường thẳng song song với AH , cắt AC tại P .
a. Chứng minh AKC ∽ BPC .

BH b. Gọi Q là trung điểm của PB . Chứng minh BP BQ BC . (CĐ12)

---------------------------HẾT----------------------------
Họ và tên thi sinh……………….....……….....……. Số báo danh …….…….......

NHĨM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN HSG THCS
TP THANH HÓA Năm học: 2022 - 2023
Mơn thi: Tốn
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang, 5 câu Thời gian làm bài 150 phút

Ngày thi: 20/03/2023

Câu 1. (4,0 điểm)

2  x2 y2  x2 y2  x  y
P   2   2 . 2
Cho biểu thức: x  x  xy xy xy  y  x  xy  y với x 0; y 0; x  y2

1) Rút gọn biểu thức P . (CĐ10.1)

2) Tính giá trị của biểu thức P biết x , y thỏa mãn đẳng thức: 2x2  y2  5 2xy  4 y  2x .

(CĐ10.2)

Câu 2. (4,0 điểm)

2x  m  x  1 3
1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương: x  2 x  2 . (CĐ8)

2) Cho đa thức P  x bậc 4 thỏa mãn: P   1 0 và P  x  P  x  1 x  x 1  2x 1 .

a) Xác định P  x . (CĐ11)

b) Suy ra giá trị của tổng sau (với n nguyên dương)

S 1.2.3  2.3.5 ...  n  n 1  2n 1

Câu 3. (4,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên x , y thỏa mãn: x3  x2 y  2xy3 x2 y2  y4 . (CĐ4)

2) Cho hai số nguyên dương x , y với x 1 thỏa mãn điều kiện 2x2  1 y15 . Chứng minh rằng x

chia hết cho 15. (CĐ1)

Câu 4. (6,0 điểm)

1) Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  , ba đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Gọi I là

giao điểm của EF và AH .
Đường thẳng qua I và song song với BC cắt AB , BE lần lượt tại O và Q .
a) Chứng minh rằng: Điểm H cách đều ba cạnh của tam giác DEF . (CĐ12)
b) Chứng minh rằng: IP IQ (CĐ12)

C 1 B
2) Cho tam giác ABC có 2 . Biết ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp, tính độ

dài mỗi cạnh của tam giác?

Câu 5. (2,0 điểm) (CĐ7)

Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn: ab  bc  ca abc .

abc

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: bc  a 1 ca  b 1 ab  c 1

-------------------Hết-------------------

NHĨM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS

UBND THỊ XÃ ĐIỆN BÀN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2022-2023

ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi : TỐN - LỚP 8
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 11/4/2023

 a 1 a 1 8a   a2  a 11 2
P   a 1 2  : 2  a  1 , với 
a  1  a  1 a 1.
 a 1
Câu 1:(1.5 điểm) Cho biểu thức

a. Rút gọn biểu thức P (CĐ 10.1)

b. Tìm giá trị của a khi P  4
5 (CĐ 10.2)

Câu 2: (2 điểm)

2 4 1
 x  3  4   3  
a. Giải phương trình x  x  (CĐ 8)

b. Cho x  0 , thỏa mãn điều kiện x  x 1  x  2  x  3 24. Tính giá trị biểu thức
M x2022  x20231 1. (CĐ 8)
Câu 3: (2 điểm)

a. Cho số tự nhiên có 3 chữ số abc . Chứng minh rằng nếu abc chia hết cho 21 thì a  2b  4c cũng

chia hết cho 21. (CĐ 1)

b. Tìm các cặp số nguyên  x; y thỏa mãn phương trình 2024 x2  y2   2023 2xy 1 5.(CĐ 4)

Câu 4: (2 điểm) Cho hình vng ABCD , trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm F và E sao

cho AE AF  F  A, F B, E  A, E D . Trên cạnh CD lấy điểm K sao cho KC FB, gọi H

là giao điểm của AK và BE .
a. Chứng minh AK vng góc với BE ; (CĐ 13)
b. Tính số đo góc FHC . (CĐ 13)
Câu 5(1.75 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D là trung điểm của AB ,

đường vng góc với AB tại D cắt đường vng góc với BC tại B ở điểm F.

AB2  AC DF;
a. Chứng minh 2 (CĐ 12.2)

b. Chứng minh đường thẳng FC đi qua trung điểm của AH . (CĐ 12.2)

1 Câu 6: (0.75 điểm)Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a  1b 2.

Chứng minh rằng a4  b2  2ab2 1  b4  a2  2a2 1 b 12 . (CĐ 7.1)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CHỌN ĐỘI TUYỂN
TẠO THƯỜNG XUÂN LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023

NHĨM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS

Môn thi : Tốn - Lớp 8

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27/4/2023

(Đề thi có 01 trang )

Câu 1. (4,0 điểm )Cho biểu thức (CĐ10)

P  3 x  2 x  9x  x 1   x  1 3x  2 x 3x  x  2  : 3 x 1 , (x  0, x 1)  7x  7 x

1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm x sao cho P nhận giá trị là một số nguyên.

Câu 2. (4,0 điểm)

4x3  6x2  6x2  3x 1 0
1) Giải phương trình:  x 1 3 x 1
(CĐ8)

2) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta ln có đẳng thức: (CĐ10)

(a  b  c)3   (a  b  c)3  (b  c  a)3  (c  a  b)3  24abc


Câu 3. (4,0 điểm)

1) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình x3  xy 1 2 y  x (CĐ 4)

2) Cho số nguyên tố p  3 và hai số nguyên dương a,b sao cho: p2 + a2 = b2 . Chứng minh rằng
a chia hết cho 12.(CĐ1)

Câu 4. (6,0 điểm)(CĐ13)
Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Điểm F bất kì thuộc
cạnh BC ( F khác B,C ). Tia AF cắt đường thẳng CD tại M . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho
BE CF.

a) Chứng minh : EF // BM và OEF vuông cân.

b) Từ C kẻ CH  BM  H  BM  . Chứng minh bằng ba điểm O, F, H thẳng hàng.

c) Lấy điểm P trên cạnh DC sao cho F AP 45 . Chứng minh rằng : Khoảng cách từ
điểm A đến FP không đổi khi F di động.

Câu 5. (2,0 điểm) (CĐ7)Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn:  a  c  b  c 4c2 . Tìm giá trị lớn

P  a  b  ab
nhất và nhỏ nhất của biểu thức: b  3c a  3c bc  ac

---------------------------HẾT----------------------------
Họ và tên thi sinh……………….....……….....……. Số báo danh …….…….......

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN
TẠO Ý YÊN NĂM HỌC 2022 - 2023
Mơn thi : Tốn - Lớp 8

NHĨM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 16/2/2023

Câu 1. (4,0 điểm)

 x2 x2  . 2 2  x  1  x  3
K  2 2
1. Cho biểu thức:  x  5x  6 x  3x  2   x  x 1  x  x 1
(CĐ10.1)

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức K .

b. Tìm giá trị lớn nhất của K .

2. Cho ba số thực a, b, c khác 1 và thỏa mãn a  b  c 3 . Tính giá trị của biểu thức:
B  (a  1)2  (b  1)2  (c  1)2

(b  1)(c  1) (c  1)(a  1) (a  1)(b  1) . (CĐ10.2)

Câu 2. (4,0 điểm)

x2  x 1  x2  2x  2  x2  3x  3  x2  4x  4 0
1. Giải phương trình : x 1 x2 x3 x4 (CĐ8)

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên  x; y thỏa mãn 2x2  5y2 +4x  8y  4xy  34 0

2 x2+5 y2+4 x −8 y+ 4 xy −34=0 (CĐ4)

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Tìm các số m và n sao cho đa thức f (x) 2x3  mx2  2x  n chia hết cho đa thức

g  x x2  x  2 . (CĐ11)

2. Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì giá trị của biểu thức

Q 1 2x 1 3x 1 5x 1 6x 16x4 là một số chính phương. (CĐ3)

Câu 4. (6,0 điểm)Cho hình vng ABCD , điểm E bất kỳ thuộc BC . Gọi giao điểm của AE và
DC là F , của DE và BF là G . Đường thẳng AB cắt CG , DG lần lượt tại I , K .

IK CD
1) Chứng minh IB CF và IE//BD .

2) Gọi P là giao điểm của AF và CI , M là trung điểm của CF . Chứng minh:

AC.EC 2 2. BE.PM

3) Giả sử BE 2EC . Gọi Q là trung điểm của DC . Gọi giao điểm của BQ và AE là H .
SBHE

Tính SABCD . (CĐ 12 )

Câu 5. (2,0 điểm)
1) Cho các số dương x, y thỏa mãn x  y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 1 2  1 2
A  2x     2 y  
 x   y  . (CĐ7.1)

2) Trên một đường tròn cho 21 điểm phân biệt. Mỗi một điểm được tô bởi một trong 4
màu: xanh, đỏ, tím vàng. Giữa mỗi cặp điểm được nối với nhau bởi một đoạn thẳng được
tô bởi một trong hai màu: nâu hoặc đen. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ba

NHÓM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS
đỉnh được tơ cùng một màu (xanh, đỏ, tím hoặc vàng) và ba cạnh cũng được tô cùng một
màu (nâu hoặc đen). (CĐ15)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THỊ XÃ
QUẢNG YÊN NĂM HỌC 2022 - 2023
Môn thi : Toán - Lớp 8
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 / 04 / 2023

NHĨM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS

(Đề thi có 01 trang )

Câu 1. (4,0 điểm)

 1 2 x  5  1 2x 1
A    2 : 2 x 1 ; x 
1. Rút gọn biểu thức  1 x x 1 x  1 x  1 với 2 (CĐ10.1)

2. Cho các số thực a , b , c thỏa mãn: a2  b2  c2 ab  bc  ca . Tính giá trị của biểu thức

P a2022  b2023  c2024
2022 2023 2024
bca (CĐ10.2)

Câu 2. (4,0 điểm)

214  x 1. Tìm giá trị của x biết : 91  265  x 71  216  x 31  167  x 11 10 (CĐ8)

2. Giải phương trình  x  1  x  3  x  5  x  7 297 (CĐ8)

Câu 3. (4,0 điểm)

A  n2  n2  7 2  36n 7
1. Chứng minh răng:   với mọi n   (CĐ1)

x2 y2  x y
 2  4 3  
2. Cho x; y  0 . Chứng min rằng: y2 x  y x  (CĐ 7)

Câu 4. (7,0 điểm) (CĐ12)

Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa cạnh AB ,vẽ

các tia Ax, By cùng vng góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm C ( C khác A ), qua O kẻ đường thẳng

vng góc với OC cắt tia By tại D .

1. Chứng minh AB2 4AC.BD

2. Gọi OM  CD tại M . Chứng minh CO là phân giác của ACD và AC MC

3. Tia BM cắt Ax tại N . Chứng minh C là trung điểm AN .

4. Kẻ MH  AB tại H . Chứng minh rằng AD, BC, MH đồng quy.

Câu 5. (2,0 điểm) (CĐ 16)

Có ba cặp đơi học sinh ngồi một chiếc bàn dài thành một dãy để cùng ôn tập kiến thức cuối học

kì II theo hình thức chia sẻ cặp đôi. Biết mỗi cặp đôi đều ngồi với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách ngồi

như vậy?

---------------------------HẾT----------------------------

NHĨM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN

HUYỆN NAM TRỰC NĂM HỌC 2022-2023.
(Đề thi gồm 01 trang) MƠN THI: TỐN 8

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (5 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử : (CĐ 5)

a) x3  3x2 y  4xy2  12 y3

b) x3  4x2  29x  24

2) Cho a , b thỏa mãn a3  2a 12 8b3  12ab  4b . Tính giá trị biểu thức :

A  a  2b 2022  2023a  4046b  22022 . (CĐ 10.2)

Câu 2. (4 điểm)

1) Tìm x biết  x 1  x  2  x  3  x  4 24 . (CĐ 8)

2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2  2 y  xy 0 . (CĐ 4)
Câu 3. (7,0 điểm) (CĐ 13)

Cho hình vng ABCD . Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khác B,C ). Tia AM cắt tia DC
tại N . Từ A kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt tia CB và tia CD lần lượt tại P và
Q.

a) Chứng minh AMQ ; PAN vuông cân

b) Đương thẳng QM cắt PN tại E . Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM .
Chứng minh QM  PN và tứ giác AIEK là hình chữ nhật.

c) Chứng minh 3 điểm I , K , D thẳng hàng.

Câu 4. (3,0 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C x2  y2  xy  2x  3y 12 . (CĐ 7)

2) Cho đa thức f  x có các hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện f  0  f 1 2 . Tìm số dư
khi chia f  2023 cho 3 . (CĐ 11)

Câu 5. (1,0 điểm) Cho bảng ơ vng kích thước 10x10 gồm 100 ơ vng kích thước 1x1. Điền vào
mỗi ô vuông của bảng một số nguyên dương không vuợt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ô

vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh trong bảng ơ vng đã cho có
một số xuất hiện ít nhất 17 lần. (CĐ 15)

HẾT
ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022-2023.

NHÓM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS

MƠN THI: TỐN 8

Câu 1. (5 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x3  3x2 y  4xy2  12 y3
b) x3  4x2  29x  24
2) Cho a , b thỏa mãn a3  2a 12 8b3  12ab  4b . Tính giá trị biểu thức :

A  a  2b 2022  2023a  4046b  22022 .

Lời giải
1) Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x3  3x2 y  4xy2  12 y3

x2  x 3y  4y2  x 3y

 x  3y   x2  4 y2 

 x  3y  x  2 y  x  2 y .

b) x3  4x2  29x  24

 x3  x2    5x2  5x   24x  24

x2  x  1  5x  x  1  24 x  1

 x  1  x2  5x  24

 x  1  x2  8x  3x  24

 x  1  x 8  x  3 .

2) Ta có x3  y3  z3  3xyz  x  y  z   x2  y2  z2  xy  yz  zx

Áp dụng đẳng thức trên ta có :
a3  2a 12 8b3  12ab  4b
 a3  8b3  8 12ab  2a  4b  4 0 .

 a3    2b 3  23  3.a.  2b .2  2a  4b  4 0 .

  a  2b  2  a2  4b2  4  2ab  2a  4b  2  a  2b  2 0

 1  a  2b  2   a  2b 2   a  2 2   2b  2 2  4 0
2

 a 2b  2  a2  4b2  4  2ab  2a  4b  2 0


 a  2b  2 0

 a  2b  2 ( Vì  a  2b   a  2   2b  2  4  0 với mọi a , b )222

NHÓM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS

Khi đó ta có: A  a  2b 2022  2023a  4046b  22022
 a  2b 2022  2023 a  2b  22022

  2 2022  2023.  2  22022

 4046 .
Vậy A  4046 .
Câu 2. ( 4 điểm )

1) Tìm x biết  x 1  x  2  x  3  x  4 24 .

2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2  2 y  xy 0 .
Lời giải

1)  x 1  x  2  x  3  x  4 24

   x 1  x  4    x  2  x  3  24

  x2  5x  4  x2  5x  6 24

Đặt t x2  5x  5 ta có:  t  1  t 1 24

 t2  1 24
 t2 25

 t 5


 t  5

+) Với t 5 ta có: x2  5x  5 5
 x2  5x 0

 x  x  5 0

 x 0


 x  5

+) Với t  5 ta có: x2  5x  5  5

 5 2 15
  x    0
 x  5x 10 0  2  4 ( vô nghiệm )2

Vậy : x  0;  5 .

2) x2  2 y  xy 0

NHĨM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS

 y  2  x  x2

+) Nếu 2  x 0  x 2 ta có : 0.y  4 ( vơ lí )

y  x2 x  2  4
+ ) Nếu 2  x 0  x 2 ta có : x  2 x 2

Vì y   nên x  2 4   x  2 Ư  4  1; 2; 4 . Ta có bảng sau:

x 2 4 2 1 1 2 4

x 2 0 1 3 4 6

y 1 0 1 9 8 9

Vậy  x, y    2; 1 ;  0;0 ;1;  1 ; 3;9 ; 4;8 ; 6;9 .

Câu 3. (7,0 điểm)
Cho hình vng ABCD . Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khác B,C ). Tia AM cắt tia DC tại N . Từ
A kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt tia CB và tia CD lần lượt tại P và Q .

a) Chứng minh AMQ, PAN vuông cân

b) Đường thẳng QM cắt PN tại E . Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM . Chứng
minh QM  PN và tứ giác AIEK là hình chữ nhật.

c) Chứng minh 3 điểm I , K, D thẳng hàng.
Lời giải

P

A I
B

E
M

K

Q D C N

a) Xét ABM ADQ  AM AQ  AQM cân tại A
và Q AM 90  AQM vuông cân tại A .
Tương tự: ABP ADN  AN AP  APN cân tại A .
và N AP 60  APN vuông cân tại A.

NHÓM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS

b) Xét PQN có PC  QN tại C , NA  PQ tại A , PC cắt NA tại M .

 M là trực tâm  QM  PN tại E  K EI 90 .
Xét AQM cân tại A có KQ KM  AK là trung tuyến.

 AK là đường cao  AK  QM  AKE 90 .

Chứng minh tương tự AIE 90 .

Xét tứ giác AKEI có AIE AKE K EI 90 .

 AKEI là hình chữ nhật.

c) Nối IC  IC 1 PN AI 1 PN
2 ( PCN vuông tại C ), 2 ( PAN vuông tại A )

 IA IC

Nối KC ta có ADK CDK  c.g.c  AK KC .

Mặt khác IA IC  gt  ; DA DC  gt  ; AK KC  cmt  .

 I, K, D thuộc đường trung trực của AC .

 I, K, D thẳng hàng.

Câu 4. (3,0 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C x2  y2  xy  2x  3y 12 .

2) Cho đa thức f  x có các hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện f  0  f 1 2 . Tim số dư khi chia
f  2023 cho 3 . Lời giải

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C x2  y2  xy  2x  3y 12 .
C x2  y2  xy  2x  3y 12

 4C 4x2  4 y2  4xy  8x  12 y  48

4x2  y2  4  4xy  8x  4 y  3y2  8y  44

2  4 2 116 116

 2x  y  2  3 y    

 3 3 3

2x  y  2 0 x 1
 3
4 
 C  29 MinC 29  y  0 y 4
3 nên 3 khi 3  3 .

2) Cho đa thức f  x có các hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện f  0  f 1 2 . Tim số dư khi chia
f  2023 cho 3 .

Giả sử f  x an xn  an 1xn 1  ...  a1  a0 ;

NHÓM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS

an  an 1  ...  a1  a0 2  an  an 1  ...  a1 0

Vì ;
f  0  f 1 2 a0 2

Mặt khác ta có 2023 1 mod 3  2023n 1 mod 3  an 2023n an  mod 3 ;

 f  2023 an.2023n  an 1.2023n 1 ...  a1.2023  a0 an  an 1 ...  a1  a0  mod 3 2 mod 3 Vậy

f  2023 chia 3 dư 2 .

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho bảng ơ vng kích thước 10x10 gồm 100 ơ vng kích thước 1x1. Điền vào mỗi ơ vng của
bảng một số nguyên dương không vuợt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ô vuông chung cạnh
hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh trong bảng ô vng đã cho có một số xuất hiện ít
nhất 17 lần.

Lời giải

Vì trong 10 số ngun dương khơng vượt q 10 có ba số: 3;6;9 chia hết cho 3 ; năm số:
2; 4;6;8;10 chia hết cho 2 , mà hai số được điền ở hai ô vuông 1x1 chung cạnh hoặc chung đỉnh

nguyên tố cùng nhau nên trên mỗi hình vng con, kích thước 2x2 chỉ có khơng q 1 số chia hết
cho 2 , cũng vậy, có khơng q 1 số chia hết cho 3 .

Lát kín bảng 10x10 bởi 25 hình vng, kích thước 2x2 , có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2 , có
nhiều nhất 25 số chia hết cho 3 . Do đó, có ít nhất 50 số cịn lại không chia hết cho 2 , cũng không
chia hết cho 3 . Vì vậy, chúng phải là một trong ba số 1;3;5 .

Chia ba số 1;3;5 vào 50 hình vng 1x1 nên theo ngun lý Dirichlet, có một số xuất hiện ít nhất 17
lần.

Vậy trong bảng ơ vng đã cho có một trong ba số 1;3;5 xuất hiện ít nhất 17 lần.

NHĨM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN
LANG CHÁNH NĂM HỌC 2022 - 2023
Mơn thi : Tốn - Lớp 8
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 12/1/2023
(Đề thi có 01 trang )

Bài 1.(4,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức:

A  3  2x  2  : 2  3  x2  x x2  x  2x2  x  1 x với x 1, x 1 (CĐ10.1)
2
 x  1 x  1  x  1 2x  1

111 1
2. Cho ba số x, y, z khác 0 và thoả mãn: x y z x  y  z

Tính giá trị biểu thức P  x2023  y2023   y2023  z2023   z2023  x2023  (CĐ10.2)

Bài 2. (4,0 điểm)

2 9x2
x 2  40
1. Giải phương trình  x  3
(CĐ8)
2. Tìm x và y thỏa mãn đồng thời cả hai hệ thức sau:

x3  y3 9 1 và x2  2 y2 x  4y  2 (CĐ10.2)

Bài 3. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x2  y2 3  xy. (CĐ4)

2. Cho x , y là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức 3 x2  1 2  y2  1

Chứng minh rằng x2  y2 chia hết cho 40 . (CĐ1)

Bài 4. (6,0 điểm)(CĐ12)

Cho đoạn thẳng AB . Kẻ tia Bx vng góc với AB tại B . Trên tia Bx lấy điểm C
( C khác B ). Kẻ BH vng góc với AC (điểm H thuộc AC ). Gọi là trung điểm của AB .

1. Chứng minh rằng: HA.HC HB2 .

2. Kẻ HD vng góc với BC ( D thuộc M BC ). Gọi I là giao điểm của AD và BH . Chứng

minh rằng ba điểm C, I, M thẳng hàng.

MI AB cố định, điểm C thay đổi trên tia Bx . Biết IC . CH HA . AB BM 1 .

3. Giả sử

C trên tia Bx sao cho diện tích ABI lớn nhất.

Tìm vị trí của điểm

Bài 5. (2,0 điểm)(CĐ7.1)
Cho các số a,b, c không âm thỏa mãn a  b  c 3

NHĨM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a  1 3   b  1 3   c  13 .

HẾT!

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: .................................................. SBD............

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA

LANG CHÁNH CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022-2023
MƠN: TỐN – LỚP 8

Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang.

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Hướng dẫn chấm Điểm

12đ 1. Với x 1 , x 12 biểu thức A xác định nên ta có : 0,5
0,5
A  3  2x  2  : 2  3  x2  x x2  x  2x2  x  1 x
0,5
 x  1 x  1  x  1 2x  1 0,5

 x  2x2  x  1 x2  x  x2  1 x 0,5
  2 . 2  0,5
 x 13 x  1  2x  x  1 2x  1 0,5
0,5
 
0,25
x  x2  1 x2  x x 0,5
 x3  1  2x2  x  1  2x  1

 x  x  1  x 1 x  x 1 x
2
 x  1  x  x 1  x 1  2x  1 2x  1

x  x 1 xx x2  x
2  2
x  x 1 2x  1 2x  1 x  x 1

x2  x x 1

A 2
Vậy : x  x 1 ( với x 1 , 2 )

2đ 1x  1y  1z  1 x  y  z   yz  xz  xy  x  y  z  xyz

2. Ta có:

 xyz  x2z  x2 y  y2z  xyz  y2x  z2 y  z2x  xyz xyz

 x2 y  x2z  y2x  y2z  z2 y  z2x  2xyz 0

  x  y  x  z  y  z 0

 x  y  x2023  y2023  x2023  y2023 0
  y  z   y2023  z2023   y2023  z2023 0
 z  x  z2023  x2023  z2023  x2023 0
  

 P  x2023  y2023   y2023  z2023   z2023  x2023  0 .

2 1. ĐKXĐ: x  3.

NHĨM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS

2 9x2  3x 2 6x2  x2 2 x2 0,25
x 2 40   x     40 0     6.  40 0
 x  3  x 3 x 3  x 3 x 3

x2 0,25
Đặt t  x  3 ta có phương trình t2 – 6t – 40 0    t  10  t  4 0

 t 10 0,5
  t  4
 0,25

t 10  x2 10  x2  10x  30 0
x 3 vô nghiệm;

 x2  4  x 2

t  4 x  3  x2  4x  12 0   x  2  x  6 0  x  6

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   6; 2

2. Nhân hai vế phương trình  2 với 3 , ta được 3x2  6 y2 3x 12 y  3 0,5

Trừ hai phương trình (1) và  3 vế theo vế, ta được:  x  1 3  2  y 3  y 3  x . 0,5
y 3  x vào  3 ta được x2  3x  2 0   x  1  x  2 0  x 1 0,5
Thế 0,5

hoặc x 2 .

Với x 1 thì y 2 . Với x 2 thì y 1.

Vậy  x; y  2; 1 ;1; 2 .

3 1. Ta có:  x  y 2 0  x2  y2 2xy  3  xy 2xy  xy 1 0,75 0,75
Mà x , y    0  xy 1  xy 1  x y 1
0,5

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là  x , y 1;1

2. Ta có 3 x2  1 2 y2  1  3x2  2 y2 1* 0,5

Th1: Trước hết ta chứng minh x2  y2 8

x2 0;1; 4 mod8 3x2 0;3;4 mod8  3x  2y 0;6;3;1; 4; 2 mod822
2  2
Ta có :  y 0;1;4 mod 8 2 y 0; 2 mod 8

Do đó từ  * ta có : 3x2  2 y2 1 mod8  x2 y2 1 mod8

 x2  y2 0(mod 8)   x2  y2  81 0,5

Th2: Chứng minh x2  y2 5

x2 0;1; 4 mod 5 3x2 0;3; 2 mod 5  3x  2 y 0;3; 2;1; 4 mod 522
2  2
Ta có  y 0;1; 4 mod 5 2 y 0; 2;3 mod 5 0,5

Do đó từ  * ta có : 3x2  2 y2 1 mod 5  x2  y2 1 mod 5 0,5

 x2  y2 0 mod 5  x2  y2 5 2

Từ (1) và (2) kết hợp với  5;8 1  x2  y2 40  dfcm

NHĨM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN THCS

4
0,5

(bao
gồm
vẽ
hình
và
ghi
GT,
KL)

1. Xét AHB và BHC có: 1,5

+ AHB B HC (do BH  AC )

+ H AB H BC ( cùng phụ với H BA )
 AHB∽ BHC (g.g)

HA  HB  HB HC  HA.HC HB2

2. Giả sử đường thẳng CI cắt HD và AB lần lượt tại các điểm K và M 

*Áp dụng hệ quả định lý Ta lét vào các tam giác: CAM , CM B với

HD//AB , ta có:

HK CK KD CK HK KD
AM  CM  , BM  CM   AM  BM  1
0,5
*Áp dụng hệ quả định lý Ta lét vào các tam giác: IAM , IM B với

HD//AB , ta có:

HK KI KD KI HK KD 0,5
M B IM  , AM  IM   M B  AM   2

HK HK KD KD M 'B AM '
Từ 1 và  2 suy ra: AM  : M B M B : AM   AM '  M 'B 0,5

 AM 2 M B2  AM  M B 0,5

 M  là trung điểm của AB . Mà M cũng là trung điểm của AB (gt)

 M  trùng với M . Vậy 3 điểm C, I , M thẳng hàng

MI . CH . AB 1  MI  HA.BM  HA.AB  HA
3. Ta có: IC HA BM IC CH .AB 2CH .AB 2CH
0,5
HA.CH HB2 BM  AB
2
 2  2 1
2CH 2CH Vì : 2 ; Theo câu a: HA.CH HB )

HB AB

BC  2

MI AB2 a2 MI a2 Mà AHB∽ BHC nên HC 0,5

1 và  2 suy ra IC 2BC2 2x2  MC a2  2x2

Từ SIAB S  IM MC  a2 a2 1 ax 0,5  2x2 SCAB  AB.BC 

Suy ra CAB . Mà 2 2

NHÓM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS

1 a3x a3 a3 a3 a2
 SIAB  . 2 2 2  0,5
2 a  2x 2. a  2x  4 a .2x 4 2a 4 22

x  x

a2 2x  x2 a2  x  a
Dấu " " xảy ra khi: x 2 2

BC  a 2 thì giá trị lớn nhất của a2
SIAB 
Vậy Khi C trên tia Bx sao cho 42

5 Với các số a ,b , c không âm thỏa mãn a  b  c 3. Ta có :

2 9  3a  3 2 3a 3a
3 a  a  3a     1 a  a     1   1 0,5
*)  a  1 a  3a  3a  1 32 4 4  2 4 4 1

2 9  3b  3 2 3b 3b
3 b  b  3b     1 b  b     1   1
*)  b  1 b  3b  3b  1 32 4 4  2  4 4  2

 2 9  3c  3 2 3c 3c 0,25
3 c  c  3c     1 c  c     1   1

*) c  1 c  3c  3c  1 32 4 4  2  4 4  3

Cộng theo vế 1 ;  2 và  3 ta được : 0,5

 a  1 3   b  1 3   c  1 3 3  a  b  c  3 3 .3  4  3  P  3
4 4 4 4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :

  32
a  a   0   3 3 0,5
  2   a ; b;c  0 ; ; 
 2 2
 3 2 
b  b  
0  3 3
  2     a ; b;c  ; 0 ; 
 2 2
c  c  3  0 2 

3 3 
  2   a ; b;c  ; ;0  0,25
  2 2 
a  b  c 3

3  3 3
Min P   a ; b;c  0; ; 
Vậy 4 khi  2 2  và các hốn vị của nó

Lưu ý: Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NHÓM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS

THỊ XÃ QUẢNG TRỊ NĂM HỌC: 2022 - 2023

Môn thi: Toán - Lớp 8

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian

giao đề

Câu 1 (5,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức:

P  7  4 3  3 (a  3) a  3a  1 :  a  4  1

 3( a  2)  với a 0; a 1;a 4 (CĐ10.1)

2. Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn | a  b  c  2022 |  2022(ab  bc  ca)  abc 0 .
Tính P a2023 1  b2023 1  c2023 1 .(CĐ10.2)
Câu 2 (3,0 điểm) Nhằm tuyên dương học sinh có thành tích xuất sắc đạt danh hiệu cháu
ngoan Bác Hồ, một trường đã tổ chức cho các em một chuyến tham quan cố đô Huế
bằng phương tiện ô tô. Nếu mỗi ơ tơ chở 12 học sinh thì thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô
tơ thì số học sinh của đồn được chia đều cho các ơ tơ cịn lại. Hỏi có bao nhiêu học
sinh đi tham quan và có bao nhiêu ơ tơ? Biết rằng mỗi ơ tô chở không quá 16 học sinh.
(CĐ4)

Câu 3 (2,0 điểm)

Giải phương trình: x2  7x 6 x  5  30 (CĐ8)
Câu 4 (4,0 điểm)

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) (CĐ7.2)
2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác.

a  b  c 3

Chứng minh: b  c  a a  c  b a  b  c (CĐ7.1)
Câu 5 (4,0 điểm)

Trên cạnh AB, AC của ∆ABC lần lượt lấy E, F sao cho BE = CF. Gọi M, N là các
trung điểm của BC và EF. Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB tại H, cắt
đường thẳng AC tại K. Chứng minh ∆AHK cân. (CĐ12.2)

Câu 6. (2,0 điểm)

Cho đa giác đều có 2023 đỉnh, sao cho mỗi đỉnh của đa giác đó chỉ được tơ bằng một
trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các
đỉnh của một tam giác cân mà các đỉnh đó được tơ cùng một màu. (CĐ16)

---------------------------HẾT----------------------------
Họ và tên thi sinh:……………….....……….....……. Số báo danh: …….……......

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu ý Nội dung Điể m

Câu 1 Ta có: 0,5